Guia matematica II

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL

“FRANCISCO DE MIRANDA”

DEPARTAMENTO DE FÍSICA Y MATEMÁTICA

ÁREA DE EDUCACION

UNIDAD CURRICULAR: MATEMÁTICA II

PROF: MIGUEL GARCÍA

Guía Teórico /Practico de Matemática II 1

Antiderivada o Primitiva:

Definición 1:

Una función F se llama antiderivada de una función f, en un intervalo I, si

F`(x) = f (x) para todo valor de x en I.

Teorema 1:

Si F es una primitiva (o antiderivada) de f en un intervalo I, entonces G es

una primitiva de f en I si y solo si G es de la forma

G(x) = F(x) + C; para todo x en I

donde C denota una constante.

Nota: C es una constante, llamada constante de integración. La familia de

funciones representada por G se llama la primitiva general de f y G(x) =

F(x) + C es la solución general de la ecuación diferencial.

La operación de hallar todas las soluciones de esta ecuación se llama

Integración Indefinida o Antiderivación, y se denota por un signo integral .

La solución general se denota por:

CxFdxxfy )()(

Variable de

Integración

Integrando

Constante de Integración




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La Integración es el procedimiento <<inverso>> de la diferenciación”

Propiedades Básicas de la Integral Indefinida:

1.-

3.-

5.-

7.-

9.-

11.-

13.-

15.-

17.-

19.-

2.-

4.-

6.-

8.-

10.-

12.-

14.-

16.-

18.-

20.-




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Importante: Revisar “Procedimientos de ajuste de integración a las reglas

básicas”. Capitulo 7. Pág. 542.Cálculo, R. Larson.

Ejemplos:

Problema #1: Calcular la siguiente integral: dxx9

Solución:

La integral del enunciado es de tipo potencial, por lo tanto podemos

aplicarle a ella la siguiente fórmula:

1

1

n

xdxx

nn

así que aplicándola al ejemplo, nos queda:

CxICx

ICx

I

101019

10

1

1019

Por lo tanto:

Cxdxx 109

10

1

Problema #2: Calcular la siguiente integral: dxx3

8

5

Solución:

Primeramente, antes de empezar a integrar la expresión del enunciado,

debemos transformarla, utilizando la propiedad de linealidad, sacando la

constante fuera de la integral, es decir:




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dxx3

8

5

Ahora, como la integral es del tipo potencial aplicamos el procedimiento

indicado:

CxCx

ICx

I

4413

*32

5

4*

8

5

13*

8

5

Por lo tanto:

Cxdxx 43

32

5

8

5

Ejercicios Propuestos:

PARTEI

Aplicar las reglas básicas de integración para encontrar:

1.-

4.-

7.-

2.-

5.-

8.-

3.-

6.-

9.-




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Recomendaciones:

- Utilice álgebra elemental, o algunas identidades trigonométricas para

transformar en integrales de fácil solución.

- No sólo debes practicar con los ejercicios aquí propuestos, debes investigar

y resolver además, en los libros recomendados por el profesor.

- Trate de resolverlos usted mismo en caso de alguna duda consulta con tu

profesor.

Técnicas de Integración:

Integración por Sustitución:

Es el método ó técnica utilizada para integrar funciones compuestas

Teorema 2: Antiderivada de una función compuesta

Sea g una función cuyo recorrido es un intervalo I, y sea f una función

continua en I. Si g es derivable en su dominio y F es una primitiva de f en I,

entonces:

Si u = g(x), entonces du g´(x)dx y

Para este método se utiliza un cambio de variable, donde reexpresamos por

completo la integral en términos de u y du (o de cualquier otra variable que

nos convenga) El cambio de variable hace uso de la notación de Leibniz para

la diferencial. Es decir, si u = g(x), entonces du = g´(x)dx, con lo que la

integral adopta la forma:




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Teorema 3:

Regla general de las potencias para integrales

Si g es una función derivable de x, entonces

Equivalentemente, si u = g(x), entonces

Estrategias para el cambio de variable

1.- Elegir una sustitución u = g(x). En general, conviene elegir la

parte interna de una función compuesta, tal como una cantidad

elevada a una potencia.

