Estatística ii emerson josé jung

Caderno de Estatística IIDom Alberto

Prof: Emerson José Jung

Ciênciasontábeis

ADMINISTRAÇÃO

C122 JUNG, Emerson José

Caderno de Estatística II Dom Alberto / Emerson José Jung. – Santa

Cruz do Sul: Faculdade Dom Alberto, 2010.

Inclui bibliografia.

1. Administração – Teoria 2. Ciências Contábeis – Teoria 3. Estatística II

– Teoria I. JUNG, Emerson José II. Faculdade Dom Alberto III.

Coordenação de Administração IV. Coordenação de Ciências Contábeis V. Título

CDU 658:657(072)

Catalogação na publicação: Roberto Carlos Cardoso – Bibliotecário CRB10 010/10

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Apresentação O Curso de Administração da Faculdade Dom Alberto iniciou sua

trajetória acadêmica em 2004, após a construção de um projeto pautado na importância de possibilitar acesso ao ensino superior de qualidade que, combinado à seriedade na execução de projeto pedagógico, propiciasse uma formação sólida e relacionada às demandas regionais.

Considerando esses valores, atividades e ações voltadas ao ensino sólido viabilizaram a qualidade acadêmica e pedagógica das aulas, bem como o aprendizado efetivo dos alunos, o que permitiu o reconhecimento pelo MEC do Curso de Administração em 2008.

Passados seis anos, o curso mostra crescimento quantitativo e qualitativo, fortalecimento de sua proposta e de consolidação de resultados positivos, como a publicação deste Caderno Dom Alberto, que é o produto do trabalho intelectual, pedagógico e instrutivo desenvolvido pelos professores durante esse período. Este material servirá de guia e de apoio para o estudo atento e sério, para a organização da pesquisa e para o contato inicial de qualidade com as disciplinas que estruturam o curso.

A todos os professores que com competência fomentaram o Caderno Dom Alberto, veículo de publicação oficial da produção didático-pedagógica do corpo docente da Faculdade Dom Alberto, um agradecimento especial.

Lucas Jost

Diretor Geral

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PREFÁCIO

A arte de ensinar e aprender pressupõe um diálogo entre aqueles que

interagem no processo, como alunos e professores. A eles cabe a tarefa de

formação, de construção de valores, habilidades, competências necessárias à

superação dos desafios. Entre estes se encontra a necessidade de uma

formação profissional sólida, capaz de suprir as demandas de mercado, de

estabelecer elos entre diversas áreas do saber, de atender às exigências legais

de cada área de atuação, etc.

Nesse contexto, um dos fatores mais importantes na formação de um

profissional é saber discutir diversos temas aos quais se aplicam

conhecimentos específicos de cada área, dispondo-se de uma variedade ampla

e desafiadora de questões e problemas proporcionada pelas atuais

conjunturas. Para que isso se torne possível, além da dedicação daqueles

envolvidos no processo de ensino-aprendizagem, é preciso haver suporte

pedagógico que dê subsídios ao aprender e ao ensinar. Um suporte que

supere a tradicional metodologia expositiva e atenda aos objetivos expressos

na proposta pedagógica do curso.

Considerando esses pressupostos, a produção desse Caderno Dom

Alberto é parte da proposta pedagógica do curso da Faculdade Dom Aberto.

Com este veículo, elaborado por docentes da instituição, a faculdade busca

apresentar um instrumento de pesquisa, consulta e aprendizagem teórico-

prática, reunindo materiais cuja diversidade de abordagens é atualizada e

necessária para a formação profissional qualificada dos alunos do curso.

Ser um canal de divulgação do material didático produzido por

professores da instituição é motivação para continuar investindo da formação

qualificada e na produção e disseminação do que se discute, apresenta, reflete,

propõe e analisa nas aulas do curso. Espera-se que os leitores apreciem o

Caderno Dom Alberto com a mesma satisfação que a Faculdade tem em

elaborar esta coletânea.

Elvis Martins

Diretor Acadêmico de Ensino

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Sumário

Apresentação

Prefácio

Plano de Ensino

Aula 1

Aula 2

Aula 3

Aula 4

Aula 5

Aula 6

Aula 7

Aula 8

Aula 9

Aula 10

Aula 11

Aula 12

Introdução

Inferência estatística

Probabilidade

Distribuição de probabilidades

Amostragem, estimativa e intervalos de confiança

Determinação do tamanho da amostra

Exercícios

Teste de hipóteses

Interpretando uma decisão

Correlação e Regressão

Diagrama de Dispersão

Exercícios

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Missão: "Oferecer oportunidades de educação, contribuindo para a formação de profissionais conscientes e competentes, comprometidos com o comportamento ético e visando ao desenvolvimento regional”.

Centro de Ensino Superior Dom Alberto

Plano de Ensino

Identificação Curso: Administração/Ciências Contábeis Disciplina: Estatística II

Carga Horária (horas): 60 Créditos: 4 Semestre: 3º

Ementa Inferência estatística. Testes de Hipóteses. Correlação e regressão. Números Índices e Análise de Séries Temporais.

Objetivos Geral: Oferecer condições para que o aluno possa utilizar esta ferramenta dando-lhe condições para que possa coletar, interpretar e concluir sobre os resultados obtidos através da observação de dados coletados. Que o aluno possa ainda verificar as variações dos preços de produtos utilizados em sua empresa através da compreensão da Série de Números índices, podendo inclusive projetar estas variações, a fim de implementar estratégias competentes para a empresa. Específicos: Apresentação de exemplos de distribuição de probabilidades, que sejam capazes de propiciar ao aluno uma identidade com problemas específicos da empresa, possibilitando melhor preparo na identificação de problemas podendo preveni-los no futuro. Através da compreensão da série de números índices, a realização de uma pesquisa dentro da empresa em que o aluno está familiarizado, identificando produtos com preços e quantidades para que dessa forma possa calcular as variações de preços.

Inter-relação da Disciplina Horizontal: Matemática Aplicada I, Estatística Aplicada I. Vertical: Administração Estratégica, Elaboração e Análise de Projetos, Orçamento Empresarial e Mercado de Capitais.

Competências Gerais Realizar tomada de decisão: coletar, interpretar e concluir sobre os resultados obtidos. Desenvolver raciocínio lógico, crítico e analítico: verificar variações (números índices), projetar as variações para implementar estratégias competentes. Revelar-se um profissional adaptável.

Competências Específicas Identificar problemas específicos, compreender e ler dados coletados , produzir estratégias eficazes e eficientes.

Habilidades Gerais Reconhecer e definir problemas, pensar estrategicamente, transferir e generalizar conhecimentos e transferir conhecimentos de experiências cotidianas para o ambiente de trabalho.

Habilidades Específicas Equacionar soluções, inferir, testar, correlacionar, calcular números índices e analisar séries temporais.

Conteúdo Programático PROGRAMA:

1. Distribuição de Probabilidades; 2. Distribuição Binomial de Probabilidades; 3. Distribuição Normal de Probabilidades; 4. Inferência Estatística:

- Amostragem; - Margem de erro;

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- Intervalos de Confiança; - Tamanho da Amostra;

5. Testes de Hipóteses para médias e proporções; 6. Análise de Regressão e Correlação; 7. Análise de Séries Temporais; 8. Números índices; 9. Série de números índices.

Estratégias de Ensino e Aprendizagem (metodologias de sala de aula) Aulas participativas, aulas expositivas, exercícios, trabalhos individuais.

Avaliação do Processo de Ensino e Aprendizagem A avaliação do processo de ensino e aprendizagem deve ser realizada de forma contínua, cumulativa e sistemática com o objetivo de diagnosticar a situação da aprendizagem de cada aluno, em relação à programação curricular. Funções básicas: informar sobre o domínio da aprendizagem, indicar os efeitos da metodologia utilizada, revelar conseqüências da atuação docente, informar sobre a adequabilidade de currículos e programas, realizar feedback dos objetivos e planejamentos elaborados, etc. A forma de avaliação será da seguinte maneira: 1ª Avaliação – Peso 8,0 (oito): Prova; – Peso 2,0 (dois): Trabalho

O Trabalho será definido no decorrer das aulas, sendo algumas questões dissertativas que os alunos terão que resolver e entregar.

2ª Avaliação - Peso 8,0 (oito): Prova; - Peso 2,0 (dois): referente ao Sistema de Provas Eletrônicas – SPE (maior nota das duas

provas do SPE)

Avaliação Somativa A aferição do rendimento escolar de cada disciplina é feita através de notas inteiras de zero a dez, permitindo-se a fração de 5 décimos. O aproveitamento escolar é avaliado pelo acompanhamento contínuo do aluno e dos resultados por ele obtidos nas provas, trabalhos, exercícios escolares e outros, e caso necessário, nas provas substitutivas. Dentre os trabalhos escolares de aplicação, há pelo menos uma avaliação escrita em cada disciplina no bimestre. O professor pode submeter os alunos a diversas formas de avaliações, tais como: projetos, seminários, pesquisas bibliográficas e de campo, relatórios, cujos resultados podem culminar com atribuição de uma nota representativa de cada avaliação bimestral. Em qualquer disciplina, os alunos que obtiverem média semestral de aprovação igual ou superior a sete (7,0) e freqüência igual ou superior a setenta e cinco por cento (75%) são considerados aprovados. Após cada semestre, e nos termos do calendário escolar, o aluno poderá requerer junto à Secretaria-Geral, no prazo fixado e a título de recuperação, a realização de uma prova substitutiva, por disciplina, a fim de substituir uma das médias mensais anteriores, ou a que não tenha sido avaliado, e no qual obtiverem como média final de aprovação igual ou superior a cinco (5,0).

Sistema de Acompanhamento para a Recuperação da Aprendizagem Serão utilizados como Sistema de Acompanhamento e Nivelamento da turma os Plantões Tira-Dúvidas que são realizados sempre antes de iniciar a disciplina, das 18h30min às 18h50min, na sala de aula.

