Equações Algébricas - Grupo Leibniz

Resolução de EquaçõesResolução de EquaçõesAlgébricasAlgébricas

UFF – Especialização MatemáticaModelagem Matemática e Resolução de ProblemasProfº Wanderley RezendeAlunos: Andréa Thees e Fábio Lennon

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Introdução e objetivosIntrodução e objetivos

• Importância da origem na construção dos conhecimentos sobre resolução de equações de 1º ao 5º grau

• Apresentar material que estimule e direcione a imaginação dos alunos

• Levantar questões sobre formalização, generalização e organização

• Debater atividades que poderiam ser inseridas no conteúdo ensinado

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Equações de Grau 1 e 2Equações de Grau 1 e 2

• Conhecimentos práticos acumulados e transmitidos de geração em geração e resultantes da experiência e da observação.

• O conhecimento sobre a matemática egípcia é extraído dos manuscritos em pergaminhos e papiros descobertos no Egito (Rhind, Moscou, Berlim, Kahun e Cairo)

• O Método da Falsa Posição


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Regra da Falsa Posição – Era empregada para resolver equações lineares. A incógnita x era chamada de "aha". Nesta regra assumimos um valor falso para "aha". O resultado é comparado com o resultado que se procura e usando proporções chegava-se a resposta correta.


Problema 24 (Rhind):

A quantidade e a sua metade adicionadas dão 16. Qual é a quantidade?

Passo 1: Escolher um valor falso porém conveniente (por exemplo, 2) Passo 2: Verificar o resultado, no caso, 2 + ½ 2 = 2 + 1 = 3Passo 3: Como o resultado obtido (3) é diferente do resultado esperado (16), aplicar a regra de 3.

quantidade procurada resultado esperadoquantidade estipulada resultado obtido

Passo 4: Encontrar a quantidade procurada “aha” calculando:2 16/3 = 32/3 = 30/3 + 2/3 = 10 + 2/3

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Papiro de Rhind – um dos documentos matemáticos mais antigos, foi escrito pelo egípcio Ahmes (1620 a 1680 d.C.)


Problema 35 (Rhind):

Fui três vezes à medida de héqat, a minha 1/3 foi-me adicionada, [e regressei], enchendo a medida de héqat. O que é, o que diz isto?

Tente resolver o problema usando a Regra da Falsa Posição!!!

Escolha o valor 3Calcule 3 + 1/3 3 = 4Faça “aha” = 3 ¼ = ¾ = ½ + ¼Adicione os 3 hégat e pronto!Solução: 3 + ½ + ¼

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Papiro de Moscou – também conhecido como papiro Golenischev, este papiro é quase tão comprido como o papiro de Rhind, mas com apenas uns 7cm de largura. Escrito por um escriba desconhecido da dinastia XII (1890 a.C.), foi comprado no Egito no ano 1893.


Problema 19

Método de calcular uma pilha. 1 + 1/2 vezes junto com 4, deu 10. Qual é esta pilha?

Solução apresentada pelo escriba: Calcula o excesso destes 10 sobre estes 4, é 6.Calcula com 1+ ½ até obteres 1.Resultado 2/3. Calcula 2/3 destes 6.Resultado 4. É 4. Encontraste o resultado certo!

Agora, resolva a equação linear usando os conhecimentos algébricos atuais!

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Papiro de Berlim – Quando foi comprado por A. H. Rhind em Luxor em 1850, já encontrava-se em péssimo estado. Data de aproximadamente 1800 a.C. e encontra-se no Museu Staatliche em Berlim. Neste papiro aparece pela primeira vez a solução de uma equação do 2º grau.


Problema 2

É te dito ... a área de um quadrado de 100 [cúbitos quadrados] é igual à de dois quadrados mais pequenos. O lado de um dos quadrados é ½ + ¼ o lado o outro. Diz-me quais são os lados dos dois quadrados desconhecidos.

O sistema de equações envolvido é:x2 + y2 = 100 e 4x – 3y = 0Qual seria a solução original?

Solução: Toma sempre o quadrado de lado 1. Então o lado do outro é ½ + 2/4.Multiplica-os por ½ + 2/4. Dá ½ + 1/16, área do quadrado pequeno. Depois juntos estes quadrados têm uma área de 1 + ½ + 1/16.Tira a raiz quadrada de 1 + ½ + 1/16. Que é 1 + ¼.Tira a raiz quadrada de 100 cúbitos. Que é 10.Divide estes 10 por 1 + ¼. Dá 8, o lado de um quadrado.Calcula ½ + ¼ de 8. Dá 6, o lado do outro quadrado.

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Papiro de Kahun - Fragmentos de papiros encontrados em Kahun, no Egito por Flinders Petrie, em 1889, restaurados e traduzidos por F. L. Griffith. Acredita-se que data de cerca de 1800 a.C. e está escrito em hierático. No fragmento LV, 3 encontra-se a resolução da equação 1/2 x - 1/4 x = 5.