2.- Hallar du = g´(x)dx.

3.- Rescribir la integral dad en términos de u.

4.- Hallar la integral resultante en u.

5.- Sustituir u por g(x) para obtener la primitiva en términos de x.

6.- Verificar la respuesta por derivación.

Cufduufdxxgxgf )()()(*))((

Derivada De La Función Interior Función Interior

Función Exterior




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PARTE II.

Hallar la siguiente integral utilizando la técnica estudiada.

1.-

4.-

7.-

2.-

5.-

8.-

3.-

6.-

9.-

Integración Por Partes:

Esta técnica puede aplicarse a una amplia variedad de integrales y es

particularmente eficaz para integrados donde aparecen productos de

funciones algebraicas y trascendentes. La fórmula a utilizar proviene de la

aplicación de la siguiente propiedad diferencial:

Integrando ambos miembros

Despejando

(**)

Para los fines del calculo, se puede obtener una manera más adecuada de

escribir esta formula al considerar:




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u = f(x) du = f´(x)

entonces:

v = g(x) dv = g´(x)

Sustituyendo en (**) nos queda:

"FORMULA PARA LA INTEGRACIÓN POR PARTE"

Por medio de una selección apropiada de u y dv, puede ser más

fácil integrar la segunda integral que la primera, por lo cual es

útil la siguiente indicación:

I FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA INVERSA

L FUNCIÓN LOGARÍTMICA

A FUNCIÓN ALGEBRAICA

T FUNCIÓN TRIGOMÉTRICA

E FUNCIÓN EXPONENCIAL

Correspondiendo a la primera función seleccionada (utilizando este

método), la variable u y la segunda dv.




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PARTE III.

Encontrar la integral indicada.

1.-

4.-

7.-

2.-

5.-

8.-

3.-

6.-

9.-

Integración de Funciones Trigonométricas:

En este método, serán considerando cuatro casos que implican el uso de

senos y cosenos.

Caso # 01:

, donde n es un entero impar.

- Caso # 02:

, donde n es un entero par.

- Caso #03:

, donde cuando menos uno de los exponentes es impar.

Nota: La solución de este caso es similar al método utilizado en el caso 1.




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- Caso # 04:

, donde m y n son par.

Nota: La solución de este caso es similar al método utilizado en el caso 2.

Recomendaciones: Utiliza las siguientes identidades

trigonométrica.

Identidades Pitagóricas:

Identidades de Angulo Medio:

Ejemplo:

- Problema # 01: Calcular

Solución:

Vamos a resolver esta integral aplicando fórmulas trigonométricas. Para

ello comenzamos manipulando el integrando:

Ahora aplicamos la identidad pitagórica:

, despejando la función que nos interesa tenemos que:




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Sustituyendo en la integral original.

multiplicando cosx dx por cada uno de los elementos dentro del paréntesis,

nos queda:

Así que ahora, ambas son integrales inmediatas, la primera es de tipo seno

y la segunda es de tipo potencial (cambio de variable)

Por lo tanto:


Solución:

Para resolver la integral, empezamos manipulando el integrando de manera

tal que luego se pueda aplicar alguna de las fórmulas conocidas:

Ahora ubicamos la fórmula de Angulo Medio para la función indicada:

Sustituyendo, nos queda:




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- Integral Original

- Aplicando la fórmula de

Ángulo Medio

- Resolviendo el Cuadrado

del Binomio

- Separando las integrales

- Aplicando a la tercera

integral la fórmula de

Ángulo Medio

- Separando esta integral

en dos nuevas integrales

- Resultando asi cuatro (4)

integrales inmediatas

- Solución General

Por lo tanto:


PARTEIV.

Encuentre la siguiente integral.

1.- 2.- 3.-




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4.-

7.-

5.-

8.-

6.-

9.-

Integración de Potencias de las Funciones Tangente, Cotangente,

Secante y Cosecante:

Con el uso de las fórmulas de integración que implican a las funciones

tangente (tan), cotangente (cot), secante (sec) y cosecante (csc), además de

las identidades antes mencionadas, pueden evaluarse integrales de la

forma:

, donde m y n son enteros no

negativos.

