EXERCÌCOS: PROF CELSO BERREDO 1. Um restaurante oferece no cardápio 2 saladas distintas, 4 tipos de pratos de carne, 5 variedades de bebidas e 3 sobremesas diferentes. Uma pessoa deseja uma salada, um prato de carne, uma bebida e uma sobremesa. De quantas maneiras a pessoa poderá fazer seu pedido?

90 100 110 130 120 2. No sistema de emplacamento de veículos que seria implantado em 1984, as placas deveriam ser iniciadas por 3 letras do nosso alfabeto. Caso o sistema fosse implantado, o número máximo possível de prefixos, usando-se somente vogais, seria:

20 60 120 125 2433.Uma palavra é formada por N vogais e N consoantes. De quantos modos distintos podem-se permutar as letras desta palavra, de modo que não apareçam juntas duas vogais ou duas consoantes?

(N!)2 (N!)2.2 (2N)! (2N)!.2 N!

4. Oito políticos foram convidados a participar de uma mesa em uma convenção. Os lugares eram contíguos e dispostos em linha, de um mesmo lado da mesa. Sabendo que o político A não suporta o político B, não podendo sentar juntos, de quantas maneiras a mesa poderá ser composta?

56 5040 30240 35280 40320

5. Com uma letra R, uma letra A e um certo número de letras M, podemos formar 20 permutações. O número de letras M é:

6 12 4 3 86. As diretorias de 4 membros que podemos formar com 10 sócios de uma empresa são:

5040 40 2 210 5400

7. Em uma circunferência são marcados 7 pontos distintos: A, B, C, D, E, F e G. Com estes pontos, quantas cordas podem ser traçadas?

42 14 21 7

28

8. Num hospital há 3 vagas para trabalhar no berçário, 5 no banco de sangue e 2 na radioterapia.

Se 6 funcionários se candidatam para o berçário, 8 para o banco de sangue e 5 para a

radioterapia, de quantas formar distintas essas vagas podem ser preenchidas ?

30 240 1120 11200

16128000

9. Uma comissão técnica formada por engenheiros e economistas, deve ter 5 elementos, dos quais pelo menos 2 devem ser engenheiros. Se são disponíveis 4 engenheiros e 5 economistas, o número possível de comissões distintas é:

18 23 35 105

240

10) Uma enfermidade que tem sete sintomas conhecido é detectada pelo médico, se o paciente

apresentar 4 ou mais desse sintomas. Para que seja feito um diagnóstico seguro, o número de

combinações possíveis de sintomas diferentes é:

1 7 21 35

64

PROBABILIDADE1. Dados os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7, construímos todos os números que podem ser representados usando dois deles (sem repetir). Escolhendo ao acaso (aleatoriamente) um dos números formados, qual a probabilidade de o número sorteado ser:a) Par? b) Múltiplo de 5?

2. Um baralho tem 12 cartas, das quais 4 são ases. Retiram‐se 3 cartas ao acaso. Qual a probabilidade de haver pelo menos um ás entre as cartas retiradas?

3. Lançando dois dados honestos simultaneamente, qual a probabilidade de obtermos 1 no primeiro dado e 5 no segundo dado?

4. Joga‐se um dado honesto. O número que ocorreu (isto é, da face voltada para cima) é o coeficiente b da equação x2 + bx + 1 = 0. Determine:a) a probabilidade de essa equação ter raízes reais;b) a probabilidade de essa equação ter raízes reais, sabendo‐se que ocorreu um número ímpar.

5. Lançamos um dado. Qual a probabilidade de se tirar o 3 ou o 5?

6. Os bilhetes de uma rifa são numerados de 1 a 100. Qual a probabilidade de o bilhete sorteado ser maior que 40 ou número par?

7. Num único lance de um par de dados honestos, qual a probabilidade de saírem as somas “múltiplo de 4” ou “primo”?

8. Ao lançar um dado muitas vezes, uma pessoa percebeu que a face 6 saía com o dobro de frequência da face 1, e que as outras faces saíam com a frequência esperada em um dado não viciado. Qual a frequência da face 1?

9. De dois baralhos de 52 cartas retiram‐se, simultaneamente, uma carta do primeiro baralho e uma carta do segundo. Qual a probabilidade da carta do primeiro baralho ser um rei e a do segundo ser o 5 de paus?

