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SISTEMA DE EQUAES ALGBRICAS LINEARES
Introduo
So inmeros os problemas de engenharia onde se recai na
soluo de um sistema de equaes lineares.
Como exemplos, podemos citar:
O clculo de esforos em problemas de esttica;
O clculo de tenses e correntes em um circuito eltrico
composto por elementos lineares;
O balano de massa em sistemas fsicos lineares;
A soluo de equaes diferenciais lineares por mtodos
numricos como elementos finitos e diferenas finitas,
etc.
Formulao
Forma geral:
nnnn2n21n1
3n3n3231
2n2n2221
1n1n1211
b xa ... xa xa
b xa ... x2a x1ab xa ... x2a x2ab xa ... x2a x1a
=+++
=+++=+++=+++
MMMM
onde a e b so constantes e n o nmero de equaes.
Representao Matricial
=
nnnnnn
n
n
b
bb
x
xx
aaa
aaaaaa
.
...
............
...
...
2
1
2
1
21
22221
11211
Ax = b
Classificao dos Sistemas
Incompatvel. Ex.:
=+=+
18x2x46xx2
21
21
= 0)(b Homogneosolues. diversas - adoIndetermin
nica soluo - oDeterminad Compatvel -
Mtodos de Soluo
Classificam-se, numericamente, em Diretos e Iterativos.
Os mtodos mais comuns so:
Choleski e LU FatoraoJordan de Eliminao da Mtodo
Gauss de Mtodo Diretos
SeidelGauss de MtodoJacobi de Mtodo
Iterativos
Mtodo da Triangulao de Gauss
Principio do mtodo:
Dado um sistema linear Ax = b, obter, atravs de
transformaes elementares um sistema equivalente, Tx = c,
onde T uma matriz triangular superior.
Em seguida calculam-se os elementos do vetor x atravs de um
processo de substituio reversa.
Transformaes Elementares
Troca da ordem das equaes;
Multiplicao de uma equao por um real no nulo;
Substituio de uma equao por uma combinao linear dela
mesma com uma outra;
Substituio Reversa
Dado um sistema na forma triangular superior:
=
)1(
)1(11
1000
0010
1
nn
n
n b
b
x
x
M
M
M
M
M
M
L
OMM
OM
A ltima equao permite determinar diretamente:
)1n(
nn bx=
A penltima equao fica:
)1n(
1nn)1n(
n,1n1n bxax
=+ n)1n(
n,1n)1n(
1n1n xabx =
Generalizando, tem-se:
+=
=n
1jkk
)1n(jk
)1n(jj xabx
Triangulao
Exemplo:
bxAxxx
xxxxxx
xxx=
=
=+=+=+
.1
35
132344132
1323344
532
3
2
1
321
321
321
1 Etapa:
Escreve-se a matriz aumentada do sistema (B = [A | b] ):
=1132
33445132
B )0(
Tomando-se o elemento da diagonal principal, )0(11a ,
como piv, encontra-se os multiplicadores para as
segunda e terceira linhas.
122
224
)0(11
)0(31)0(
31
)0(11
)0(21)0(
21
===
===
aa
m
aam
Substituem-se as segunda e terceira linhas pela seguinte
combinao linear entre cada uma delas e a primeira
linha:
[ ][ ] [ ][ ] [ ]11325132
3344102645132
)0(3
)0(1
)0(31
)1(3
)0(2
)0(1
)0(21
)1(2
)0(1
)1(1
++
+=+=
=
LLmLLLmL
LL
=
62607120
5132B )1(
2 Etapa:
Toma-se agora o elemento da diagonal principal, )0(22a ,
como piv e encontra-se o multiplicador para a terceira
linha com relao segunda.
326
)1(22
)1(32)1(
32 =
==aam
A nova terceira linha dada por:
[ ][ ]
[ ] [ ]6260213607120
5132
)1(3
)1(2
)1(32
)2(3
)1(2
)2(2
)1(1
)2(1
+
+===
LLmLLLLL
=
155007120
5132B )2(
Procedendo a substituio reversa obtm-se a soluo do
sistema triangular superior representado pela matriz aumentada B(2):
=
===+
=
321
15572532
155007120
5132B
3
2
1
3
32
321)2(
xxx
xxx
xxx
Esta tambm a soluo do sistema original, dado
inicialmente.
