Divisão nos Inteiros

Sumario

DIVISAO NOS INTEIROS

Luciana Santos da Silva Martinolulismartino.blogspot.com.br

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PROFMAT - Colegio Pedro II

30 de setembro de 2016

Divisibilidade Divisao Euclidiana A Aritmetica na Magna Grecia

Sumario

1 Divisibilidade

2 Divisao Euclidiana

3 A Aritmetica na Magna Grecia


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1 Divisibilidade




Divisibilidade

Quando nao existir uma relacao de divisibilidade entre doisnumeros inteiros, veremos que, ainda assim, sera possıvelefetuar uma “divisao com resto pequeno” chamada de divisaoeuclidiana

Definicao: Dados dois numeros inteiros a e b, diremos que adivide b, escrevendo a|b, quando existir c ∈ Z tal que b = ca.Nesse caso, diremos tambem que a e um divisor ou um fatorde b ou, ainda, que b e um multiplo de a ou que b e divisıvel

por a.

A negacao dessa sentenca e representada por a - b,significando que @ numero inteiro c tal que b = ca


Divisibilidade

Proposicao 3.2: Sejam a,b, c ∈ Z. Tem-se que:

i) 1 | a, a | a e a | 0

ii) 0 | a⇔ a = 0 (∗)

iii) a | b ⇔ |a| | |b|

iv) se a | b e b | c entao a | c

Observe que a notacao a | b nao representa nenhuma operacao emZ, nem representa uma fracao. Trata-se de uma sentenca que diz serverdadeira que existe c inteiro tal que b = ca

(i) e (iii): todo numero inteiro a e divisıvel por ±1 e por ±a

(i): 0 tem infinitos divisores


Divisibilidade

Definicao: Suponha que a | b e que a 6= 0. Seja c ∈ Z tal queb = ca. O numero inteiro c, univocamente determinado, e chamado

de de quociente de b por a e e denotado por c = ba

. ba so esta definido quando a 6= 0 e a | b

Proposicao 3.3: Se a,b, c,d ∈ Z, entaoa | b e c | d ⇒ ac | bd

. Em particular, se a | b, entao ac | bc ∀c ∈ Z

Proposicao 3.4: Sejam a,b, c ∈ Z tais que a | (b ± c). Entaoa | b ⇔ a | c


Divisibilidade

Proposicao 3.5: Se a,b, c ∈ Z sao tais que a | b e a | c, entao∀x , y ∈ Z

a | (xb + yc)

Proposicao 3.6: Dados a,b ∈ Z, onde b 6= 0, temos quea | b ⇒ |a| ≤ |b|

. Em particular, se a ∈ Z e a | 1 entao a = ±1

. b tem um numero finito de divisores no intervalo−|b| ≤ a ≤ |b|


Divisibilidade

A relacao de divisibilidade em N ∪ {0} e uma relacao de ordempois:

i) e reflexiva: ∀a ∈ N, a | a (Prop. 3.2(i))ii) e transitiva: se a | b e b | c entao a | c (Prop. 3.2(iv))iii) e antissimetrica: se a | b e b | a, entao a = b (Prop. 3.6)

Entretanto a relacao de divisibilidade nao e uma relacao deordem em Z pois nao e antissimetrica


Divisibilidade

Proposicao 3.7: Sejam a,b ∈ Z e n ∈ N. Temos quea− b | an − bn

Aplicacao: Todo numero da forma 10n − 1, onde n ∈ N, edivisıvel por 9

Proposicao 3.8: Sejam a,b ∈ Z, e n ∈ N ∪ {0}. Temos quea + b | a2n+1 + b2n+1

Proposicao 3.9: Sejam a,b ∈ Z, e n ∈ N. Temos quea + b | a2n − b2n


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1 Divisibilidade




Divisao Euclidiana

Euclides: E sempre possıvel efetuar a divisao de a por b comresto

Divisao EuclidianaTeorema 3.10: Sejam a,b ∈ Z, com b 6= 0. Existem dois unicos

numeros inteiros q e r tais que a = bq + r , com 0 ≤ r < |b|

q: quociente da divisao de a por br : resto da divisao de a por b

Resultado: O resto da divisao de a por b e zero⇔ b | a


Divisao Euclidiana

Definicao: Denotando por qb(a) o quociente da divisao do numero apor b, definimos a funcao quociente como segue:

qb : Z→ Za 7→ qb(a)

Corolario 3.12: Dados a,b ∈ Z, com b > 0, existe um unico numerointeiro n(= qb(a)) tal que

nb ≤ a < (n + 1)b

Resultado: O inteiro qb(a) pode tambem ser interpretado como omaior inteiro menor ou igual do que o numero racional a

b

. O inteiro qb(a) sera denotado pelo sımbolo[

ab

]


Divisao Euclidiana

Definicao: Denotando por rb(a) o resto da divisao do numero apor b, definimos a funcao resto como segue:

rb : Z→ Za 7→ rb(a)

Exemplo 3.13: r9(10n) = 1, qualquer que seja o numeronatural n


Divisao Euclidiana

Exemplo 3.14: Dado um numero inteiro n ∈ Z qualquer, temosduas possibilidades:

i) o resto da divisao de n por 2 e 0, isto e, ∃q ∈ N 3: n = 2qii) o resto da divisao de n por 2 e 1, isto e, ∃q ∈ N 3: n = 2q + 1

Numeros inteiros

. numeros pares: numeros da forma 2q, para algum q ∈ Z

. numeros ımpares: numeros da forma 2q + 1, para algumq ∈ Z


Divisao Euclidiana

Exemplo 3.15: De um modo mais geral, fixado um numeronatural m ≥ 2, pode-se sempre escrever um numero qualquern, de modo unico, na forma n = mk + r , onde k , r ∈ Z e0 ≤ r < m

. Todo numero inteiro pode ser escrito em uma , e somenteuma, das seguintes formas: 3k , 3k + 1 ou 3k + 2

. Todo numero inteiro pode ser escrito em uma , e somenteuma, das seguintes formas: 4k , 4k + 1, 4k + 2 ou 4k + 3


Divisao Euclidiana

Exemplo 3.16: Dados a,n ∈ N, com a > 2 e ımpar, vamosdeterminar a paridade de (an−1)

2

Exemplo 3.17: Vamos achar os multiplos de 5 que seencontram entre 1 e 253


Divisao Euclidiana

Resultado: Dados a, c ∈ N, com a < c, o numero de multiplosnao nulos de a menores ou iguais a c e igual ao quociente dadivisao de c por a, isto e, igual a parte inteira

[ca

]do numero

racional ca

Proposicao 3.18: Dados a,b, c ∈ Z, tais que 0 < a < b < c,entao o numero dos multiplos de a entre b e c e dado por:

i)[

ca

]−[

b−1a

], se incluirmos b na contagem

ii)[

ca

]−[

ba

], se excluirmos b da contagem


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