Recursos Necessários Humanos

Professor. Físicos

Laboratórios, visitas técnicas, etc. Materiais

Recursos Multimídia. Página 7


Bibliografia

Básica CRESPO, Antônio Arnot. Estatística fácil. 18. ed. São Paulo: Saraiva, 2002. SILVA, Ermes Medeiros da. et al. Estatística: para cursos de economia, administração e ciências contábeis. São Paulo: Atlas, 1999. 1 e 2 v. MORETTIN, Pedro A; BUSSAB, Wilton de O. Estatística básica. 5. ed. São Paulo: Saraiva 2003. TOLEDO, Geraldo Luciano; OVALLE, Ivo Izidoro. Estatística básica. 2. ed. São Paulo: Atlas, 1995. SPIEGEL, Murray R.. Estatística. 3. ed. São Paulo: Pearson Education, 1994.

Complementar BARBETTA, Pedro Alberto. Estatística aplicada às ciências sociais. 5. ed. Florianópolis: UFSC, 2002. MOORE, David. A Estatística básica e a sua prática. Rio de Janeiro: LTC, 2005. BUNCHAFT G.; KELLNER S. R. O. Estatística sem mistério. Petrópolis: Vozes; 1999. FONSECA, Jairo Simon da; MARTINS, Gilberto. Curso de estatística. São Paulo: Atlas, 1996. MARTINS, Gilberto de Andrade; DONAIRE, Denis. Princípios de estatística. São Paulo: Atlas, 1990.

Periódicos Jornais: Gazeta do Sul, Zero Hora. Revistas: Exame, Amanhã, Veja, Isto É.

Sites para Consulta http://www.ime.usp.br http://www.ibge.gov.br

Outras Informações Endereço eletrônico de acesso à página do PHL para consulta ao acervo da biblioteca: http://192.168.1.201/cgi-bin/wxis.exe?IsisScript=phl.xis&cipar=phl8.cip&lang=por

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http://www.ime.usp.br/�

http://www.ibge.gov.br/�

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Cronograma de Atividades

Aula Consolidação Avaliação Conteúdo Procedimentos Recursos

1ª Introdução da disciplina (apresentação, acordos e cronograma). Revisão de probabilidades. Distribuição de Probabilidade Binomial.

AE QG/DS/LB

2ª Distribuição Probabilidade Binomial e Distribuição Probabilidade Normal. AE/TG QG/DS/LB

3ª Distribuição Probabilidade Normal. AE QG/DS

4ª Distribuição Probabilidade Normal. AE QG/DS

5ª Estimativas: Margem de erro e Intervalos de Confiança para grandes e pequenas amostras Para médias. AE QG

6ª Estimativas: Tamanho da Amostra AE QG

7ª Estimativas: Margem de erro e Intervalos de Confiança para proporções. AE QG

1 Consolidação e Sistematização dos Conteúdos da 1ª Avaliação. AE QG

1 Primeira Avaliação.

8ª Teste de Hipóteses para média. Interpretação. AE QG

9ª Teste de Hipóteses para média. Interpretação. AE QG

10ª Testes de Hipóteses para proporção. Teste de Hipóteses com duas médias e proporções. Interpretação. AE/TG QG

11ª Introdução a Correlação e Regressão. Cálculos e interpretação. AE QG/DS /LB

12ª Cálculos de Correlação e Regressão através das funções estatísticas e Análise de Dados. AE QG/DS /LB

13ª Séries Temporais. Números Índices e seus métodos de cálculo. Séries de Números Índices. AE QG/DS

2 Consolidação e Sistematização dos Conteúdos da 2a Avaliação. AE QG

2 Segunda Avaliação.

3 Avaliação Substitutiva

Legenda Código Descrição Código Descrição Código Descrição AE Aula expositiva QG Quadro verde e giz LB Laboratório de informática TG Trabalho em grupo RE Retroprojetor PS Projetor de slides TI Trabalho individual VI Videocassete AP Apostila SE Seminário DS Data Show OU Outros PA Palestra FC Flipchart

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CENTRO DE ENSINO SUPERIOR DOM ALBERTO

Professor: Emerson José Jung

[email protected]

INTRODUÇÃO

ESTATÍSTICA II

Cursos de Administração e Ciências Contábeis

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Por causa da enxurrada de dados coletados, referente a todas as particularidades de negócios, o uso de técnicas estatísticas tornou-se uma ferramenta indispensável para um gerenciamento bem sucedido. No âmbito de uma responsabilidade gerencial, o papel da estatística ajuda a determinar iniciativas e decisões em diferentes situações. Vejam algumas:

- No gerenciamento corporativo: examinar tendências e prever o comportamento futuro do mercado. A estatística pode comparar desempenhos atuais, antecipar ciclos de vida de produtos e planejar iniciativas futuras.

- No gerenciamento de produtos para uma linha específica: você precisa estimar a atividade futura do produto com base em vendas atuais, identificar a sensibilidade do produto para novos produtos e desenvolver novos produtos com base em informações de consumidores.

- No gerenciamento de relações com o consumidor: é necessário avaliar a satisfação dos consumidores e informar o desempenho dos produtos à gerência de produtos. A estatística estaria presente para identificar problemas de aceitação dos produtos e determinar níveis de satisfação ou insatisfação dos consumidores.

- No gerenciamento financeiro: é necessário avaliar o desempenho financeiro dos produtos com base no desempenho histórico e quanto ao retorno do investimento. A estatística é usada para estimar a receita da empresa com base em desempenho histórico.

A cada uma dessas situações gerenciais é preciso analisar dados quantitativos à luz dos objetivos e tomar decisões com base nesses dados. Daí a necessidade de se entender estatística e a capacidade de empregar as suas várias ferramentas eficientemente.

A estatística é definida como o estudo da coleta e processamento de dados para ajudar na tomada de decisões informadas em uma área de incerteza. Ela emprega a análise quantitativa e apresenta-se em três fases:

1. Coleta de dados ou amostragem: esta fase requer a elaboração de uma pesquisa, o planejamento de uma estratégia de amostragem e coleta de amostras.

2. Análise descritiva: esta fase enfoca a descrição do comportamento da amostra – uma fotografia, por assim dizer, dos níveis atuais ou históricos de desempenho dos negócios.

3. Análise inferencial: esta fase prevê o comportamento da população com base nos resultados da amostra, isto é, como o desempenho se altera à proporção que as variáveis principais são modificadas.

A finalidade desta disciplina é apresentar aos acadêmicos dos cursos de administração e ciências contábeis os métodos mais usados de organização e sumarização de dados estatísticos.

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INFERÊNCIA ESTATÍSTICA

A Estatística I preparou o caminho para poder entrar nos problemas da inferência estatística. Foram apresentadas as diversas técnicas de análise exploratória de dados, as técnicas de amostragem e a teoria de probabilidades, cada uma dessas áreas constituem o tripé da inferência estatística.

A Inferência Estatística é conhecida como a parte fundamental da estatística, que é a tomada de decisões em condições de incerteza. Ela se divide em duas grandes áreas:

Estimação Pontual

Inferência Estatística Intervalar

Teste de Hipóteses

Estatística

Descritiva

Amostragem

Cálculo de

Probabilidades

INFERÊNCIA

ESTATÍSTICA

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Esta tabela é denomonada distribuição de probabilidade.

Exemplos de distribuição binomial:

1) Qual a probabilidade de obtermos 2 caras em 6 lances de uma moeda?

2) Imaginando qual o sucesso de sair o ás de ouros quando retiramos uma carta de um baralho de 52 cartas.

Logicamente diríamos que no exemplo 2 a resposta é 1/52, mas e o exemplo 1?

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I. DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES

1.1 Distribuição Binomial – Variáveis Discretas

Uma variável aleatória associa um valor numérico a cada resultado de um experimento aleatório e uma distribuição de probabilidades associa uma probabilidade a cada valor de uma variável aleatória. Os experimentos binomiais têm a característica de apresentarem exatamente dois resultados complementares: em processos industriais as pessoas falham ou não falham. Na medicina um paciente sobrevive um ano, ou morre. Em propaganda, um consumidor reconhece um produto, ou não.

Definição: Um experimento binomial é um experimento que satisfaz as seguintes condições:

1. O experimento deve comportar um numero fixo de provas; 2. As provas devem ser independentes (o resultado de qualquer prova não afeta as

probabilidades das outras provas); 3. Cada prova deve ter todos os resultados classificados em duas categorias; 4. As probabilidades devem permanecer constantes para cada prova.

Se fizermos um experimento binomial, a distribuição da variável aleatória x é chamada uma distribuição de probabilidade binomial (ou distribuição binomial). Usa-se a seguinte denominação: S e F (sucesso ou falha) denotam as duas categorias possíveis de todos os resultados: p e q denotam as possibilidades de S e F, respectivamente; assim:

( )P s p= ( ) 1P F p q= − =

Sendo n = denota o numero fixo de provas; x = denota um número específico de sucesso em n provas, podendo ser qualquer inteiro

entre 0 e n, inclusive; p = denota a probabilidade de sucesso em uma das n provas; q = denota a probabilidade de falha em uma das n provas; P(x) = denota a probabilidade de obter exatamente x sucessos em n provas; Fórmula utilizada para calcular a probabilidade binomial:

!( )( )! !

x n xnP x p qn x x

−= ⋅ ⋅−

Exemplo: Dado que 10% das pessoas são canhotas, suponha que queiramos achar a probabilidade de obter exatamente 3 estudantes canhotos em uma turma de 15 estudantes. Questiona-se:

a) Trata-se de um experimento binomial? b) Em caso afirmativo, identifique os valores de n, x, p e q. c) Aplicando a formula da probabilidade binomial, determine a probabilidade de obter

3 estudantes canhotos em uma turma de 15 estudantes. Página 14


d) A probabilidade de ao menos 3 sucessos (alunos canhotos).