Fragmento LV, 3

Metade e um quarto é retirado e ficam 5.Que número diz isto?

Solução:

O que fica depois de 1/2 e 1/4 ser retirado de 1? Resultado 1/4. O que fica é 1/4, se o número fosse 1.Então o que fica é 4 x 1/4 = 1, se o número fosse 4 x 1 = 4.E o que fica é 5 x 1 = 5, se o número fosse 5 x 4 = 20.Por isso, o número que diz isto é 20.

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Papiro do Cairo - Provavelmente, do século III a.C., está escrito em demótico. O papiro contém 40 problemas e alguns dos seus problemas revelam uma forte influência de textos babilônicos. Os problemas 7 a 18 citados, por van der Waerden e Parker, estão relacionados com as medidas de panos de velas de navios e envolvem equações do 2º grau.


Problema 7

Se te é dito: Faz uma vela de pano para o barco, e se te é dito: Dá 1000 cúbitos de pano para uma vela [quadrada], a altura da vela estando [na razão] de 1 para 1 ½ da largura, eis como deves fazer.

Qual seria a solução original?

E a solução atual?

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• Escrita cuneiforme, sistema sexagesimal, calendários, sistemas de metragem e astronomia foram algumas das contribuições dos babilônios.

• O conhecimento matemático é extraído das tábuas através de problemas práticos, muitos deles resolvidos através do que chamamos hoje em dia, de equações do 2º grau.


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Equações de 2º grau ou Equações Quadráticas – tais equações haviam sido estudadas pelos antigos Babilônios, para resolver alguns problemas muito antigos.


"Comprimento, largura. Multipliquei comprimento e largura, obtendo assim a área. Então juntei à área o excesso do comprimento sobre a largura: 3,3 [isto é, o resultado obtido foi 183]. Além disso, juntei comprimento e largura: 27. Pede-se o comprimento, a largura e a área."

Resolução Babilônica Significado na base 10

27 + 3,3 = 3,302 + 27 = 29

Somando membro a membro vemxy + 2x = 210 (número representado por 3,3)

Metade de 29 é 14;30, pois 14;30 + 14;30 = 29 Metade de 29 é 14,5, pois 14,5 + 14,5 = 29

14;30 x 14;30 = 3,30;15 14,5 x 14,5 = 14,52 = 210,25

3,30;15 – 3,30 = 0;15 210,25 – 210 = 0,25

A raiz quadrada de 0;15 é 0;30 A raiz quadrada de 0,25 é 0,5

14;30 + 0;30 = 15 (comprimento) 14,5 + 0,5 = 15

14;30 – 0;30 = 14 (largura) 14,5 – 0,5 = 14

Subtraindo 2 a 14 [note-se que 2 foi somado a 27], obtém-se 12 que é a largura procurada e, portanto o comprimento é 15. Logo, a área é 180, isto é, 3,0.De fato, a solução do sistema considerada é x = 15, y = 12.

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Tábua YBC 4652 – Faz parte da Yale Babylonian Collection e é do antigo período da Babilônia (OB) que vai de cerca de 2004 a 1595 a.C. Para cada problema é dada a resposta, mas sem comentários sobre a forma de resolvê-los. O objetivo dos problemas é sempre descobrir o peso “original” de uma pedra, dando origem a equações do 1º grau.


Problema 19

Encontrei uma pedra, mas não a pesei; depois pesei seis vezes (o seu peso) e adicionei 2 gin, depois adicionei a terça parte da sétima parte desta quantidade multiplicada por 24.Tudo pesa 1 mana.

Solução: 4 1/3 de gin

1 mana = 60 gin

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Tábua BM 13901 – Encontra no Museu Britânico, e é do antigo período da Babilônia que vai de 2004 a 1595 a.C.. Os problemas dão origem a equações do 2º grau ou a sistemas de equações, em que uma das equações é do 2º grau. O objetivo dos problemas é sempre descobrir o lado de um quadrado.

Segundo van der Waerden, o problema 14, dá origem ao sistema de equações:

x2 + y2 = 1525y = 2/3 x + 5

Já o problema 18, ao sistema de três equações:

x2 + y2 + z2 = 1400 x - y = 10y - z = 10

Quais seriam 2 possíveis enunciados para esses problemas?

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• Como na matemática do Egito, muitos problemas eram resolvidos pela regra da falsa posição

• Regra para resolução de sistemas de equações lineares com números positivos e negativos

• Resolução de equações do 2º grau• Livros como “Nove Capítulos da Arte Matemática” trazem enunciados de

problemas práticos do dia-a-dia, com resposta, mas sem o método utilizado para resolução

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Capítulo VIII - Problema 8

Agora vende 2 vacas e 5 ovelhas, para comprar 13 porcos. Sobram 1000 dinheiros. Vende 3 vacas e 3 porcos para comprar 9 ovelhas. O dinheiro é o suficiente. Vende 6 ovelhas e 8 porcos. Depois compra 5 vacas. Existe um déficit de 600 moedas. Diz: qual é o preço de uma vaca, ovelha e porco, respectivamente?