Uma forma prtica e compacta de realizar a triangulao atravs
da construo de tabelas.
Linha Multiplicador Matriz A Vetor b Transformao
321
122224==
132344132
135
54
( ) 326 = 260120
67
31
21
LL1LL2++
6 50 15 54 LL3 +
Tcnicas para Aprimorar a Soluo
Essas tcnicas so teis no apenas para o mtodo da
triangulao, mas tambm para mtodos similares.
1. Uso de mais dgitos significativos (dupla preciso);
2. Pivotamento: Identificar se existem pivs de pequeno valor e
trocar linhas e/ou colunas de forma a ter os elementos da
diagonal diferentes de zero e de maior valor absoluto. Isto
minimiza o erro de arredondamento.
3. Escalonamento: Minimiza o erro de arredondamento. Uma
matriz triangular cujos elementos da diagonal principal so
diferentes da unidade, pode ter cada uma de suas linhas
divididas pelo seu respectivo elemento na diagonal principal.
Obs.: Em alguns problemas necessrio um estudo de
condicionamento da matriz e um processo de otimizao da soluo
se faz necessrio.
Mtodo de Jordan
Dado um sistema, o Mtodo de Jordan consiste em obter,
atravs de transformaes elementares, um sistema equivalente cuja
matriz A seja diagonal.
Ex.: bxAxxx
xxxxxxxxx
=
=
===++
.1
04
111112
211
10242
3
2
1
321
321
321
Lin Multiplic. Matriz A Vet. b Transformao
321
1
11
212
=
=
111112
211
104
654
32
32
31
31
=
=
320530
211
58
4
31
21
1
12
LLLL
L
++
987
15
315
13131
=
=
31005303101
31834
( )
( ) 655
45
32
31
LLL
LL
+
+
121110
3100
030001
313
1
9
89
79
151
LLLLL
++
Clculo de Determinantes
Uma maneira simples de calcular o determinante de uma
matriz A consiste em encontrar uma matriz B, triangular ou
diagonal, que seja obtida a partir de A, atravs de transformaes
elementares.
Demonstra-se que, se A e B so equivalentes, ento:
)Bdet()Adet( = Ex.:
=
23
12
1
32
132344132
LLLL
LA
=
23
2
1
3260120132
LLLL
A
205)2(2)det()det(500120132
===
= BAB
205)2(2)det()det( === BA
Mtodo da Fatorao LU
Seja a matriz A dada abaixo, que deve ser fatorada em duas
matrizes triangulares, uma superior e a outra, inferior.
A = L U =
nn2n1n
n22221
n11211
aaa
aaaaaa
L
MOMM
L
L
Sendo
=
nnnn lll
lll
L
MOMM
L
L
21
2221
11
000
L
=
nn
n
n
u
uuuuu
L
MOMM
L
L
00
0U 222
11211
Efetuando o produto L U e igualando os elementos da matriz
produto aos elementos correspondentes em A, armam-se n2
equaes, envolvendo os elementos de L e de U.
Observa-se, entretanto, que cada uma das matrizes triangulares
possui n2nn2+
elementos desconhecidos, definindo um total de
n2+n incgnitas, nmero esse maior que o nmero de equaes.
Isso significa que infinitas matrizes L e U so solues do
problema de fatorao.
Para contornar o problema de que o nmero de incgnitas
maior que o nmero de equaes, costuma-se atribuir valores aos
elementos da diagonal de uma das matrizes triangulares.
Apresentamos a seguir a soluo proposta por Banachiwitcz.
A fim de simplificar os clculos, atribuem-se:
nilii ,,1 ,1 L==
Com isso, fica definida a 1 linha da matriz U, de acordo com
as equaes abaixo:
=
==
nn ua
uaua
11
1212
1111
1
11
M
Uma vez definido o valor de u11, pode-se ento calcular toda a
1 coluna da matriz L, atravs das equaes definidas pelo produto
das linhas de L pela primeira coluna de U:
=
==
1111
112121
11 1
ual
uall