EXERCÍCIOS

1. Uma empresa produz 10% de peças defeituosas. As peças são embaladas em caixas que contêm 12 peças. Calcule a probabilidade de um cliente comprar uma caixa contendo:

(a) nenhuma peça defeituosa; (b) uma peça defeituosa.

2. Um produtor de sementes vende pacotes com 20 sementes cada. Os pacotes que apresentarem mais de uma semente sem germinar são indenizados. A probabilidade de uma semente germinar é 0,98.

(a) Qual é a probabilidade de que um pacote não seja indenizado? (b) Se o produtor vende 1.000 pacotes, em quantos se espera indenização?

3. Estatísticas de tráfego revelam que 25% dos veículos interceptados numa auto-estrada não passam no teste de segurança. De 10 veículos interceptados, determine a probabilidade de 2 ou mais não passarem. 4. Numa criação de coelhos, 40% são machos. Qual a probabilidade de que nasçam pelo menos 2 coelhos machos num dia em que nasceram 20 coelhos? 5. O fabricante de drives de disco utilizados em uma das mais conhecidas marcas de microcomputadores espera que 2% dos drives de disco apresentem defeitos durante o período de garantia do microcomputador. Numa amostra de 10 drives de disco, qual é a probabilidade de que:

a) Nenhum irá apresentar defeito durante o período de garantia? b) Exatamente um irá apresentar defeito durante o período de garantia? c) Pelo menos dois irão apresentar defeito durante o período de garantia? d) Quais seriam as respostas para a letra (a) e (b) se fosse esperado que 1% dos drives de disco

apresentasse defeito?

1.2 DISTRIBUIÇÃO NORMAL

A distribuição normal desempenha papel importantíssimo na Teoria Estatística. Deduzida por De Moivre em 1753 como forma limite da Binominal, foi posteriormente redescoberta em 1774 por Laplace, e em 1809 por Gauss. Por essa razão é conhecida ainda pelo nome de Distribuição de Gauss, de Laplace, ou ainda Laplace-Gauss.

A Distribuição Normal é a mais importante distribuição de variável aleatória contínua e é básica para o desenvolvimento da inferência estatística. Entre as distribuições teóricas de variável aleatória contínua, uma das mais empregadas é a distribuição normal.

A distribuição normal é caracterizada por uma função, cujo gráfico descreve uma curva em forma de sino. Esta distribuição depende de dois parâmetros:

• µ (média) – este parâmetro especifica a posição central da distribuição de probabilidades.

• σ (desvio padrão) – este parâmetro especifica a variabilidade da distribuição de probabilidades.

Existem infinitas distribuições normais, cada uma com usa própria média e desvio padrão. A distribuição normal com media zero e desvio padrão de 1 é chamada de distribuição normal padrão ou padronizada. A escala horizontal do gráfico da distribuição normal padrão

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corresponde aos escores z (uma medida de posição que indica o numero de desvios-padrão de um valor a partir da media). Pode-se transformar um valor x em um escore z, usando a seguinte fórmula:

xz µσ−

=

onde: x = valores arbitrários (intervalos)

µ = média da distribuição normal σ = desvio-padrão da distribuição normal

- ∞ + ∞ Após usar a fórmula dada acima para transformar um valor x num escore z, pode-se usar a Tabela Normal Padrão. A tabela enumera a área acumulada sob a curva normal padrão à esquerda de z para escores z de –3,49 a 3,49.

A distribuição normal possui as seguintes características: - Variável aleatória contínua. - Tem a forma de um sino. - É simétrica em relação a média. - Prolonga-se de - ∞ a + ∞. - A área sob a curva normal é considerada de tamanho 1 (100%). Exemplos.

1. Determina a área que corresponde ao escore z de 1,15.

2. Determina a área acumulada que corresponde ao escore z de 1,15.

Área na tabela

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3. Calcule a área acumulada que corresponde ao escore z de -0,24.

4. Esboce a curva normal padrão e sombreie a área apropriada sob a curva: a) para obter a área a esquerda de z = 1,23. b) para obter a área a direita de z = 1,23. c) para obter a área entre dois escores z, -0,75 e 1,23.

5. Determine a área sob a curva padrão à direita de z = 1,06.

6. Se um escore z for zero, qual das afirmações a seguir será verdadeira. Explique seu

raciocínio. (a) a média é zero. (b) o valor x correspondente é igual a zero.

(c) o valor x correspondente é igual à média.

7. Analise os gráficos e obtenha a probabilidade de z ocorrer na região indicada.

8. Determine a probabilidade indicada usando a distribuição normal padrão: a) P (z < 1,45) b) P (z > -1,95) c) P ( 0 < z < 2,05) d) P (z < -2,58 ou z > 2,58) e) P ( -0,95 < z < 1,44)

Exemplos para transformar um escore z em um valor x. 1. As velocidades de veículos ao longo de um trecho de uma via expressa tem uma media de 56km/h e um desvio padrão de 8km/h. Obtenha as velocidades x correspondentes aos escores z = 1,96; -2,33 e 0. Interprete os seus resultados. 2. As notas dos candidatos ao concurso público do INSS estão normalmente distribuídas com uma média de 75 pontos e um desvio padrão de 6,5. Para poder entrar no serviço público, o candidato precisa figurar entre os 5% melhores. Qual é a menor pontuação possível para a aprovação de um candidato? 3. Em uma amostra selecionada ao acaso de 1169 homens com idade entre 40 e 49 anos, foi constatado um nível médio total de colesterol de 211 miligramas por decilitros, com desvio padrão de 39,2 miligramas por decilitros. Suponha que os níveis totais de colesterol sejam normalmente distribuídos. Obtenha o mais alto nível total de colesterol que um homem com idade entre 40 e 49 anos pode ter e ainda assim ficar entre o 1% mais baixo.

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EXERCÍCIOS

1. Um levantamento indica que pessoas usam seus computadores em media durante 2,4 anos antes de adquirir uma nova máquina. O desvio padrão é de 0,5 anos. Selecionando ao acaso alguém que tenha computador, obtenha a probabilidade de que ele o use por menos de dois anos antes de comprar outro.

2. A taxa de hemoglobina no sangue de pessoas que possuem boa saúde segue uma distribuição normal com média 12 e desvio padrão 1. Qual a probabilidade de se encontrar uma pessoa normal com taxa de hemoglobina: (a) superior a 15? (b) Inferior a 10? (c) Entre 10 e 13 (d) Num grupo de 500 pessoas, em quantas devemos esperar as características acima?

3. Os depósitos mensais na caderneta de poupança têm distribuição normal com média igual a $ 500 e desvio padrão $ 150. Se um depositante realizar um depósito, pede-se calcular a probabilidade de que esse depósito seja igual ou menor que $ 650.

4. A análise estatística de um investimento mostrou que seu resultado líquido é uma variável

aleatória X com valor esperado $ 10 000 e desvio padrão $ 4 000. Sabendo que a variável X tem distribuição normal, pede-se calcular a probabilidade de que o resultado X seja menor que $ 5000.

5. As vendas mensais dos últimos 50 meses apresentam uma média igual a $ 500 mil com

desvio padrão igual a $ 80 mil. Se a empresa estabeleceu uma meta de vendas para o próximo mês de $ 550 mil, pede-se calcular, considerando que os dados históricos se repetem no futuro próximo:

a) A probabilidade de ficar abaixo da meta. b) A probabilidade de superar a meta. c) A probabilidade de que as vendas se situem entre 80 % e 110 % da média.

6. Uma população X tem distribuição normal com média igual a 20 e desvio padrão igual a 5.

Retirando aleatoriamente um elemento dessa população, pede-se calcular a probabilidade desse elemento ser igual ou menor que 22.

7. A distribuição dos salários anuais dos auxiliares de escritório de uma grande empresa tem

distribuição normal com média igual a R$12.500,00 e desvio padrão igual a R$2.800,00. Calcular:

a) A proporção dos auxiliares de escritório que ganha mais que R$14.500,00. b) A proporção dos auxiliares de escritório que ganha menos que R$11.000,00 c) A proporção dos auxiliares de escritório que ganha entre R$10.000,00 e R$14.000,00.

8. Suponha que um consultor esteja investigando o tempo que os trabalhadores de uma fábrica

de automóveis levam para montar determinada peça depois de terem sido treinados para realizar a tarefa por um método de aprendizagem individual. O consultor determina que o tempo em segundos para montar a peça para os trabalhadores treinados por esse método é distribuído de maneira normal com média igual a 75 segundos e desvio padrão igual a 6. Pede-se:

a) A probabilidade de um trabalhador montar uma peça em 81 segundos? b) Quantos segundos devem transcorrer antes que 10% dos trabalhadores da fabrica

montam uma peça?

9. Um conjunto de notas finais de provas da disciplina de Estatística II foi considerado como sendo normalmente distribuído com uma média aritmética de 73 e um desvio padrão de 8.

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a) Qual é a probabilidade de se obter no máximo uma nota 91 nesta prova? b) Que porcentagem de alunos tirou entre 65 e 89? c) Que porcentagem de alunos tirou entre 81 e 89? d) Qual é a nota final do exame se somente 5% dos alunos que fizeram a prova tiram nota

mais alta?

10. Uma fabrica de carros sabe que os motores de sua fabricação têm duração normal com 150.000 km e desvio padrão de 5000 km. Se a fabrica substitui o motor que apresenta duração inferior a garantia, qual deve ser esta garantia para que a porcentagem de motores substituídos seja inferior a 0,2%?

11. As alturas dos alunos de uma determinada escola são normalmente distribuídas com média

1,60m e desvio padrão 0,30. Encontre a probabilidade de uma aluna escolhida ao acaso medir:

a) Entre 1,50 e 1,80 m. b) Mais que 1,60 m. c) Menos que 1,48m. d) Entre 1,54 e 1,58m. e) Mais que 1,55m. f) Menos que 1,55m ou mais que 1,75m.