Nove Capítulos da Arte Matemática - influenciaram toda a matemática chinesa, tendo sido utilizado como manual de ensino. O livro é de autor desconhecido, como era comum na antiga China.

Solução: preço das vacas 1200; preço das ovelhas 500 e preço dos porcos 300.

Como resolver? Vamos tentar?

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• A Matemática Védica e a escola jainista• Estudos da teoria dos números, permutações e combinações e

desenvolvimento de uma teoria do infinito• O Manuscrito de Bakhshali com problemas de aritmética, "álgebra", geometria

e medida• Matemáticos notáveis como Aryabata I (476-550), Bramagupta (598-670),

Mahavira (800-870) e Bhaskara II (1114-1185).

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De um grupo de abelhas pretas [ 2x2 ], a raiz quadrada de metade [x] foi para a árvore malati. De novo oito nonos das abelhas foram para a árvore malati. Das duas restantes, uma foi apanhada numa flor de lótus, cuja fragrância a cativou; ele começou a lamuriar-se e a sua amada respondeu. Então, ó amada, quantas abelhas havia?

Lilavati (A Bela) – manuscrito de Baskhara com 278 versos, que trata de vários assuntos, entre eles, as equações quadráticas.

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• A matemática e astronomia hindu chegaram aos árabes que a absorveram, refinaram e aumentaram

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Uma vez apaixonado pela arte do cálculo, penso que nenhuma noção filosófica

pode ser construída sem o número,considerando-o a mãe de toda a sabedoria.

Anania de Shirak

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• O tratado de álgebra escrito por Al-Khwarizmi data de cerca de 830

• Al-Khwarizmi distingue seis tipos de equações do 1º e 2º graus

- os quadrados iguais a raízes [ ax2 = bx ] - os quadrados iguais a um número [ ax2 = c ] - as raízes são iguais a um número [ ax = c ] - os quadrados e as raízes são iguais a um número [ ax2 + bx = c ] - os quadrados e os números são iguais a raízes [ ax2 + c = bx ] - as raízes e os números são iguais a quadrados [ bx + c = ax2 ]

http://www.malhatlantica.pt/mathis/Arabes/Kwarizmi.htm

http://www.malhatlantica.pt/mathis/Arabes/Kwarizmi.htm

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Equações de Grau 3, 4 e 5Equações de Grau 3, 4 e 5

• Considerações gerais• O caso dos números

complexos• Aplicação e observações• O último teorema de Fermat• Curiosidades• A competição de Tartaglia• Os versos de Tartaglia• Resolução da equação de

grau 3


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• As equações do terceiro e quarto graus tiveram suas fórmulas estabelecidas no século XVI pela escola italiana representada por S. del Ferro (1465-1526), N. Tartaglia (1500?-57), G. Cardano (1501-76) e L. Ferrari (1522-65), entre outros.

• Deve-se a del Ferro a resolução da equação cúbica (ele manteve o seu método em segredo), mais tarde também resolvida independentemente por Tartaglia. Tudo isso se deu até 1545, ano em que G. Cardano a publicou, com as devidas referências a del Ferro e Tartaglia, em seu livro "Ars Magna", juntamente com a fórmula da equação quártica, esta última estabelecida "a seu pedido" por seu discípulo L. Ferrari.

Imagem associada à Tartaglia

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• Seu método em “La géometrie” consiste em partir de um problema geométrico, traduzi-lo em linguagem de equação algébrica, e depois, tendo simplificado ao máximo a equação, resolvê-la geometricamente Seu método em “La géometrie” consiste em partir de um problema geométrico, traduzi-lo em linguagem de equação algébrica, e depois, tendo simplificado ao máximo a equação, resolvê-la geometricamente.

• Podemos considerar que Descartes foi um dos “propagandistas” ou ainda “marketeiros” da álgebra, influenciando a comunidade matemática a utilizar as equações em problemas geométricos.

Álgebra e geometria: um casamento perfeito• Uma importante contribuição à álgebra e à geometria

foi feita por Descartes (1596-1650), que volta para a aplicação da álgebra a problemas geométricos.

• Um dos objetivos do seu método era libertar a geometria de diagramas por meio de processos algébricos e, simultaneamente, dar significados às operações algébricas por meio de interpretações geométricas.

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• Citamos aqui um nome não muito conhecido pelos estudantes, Johann Hudde (1629-1704) nobre Holandês que fez algumas contribuições á matemática e ás equações algébricas.