10. Uma urna A contém: 3 bolas brancas, 4 bolas pretas, 2 verdes; uma urna B contém: 5 bolas brancas, 2 pretas, 1 verde; uma urna C contém: 2 bolas brancas, 3 pretas, 4 verdes. Uma bola é retirada de cada urna. Qual é a probabilidade das três bolas retiradas da primeira, segunda e terceira urnas serem, respectivamente, branca, preta e verde?

11. De um baralho de 52 cartas retiram‐se, ao acaso, duas cartas sem reposição. Qual a probabilidade da carta da primeira carta ser o ás de paus e a segunda ser o rei de paus?12. Lançando-se uma moeda 6 vezes, qual a probabilidade de ocorrer 4 vezes cara?

13. Lançando-se um dado 5 vezes, qual a probabilidade de ocorrer o número 6 no mínimo 3 vezes?

14. Uma prova consta de 10 questões com 4 alternativas cada, uma só correta. Um estudante “chuta” os 10 testes. Qual a probabilidade dele acertar no mínimo 7 perguntas?

Respostas: 1) a) 37 ; b)

17 ; 2)

4155 ; 3)

136 ; 4) a)

56 ; b)

23 ; 5)

13 ; 6) 80%; 7)

23 ; 8)

19 ; 9)

1676 ;

10) 1

27 ; 11) 1

2562 ; 12);

1332 13)

1564 ; 14)

23648 ; 15)

919262144 .

1. Um restaurante oferece no cardápio 2 saladas distintas, 4 tipos de pratos de carne, 5 variedades de bebidas e 3 sobremesas diferentes. Uma pessoa deseja uma salada, um prato de carne, uma bebida e uma sobremesa. De quantas maneiras a pessoa poderá fazer seu pedido?

90 100 110 130 120

Solução. Cada item do cardápio pode ser combinado com as quantidades dos outros. Pelo

teorema fundamental da contagem as possibilidades são: 2 x 4 x 5 x 3 = 120 possibilidades.

4. No sistema de emplacamento de veículos que seria implantado em 1984, as placas deveriam ser iniciadas por 3 letras do nosso alfabeto. Caso o sistema fosse implantado, o número máximo possível de prefixos, usando-se somente vogais, seria:

20 60 120 125 243

Solução. As vogais podem ser repetidas de forma que as possibilidades podem ser: 5 x 5 x 5 = 125.10. Uma palavra é formada por N vogais e N consoantes. De quantos modos distintos podem-se permutar as letras desta palavra, de modo que não apareçam juntas duas vogais ou duas consoantes?

(N!)2 (N!)2.2 (2N)! (2N)!.2 N!

Solução. Considerando as posições já intercaladas há N! trocas de vogais e N! trocas de

consoantes. Como podemos iniciar com vogais ou consoantes, multiplicamos esse resultado

por 2. O total de arrumações é 2 x N! x N! = 2 x (N!)2. ( Um exemplo numérico é o exercício

4 dessa lista).

. Oito políticos foram convidados a participar de uma mesa em uma convenção. Os lugares eram contíguos e dispostos em linha, de um mesmo lado da mesa. Sabendo que o político A não suporta o político B, não podendo sentar juntos, de quantas maneiras a mesa poderá ser composta?

56 5040 30240 35280 40320

Solução. Nomeando os políticos como A, B, C, D, E, F, G, H, precisamos arrumá-los com a restrição de que não ocorra AB, nem BA. Uma solução pode ser encontrada calculando o número total de arrumações e subtrairmos os casos onde o encontro ocorre.

i) Número total de arrumações sem a restrição.1ª letra 2ª letra 3ª letra 4ª letra 5ª letra 6ª letra 7ª letra 8ª letra

8 possib. 7 possib. 6 possib. 5 possib. 4 possib. 3 possib. 2 possib. 1 possib.

Há 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 40320 possibilidades.

ii) Número total de arrumações com AB juntos. Interpretamos como uma única letra1ª letra 2ª letra 3ª letra 4ª letra 5ª letra 6ª letra 7ª letra

7 possib. 6 possib. 5 possib. 4 possib. 3 possib. 2 possib. 1 possib.

Há 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 5040 possibilidades. Essa situação ocorre também com BA.

Logo o total dessa situação é 2 x 5040 = 10080 arrumações.