12. Suponha-se que a renda anual de uma determinada cidade tenha uma média de R$ 5.000,00

com desvio padrão de R$ 1.500,00. Admitindo-se uma distribuição normal, que podemos dizer de uma renda de R$ 7.000,00?

EXEMPLO DE DISTRIBUIÇÃO NORMAL COMO APROXIMAÇÃO DA DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL Se n.p ≥ 5 e n.q ≥ 5, então a variável aleatória binomial x tem distribuição aproximadamente normal, com média µ = np e desvio padrão npq=σ 1. Uma maquina produz parafusos, dos quais 10% são defeituosos. Determinar a probabilidade de,

em uma amostra tomada ao acaso de 400 parafusos produzidos por essa maquina, serem defeituosos: (a) no máximo 30; (b) entre 30 e 50 (c) 55 ou mais.

2. Numa cidade haverá um plebiscito em que 1.250.000 eleitores decidirão entre aceitar (SIM) ou

rejeitar (NÃO) certa política. Suponha que um partidário da aceitação dessa política afirme que 80% dos votos serão SIM. Admitindo essa previsão como verdadeira, qual é a probabilidade de, em uma amostra de 900 eleitores, menos de 684 serem partidários do SIM?

3. Cerca de 4,4% dos acidentes fatais com automóveis são causados por pneus defeituosos (com base

em dados do Conselho Nacional de Segurança). Se um estudo de segurança em uma rodovia começa com a escolha aleatória de 750 casos de acidentes fatais com veículos motorizados, estime a probabilidade de exatamente 35 deles terem sido causados por pneus defeituosos.

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Tabela Z – Áreas sob a curval Normal z 0,0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09

0,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359 0,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753 0,2 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141 0,3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517 0,4 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879 0,5 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224 0,6 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2517 0,2549 0,7 0,2580 0,2611 0,2642 0,2673 0,2704 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852 0,8 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3078 0,3106 0,3133 0,9 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 0,3389 1,0 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621 1,1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,3830 1,2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,4015 1,3 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177 1,4 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319 1,5 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,4441 1,6 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,4545 1,7 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,4633 1,8 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706 1,9 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,4767 2,0 0,4772 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,4812 0,4817 2,1 0,4821 0,4826 0,4830 0,4834 0,4838 0,4842 0,4846 0,4850 0,4854 0,4857 2,2 0,4861 0,4864 0,4868 0,4871 0,4875 0,4878 0,4881 0,4884 0,4887 0,4890 2,3 0,4893 0,4896 0,4898 0,4901 0,4904 0,4906 0,4909 0,4911 0,4913 0,4916 2,4 0,4918 0,4920 0,4922 0,4925 0,4927 0,4929 0,4931 0,4932 0,4934 0,4936 2,5 0,4938 0,4940 0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 0,4951 0,4952 2,6 0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,4960 0,4961 0,4962 0,4963 0,4964 2,7 0,4965 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,4970 0,4971 0,4972 0,4973 0,4974 2,8 0,4974 0,4975 0,4976 0,4977 0,4977 0,4978 0,4979 0,4979 0,4980 0,4981 2,9 0,4981 0,4982 0,4982 0,4983 0,4984 0,4984 0,4985 0,4985 0,4986 0,4986 3,0 0,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,4990 0,4990 3,1 0,4990 0,4991 0,4991 0,4991 0,4992 0,4992 0,4992 0,4992 0,4993 0,4993 3,2 0,4993 0,4993 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4995 0,4995 0,4995 3,3 0,4995 0,4995 0,4995 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4997 3,4 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4998

Página 20


II – AMOSTRAGEM, ESTIMATIVA E INTERVALOS DE CONFIANÇA 2.1 Amostragem 2.1.1 Introdução Nas pesquisas científicas, em que se querem conhecer algumas

características de uma população, é muito comum se observar apenas uma amostra

de seus elementos e, a partir dos resultados dessa amostra, obter valores

aproximados, ou estimativos, para as características populacionais de interesse. Esse

tipo de pesquisa é usualmente chamado de levantamento por amostragem. Num

levantamento por amostragem, a seleção dos elementos que serão observados, deve

ser feita com uma metodologia adequada, de tal forma que os resultados da amostra

sejam representativos de toda a população.

2.1.2 Importância da utilização da amostragem

Quatro razões para o uso de amostragem em levantamento de grandes

populações:

• Economia: Em geral, torna-se bem mais econômico o levantamento de

somente uma parte da ação;

• Tempo: Numa pesquisa eleitoral, a três dias de uma eleição

presidencial, não haveria tempo para pesquisar toda a população de

eleitores do país, mesmo que houvesse recursos financeiros em

abundância;

• Confiabilidade dos dados: Quando se pesquisa um número reduzido

de elementos, pode-se dar mais aos casos individuais, evitando erros

nas respostas;

• Operacionalidade: É mais fácil realizar operações de pequena escala.

Um dos problemas típicos nos grandes censos é o controle dos

entrevistadores.

Situações em que pode não valer a pena a realização de uma amostragem:

Página 21


• População pequena: Sob o enfoque de amostragens aleatórias, se a

população for pequena, para uma amostra ser capaz de gerar

resultados precisos para os parâmetros da população, é necessário

que ela seja relativamente grande (em torno de 80% da população);

• Característica de mensuração: Talvez a população não seja tão

pequena, mas variável que se quer observar é de tão fácil

mensuração, que não compensaria investir num plano de amostragem;

• Necessidade de alta precisão: A cada dez anos o IBGE realiza um

censo demográfico para estudar diversas características da população

brasileira. Dentre estas características tem-se o parâmetro número de

habitantes residentes no país, que é fundamental para um bom

planejamento. Desta forma, o parâmetro – número de habitantes –

precisa ser avaliado com grande precisão e, por isso, se pesquisa toda

a população.

Para se fazer um plano de amostragem, deve-se ter bem definidos: os

objetivos da pesquisa, a população a ser amostrada, bem como os

parâmetros necessários a serem estimados para que os objetivos sejam

alcançados.

2.2 Estimação de Parâmetros 2.2.1 Introdução A inferência estatística representa o processo de utilização de resultados de

amostras, visando tirar conclusões sobre as características de uma população.

Como as populações são caracterizadas por medidas numéricas descritivas,

denominadas parâmetros, a inferência estatística diz respeito à realização de

inferências sobre esses parâmetros populacionais.

A estimação é o processo que consiste em utilizar dados amostrais para

estimar os valores de parâmetros populacionais desconhecidos. Qualquer

característica de uma população pode ser estimada a partir de uma amostra. Entre as

mais comuns, estão a média e o desvio padrão de uma população e a proporção

populacional.

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2.2.2 Estimativas pontuais e intervalares

As estatísticas amostrais são utilizadas como estimadores de parâmetros

populacionais. Por exemplo, uma média aritmética da amostra é usada como

estimativa de ponto da média populacional.

Existem dois tipos principais de estimativas: estimativas de ponto e

estimativas de intervalo.

A estimativa pontual é um valor (ou ponto) único usado para aproximar um

parâmetro populacional. A média amostral x é a melhor estimativa pontual da

média populacional µ . Mas, a estatística de uma amostra, tal como x , varia de

amostra para amostra, uma vez que depende dos itens selecionados na amostra, e

esta variação deve ser levada em consideração ao se fornecer estimativas para a

população. Pensando nessa variação é que foi desenvolvida a estimativa intervalar.

A estimativa intervalar é um intervalo de valores que tem probabilidade de

conter o verdadeiro valor da população. Ou seja, o intervalo que é construído terá

uma confiança ou probabilidade especificada de estar estimando corretamente o

verdadeiro valor do parâmetro da população.

2.2.3 Intervalos de confiança

Um intervalo de confiança está associado a um grau de confiança que é uma

medida da nossa certeza de que o intervalo contém o parâmetro populacional. A

definição grau de confiança utiliza α (alfa) para descrever uma probabilidade que

corresponde a uma área.

São escolhas comuns para o grau de confiança (ou nível de confiança, ou

coeficiente de confiança): 90%, 95% e 99%, veja a tabela.

Grau de confiança α Valor Crítico z

90% 0,10 1,645

95% 0,05 1,96

99% 0,01 2,575

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Um valor crítico é um número na fronteira que separa os valores das

estatísticas amostrais prováveis de ocorrerem, dos valores que têm pouca chance de

ocorrer.

Para entender melhor, observe a figura abaixo a distribuição normal para um

grau de confiança de 90%.

Portanto, dado um grau de confiança, devemos usar a tabela da distribuição

dos escores z para encontrar o valor critico z.

Exemplo: Determine o valor critico z que corresponde ao grau de confiança

98%.

Valor crítico Valor crítico

Região crítica Região

crítica

90%

-z = - 1,645

z = 1,645 0,45

0,45

-z = -1,645

90%

0,45 0,45

Página 24


2.2.4 Estimativas para a média populacional: grandes amostras

Quando utilizamos dados amostrais para estimar uma média populacional µ , a

margem de erro, denotada por E, é a diferença máxima provável, com certa

probabilidade, entre a média amostral e a verdadeira média populacional µ .

A margem de erro E é chamada também de erro máximo de estimativa e pode

ser obtida por

nzE σ.=

Há três determinantes do tamanho ou quantidade de erro:

1. A confiança desejada (índice de confiança), representada por z;

2. Dispersão da população (representada pelo desvio padrão);

3. Tamanho da amostra.

O cálculo da margem de erro E, tal como dado na fórmula, exige o

conhecimento do desvio padrão populacional σ , mas, na realidade, é raro

conhecermos σ quando a média populacional µ não é conhecida. Então

devemos levar em conta o seguinte detalhe:

Se 30>n , podemos substituir σ na formula pelo desvio padrão amostral s.

Se 30≤n , a população deve ter a distribuição normal, e devemos conhecer

σ para usarmos a formula.