• Antes de falar sobre Hudde, porém, convém definir o que vem a ser uma equação algébrica. Chamaremos equação algébrica de grau n ≥ 2 à uma igualdade da forma:

a0 + a1.x1 +a2.x2 ... an-1.xn-1+ an.xn = 0 onde ai IR (i = 0, 1, ..., n), an ≠ 0.

• Na busca da resolução destas equações procura-se determinar os números x (incógnita), de modo que a igualdade seja satisfeita. Como conseqüência do teorema fundamental da álgebra, sabemos que o polinômio f (t) = Pn, que fatora-se como:

f (t) = an(t − z1)...(z − zn) • onde z1, ..., zn C (= corpo dos números complexos) não necessariamente

distintos, univocamente determinados. Nesse sentido, dizemos que toda equação algébrica de grau n tem exatamente n raízes complexas, podendo haver repetições, i. e. contando suas multiplicidades. Estas equações possuem métodos resolutivos com utilização de radicais até seu grua 4, não sendo possível obter tal tipo de resolução para o grau 5.

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Johann Hudde

• Hudde foi um dos primeiros matemáticos a permitir que um coeficiente literal numa equação pudesse representar qualquer número real, seja positivo ou negativo. Este foi um momento decisivo na generalização das notações iniciada com Viéte na teoria das equações.

• Em 1657-1658 Hudde descobriu duas regras que apontavam para os algoritmos de cálculo:

1. Se r é uma raiz dupla da equação polinomial a0xn+a1xn-1+...+ an = 0 e se b0,b1,...,bn são números em progressão aritmética, então r é também uma raiz de a0b0xn + a1b1xn-1 +...+ an bn = 0

2. Se para x = a o polinômio a0xn+a1xn-1+...+ an = 0 assume um valor máximo ou mínimo relativo, então a é uma raiz da equação:

n.a0xn + (n - 1).a1xn-1+...+ an-1.x = 0

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• No final do século XVIII, o matemático italiano P. Ruffini deu uma prova (com algumas lacunas em sua argumentação) da impossibilidade de se resolver por radicais a equação do 5º grau. A primeira prova convincente da impossibilidade de resolução da equação do quinto grau foi estabelecida, no início do século XIX, pelo matemático norueguês N. H. Abel (1802-29). Acerca disto Boyer comenta:

“Desde que tinham sido resolvidas, no início do século dezesseis, as equações cúbicas e quárticas, as quínticas vinham sendo estudadas. Abel primeiro pensou ter obtido uma solução; mas em 1824 ele publicou um artigo “Sobre a resolução algébrica de equações” em que chegava à conclusão oposta: deu a primeira prova de que nenhuma solução é possível, terminando assim a longa busca.”(p.361)

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• Abel morreu jovem , vítima da tuberculose, em 1829. O trabalho de Abel foi completado pelo francês E. Galois (1811-32), que caracterizou as equações f (x) = 0, com grau arbitrário n, que são solúveis por radicais, por meio de uma propriedade de certo grupo Gf de permutações de suas raízes, atualmente denominado o grupo de Galois de f . Pode-se dizer que exatamente aí nasce a teoria dos grupos. A partir desse resultado, conclui-se que a equação geral de grau n ≥ 5 não pode ser resolvida por radicais. A respeito de Galois Boyer afirma:

Galois

“A teoria de Galois pode fornecer um algoritmo para encontrar efetivamente as raízes de uma equação, quando estas podem ser expressas por radicais; mas a ênfase do enfoque de Galois na teoria das equações em geral se dirige mais à estrutura algébrica que ao tratamento de casos específicos.”(p.366)

Abel

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• A insolubilidade da equação geral de grau n ≥ 5 é provada nos cursos de álgebra sobre a teoria dos corpos. Parte deles é dedicada às extensões algébricas de corpos, culminando com o chamado teorema fundamental da teoria de Galois para uma extensão K L de certo tipo, determinando uma correspodência biunívoca entre os subcorpos intermediários K F L e os subgrupos do grupo G(L|K) dos automorfismos de L sobre K.

• Resulta dessa teoria que a equação f (x) = xn + t1 xn−1 + ... + tn = 0 pode ser resolvida por radicais se e somente se Gf = G(L|K) é um grupo solúvel, onde L é construído a partir do polinômio f .

• Prova-se que esse grupo pode ser considerado como um subgrupo do grupo simétrico Sn, das permutações das n raízes de f.

• Hoje em dia, a teoria dos grupos faz parte do programa do curso inicial de álgebra abstrata dos cursos de graduação em matemática. Um dos resultados importantes da teoria dos grupos é o que mostra que Sn somente é solúvel se n ≤ 4. Como a equação geral de grau n tem Sn como o grupo Gf , então conclui-se que f (x) = 0, para n ≥ 5 não admite uma fórmula para suas raízes como as dos casos n ≤ 4.

Insolubilidade das equações de quinto grau

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• Ao examinar a fórmula de Bhaskara para equações polinomiais de grau dois, pode-se perceber que as raízes são expressas em função dos coeficientes das equações e que estes estão relacionados entre si apenas por operações fundamentais (adição, subtração, multiplicação ou divisão) e da extração de raízes.

