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SISTEMA DE EQUAES ALGBRICAS LINEARES

Introduo

So inmeros os problemas de engenharia onde se recai na

soluo de um sistema de equaes lineares.

Como exemplos, podemos citar:

O clculo de esforos em problemas de esttica;

O clculo de tenses e correntes em um circuito eltrico

composto por elementos lineares;

O balano de massa em sistemas fsicos lineares;

A soluo de equaes diferenciais lineares por mtodos

numricos como elementos finitos e diferenas finitas,

etc.

Formulao

Forma geral:

nnnn2n21n1

3n3n3231

2n2n2221

1n1n1211

b xa ... xa xa

b xa ... x2a x1ab xa ... x2a x2ab xa ... x2a x1a

=+++

=+++=+++=+++

MMMM

onde a e b so constantes e n o nmero de equaes.

Representao Matricial

=

nnnnnn

n

n

b

bb

x

xx

aaa

aaaaaa

.

...

............

...

...

2

1

2

1

21

22221

11211

Ax = b

Classificao dos Sistemas

Incompatvel. Ex.:

=+=+

18x2x46xx2

21

21

= 0)(b Homogneosolues. diversas - adoIndetermin

nica soluo - oDeterminad Compatvel -

Mtodos de Soluo

Classificam-se, numericamente, em Diretos e Iterativos.

Os mtodos mais comuns so:

Choleski e LU FatoraoJordan de Eliminao da Mtodo

Gauss de Mtodo Diretos

SeidelGauss de MtodoJacobi de Mtodo

Iterativos

Mtodo da Triangulao de Gauss

Principio do mtodo:

Dado um sistema linear Ax = b, obter, atravs de

transformaes elementares um sistema equivalente, Tx = c,

onde T uma matriz triangular superior.

Em seguida calculam-se os elementos do vetor x atravs de um

processo de substituio reversa.

Transformaes Elementares

Troca da ordem das equaes;

Multiplicao de uma equao por um real no nulo;

Substituio de uma equao por uma combinao linear dela

mesma com uma outra;

Substituio Reversa

Dado um sistema na forma triangular superior:

=

)1(

)1(11

1000

0010

1

nn

n

n b

b

x

x

M

M

M

M

M

M

L

OMM

OM

A ltima equao permite determinar diretamente:

)1n(

nn bx=

A penltima equao fica:

)1n(

1nn)1n(

n,1n1n bxax

=+ n)1n(

n,1n)1n(

1n1n xabx =

Generalizando, tem-se:

+=

=n

1jkk

)1n(jk

)1n(jj xabx

Triangulao

Exemplo:

bxAxxx

xxxxxx

xxx=

=

=+=+=+

.1

35

132344132

1323344

532

3

2

1

321

321

321

1 Etapa:

Escreve-se a matriz aumentada do sistema (B = [A | b] ):

=1132

33445132

B )0(

Tomando-se o elemento da diagonal principal, )0(11a ,

como piv, encontra-se os multiplicadores para as

segunda e terceira linhas.

122

224

)0(11

)0(31)0(

31

)0(11

)0(21)0(

21

===

===

aa

m

aam

Substituem-se as segunda e terceira linhas pela seguinte

combinao linear entre cada uma delas e a primeira

linha:

[ ][ ] [ ][ ] [ ]11325132

3344102645132

)0(3

)0(1

)0(31

)1(3

)0(2

)0(1

)0(21

)1(2

)0(1

)1(1

++

+=+=

=

LLmLLLmL

LL

=

62607120

5132B )1(

2 Etapa:

Toma-se agora o elemento da diagonal principal, )0(22a ,

como piv e encontra-se o multiplicador para a terceira

linha com relao segunda.

326

)1(22

)1(32)1(

32 =

==aam

A nova terceira linha dada por:

[ ][ ]

[ ] [ ]6260213607120

5132

)1(3

)1(2

)1(32

)2(3

)1(2

)2(2

)1(1

)2(1

+

+===

LLmLLLLL

=

155007120

5132B )2(

Procedendo a substituio reversa obtm-se a soluo do

sistema triangular superior representado pela matriz aumentada B(2):

=

===+

=

321

15572532

155007120

5132B

3

2

1

3

32

321)2(

xxx

xxx

xxx

Esta tambm a soluo do sistema original, dado

inicialmente.