Com base na definição da margem de erro E, podemos agora identificar o

intervalo de confiança para a média populacional µ .

x - E < µ < x + E ou µ = ± E

Fator de Correção para população finita: quando uma população for finita, a

formula que determina o erro padrão da média precisa ser ajustada. Se N é o

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tamanho da população e n é o tamanho da amostra, onde n for maior ou igual a 5%

do tamanho da população, o erro padrão da média é:

1..

−−

=N

nNn

zE σ

Onde, 1−

−N

nN é o fator de correção.

Para calcular limites de confiabilidade, utilizamos a seguinte equação:

x = µ ± Z(σ/√̅n)

No nosso caso, inverte-se o x com µ, para se saber se é o que se espera.

Exemplo:

1. Um fabricante de papel para impressora possui um processo de produção

que opera de maneira contínua, através de um turno completo de

produção. É esperado que o papel tenha um comprimento de 11

polegadas, e o desvio padrão conhecido sejam 0,02 polegadas. A

intervalos periódicos, são selecionadas amostras para determinar se o

comprimento médio do papel ainda se mantém igual a 11 polegadas ou se

algo de errado aconteceu no processo de produção para que tenha

modificado o comprimento do papel produzido. Uma amostra aleatória de

100 folhas foi selecionada e verificou-se que o comprimento médio do papel

era de 10,998 polegadas. Caso seja desejada uma estimativa do intervalo

de confiança de 95% do comprimento médio do papel na população,

teremos:

x= µ ± Z(σ/√ ̅n) = 10,998 ± (1,96)(0,02/√ ̅100) = 10,998 ± 0,00392

10,99408 ≤ µ ≤ 11,00192

Como 11 está entre o intervalo encontrado, o fabricante não tem com o que se

preocupar.

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Caso se queira um intervalo de confiança maior, por exemplo 99%, aí o que teremos?

2. A variabilidade do tempo de atendimento em um caixa bancário é conhecida

σ = 0,10min. e tem distribuição normal. Uma amostragem de 40 pessoas

indicou tempo médio de atendimento de x = 1,5 min. Construir um intervalo de

confiança de 95% para o tempo médio de atendimento.

EXERCÍCIOS

1. O gerente do controle aéreo do aeroporto de São Paulo está interessado em conhecer

o tempo que os aviões 737 necessitam para aterrissar, medindo este tempo entre o

instante que o piloto inicia a operação de descida e o instante que o avião abandona a

pista de aterrissagem. Se a média de uma amostra aleatória de 33 aviões é igual a 21

minutos com desvio padrão igual a 4,5 minutos, pede-se estimar o valor da média da

população considerando dois valores de intervalo de confiança: 90% e 95%.

2. Numa amostra aleatória de 32 notas de despesa numa semana em dezembro, um

auditor constatou uma despesa média de R$220,00, com desvio padrão de R$20,00.

a) Qual a estimativa pontual da quantia média?

b) Construa um intervalo de 99% de confiança para a quantia média.

3. De uma população com distribuição normal e desvio-padrão igual a 5 foi retirada uma

amostra aleatória de tamanho 20 e sua média calculada foi 24. Estime o valor da média

da população com índice de confiança igual a 90%.

4. Uma amostra consiste em 75 aparelhos de TV adquiridos há vários anos. Os tempos

de substituição destes aparelhos têm média de 8,2 anos e desvio-padrão de 1,1 ano.

Construa um intervalo de 90% de confiança para o tempo médio de substituição de todos

os aparelhos de TVs.

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5. Suponha que o proprietário de uma loja de materiais de construção é

revendedor de tintas e queira calcular a verdadeira quantidade de tinta contida nas

latas de um galão de 1 l, compradas de um fabricante nacionalmente conhecido.

Sabe-se, pelas especificações contidas no galão, que o desvio padrão da quantidade

de tinta é igual a 0,02 l. Uma amostra aleatória de 50 latas é selecionada, e a

quantidade média de tinta por lata de 1 galão é igual a 0,995 l.

a) Desenvolva uma estimativa do intervalo de confiança de 99% da verdadeira

média da população da quantidade de tinta contida em uma lata de 1 galão.

b) Com base nos seus resultados, você acha que o proprietário da loja tem o direito

de reclamar ao fabricante? Por que?

c) A população de quantidade de tinta por lata tem que ser distribuída normalmente

neste caso? Explique.

d) Explique por que um valor observado de 0,98 l para cada lata não seria incomum,

apesar de estar fora do intervalo de confiança que você calculou?

e) Suponha que você utilizasse uma estimativa do intervalo de confiança de 95%,

quais seriam suas respostas para (a) e (b)?

6. O gerente de controle de qualidade de um fábrica de lâmpadas de filamento

precisa calcular a vida útil média de uma remessa de lâmpadas. Sabe-se que o

desvio padrão do processo é de 100 horas. Uma amostra aleatória de 50 lâmpadas

indicou uma vida útil média da amostra igual a 350 horas.

a) Desenvolva uma estimativa do intervalo de confiança de 99% da verdadeira

média útil das lâmpadas nesta remessa.

b) Você, conhecendo estes resultados, compraria uma lâmpada deste

fabricante? Explique.

c) Suponha que o desvio padrão do processo mudasse para 80 horas. Qual

seria sua resposta para (a)?

7. Um comerciante ficou muito curioso para descobrir qual a real quantidade de

refrigerante que é colocada em garrafas de 2 litros. Foi informado ao comerciante que

o desvio padrão para garrafas de 2 litros é 0,05 litro. Uma amostra aleatória, de 100

garrafas de 2 litros, indica uma média da amostra de 1,99 litro.

a) Desenvolva a estimativa do intervalo de confiança de 95% da verdadeira

média da quantidade de refrigerante de cada garrafa.

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b) A população de quantidade de refrigerante tem que ser distribuída

normalmente neste caso? Explique.

c) Explique por que um valor observado de 2,02 litros não seria incomum.

d) Suponha que a média da amostra mudasse para 1,97 litro. Quais seriam

suas respostas para (a) e (b)?

2.2.5 Determinação do tamanho da amostra

A formula do erro pode ser resolvida em relação a n. Assim:

2

...

=⇒=⇒=

Ezn

Ezn

nzE σσσ

Logo o tamanho da amostra dependerá de:

1. O grau de confiança desejado;

2. A quantidade de dispersão na população σ;

3. Certa quantidade de erro tolerável.

Se o tamanho da população N for conhecido, calculamos n com a fórmula

( ) 222

22

.1...

ENzzNn−+

=σ

σ

OBS: o tamanho da amostra n encontrado sempre deverá ser arredondado

para o inteiro superior mais próximo.

Atividades: 1) Qual o tamanho da amostra necessário pra estimar a média populacional de uma

característica dimensional de um processo com 95% de confiança cujo desvio-padrão

populacional é σ = 2,45 cm e precisão de 0,5 cm?

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2) Você pretende fazer uma pesquisa para atualizar os dados sobre média salarial dos

funcionários de uma indústria de cigarros. Estudos anteriores sugerem um desvio-padrão

de R$330,00. Sabendo que a empresa tem 3400 funcionários quantas pessoas você

deve pesquisar para estimar a média salarial de todos os funcionários, quando

a) o erro máximo tolerável for 50 reais e o nível de confiança 99%?

b) o erro máximo tolerável for 50 reais e o nível de confiança 95%?

c) o erro máximo tolerável for 20 reais e o nível de confiança 95%?

3) Para planejar o manuseio adequado do lixo doméstico, uma cidade deve estimar o

peso médio do lixo descartado pelas residências em uma semana. Determine o tamanho

da amostra necessário para estimar essa média, para que tenhamos 96% de confiança

em que a média amostral esteja a menos de 0,9 kg da verdadeira média populacional.

Para o desvio-padrão populacional use o valor 5,65 kg, que é o desvio padrão duma

cidade vizinha de mesmo porte.

2.2.6 Estimativas para a média populacional: pequenas amostras

Em muitas situações da vida real, o desvio padrão populacional é

desconhecido. Além disso, em função de fatores como tempo e custo,

frequentemente não é prático colher amostras de tamanho superior a 30. Assim,

como construir intervalos de confiança para a média populacional nessas condições?

Se a variável aleatória é normalmente distribuída (ou aproximadamente normalmente

distribuída), a distribuição amostral para x é uma distribuição t (Student).

A distribuição t é uma família de curvas, cada uma delas determinada por um

parâmetro chamado grau de liberdade. Os graus de liberdade são os números de

escolhas livres deixados após uma amostra estatística, tal como a média de x ter sido

calculada. Quando se usa uma distribuição t para estimar uma média populacional, o

número de graus de liberdade é igual ao tamanho da amostra menos um.

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Grau de Liberdades = n – 1 Quando o número de graus de liberdade cresce, a distribuição tende para a

distribuição normal. Após 30 graus de liberdade distribuição t está muito próxima da

distribuição normal padrão z.

Condições para utilização da Distribuição t de Student

1. O tamanho da amostra deve ser pequeno, 30n ≤ ;

2. σ é desconhecido;

3. A população original tem distribuição essencialmente normal.

Obtendo os valores críticos de t

1. Determinar o valor crítico t para 95% de confiança quando o tamanho da amostra

for 15.

2. Determinar o valor crítico de t para 90% de confiança quando o tamanho da

amostra for 22.

2.2.8 Intervalos de confiança e a distribuição t O intervalo de confiança para uma média amostral quando se usa desvio padrão

amostral é muito semelhante ao intervalo quando se usa desvio padrão da população.

x - E < µ < x + E ou µ = ± E

Sendo que

nstE .=

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E para população finita

1..

−−

=N

nNn

zE σ

Exemplos:

1. Você seleciona ao acaso 16 restaurantes e mede a temperatura do café vendido em

cada um. A temperatura média amostral é de 72ºC, com um desvio padrão amostral de

12ºC. Obtenha o intervalo de confiança de 95% para a temperatura média. Suponha que

as temperaturas estejam normalmente distribuídas.