• Desde a época do matemático árabe Bhaskara até meados do século XVI os matemáticos acreditavam que seria possível resolver equações de grau superior a dois de modo semelhante, ou seja, através de fórmulas resolutivas específicas. Contudo, apenas fórmulas para resolver equações de terceiro e quarto graus haviam sido obtidas até então. Essas formulas eram, contudo,complicadas e difíceis de se compreender.

• Durante aproximadamente 250 anos a procura por tais fórmulas, para resolver equações de grau superior a quatro, continuou sem êxito. Em 1797, o matemático Gauss provou eu toda equação de grau n tem n raízes. Esta demonstração assegura que existem as raízes, mas não ensina como obtê-las.

O Caso dos Complexos nas O Caso dos Complexos nas Equações AlgébricasEquações Algébricas


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Seja considerado um comprimento igual a 10 unidades de medida. Será possível dividir este número em duas partes tais que o produto destas partes seja igual a 40 unidades?

1. Você conhece o valor de cada uma destas partes?2. Considerando uma das partes igual a X, como deve ser representada a outra parte?3. Considerando as duas partes, escritas genericamente com a incógnita X, como você

representaria o produto destas partes?4. Ao multiplicar estas duas partes você encontrou uma equação?5. Você sabe o que é uma equação? Se não sabe, pesquise quais são as condições necessárias

para que uma expressão seja considerada uma equação.6. Igualando o produto das partes ao número 40 você chega a uma equação?7. A equação obtida anteriormente é de que tipo? (equação de primeiro ou de segundo grau)8. Você conhece alguma forma de resolução de uma equação como a que foi encontrada no item

f?9. Qual é a expressão capaz de te fornecer as soluções de uma equação quadrática (ou do

segundo grau)?10. Tente resolver a equação encontrada em (f) utilizando a fórmula que você escreveu em (i).11. Você “esbarrou” com algum problema no momento de resolver a equação?Qual?12. Você está considerando qual conjunto numérico no momento em que está procurando a solução

do seu problema?(Naturais, Inteiros, etc.)13. Suponha que a raiz quadrada de um número negativo possa ser considerada como uma solução

viável e tente multiplicar as soluções encontradas na resolução da equação de segundo grau.14. Caso você tenha feito corretamente a multiplicação das soluções você deve ter chegado a

algum valor, diga qual foi o valor encontrado por você.

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• O matemático Italiano Girolamo Cardano (1501-1576) propôs em seu trabalho, em 1545, intitulado “ARS MAGNA” (A Grande Arte) um problema semelhante ao que você acaba de ver, no qual pretendia estudar a divisão do número 10 em duas partes sendo o produto destas partes igual a 40.

• Cardano chegou a uma equação cujas soluções eram (5 + ) e (5 - ). Ele desprezou o problema da raiz quadrada de número negativo e, ao multiplicar estas soluções verificou que a resposta era exatamente o que procurava, ou seja, 40.

3 3x A B A B

2

qA

2 3

4 27

q pB

15 15

• O grande problema de Cardano e de muitos outros matemáticos era a aceitação do cálculo com raízes quadradas de números negativos. Cardano propôs em seu trabalho que para a equação x3 +px + q = 0 a solução teria a fórmula:

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Além disso, Leibniz mostrou que , sendo uma decomposição de um número real positivo utilizando números imaginários que surpreendeu seus contemporâneos. Leibniz considerava os números complexos como uma espécie de “espécie anfíbia”, a meio caminho entre existência e não-existência.

1 . 1 . 1 . 1x a x a x a x a

6 1 3 1 3

Observação

Leibniz fez importantes contribuições á matemática, uma delas diz respeito a decomposição de: x4 +a4 como sendo:

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• No livro de Simon Singh intitulado “ O último teorema de Fermat” acompanhamos mais de três séculos desde a “conjectura” feita por Fermat até a demonstração feita por Andrew Wiles em 1993.

• Segundo Singh, Fermat havia se inspirado numa cópia de “Aritmética” de Diofante e nas ternas pitagóricas decorrentes do Teorema de Pitágoras ( x2 + y2 = z2). Segundo o autor Fermat ficou impressionado com a variedade e a quantidade de trios pitagóricos, levando-o a considerar a mudança das potências de 2 para 3, obtendo x3 + y3 = z3. Esta pequena mudança transforma o Teorema de Pitágoras de tal maneira que, aparentemente, não se consegue nenhum trio de números que solucione a equação. Fermat continuou testando novas potências e conjecturou que para a equação xn + yn = zn (para n =3,4,5,...) não existiriam um trio de números que se encaixasse perfeitamente nela.