Por lo tanto, serán considerados seis casos que implican el uso de estas

funciones trigonométricas.

- Caso # 01:

, donde n es un entero positivo.

Recomendación: Cambios a utilizar




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Ejemplo:


Solución:

- Caso # 02:

, donde n es un entero positivo par.

Recomendación: Cambios a utilizar




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Ejemplo:


Solución:

- Caso # 03:

, donde n es un entero positivo impar.

Recomendación: Para integrar potencias impares de las funciones sec y csc

se utiliza la integración por partes.

Ejemplo:





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Solución:

Sea:

Aplicando integración Por Partes

Utilizando identidad trigonométrica,

luego operar algebraicamente

Al sumar en ambos lados

se obtiene

Quedando así en el segundo miembro

una integral inmediata

Despejando ahora la integral de la cual

partimos

Separando cada término

Obteniendo asi el resultado de la

integral

- Caso # 04:

, donde n es un entero positivo

par.




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Ejemplo:


Solución:

- Caso # 05:

, donde n es un entero positivo

impar.




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Ejemplo:

Problema # 05: Calcular

Solución:

- Caso # 06:

, donde m es un entero positivo par

y n un entero positivo impar.

Recomendación:

El integrando puede expresarse en términos de potencias impares de la

sec ó csc.




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Ejemplo:


Solución:

Nota: Para evaluar cada una de estas integrales se utiliza integración por

partes, como se indicó en el caso 3.

Técnicas de Integración:

3.1 Integración por Sustituciones Trigonométricas:

Este tipo de sustituciones se utilizan para resolver integrales cuyos

integrandos contengan los radicales de la forma:

El propósito de esas sustituciones es eliminar los radicales. Eso se consigue

con las identidades pitagóricas:




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- Caso # 01:

En integrales que contienen hacer:

Ejemplo:

Problema # 01: Encontrar

Solución:

Como observamos la integral dada es de la forma

donde así que la sustitución a utilizar debe ser y

Sustituyendo el valor de x, dentro de la raíz dada, nos queda:

al despejar la función trigonométrica (seno) de la forma a sustituir

obtenemos los valores de los catetos e hipotenusa del triángulo rectángulo,




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estos valores y la posición que ocupan cambiaran dependiendo de la función

a utilizar según el caso.

Sustituyendo ahora los resultados obtenidos, en la integral dada:

- Caso # 02:





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Ejemplo:


Solución:

Como observamos la integral dada es de la forma . Así

que la sustitución a utilizar debe ser en este caso y

. Sustituyendo el valor de x, dentro de la raíz dada, nos queda:

al despejar la función trigonométrica (tangente) de la forma a

sustituir obtenemos los valores de los catetos e hipotenusa del triángulo

rectángulo, estos valores y la posición que ocupan cambiaran dependiendo

de la función a utilizar según el caso.





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- Caso # 03:


Nota: Tomar el valor positivo si u > a y el negativo si u < -a.

Ejemplo:





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Solución:

Como observamos la integral dada es de la forma . Así

que la sustitución a utilizar debe ser en este caso y

Sustituyendo el valor de x, dentro de la raíz dada, nos queda:

al despejar la función trigonométrica (secante) de la forma a

sustituir obtenemos los valores de los catetos e hipotenusa del triángulo

rectángulo, estos valores y la posición que ocupan cambiaran dependiendo

de la función a utilizar según el caso.





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Ejercicios Propuestos.

PARTE I.- Hallar la integral haciendo la sustitución adecuada.

1.-

4.-

2.-

5.-

3.-

6.-

3.2 Integración de Funciones Cuadráticas:

Cuando hay funciones cuadráticas en el integrando, completar el

cuadrado ayuda a resolver la integral. Por ejemplo, la función

cuadrática puede escribirse como diferencia de cuadrados

sumando y restando ; entonces:

Ejemplo:


Solución:

Completando cuadrado en el denominador, se tiene:




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Sustituyendo en la integral dada:

Ejercicios Propuestos.

PARTE II.- Hallar la integral aplicando completación de cuadrados.

1.-

4.-

2.-

5.-

3.-

6.-

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