2. Você seleciona ao acaso 20 casas hipotecárias e determina a atual taxa de juro que

cada uma cobra. A taxa média amostral é de 6,93% com desvio padrão de 0,42%

Obtenha o intervalo de confiança de 99% para a população da taxa media de juro para as

hipotecas. Suponha que as taxas de juros tenham distribuição aproximadamente normal.

EXERCÍCIOS

1. Nosso interesse é estimar a média de consumo em quilômetros por litro de um novo

modelo de carro da montadora líder do mercado de carros populares. Sabendo que a

população tem distribuição normal e o consumo em quilômetros por litros de uma

amostra aleatória de 16 carros do novo modelo de carro é igual a 14,8 com desvio

padrão igual a 2, pede-se estimar o valor da média da população com intervalo de

confiança igual a 95%.

2. Um analista de um departamento de pessoal seleciona aleatoriamente os registros de

16 empregados horistas e calcula a taxa média de salário, R$ 7,50. Supõe-se que os

salários na firma sejam distribuídos normalmente. Se o desvio-padrão dos salários é

conhecido, e igual a R$1,00, estimar a taxa média de salário na firma usando um

intervalo de confiança de 90%.

3. O diâmetro médio de uma amostra de 12 bastões cilíndricos incluídos em um

carregamento é de 2,350 mm com um desvio padrão de 0,050 mm. A distribuição

dos diâmetros de todos os bastões incluídos no carregamento é aproximadamente

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normal. Determinar o intervalo de confiança de 99% para estimar o diâmetro médio

de todos os bastões incluídos no carregamento.

2.2.9 Estimação da proporção numa população É semelhante à de médias populacionais.

p = proporção populacional

nxp = proporção amostral de x sucessos em uma mostra de tamanho n.

Estimativa de intervalos

p – E < p < p + E ou p = ± E

Margem de erro da estimativa p

( )n

ppzE −=

1..

Para população finita

( )1

.1..−−−

=N

nNn

ppzE

Determinação do tamanho da amostra

( )2

2 1..E

ppzn −=

Quando o tamanho N da população for conhecido

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( )( ) ( ) 22

2

.1.1.1...

ENzppppzNn−+−

−=

Caso não se conheça informações sobre a proporção amostral p, devemos

supor que

p = 0,5.

Exemplos: 1. Determine um intervalo de confiança de 98% para a verdadeira proporção

populacional, se x = 50 e n = 200.

2) Qual o tamanho da amostra necessário para estimar a verdadeira porcentagem

populacional a menos de 4% usando um intervalo de confiança de 90%. É razoável

suspeitar que o verdadeiro valor seja 0,30 ou menos.

3) Qual o tamanho da amostra necessário para obter um intervalo de 95% de confiança

para a proporção populacional, se o erro tolerável é 0,08?

EXERCÍCIOS

1. Em recente pesquisa levada a efeito junto a 200 habitantes de uma grande cidade, 30

se mostraram favoráveis ao restabelecimento da pena de morte.

a) Construa um intervalo de 99% de confiança para a verdadeira proporção dos

habitantes daquela cidade favoráveis à pena capital.

b) Que se pode dizer quanto ao tamanho do erro máximo para esse intervalo de

confiança?

2. Uma biblioteca pública deseja estimar a percentagem de livros de seu acervo

publicados até 2000. Qual deve ser o tamanho da amostra aleatória para se ter 90%

de confiança de ficar a menos de 5 % da verdadeira proporção?

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3. Uma amostra aleatória de 40 homens trabalhando num grande projeto de construção

revelou que 6 não estavam usando capacetes protetores. Construa um intervalo de

99% de confiança para a verdadeira proporção dos que estão usando capacetes

neste projeto.

4. Uma amostra de 50 bicicletas de um estoque de 400 bicicletas acusou 7 com pneus

vazios. Construa um intervalo de 99% de confiança para a população das bicicletas

com pneus vazios.

5. Selecionado aleatoriamente e pesquisados 500 universitários, verificou-se que 135

deles têm computador pessoal.

a) Determine a estimativa pontual da verdadeira proporção de todos os

universitários que têm computador pessoal.

b) Determine um intervalo de 95% de confiança para a verdadeira proporção de

todos os universitários que têm computador pessoal.

6. Se uma faculdade tem 1200 alunos, qual tamanho de amostra necessário para

estimar a proporção de alunos que são a favor da pena de morte? Use um erro

amostral de 2% e índice de confiança de 95%.

7. Um estudo de saúde envolve 1000 mortes selecionadas aleatoriamente, dentre as

quais 331 causadas por doenças cardíacas.

a) Com os dados amostrais, construa um intervalo de confiança de 99% para a

proporção de todas as mortes causadas por doenças cardíacas.

b) Utilizando os dados amostrais como piloto, determine o tamanho da

amostra necessário para estimar a proporção de todas as mortes causadas

por doenças cardíacas. Admita um nível de confiança de 98%, em que o

erro da estimativa não supere 1%.

8. Uma papelaria gostaria de calcular o valor médio do preço dos cartões de

cumprimentos existente em seu estoque. Uma amostra aleatória de 20 cartões indica

um valor médio de $1,67 e um desvio padrão de $0,32. Se o número de cartões no

estoque da loja fosse igual a 300:

a) Desenvolva uma estimativa, com intervalo de confiança de 95%, do valor

médio de todos os cartões no estoque da loja.

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b) Desenvolva uma estimativa, com intervalo de confiança de 95%, do valor

médio da população de todos os cartões que estão no estoque.

c) Compare os resultados obtidos em (a) e (b).

d) Quais seriam a respostas para (b) e (c) se a loja tivesse 500 cartões no

estoque?

9. Uma concessionária de automóveis gostaria de calcular a proporção de consumidores

que ainda possuem o carro que compraram 5 anos atrás. Uma amostra aleatória de

200 consumidores, selecionados a partir dos registros da concessionária de

automóveis, indica que 82 consumidores ainda possuem os carros que compraram a

5 anos. Suponha que a população consiste em 4.000 proprietários:

a) Desenvolva uma estimativa, com intervalo de confiança de 95%, da verdadeira

proporção de clientes que ainda possuem os carros que adquiriram cinco anos

atrás.

b) E se a população fosse de 6.000 proprietários?

10. O gerente de um banco em uma cidade pequena gostaria de determinar a proporção

de seus correntistas que recebem salários semanais. Uma amostra aleatória de 100

correntistas é selecionada, e 30 afirmam que são pagas semanalmente. Se o banco

possui 1.000 correntistas:

a) Desenvolva uma estimativa, com intervalo de confiança de 90%, para a

verdadeira proporção de correntistas que recebem salários semanais.

b) Determine o tamanho da amostra necessário para se calcular a vida útil média,

em uma margem de ± 0,05, com 90% de confiança.

c) Quais seriam as respostas para (a) e (b), se o banco tivesse 2.000

depositantes?

11. Observe os dados do problema do refrigerante (exercício 7 da 1ª lista de exercícios

de Estimativas). Se a população consiste em 2.000 garrafas:

a) Desenvolva uma estimativa, com intervalo de confiança de 95% da quantidade

média de refrigerante em cada garrafa do total da população.

b) Determine o tamanho da amostra necessário para se calcular a quantidade

média da população, em uma margem de ±0,01, com 95% de confiança.

c) Quais seriam suas respostas para (a) e (b) se a população consistisse em

1.000 garrafas?

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12. Uma pesquisa é planejada para determinar as despesas médicas anuais das famílias

dos empregados de uma grande empresa. A gerência da empresa deseja ter 95% de

confiança de que a média da amostra está correta, e de ± 0,05 da média real das

despesas médias familiares. Um estudo-piloto indica que o desvio padrão pode ser

calculado como sendo igual a $400. Que tamanho da amostra seria necessário se a

companhia tivesse 3.000 empregados?

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Tabela de Distribuição t de Student

75% 80% 90% 95% 96% 98% 99% I.C. 15% 10% 5% 2,5% 2% 1% 0,5% Bilateral

GL 30% 20% 10% 5% 4% 2% 1% Unilateral 1 1,9626 3,0777 6,3137 12,7062 15,8945 31,8210 63,6559 2 1,3862 1,8856 2,9200 4,3027 4,8487 6,9645 9,9250 3 1,2498 1,6377 2,3534 3,1824 3,4819 4,5407 5,8408 4 1,1896 1,5332 2,1318 2,7765 2,9985 3,7469 4,6041 5 1,1558 1,4759 2,0150 2,5706 2,7565 3,3649 4,0321 6 1,1342 1,4398 1,9432 2,4469 2,6122 3,1427 3,7074 7 1,1192 1,4149 1,8946 2,3646 2,5168 2,9979 3,4995 8 1,1081 1,3968 1,8595 2,3060 2,4490 2,8965 3,3554 9 1,0997 1,3830 1,8331 2,2622 2,3984 2,8214 3,2498

10 1,0931 1,3722 1,8125 2,2281 2,3593 2,7638 3,1693 11 1,0877 1,3634 1,7959 2,2010 2,3281 2,7181 3,1058 12 1,0832 1,3562 1,7823 2,1788 2,3027 2,6810 3,0545 13 1,0795 1,3502 1,7709 2,1604 2,2816 2,6503 3,0123 14 1,0763 1,3450 1,7613 2,1448 2,2638 2,6245 2,9768 15 1,0735 1,3406 1,7531 2,1315 2,2485 2,6025 2,9467 16 1,0711 1,3368 1,7459 2,1199 2,2354 2,5835 2,9208 17 1,0690 1,3334 1,7396 2,1098 2,2238 2,5669 2,8982 18 1,0672 1,3304 1,7341 2,1009 2,2137 2,5524 2,8784 19 1,0655 1,3277 1,7291 2,0930 2,2047 2,5395 2,8609 20 1,0640 1,3253 1,7247 2,0860 2,1967 2,5280 2,8453 21 1,0627 1,3232 1,7207 2,0796 2,1894 2,5176 2,8314 22 1,0614 1,3212 1,7171 2,0739 2,1829 2,5083 2,8188 23 1,0603 1,3195 1,7139 2,0687 2,1770 2,4999 2,8073 24 1,0593 1,3178 1,7109 2,0639 2,1715 2,4922 2,7970 25 1,0584 1,3163 1,7081 2,0595 2,1666 2,4851 2,7874 26 1,0575 1,3150 1,7056 2,0555 2,1620 2,4786 2,7787 27 1,0567 1,3137 1,7033 2,0518 2,1578 2,4727 2,7707 28 1,0560 1,3125 1,7011 2,0484 2,1539 2,4671 2,7633 29 1,0553 1,3114 1,6991 2,0452 2,1503 2,4620 2,7564 30 1,0547 1,3104 1,6973 2,0423 2,1470 2,4573 2,7500

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TESTE DE HIPÓTESES

Muitas vezes o pesquisador tem alguma idéia ou conjectura, sobre o comportamento de uma variável. Neste caso, o planejamento de pesquisa deve ser de tal forma que permita, com os dados amostrais, testar a veracidade de suas idéias sobre a população em estudo. Considera-se que a população seja o mundo real e as idéias sejam hipóteses de pesquisa, que poderão ser testadas por técnicas estatísticas denominadas de testes de hipóteses ou testes de significância.