• A questão desafiadora está no que Fermat escreveu na margem de sua cópia de “Aritmética”, ao lado do problema 8, e que afirmava:

“Cubem autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadatoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis faz est dividere”(p.80)

Cuja tradução é:

“ É impossível para um cubo ser escrito como a soma de dois cubos ou uma quarta potência ser escrita como uma soma de dois números elevados a quatro, ou, em geral, para qualquer número que seja elevado a uma potência maior do que dois ser escrito como a soma de duas potências semelhantes.”(p.80)

O Último Teorema de Fermat: uma O Último Teorema de Fermat: uma equação peculiar e seu problemaequação peculiar e seu problema

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• Em seguida, após a primeira nota na margem do livro, Fermat acrescentou mais uma afirmação, e esta, de fato, intrigou os matemáticos durante séculos. Ele afirmou que:

“Cuius rei demonstrationem mirabilem sane deexi hanc marginis exiguitas non caperet.”(p.80)

Cuja tradução é:“ Eu tenho uma demonstração realmente maravilhosa para esta proposição mas esta margem é muito estreita para conte-la.”(p.80)

• Este resultado ficou conhecido como o último teorema de Fermat, isto porque foi o último a ficar sem uma demonstração, aguardando mais de três séculos por algum matemático que fosse capaz de fazê-lo. Ninguém jamais encontrou a demonstração que Fermat afirmava ter encontrado, o que frustrou gerações de matemáticos.


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• A idéia de Fermat para mostrar que x4 + y4 = z4 não tem soluções é conhecido como método da descida infinita. Singh descreve este método da seguinte maneira:

“ De modo a provar que não existem soluções para a equação x4 + y4 = z4, Fermat começou presumindo que existisse uma solução hipotética x = X1, y = Y1 e z = Z1.

• Examinando as propriedades de (X1,Y1, Z1), Fermat poderia demonstrar que, se esta solução hipotética existisse, então existiria uma solução menor (X2, Y2, Z2). E, ao analisar esta segunda solução, Fermat poderia mostrar a existência de uma solução ainda menor (X3, Y3, Z3), e assim por diante.”(p.97)

• Euler foi um dos matemáticos que se sentiu desafiado a demonstrar a conjectura feita por Fermat. Segundo Singh, Euler provavelmente deve ter tentado mostrar que se uma das equações não tinha solução, então, por extrapolação do resultado, poderia mostrar que todas as outras não teriam soluções. Euler descobriu uma pista no livro “Aritmética” de Fermat, onde ele havia esboçado a demonstração para n = 4 e incorporado este resultado em um outro problema. A idéia apesar de incompleta indicou um caminho para Euler.

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• Aqui percebemos a confluência dos conceitos matemáticos tendo uma estranha inter-relação entre o teorema de pitágoras, a teoria dos números, os números complexos e a resolução de equações. Notemos que a motivação é a resolução de problemas, um desafio ou simplesmente a busca da verdade matemática. Segundo o autor:

“No passado outros matemáticos tentaram adaptar o método de Fermat de descida infinita para resolver outros casos, além de n = 4, mas cada uma dessas tentativas de estender a prova levara a brechas na lógica. Euler mostrou que, incorporando-se o número imaginário i em sua prova, ele poderia tapar os buracos na demonstração e forçar o método da descida infinita a funcionar para o caso n =3.”(p.103)

• Após os avanços feitos por Euler, surgiu a seguinte idéia na comunidade matemática, a de demonstrar que o último teorema de Fermat deveria ser demonstrado para os valores de n primos, pois assim, todos os outros valores seriam múltiplos dos casos primos e estariam demonstrados implicitamente.

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• Perceba que para 4< n <20 , seria necessário demonstrar apenas para os valores de n na seqüência (5,7,11,13,17,19), ou seja:

x5 + y5 = z5

x7 + y7 = z7

x11 + y11 = z11

x13 + y13 = z13

x17 + y17 = z17

• Na lenta evolução em busca da demonstração do último teorema de Fermat encontramos Legendre e Dirichlet que, separadamente, provaram que para n=5 a equação não possuía soluções. Gabriel Lamé demonstrou o caso para n =7. Cauchy foi vencido pelo desfio de demonstrar este teorema e, como ele, muitos outros foram derrotados nesta batalha. Apenas em 1993, utilizando técnicas modernas da teoria dos números e de muita matemática avançada é que foi possível, finalmente, se demonstrar a verdade deste fato.

• Destaca-se aqui as palavras do matemático Howard W. Eves:

“Um especialista em resolver problemas deve ser dotado de duas qualidades incompatíveis – uma imaginação inquieta e uma paciente obstinação.”

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• Você sabia que existem problemas na matemática que valem um milhão de dólares? Um destes problemas esta relacionado com uma equação muito importante na matemática e na física.

• Em maio do ano 2000 o Clay Mathematics Institute [1](CMI) anunciou sete prêmios no valor de um milhão de dólares cada para quem conseguisse resolver sete dos problemas matemáticos ainda sem solução atualmente. Os problemas foram escolhidos por um comitê de matemáticos e são considerados os mais difíceis e importantes desta área (matemática) em nossos dias.