Uma forma prtica e compacta de realizar a triangulao atravs

da construo de tabelas.

Linha Multiplicador Matriz A Vetor b Transformao

321

122224==

132344132

135

54

( ) 326 = 260120

67

31

21

LL1LL2++

6 50 15 54 LL3 +

Tcnicas para Aprimorar a Soluo

Essas tcnicas so teis no apenas para o mtodo da

triangulao, mas tambm para mtodos similares.

1. Uso de mais dgitos significativos (dupla preciso);

2. Pivotamento: Identificar se existem pivs de pequeno valor e

trocar linhas e/ou colunas de forma a ter os elementos da

diagonal diferentes de zero e de maior valor absoluto. Isto

minimiza o erro de arredondamento.

3. Escalonamento: Minimiza o erro de arredondamento. Uma

matriz triangular cujos elementos da diagonal principal so

diferentes da unidade, pode ter cada uma de suas linhas

divididas pelo seu respectivo elemento na diagonal principal.

Obs.: Em alguns problemas necessrio um estudo de

condicionamento da matriz e um processo de otimizao da soluo

se faz necessrio.

Mtodo de Jordan

Dado um sistema, o Mtodo de Jordan consiste em obter,

atravs de transformaes elementares, um sistema equivalente cuja

matriz A seja diagonal.

Ex.: bxAxxx

xxxxxxxxx

=

=

===++

.1

04

111112

211

10242

3

2

1

321

321

321

Lin Multiplic. Matriz A Vet. b Transformao

321

1

11

212

=

=

111112

211

104

654

32

32

31

31

=

=

320530

211

58

4

31

21

1

12

LLLL

L

++

987

15

315

13131

=

=

31005303101

31834

( )

( ) 655

45

32

31

LLL

LL

+

+

121110

3100

030001

313

1

9

89

79

151

LLLLL

++

Clculo de Determinantes

Uma maneira simples de calcular o determinante de uma

matriz A consiste em encontrar uma matriz B, triangular ou

diagonal, que seja obtida a partir de A, atravs de transformaes

elementares.

Demonstra-se que, se A e B so equivalentes, ento:

)Bdet()Adet( = Ex.:

=

23

12

1

32

132344132

LLLL

LA

=

23

2

1

3260120132

LLLL

A

205)2(2)det()det(500120132

===

= BAB

205)2(2)det()det( === BA

Mtodo da Fatorao LU

Seja a matriz A dada abaixo, que deve ser fatorada em duas

matrizes triangulares, uma superior e a outra, inferior.

A = L U =

nn2n1n

n22221

n11211

aaa

aaaaaa

L

MOMM

L

L

Sendo

=

nnnn lll

lll

L

MOMM

L

L

21

2221

11

000

L

=

nn

n

n

u

uuuuu

L

MOMM

L

L

00

0U 222

11211

Efetuando o produto L U e igualando os elementos da matriz

produto aos elementos correspondentes em A, armam-se n2

equaes, envolvendo os elementos de L e de U.

Observa-se, entretanto, que cada uma das matrizes triangulares

possui n2nn2+

elementos desconhecidos, definindo um total de

n2+n incgnitas, nmero esse maior que o nmero de equaes.

Isso significa que infinitas matrizes L e U so solues do

problema de fatorao.

Para contornar o problema de que o nmero de incgnitas

maior que o nmero de equaes, costuma-se atribuir valores aos

elementos da diagonal de uma das matrizes triangulares.

Apresentamos a seguir a soluo proposta por Banachiwitcz.

A fim de simplificar os clculos, atribuem-se:

nilii ,,1 ,1 L==

Com isso, fica definida a 1 linha da matriz U, de acordo com

as equaes abaixo:

=

==

nn ua

uaua

11

1212

1111

1

11

M

Uma vez definido o valor de u11, pode-se ento calcular toda a

1 coluna da matriz L, atravs das equaes definidas pelo produto

das linhas de L pela primeira coluna de U:

=

==

1111

112121

11 1

ual

uall