Neste sentido, Teste de Hipótese consiste em analisar as diferenças entre os resultados obtidos, e verificar se a hipótese levantada condiz com a realidade.

Em outras palavras, o objetivo do teste estatístico de hipótese é fornecer ferramentas que nos permitam validar ou recusar uma hipótese através dos resultados da amostra.

Na intenção de confirmar ou rejeitar uma hipótese, temos nominá-la (nula ou alternativa).

Para escrever as hipóteses nula e alternativa, transforme a formulação verbal da alegação sobre um parâmetro populacional em uma formulação matemática. Exemplos: 1. Escreva a formulação matemática da alegação. Estabeleça as hipóteses nula e alternativa e identifique qual delas representa a alegação.

(a) Uma fabrica de bateria para automóveis alega que a vida média de um determinado modelo é de 74 meses.

(b) Uma estação de rádio alega que sua proporção de audiência local é maior do que 39%.

• Tipos de erros Não importando qual das hipóteses representa a alegação, você começará sempre um

teste de hipótese assumindo que a condição de igualdade na hipótese nula é verdadeira. Assim, quando realizar um teste de hipótese, você deve tomar uma das duas decisões: rejeitar a hipótese nula ou não rejeitar a hipótese nula.

Uma vez que sua decisão baseia-se em informação incompleta (uma amostra em vez de toda a população), há sempre a possibilidade de se tomar a decisão errada.

Então, quando se realiza um teste de hipótese, podem-se cometer dois tipos de erro: Erro tipo I ou Erro tipo II. Veja a Tabela.

Realidade 0H verdadeira 0H falsa

Decisão Aceitar 0H Decisão correta Erro tipo II Rejeitar 0H Erro tipo I Decisão Correta

Observe que o erro tipo I só poderá acontecer se for rejeitado 0H e o erro tipo II quando

for aceito 0H .

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Exemplo: O limite do Departamento de Agricultura para a contaminação por salmonela em frangos é de 20%. Uma granja alega que seus frangos estão dentro do limite. Você realiza um teste de hipótese para determinar se a alegação da granja é verdadeira. Quando ocorrerão os erros do tipo I e II? Qual deles é o mais grave?

• Estatística de teste: é uma estatística amostral, ou um valor baseado nos dados amostrais. Utiliza-se uma estatística de teste para tomar uma decisão sobre a rejeição da hipótese nula. Dado por

txz

n

µσ−

=

• Região crítica: é o conjunto de todos os valores da estatística de teste que levam à

rejeição da hipótese nula. • Nível de significância: é probabilidade de rejeitar a hipótese nula quando ela é

verdadeira. Denota por α . • Valor crítico: é o valor, ou valores, que separa(m) a região crítica dos valores da

estatística de teste que não levam à rejeição da hipótese nula. Dependem da natureza da hipótese nula, da distribuição amostral, e do nível de significância α .

INTERPRETANDO UMA DECISÃO Exemplo 1. Você realiza um teste de hipótese para a alegação a seguir: Uma

universidade alega que a proporção de seus estudantes graduados em 4 anos é de 82%. ( 0H contém a afirmação original)

a) Interpretar a decisão quando for rejeitada a hipótese nula . Há evidências suficientes para garantir a rejeição da hipótese de que a proporção dos

estudantes da Universidade graduados em 4 anos é de 82%. b) Interpretar a decisão quando NÃO for rejeitada a hipótese nula (aceita). Não há evidência suficiente para garantir a rejeição da afirmação de que a proporção

dos estudantes da Universidade graduados em 4 anos é de 82%

0H

.

Exemplo 2. Você realiza um teste de hipótese para a alegação a seguir: Uma universidade alega que a proporção de seus estudantes graduados em 4 anos é superior a 82%. ( NÃO contém a afirmação original)

a) Interpretar a decisão quando for rejeitada a hipótese nula. Os dados amostrais apóiam a afirmação de que a proporção dos estudantes da

Universidade graduados em 4 anos é superior 82%. b) Interpretar a decisão quando NÃO for rejeitada a hipótese nula (aceita). Não há evidência amostral para apoiar a afirmação de que a proporção dos estudantes

da Universidade graduados em 4 anos é superior 82%. Quando se aceita ou rejeita uma hipótese, estamos sempre

falando da hipótese nula, mesmo que esta não tenha a alegação.

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Teste de hipótese quando O desvio-padrão populacional σ é conhecido

Usamos a distribuição normal (Tabela z) para comparar com a estatística de teste tz :

txz

n

µσ−

=

O desvio-padrão populacional σ é DESCONHECIDO (n pequeno)

Usamos a distribuição t de Student (Tabela t) com Grau de Liberdade 1n − para comparar com a estatística de teste tt :

txt s

n

µ−=

Exemplo 1. Os dois registros dos últimos anos de um colégio atestam para os calouros admitidos

uma nota média de 115 com desvio-padrão de 20 pontos (teste vocacional). Para testar a hipótese de que a média de uma nova turma é a mesma, tirou-se, ao acaso, uma amostra de 20 notas obtendo-se média de 118 no teste. Com um nível de significância 5%α = , faça o teste.

Exemplo 2. Um empresário desconfia que o tempo médio de espera para atendimento de seus

clientes é superior a 20 minutos. Para testar essa hipótese ele entrevistou 20 pessoas e questionou quanto tempo demoravam a serem atendidas. O resultado dessa pesquisa aparece a seguir:

21,8x = min. e 1, 40s = min. Teste as hipóteses usando α = 0,05

3.1. Teste de hipótese sobre uma proporção Segue os mesmos procedimentos para testes com médias, sendo que a estatística de

teste é dada por

( )ˆ

1t

p pzp p

n

−=

−

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Exemplo 1. Em um teste de gosto de consumidores, 100 bebedores regulares de Pepsi receberam amostras cegas de Coca e Pepsi; 48 deles preferiram a Coca. Ao nível de significância de 0,05, teste a afirmação de que a Coca é preferida por 50% dos bebedores de Pepsi que participam de tais testes.

Exemplo 2: Um jornal afirma que aproximadamente 25% dos adultos em sua área de circulação são

analfabetos segundo os padrões governamentais. Teste essa afirmação contra a alternativa de que a verdadeira percentagem não é 25% e use um nível de significância de 5%. Uma amostra de 740 pessoas indica que apenas 20 % seriam consideradas analfabetas segundo os mesmos padrões.

Atividades

1. A Farmácia X vende um repelente de insetos que alega ser eficiente pelo prazo de 400 horas no mínimo. Uma análise de nove itens escolhidos aleatoriamente acusou uma média de eficiência de 380 horas.

a) Teste a alegação da companhia, contra a alternativa que a duração é inferior a 400 horas, ao nível de 0,01, se o desvio padrão amostral é de 60 horas.

b) Repita a questão anterior sabendo que o desvio padrão populacional é 90 horas.

2. Um fabricante de automóveis alega que seus carros tamanho-família, quando equipados com um tipo de pára-choques absorvente, podem suportar um choque de frente a uma velocidade de 10 mph, com um custo de conserto de no máximo R$ 100, Uma amostra de seis carros, examinada por um escritório independente de pesquisa, revelou um custo médio de reparo de R$ 150 por carro. O desvio padrão amostral foi de R$ 30. Admita que a distribuição dos custos de conserto seja aproximadamente normal. Há indício suficiente para rejeitar a alegação da firma, ao nível de 0,01?

3. Uma companhia de seguros iniciará uma campanha extensa de propaganda para vender apólices de seguro de vida, se verificar que a quantia média segurada por família é inferior a R$10.000,00. Tomou-se uma amostra aleatória de 50 famílias, que acusaram seguro médio de R$9.600,00, com desvio padrão de R$1.000,00.

a) Com base na evidência amostral, a alegação deve ser aceita ou rejeitada, ao nível de 0,05?

b) A conclusão a que se chegou, utilizando a evidência amostral, pode estar errada? Qual seria o tipo de erro? Por quê?

4. Uma cervejaria distribui um tipo de cerveja sem álcool em garrafas que indicam o conteúdo

de 940 ml. Um Instituto de pesquisa seleciona 50 dessas garrafas, mede seu conteúdo e obtém uma média amostral de 934 ml, com desvio-padrão de 22 ml. Ao nível de significância de 0,01, teste a afirmação do Instituto de que a companhia está ludibriando os consumidores.