• Um destes problemas diz respeito às Equações de Navier – Stokes.

[1] http://www.claymath.org/millennium/Navier-Stokes_Equations/

Curiosidades a respeito de equações Curiosidades a respeito de equações matemáticasmatemáticas


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• Navier é lembrado hoje por suas contribuições à matemática e a física teórica, mas em seu tempo ele era mais conhecido como um dos mais famosos engenheiros da França. Ele trabalhava para o governo francês como consultor, aconselhando sobre como utilizar a ciência e tecnologia para o aprimoramento do país.

• As equações acima citadas dizem respeito aos trabalhos de Navier relacionados à matemática dos fluidos em movimento. Em 1821 e 1822 ele descobriu as atualmente famosas equações. Elas são fundamentais para a descrição matemática do fluxo de um fluido.

• Inicialmente o raciocínio de Navier estava imperfeito, mas por sorte ou por uma boa intuição de engenheiro ele acabou com as equações corretas. Uma derivação adequada foi obtida alguns anos mais tarde pelo matemático irlandês George Gabriel Stokes.

• Vinte anos após Navier ter formulado suas equações, Stokes as redescobriu, aprofundando a teoria envolvida no estudo dos fluidos.

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• No fim do século dezenove, com o trabalho de Navier- Stokes, parecia que os matemáticos estavam prestes a produzir uma teoria completa para o fluxo dos fluidos. Esperava-se, naturalmente, que uma tal teoria tivesse muitas aplicações. Por exemplo, compreender como os fluidos se movem sobre superfícies deveria resultar em avanços no desenho de navios e aeronaves. Talvez pudesse ajudar a entender o modo como funciona o coração e como o sangue flui em nossas artérias e veias, levando possivelmente ao desenvolvimento de equipamentos médicos para salvar vidas.

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• Há apenas um problema. Não há ninguém que tenha conseguido encontrar uma fórmula que resolva a equação de Navier-Stokes, ninguém conseguiu sequer mostrar teoricamente se uma tal solução existe (ou não). Evidentemente, a natureza “resolve” as equações sempre que um fluido flui, mas o modelo matemático disto não está ainda completo. Por isso, um milhão de dólares espera por aquele que conseguir resolver tal problema. A pergunta é: Será que alguém vai ganhar o prêmio de um milhão de dólares resolvendo as equações de Navier- Stokes?

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• Ao pesquisar a história que está por trás da resolução das equações de terceiro grau me deparei com um artigo interessante de César Polcino Miles intitulado “ A solução de Tartaglia para a equação do terceiro grau”. Neste artigo tomamos conhecimento que a história da resolução das equações de terceiro grau foi cheia de momentos emocionantes e, nas palavras do autor:

“A história da resolução da equação de terceiro grau é muito pitoresca, plena de lances dramáticos, paixões e disputas pela fama e a fortuna que seu achado poderia trazer a seus autores”

A competição de TartagliaA competição de Tartaglia

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• A primeira grande surpresa trazida pelo autor é a informação de que “tartaglia” em italiano significa gago e que o matemático conhecido como Tartalia se chamava na verdade Niccolò Fontana (1500-1557). O autor relata que em 1512, Niccolò e sua mãe estavam refugiados dentro de uma igreja, se protegendo da invasão francesa. Os soldados franceses invadiram a igreja e feriram o menino no rosto, causando um ferimento que lhe deixou gago permanente, e foi o que lhe valeu o apelido de “tartaglia”.

• Tartaglia é conhecido por ter encontrado o método de resolução da equações de terceiro grau, contudo, não foi o primeiro a encontrar tal método. Surge então a pergunta: Por que seu nome ficou eternizado na história das resoluções das equações de terceiro grau? César Polcino nos dá a resposta.

• Segundo o autor, em 1535 houve uma disputa matemática entre Tartaglia e António Maria Fior, que havia aprendido com Scipione del Ferro (1465-1562) o método de resolução de equações do terceiro grau. Scipione, a propósito, foi o primeiro a descobrir tal método.

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• Cada um dos matemáticos propôs ao outro trinta problemas sendo que o perdedor deveria pagar trinta banquetes ao vencedor. Polcino nos fala que:

“Tartaglia preparou questões variadas, mas todos os problemas propostos por Fior implicavam equações do tipo x3 + ax = b. Precisamente na noite de 12 para 13 de fevereiro, Tartaglia conseguiu descobrir o método de resolução de tais equações e, na hora do confronto, verificou-se que Tartaglia tinha resolvido todas as equações propostas por Fior, enquanto este não tinha conseguido resolver a maioria das questões submetidas por Tartaglia. Declarado vencedor, Tartaglia voluntariamente renunciou aos trinta banquetes.”

