Seções cônicas:elipse

• Uma elipse é o lugar geométrico dos pontos em um plano cuja soma das distâncias a dois pontos fixos F1 e F2 (focos) é uma constante. A distância entre F1 e F2 é chamada de distância focal.

• Os pontos A1, A2, B1 e B2 são os vértices da elipse, o segmento A1A2 é chamado de eixo maior e o segmento B1B2 é chamado de eixo menor.

Elipse

Seções cônicas

• As elipses têm uma propriedade de reflexão interessante. Se uma fonte de luz ou de som for colocada em um foco de uma superfície com seções transversais elípticas, então toda onda de luz ou de som será refletida da superfície para o outro foco.

Uma propriedade interessante das elipses

Seções cônicas

• Podemos facilitar a obtenção da equação de uma elipse colocando seus focos no eixo x, de modo que a origem O(0, 0) fique na metade do caminho entre os focos.

• Estabelecendo os focos como F1(– c, 0) e F2(c, 0) e chamando de 2a a soma das distâncias de um ponto genérico P(x, y) da elipse aos focos, obtemos a equação demonstrada ao lado.

22222

222

222222222

222222

2222

)(])([

44)(4

2)(442

])(2[])([

2)0()()0()(

221

cxaycxa

cxaycxa

yccxxycxaayccxx

ycxaycx

aycxycx

add PFPF

+=++

+=++

++++++−=++−

++−=+−

=−+−+−++

=+

Equação da elipse no plano cartesiano

Seções cônicas

• Podemos facilitar a obtenção da equação de uma elipse colocando seus focos no eixo x, de modo que a origem O(0, 0) fique na metade do caminho entre os focos.

• Estabelecendo os focos como F1(– c, 0) e F2(c, 0) e chamando de 2a a soma das distâncias de um ponto genérico P(x, y) da elipse aos focos, obtemos a equação demonstrada ao lado.

Equação da elipse no plano cartesiano

Seções cônicas

2222

2

2

2222222

22222

22222222

224222222

22222

e 0 com ,1

:temos , Seja .022

)()(

)(])([

bacbab

y

a

xbayaxb

cabcacaca

caayaxca

xcayacaxa

cxaycxa

−=>≥=+⇔=+

−=>−⇔>⇔>−=+−

+=++

+=++

• Como b2 = a2 – c2 < a2, segue que b < a. Os vértices no eixo x são encontrados fazendo-se y = 0. Então, x2/a2 = 1, assim x = ± a. Os pontos (– a, 0) e (a, 0) são respectivamente A1 e A2.

• Os vértices no eixo y são encontrados fazendo-se x = 0. Então, y2/b2 = 1, assim y = ± b. Os pontos (0, b) e (0, – b) são respectivamente B1 e B2.

Determinação das coordenadas dos vértices

Seções cônicas

Note que se c = 0, então a = b e a elipse torna-se um círculo de raio r = a = b. A circunferência nada mais é do que um caso especial de elipse.

• Se transferirmos o eixo maior de uma elipse para o eixo y, obteremos resultados análogos.

• Observe que todos os pontos notáveis da elipse trocam de lugar, passando a ser F1(0, c), F2(0, – c), A1(0, a), A2(0, – a), B1(– b, 0) e B2(b, 0).

• Chamando de 2a a soma das distâncias de um ponto genérico P(x, y) da elipse aos focos, obtemos a equação ao lado (a demonstração é análoga ao caso anterior).

2222

2

2

2

e 0 com ,1 bacbaa

y

b

x −=>≥=+

Invertendo o eixo

Seções cônicas

1)()(

2

2

2

2

=−+−b

yy

a

xx oo 1)()(

2

2

2

2

=−+−a

yy

b

xx oo

• Usamos até agora como centro da elipse a origem O(0, 0). Podemos deslocar o seu centro para qualquer ponto O´(xo, yo). Obtendo as equações como anteriormente, teremos uma simples mudança, mostrada a seguir.

Equação geral da elipse com centro O´(xo, yo)

Seções cônicas

1. Encontre os focos e os vértices da elipse x2/16 + y2/9 = 1.

Resolução: a = 4 e b = 3. O centro da elipse está na origem e seu eixo maior sobre o eixo x, então os vértices do eixo maior são (– 4, 0) e (4, 0) e os do eixo menor são (0, 3) e (0, – 3). Como c2 = a2 – b2, então c = √7. Os focos são (– √7, 0) e (√7, 0).

2. Encontre uma equação para a elipse com focos (0, 2) e (0, – 2) e vértices (0, 3) e (0, – 3).

Resolução: O centro da elipse está na origem e seu eixo maior sobre o eixo y, então a sua equação é da forma x2/b2 + y2/a2 = 1. Temos que c = 2 e a = 3. Como c2 = a2 – b2, então b = √5. A equação é x2/5 + y2/9 = 1.

Exercícios resolvidos

Seções cônicas

• Encontre os vértices e os focos da elipse x2/9 + y2/5 = 1.

• Esboce o gráfico de 9x2 – 18x + 4y2 = 27.

• (UFC-CE) Calcule a área do quadrilátero que tem dois vértices coincidindo com os focos da elipse x2/25 + y2/16 = 1 e outros dois com as extremidades do eixo menor da elipse.

4. (UFPA) Determine a distância entre os focos da elipse 5x2 + 9y2 – 10x – 31 = 0.

Exercícios propostos

Seções cônicas