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5. O gerente de controle de qualidade de certa empresa considera que a fabricação de secretárias eletrônicas como “fora de controle” quando a taxa geral de defeitos excede 4%. O teste de uma amostra de 150 secretárias eletrônicas acusou 9 defeituosas, o que corresponde a uma porcentagem de 6% de defeitos. O gerente de produção alega tratar-se apenas de uma diferença casual, e que a produção realmente está sob controle, não sendo necessária qualquer medida corretiva. Teste a afirmação do gerente de produção, ao nível de 0,05 de significância.

6. As condições de mortalidade de uma região são tais que a proporção de nascidos que sobrevivem até 60 anos é de 0,6. Testar essa hipótese ao nível de 2%, se em 1000 nascimentos amostrados aleatoriamente, verificou-se 530 sobreviventes até 60 anos. (R = rejeita-se 0H )

7. A compra de uma lavanderia operada por moedas está sendo levada em conta por um empresário. O atual proprietário declara que, nos últimos 5 anos, a receita era de $675 diários, com um desvio padrão de $75. Uma amostra de 30 dias selecionados revela uma receita diária média de $650. a) Há evidências de que a declaração do atual proprietário não seja válida, para um nível

de significância de 0,01? b) Qual seria a resposta em (a) se o desvio padrão fosse de $100?

8. Suponha que o diretor de produção de uma fábrica de tecidos precise determinar se uma

nova máquina está produzindo determinado tipo de tecido de acordo com as especificações do fabricante, que indicam que o tecido deve ter resistência de rompimento de pelo menos 70 libras e um desvio padrão de 3,5 libras. Uma amostra de 36 peças revela uma média da amostra igual a 69,7 libras. (Use nível de significância de 0,01) a) Há evidências de que a máquina não está atendendo às especificações, em termos da

resistência de rompimento? b) Qual seria a resposta em (a) se a média da amostra fosse 69 libras?

9. O diretor pessoal de uma grande companhia de seguros está interessado em reduzir a taxa

de rotatividade de funcionários no setor de processamento de dados no primeiro ano de emprego. Registros do passado indicam que 25% dos novos contratados nesta área não estão mais empregados no final de um ano. Novos e extensos métodos de treinamento são implementados para uma amostra de 150 funcionários do processamento de dados. Ao final do período de um ano, 29 desses 150 indivíduos não estão mais empregados. No nível de significância de 0,01, há evidências de que a proporção de funcionários de processamento de dados que tenham passado pelo novo treinamento e não estejam mais empregados seja diferente de 25%?

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3.2. Teste para a diferença entre duas médias Caso 1: Desvios-padrão populacionais 1σ e 2σ conhecidos

1 22 21 2

1 2

tx xz

n nσ σ

−=

+

Caso 2: Desvio padrão populacionais 1σ e 2σ desconhecidos ( 30n ≤ ) Estatística calculada:

1 22 21 2

1 2

tx xts sn n

−=

+

Hipóteses:

0 1 2: H µ µ= ou 0 1 2: H µ µ≤ ou 0 1 2: H µ µ≥

1 1 2: H µ µ≠ 1 1 2: H µ µ> 1 1 2: H µ µ< 3.3. Teste para a diferença entre duas proporções populacionais p1 e p Estatística calculada:

2

1 2

1 2

ˆ ˆt

p pzp q p qn n

−=

⋅ ⋅+

sendo 1 2

1 2

x xpn n+

=+

e 1q p= −

Exemplo: Numa pesquisa sobre possuidores de videocassete, encontrou-se 120 nas 200 casas

pesquisadas do bairro X e 240 nas 500 pesquisas do bairro Y. Há diferença entre a proporção dos possuidores de videocassete nos dois bairros? Use 10%α =

Escolher o menor grau de liberdade 1 1GL n= − ou 2 1GL n= −

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EXERCÍCIOS

1. Duas pesquisas independentes sobre salários em duas áreas metropolitanas muito separadas revelaram a seguinte informação sobre o salário médio de operadores de equipamento pesado:

A B x 6,50/h 7,00/h s 1,50/h 1,00/h n 25 25

Pode-se concluir, ao nível de 0,05, que os salários médios sejam diferentes?

2. Uma empresa de pesquisa de opinião seleciona, aleatoriamente, 300 eleitores de Santa Catarina e 400 do Rio Grande do Sul, e pergunta a cada um deles votará ou não num determinado candidato nas próximas eleições, 75 eleitores de SC e 120 do RS responderam afirmativo. Há diferença entre as proporções de eleitores favoráveis ao candidato nesses dois estados? Use α= 5%

3. Em uma pesquisa de opinião, 32 dentre 80 homens declararam apreciar certa revista,

acontecendo o mesmo com 26 dentre 50 mulheres. Ao nível de 5% de significância, os homens e as mulheres apreciam igualmente a revista?

4. O gerente do departamento de crédito de uma companhia de petróleo gostaria de

determinar se a renda mensal média de possuidores de cartões de crédito é igual a $75. Um auditor seleciona uma amostra aleatória de 50 contas e descobre que a média é $83,40 com um desvio padrão da amostra de $23,65. Utilizando o nível de significância de 0,05, o auditor deveria concluir que há evidências de que a renda média seja diferente de $75?

5. Um fabricante de televisores declarou, no rótulo de garantia, que, no passado, não mais

de 10% de seus aparelhos de televisão precisou de reparo durante os 2 primeiros anos de funcionamento. Para testar a validade dessa declaração, uma agência de testes do governo seleciona uma amostra de 100 aparelhos e descobre que 14 aparelhos necessitaram de algum reparo nos primeiro 2 anos de funcionamento. Utilizando um nível de significância de 0,01, a declaração do fabricante é válida?

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Página 46

Página 47

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Médias de 15 universitarios no Ensino Médio e na Universidade

Aluno

Notas no Ens. Médio

(x)

Notas na Universidade

(y)

x.y

x

y2 2

1 80 1,0 80 6400 1,0 2 82 1,0 82 6724 1,0 3 84 2,1 4 85 1,4 5 87 2,1 6 88 1,7

Página 49

7 88 2,0 8 89 3,5 9 90 3,1 10 91 2,4 11 91 2,7 12 92 3,0 13 94 3,9 14 96 3,6 15 98 4,0

Total 1335 37,5 r =

4.3 Coeficiente de determinação ou de explicação (r2)

O coeficiente de determinação serve para avaliar a qualidade do ajuste de um modelo. Ele indica quantos por cento a variação explicada pela regressão representa da variação total.

Coeficiente de determinação = r2

Campo de variação de 0 ≤ r2 ≤ 1 ou 0 ≤ r2 ≤ 100%

Interpretação de r

• Se r

2

2

• Se r

= 1, todos os pontos observados estão sobre a reta estimada. Neste caso, as variações de y são 100% explicadas pelas variações de x, através da função especificada, não havendo desvios em torno da função estimada.

2

= 0, conclui-se que as variaveis de y são puramente aleatorias e a inclusão da variável x no modelo não trara informação alguma sobre as variações de y.

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4.6. Relação entre o coeficiente de correlação e a regressão

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O valor de r e um valor sem dimensão, que apenas fornece uma idéia da relação linear entre duas variáveis. No caso da regressão, alem de se ter uma idéia da relação entre as duas variáveis, também se encontra uma equação que pode ser usada para fornecer estimativas (ou predições).

OBS:

1. Se não há correlação linear significativa, não use a equação de regressão para fazer estimativas.

2. Ao aplicar a equação da regressão para predições, mantenha-se dentro do âmbito dos dados amostrais.

3. Uma equação de regressão baseada em dados passados não e necessariamente valida hoje.

4. Não devemos fazer predições sobre uma população diferente daquela de onde provem os dados amostrais.

Exemplo:

Os dados abaixo representam uma amostra de 8 ursos machos com seus respectivos pesos e comprimentos.

Comprimento x (cm) 134 171 182 182 186 173 185 94

Peso y (kg) 36 156 188 158 119 163 150 15

Para esses dados:

a) Construa um diagrama de dispersão. b) Determine o coeficiente de correlação e de determinação. Interprete-os. c) Ajuste ma reta de mínimos quadrados com a qual possamos calcular o peso dos ursos

em função de sua altura.

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Exercícios: Calcule a correlação existente entre as variáveis apresentadas:

1) Preços e Quantidades vendidas do mesmo produto verificados em vários locais de vendas: Preços (x) Quant. Vend(y) X² Y² X.Y

12 41

13 22

14,5 15

15 10

12,6 44

∑

2) Dados os valores x (5, 10,20, 8, 4, 6, 12 e 15) e y (27, 46,73, 40, 30, 28, 46 e 59),

nesta ordem respectivamente, e supondo que x expresse os valores de aquisição de plano de saúde numa determinada empresa e y a produtividade de seus empregados, determine a correlação entre os dados.

3) Uma amostra aleatória de 10 alunos foi retirada de uma sala de 98 alunos. Deste foi

verificado as notas de matemática e estatística: Matemática 5,0 8,0 7,0 10,0 6,0 7,0 9,0 3,0 8,0 2,0 Estatística 6,0 9,0 8,0 10,0 5,0 7,0 8,0 4,0 6,0 2,0

Existe correlação entre as duas disciplinas? Qual?

4) A tabela abaixo apresenta valores que mostram como o comprimento de uma barra de aço varia conforme a temperatura

Temperatura (°C) 10 15 20 25 30 Comprimento (mm)

1.003 1.005 1.010 1.011 1.014

Determine: a) O coeficiente de correlação; b) A reta ajustada a essa correlação; c) O valor estimado do comprimento da barra para a temperatura de 18°C d) O valor estimado do comprimento da barra para a temperatura de 35°C

5) Calcular a propaganda necessária para se alcançar uma venda prevista R$ 3.200,00 para

2007, sabendo-se que existe forte correlação direta entre as vendas e propaganda. Anos Vendas (x) Propag (y) x.y x²

2002 1.500 75 2003 1.900 118 2004 2.300 155 2005 2.450 215 2006 2.700 230

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