• Tartaglia encontrou a fama e, a partir disso, foi convidado por Girolamo Cardano (1501-1576) a vir a sua casa. Cardano gozava de boa posição aquela época, e ocupava uma cadeira de medicina na Universidade de Pavia. Com insistência ele convenceu Tartaglia a lhe ensinar o método de resolução das equações de terceiro grau, que aceitou desde que Cardano concordasse em não publicar tal método. Feito o acordo, Tartaglia ensinou o método a Cardano.

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• Após compreender o método da resolução Cardano encontrou uma demonstração que o justificasse e, além disso, estimulou seu secretário Ludovico (Luigi) Ferrarri (1522-1565) a trabalhar da mesma forma nas equações de quarto grau. Em posse das duas demonstrações e dos métodos, Cardano estava tentado a publicar tais resultados.

• O estímulo final para ele se decidir a fazer isto e quebrar sua promessa ocorreu quando ele descobriu que del Ferro, trinta anos antes, já conhecia a regra que Tartaglia havia lhe ensinado. Assim, Cardano se desobrigou do compromisso com Tartaglia e publicou os resultados num trabalho intitulado “Ars Magna”( a grande arte). Polcino, a despeito desse episódio fala que:

“A seu favor, podemos dizer que Cardano não esquece de fazer as devidas atribuições de mérito aos respectivos descobridores”

Cardano quebra sua promessaCardano quebra sua promessa

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“ Quando o cubo com a coisa em apreçoSe igualam a qualquer número discreto,

Acha dois outros diferentes nissoDepois terás isto por consenso

Que seu produto seja sempre igualAo cubo do terço da coisa certo

Depois, o resíduo geralDas raízes cúbicas subtraídas

Será tua coisa principalNa segunda destas operações,Quando o cubo estiver sozinho

Observarás estas outras reduçõesDo número farás dois, de tal forma

Que um e outro produzam exatamenteO cubo da terça parte da coisa.Depois, por um preceito comumToma o lado dos cubos juntosE tal soma será teu conceito

Depois, a terceira destas nossas contasSe resolve como a segunda, se observas bem

Que suas naturezas são quase idênticasIsto eu achei, e não com passo tardo,

No mil quinhentos e trinta e quatroCom fundamentos bem firmes e rigorosos

Na cidade cingida pelo mar.”

Os versos de Tartaglia:

“cubo é coisa igual a número”, x3 + ax = b

“Quando o cubo estiver sozinho”, x3 = ax + b

“acha dois outros diferentes nisso” ele propõe uma mudança no cálculo, impondo duas novas variáveis.

Q – K = b

“seu produto seja igual ao cubo da terça parte da coisa”,

Q.K = 3

3

a

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• x3 + ax = b • (q – k)3 = q3 – 3q2.k +3q.k2 – k3 • (q – k)3 = 3q.k.(k – q) + (q3 – k3)• (q – k)3 – 3q.k.(k – q) = (q3 – k3) • q.k = & q3 – k3 = b

• (q – k)3 + a.(q – k) = b • x = q – k será uma solução para a

equação

• q3.k3 =

• Substituindo: q3 = Q e k3 = K

• Q – K = b & Q.K =

• Q = b – K & (b – K).K =

• K.b – K2 - = 0 Resolvemos a equação de segundo grau

3

a

3

3

a

3

3

a 3

3

a

2 3

2 2 3

b b aK

Resolução da Equação de Grau 3Resolução da Equação de Grau 3

k3 = K e k =2 3

3 3

2 2 3

b b aK

2 3

3 3

2 2 3

b b aQ

q =

2 3

3

2 2 3

b b a

2 3

3

2 2 3

b b a +X =

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Para acessar a apostila:

Equações Algébricas – Deduzindo Fórmulas e Relações

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Referências:

• BOYER, C. B. (2003) . “História da Matemática”-2.ed. -São Paulo. Edgard Blücher

• DANTE, L. R. (2004). Matemática; Coleção 3 volumes. São Paulo:Ática.

• MAOR, E.(2003). E: a história de um número; tradução Jorge L. Calife. Rio de Janeiro: Record.

• MILIES, C. P. (2004).“A solução de Tartaglia para a equação do terceiro grau”. In Coleção explorando o ensino, vol.3, Matemática,Ensino médio. Brasília: Ministério da educação.

• SINGH, S. (2004). O Último Teorema de Fermat: a história do enigma que confundiu as maiores mentes do mundo durante 358 anos; tradução Jorge l. Calife; 10ª ed. Rio de Janeiro: Record.

• IEZZI, G. et. Al.(1985). Fundamentos de matemática elementar v.6 : Complexos, polinômios e equações. São Paulo: Atual.

• http://www.claymath.org/millennium/Navier-Stokes_Equations/

• http://http://www.malhatlantica.pt/mathis/

http://www.claymath.org/millennium/Navier-Stokes_Equations/

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