Finalizando o total de arrumações evitando o encontro é: 40320 – 10080 = 30240 possibilidades

Com uma letra R, uma letra A e um certo número de letras M, podemos formar 20 permutações. O número de letras M é:

6 12 4 3 8

Solução. Pela formulação do problema deve haver repetições da letra M. Suponhamos que

essa letra aparece k vezes. Então o grupo é formado por (k + 2) letras. Utilizando a

fórmula que calcula as possibilidades eliminando as repetições, temos:

{(k+2)!k !

=20¿ ¿¿¿ Há 3

letras M.

As diretorias de 4 membros que podemos formar com 10 sócios de uma empresa são:

5040 40 2 210 5400

Solução. Repare que não foi colocada uma hierarquia na diretoria. Isto é, compor uma

diretoria com ABCD OU ACDB, é a mesma coisa. Precisamos, então retirar as repetições.

1º membro 2º membro 3º membro 4º membro

10 possib. 9 possib. 8 possib. 7 possib.

Há 10 x 9 x 8 x 7 = 5040 possibilidades. Mas nessa escolha estão incluídas as repetições das

escolhas embora fora da ordem. Quantas são? Pensemos assim. Dos 4 escolhidos ABCD,

há 4! formas de se apresentarem em ordem trocadas, mas que não fazem diferença na

composição da diretoria. Logo, o total de maneiras de compor a diretoria é:

50404 !

=504024

=210 possibilidades.

OBSERVAÇÃO. É possível pensar de outra forma. Enfileirando os 10 sócios, temos: ABCDEFGHIJ. Eles podem trocar de lugares 10! formas. Como serão escolhidos 4 sócios e sobram 6. Há na verdade 4! X 6! formações repetidas. A conta poderia também poderia

ser representada por: C10

4 =10 !4 ! . 6 !

=10 x9 x 8 x7 x6 !4 ! . 6 !

=10 x 9 x 8 x74 !

=504024

=210.

. Em uma circunferência são marcados 7 pontos distintos: A, B, C, D, E, F e G. Com estes pontos, quantas cordas podem ser traçadas?

42 14 21 7

28

Solução. Observe pelo desenho que a corda AD é a mesma que DA indicando que a ordem

de ligação dos pontos não importa. Logo, temos: C7

2= 7 !2 ! .5 !

=7 x 6 x5 !2! . 5!

=7 x62

=21cordas.

. Num hospital há 3 vagas para trabalhar no berçário, 5 no banco de sangue e 2 na radioterapia.

Se 6 funcionários se candidatam para o berçário, 8 para o banco de sangue e 5 para a

radioterapia, de quantas formar distintas essas vagas podem ser preenchidas ?

30 240 1120 11200

16128000

Solução. As escolhas dos funcionários para as vagas serão de acordo com a especialização.

Haverá um produto entre as combinações possíveis:

C63×C8

5×C52= 6 !

3 ! . 3 !x 8 !

5 ! . 3!x 5 !

2 ! .3 !=20 x 56 x 10=11200

. Uma comissão técnica formada por engenheiros e economistas, deve ter 5 elementos, dos quais pelo menos 2 devem ser engenheiros. Se são disponíveis 4 engenheiros e 5 economistas, o número possível de comissões distintas é:

18 23 35 105

240

Solução. A condição de cada comissão possuir pelo menos 2 engenheiros indica que

podemos formar:

i) 2 eng e 3 econ: C4

2 .C53= 4 !

2 ! .2 !x 5!

3 ! . 2!=6 x10=60

ii) 3 eng e 2 econ:

C43 .C5

2= 4 !3 ! .1 !

x 5!2! . 3 !

=4 x10=40

iii) 4 eng e 1 econ: C4

4 .C54= 4 !

4 ! . 0 !x 5 !

4 ! . 1!=1x5=5

. Logo há 60 + 40 + 5 = 105 comissões.

12. Uma enfermidade que tem sete sintomas conhecido é detectada pelo médico, se o paciente

apresentar 4 ou mais desse sintomas. Para que seja feito um diagnóstico seguro, o número de

combinações possíveis de sintomas diferentes é:

1 7 21 35

64

Solução. O diagnóstico será seguro com 4, 5, 6 ou 7 combinações de sintomas.

i) 4 sintomas: C7

4= 7 !4 ! . 3 !

=35 ii) 5 sintomas:

C75= 7 !

5 ! . 2!=5

iii) 6 sintomas:

C76= 7 !

5 ! . 2!=7

iv) 7 sintomas: C7

7= 7 !7 ! . 0 !

=1. Logo há 35 + 21 + 7 + 1 = 64 combinações possíveis.