Raízes de equações algébricas

8/2/2019 Razes de equaes algbricas

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Determinao Numrica de

Razes de Equaes Algbricas


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Razes de Equaes Algbricas

Achar a raiz de uma funo significa achar umnmero tal que

Algumas funes podem ter suas razes calculadasanaliticamente, porm outras so de difcil soluo

(funes transcendentais, por exemplo) ou de soluodesconhecida (polinmios de ordem maior que 4, porexemplo), sendo necessrio a soluo por mtodosnumricos

Passos para a soluo numrica Achar um intervalo fechado [a,b] que contenha somente uma

soluo Refinar a raiz at o grau de exatido requerido

)(xfx 0)( f


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Isolamento de razes

Se uma funo contnua assume valores de sinaisopostos entre o intervalo [a,b], ento a funo possuipelo menos uma raiz neste intervalo

Se a derivada da funo preservar o sinal dentro dointervalo, ou seja, se a funo for estritamente crescenteou estritamente decrescente, a raiz ser nica

Pode-se estimar o intervalo [a,b] pelo esboo do grfico

da funo ou pela construo de tabelas para anlise davariao do sinal da funo

)(xf


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Isolamento de razes por esboodo grfico

Dada a funo , o ponto exatamente o ponto onde a funo cruza oeixo x

y

x

a

bx0

0)( f)(xf


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Caso a funo f(x) seja complexa, podemostentar escrev-la na forma

Supondo teremos

Dessa forma, podemos traar os grficos dasfunes g(x) e h(x) e o ponto de interseodestes ir nos fornecer a raiz da funo f(x)

)()()( xhxgxf

0)( f)()(0)()( hghg

g(x)

h(x)

x

y


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Critrios de parada

Existem vrios tipo de critrios de parada Analise do valor da funcao:

Erro absoluto:

Erro relativo:

Limites do intervalo:

iii xx

)(xf

i

iii

x

xx

2

ab


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Mtodo da bisseo Seja uma funo contnua no intervalo [a,b]e , dividindo o intervalo ao meio,

obtm-se . Caso , Caso contrrio,

Se ento a raiz est no intervalo[a, ]

Se ento a raiz est no intervalo

[ ,b] Dividi-se novamente o intervalo obtendo e

assim sucessivamente at a preciso desejada

)(xf0)()( bfaf

0)( 0 xf0x

0x

0x

0x0)()( 0 xfaf

0)()(0

bfxf

1x


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Convergncia Chamando os intervalos de a1,b1,a2,b2,...,an,bn

ento:

Se

ento

1

2

nnn

abab

nn ab

1

2

n

ab

y

xx0

a

b

x1


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Ex: Achar a raiz da equaono intervalo [2,3] com o erro absoluto

10)(3 xxf

1,0

0172)3()2( ff

62,5)5,2(5,22/)32(0

fx

39,1)25,2(25,22/)5,22(1 fx

40,0)15,2(12,22/)25,22(2 fx

46,0)18,2(18,22/)25,212,2(3 fx

06,012,218,2


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O mtodo sempre converge para uma soluo O esforo computacional do mtodo da

bisseo cresce demasiadamente quando seaumenta a exatido da raiz desejada

Deve ser usado apenas para diminuir o intervalo

que contm a raiz para posterior aplicao deoutro mtodo, como o mtodo das cordas ou omtodo de Newton, por exemplo


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Mtodo das cordas

semelhante ao mtodo da bisseo a derivada segunda do mtodo, ,deve ser

constante no intervalo O intervalo [a,b] no dividido ao meio, mas

sim em partes proporcionais a razo O intervalo atualizado da mesma maneira

que no mtodo da bisseo

)(/)( bfaf

)(xf


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)()()(

)(0

babfaf

afax

)(

)()(

)(0 ab

bfaf

bfbx

Existem duas possibilidades:

Podemos substituir essas duas equaes pela equao

)()()(

)(1

cxcfxf

xfxx nn

nnn

onde c um ponto da funo onde esta tem o mesmo sinalde sua derivada segunda ( )0)()( cfcf


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Ex: Achar a raiz da equaono intervalo [2,3]

10)(3 xxf

74,0)11,2(11,2)1(19

22)23(

)2()3(

)2(20

f

ff

fx

07,0)15,2(15,2)89,0(74,17

74,011,2

)11,23()11,2()3(

)11,2(11,21

f

fffx

Podemos ver que o mtodo das cordas converge bemmais rpido que o mtodo da bisseo


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Mtodo de Newton

Supondo uma aproximao x0 para a raiz de f(x), noponto (x0, f(x0)) passa apenas uma nica reta tangente,que a derivada de f(x) em x0. Esta reta tangente cortao eixo x na coordenada x1,definindo por sua vez, o ponto

(x1, f(x1)) Por este novo ponto tambm passa uma nica reta

tangente que corta o eixo x em x2. Esta novacoordenada define outro ponto (x2, f(x2)) que repete todo

o processo x0,x1,... so aproximaes cada vez melhores para a raiz

da funo


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Pela figura temos que

J que podemos concluir

)tan(

)()()tan( 1

1 iii

ii

i xfxxxx

xf

)tan()( xf

)(

)(1

i

iii

xf

xfxx


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Convergncia Caso se escolha x

0de forma que x

1saia do

intervalo [a,b] o mtodo poder no convergir. Caso e sejam no nulas e preservem

o sinal no intervalo e x0 seja tal quea convergncia garantida

)(xf )(xf

0)()( 00 xfxf

Ex: Ache a raiz da equaopara o erro relativo , ou seja:

)ln()(2

xxxf


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Se

Ento

2

1)(

xxxf

xxxf

12)(

054,15,344,0)5,0()5,0( ffX0=0,5 pois

65,03

44,0

5,0)5,0(

)5,0(

5,01

f

f

x

)ln()(2

xxxf

65,0)65,0(

)65,0(65,02

f

fx

01,065,0

65,065,0


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Mtodo da Secante

Uma modificao do mtodo de Newton quesubstitui o a derivada da funo pela equao

ii

ii

i xx

xfxfxf

1

1 )()()(


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Substituindo o novo valor da derivada na formula deNewton, a frmula do mtodo da secante fica da

seguinte maneira

So necessrios dois pontos iniciais(xi e xi-1)

Ex: Determine a raiz da funo comanlise do valor da funo 01,0


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Comparao entre os mtodos

O mtodo da bisseo bastante simples por no exigiro conhecimento da derivada da equao em questo,porm possui uma convergncia lenta

O mtodo das cordas exige que o sinal da derivadasegunda permanea constante no intervalo, porm, se oponto inicial c estiver suficientemente prximo da raiz( ) o mtodo apresenta uma convergnciabem mais rpida que o mtodo da bisseo

O mtodo de Newton o que apresenta a convergnciamais rpida, porm exige o conhecimento da derivadaanaltica da funo em questo

O mtodo da Secante menos rpido que o de Newton,porm no exige o conhecimento da derivada analticada funo em questo

10)( cf

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