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Rodolfo Maduro Almeida
Professor Adjunto I
Instituto de Engenharia e Geociências
Universidade Federal do Oeste do Pará
2000-2004
Graduação em Licenciatura Plena em Matemática
UFPA - Universidade Federal do Pará
Campus de Santarém
2004-2007
Mestrado em Computação Aplicada
INPE - Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais
2007-2012
Doutorado em Computação Aplicada
INPE - Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais
2011 - presente
Programa de Ciências da Terra
Instituto de Engenharia e Geociências
UFOPA - Universidade Federal do Oeste do Pará
• Disciplinas lecionadas: Cálculo I, Cálculo II, Cálculo III,
Álgebra Linear, Geometria Analítica, Cálculo Numérico,
Computação Aplicada às Geociências, Cartografia Digital
e Sistema de Informações Geográficas, Sensoriamento
Remoto, Geoprocessamento.
Linhas de Pesquisa
Modelagem matemática
Geoprocessamento
Sensoriamento Remoto
Análise Espacial
Inteligência computacional aplicada
Projetos de Pesquisa
2011-2012
Cartografia digital para o turismo sustentável: estudo de caso
em Santarém, estado do Pará
2012-presente
Análise, síntese, modelagem e simulação de sistemas
sociais e ambientais na Amazônia
UNIDADE 1 - INTRODUÇÃO
– Modelagem ambiental
– Modelo e modelagem matemática
– Etapas do processo de modelagem matemática
UNIDADE 2 – MODELAGEM MATEMÁTICA EM ECOLOGIA DE
POPULAÇÕES BIOLÓGICAS
– Modelagem da dinâmica de interação entre presa e predador
• Modelo baseado em equações
• Modelo baseado em agentes
UNIDADE 3 – MODELAGEM MATEMÁTICA EM MEIO-AMBIENTE E
SUSTENTABILIDADE
– Modelo de propagação do fogo em incêndios de vegetação
• Modelo baseado em autômatos celulares probabilísticos
– Modelo baseado em agentes para a tragédia do bem comum
• Modelo baseado em agentes
• Modelagem ambiental
• Modelo e modelagem matemática
• Etapas do processo de modelagem matemática
Ramo da modelagem matemática que visa prever eventos ou fenômenos
ambientais a partir de princípios gerais. É, basicamente, modelagem
computacional, utilizando modelos matemáticos, aplicada a situações
relativas ao meio natural ou a situações criadas pelo Homem ao alterar o
meio ambiente. Seu objetivo é a geração de diagnósticos e prognósticos
para gerenciar o meio ambiente de forma sustentável.
• O termo “modelo” lembra...
– Exemplo
• O termo “modelo” lembra...
– Idéia ou Conceito
Desenvolvimento sustentável é um conceito sistêmico que se traduz num modelo de
desenvolvimento que visa, ao mesmo tempo, usar os recursos da terra e preservar as
espécies e os habitats naturais: ponto de equilíbrio entre o crescimento econômico,
igualdade social e a proteção do ambiente
• O termo “modelo” lembra...
– Padrão
• O termo “modelo” lembra...
– Molde
• O termo “modelo” lembra...
– Representação
Mona Lisa (também conhecida como La Gioconda ou, em francês, La Joconde, ou ainda Mona
Lisa del Giocondo), é a mais notável e conhecida obra do pintor italiano Leonardo da Vinci.
• O termo “modelo” lembra...
– Representação
• O termo “modelo” lembra...
– Representação
Diferentes representações para a obra Mona Lisa do pintor italiano Leonardo da Vinci.
• O termo “modelo” lembra...
– Exemplo
– Idéia ou conceito
– Padrão
– Molde
– Representação
– (...)
• Aqui trataremos o termo “modelo” de acordo com o
ponto de vista matemático
Modelo matemático
Conjunto de símbolos e relações matemáticas que representa uma
situação, um fenômeno ou um objeto real a ser estudado.
O uso da Matemática como linguagem simbólica conduz a uma
representação da situação problema em termos matemáticos.
Processo de construção de um modelo
If (... ? ) then ...
Modelagem matemática
Consiste na arte de transformar problemas da realidade em problemas
matemáticos e resolvê-los interpretando suas soluções na linguagem
do mundo real.
Modelagem matemática
Consiste na arte de transformar problemas da realidade em problemas
matemáticos e resolvê-los interpretando suas soluções na linguagem
do mundo real.
universo conceitual
universo matemático
universo computacional
Problema do
mundo real
idealização
modelagem
matemática
simulação
computacional
implementação
computacional
If (... ? ) then ...
Simulação computacional
Experimentos de simulações executados mediante o uso de um
ambiente computacional para desenvolvimento de modelos.
Definição do
problema
Simplificação e
formulação de
hipóteses
Dedução do
modelo
Resolução do
modelo
Validação do
modelo
Aplicação do
modelo
1. Definição do problema
– identifica-se o problema a ser estudado
2. Simplificação e formulação de hipóteses
– As características do problema são examinadas e selecionadas mediante uma simplificação
3. Dedução do modelo matemático
– Utiliza-se de uma formulação matemática para descrever o problema. Pode-se recorrer a uma teoria física.
4. Resolução do modelo matemático
– O modelo é solucionado visando encontrar a solução do problema
5. Validação do modelo
– A aceitação do modelo é analisada comparando-o sua solução com dados reais
6. Aplicação do modelo matemático
– Uma vez validado, o modelo pode ser utilizado para compreender, explicar, analisar, prever ou decidir sobre a realidade em estudo.
Para onde vai o fogo na vegetação?
1. Definição do problema
– Modelar o fenômeno de propagação do fogo em vegetação
1. Definição do problema
False color image composition 543 from IRS - LISS3 sensor.
Aug 13, 2010
large scale agriculture
extensive livestock grazing
anthrophogenic fire
2. Simplificação e formulação de hipóteses
– O fogo é influenciado principalmente pelo acúmulo de
combustível
– Rios e estradas atuam como obstáculos ao fogo
– Os seguintes fatores são considerados como determinantes
para a propagação do fogo:
• Fatores estáticos:
Altitude
Elevações na superfície
Acúmulo de combustível
Aspecto
Tipo de combustível
• Fatores dinâmicos:
Velocidade e direção do vento
Humidade relativa do ar
Temperatura do ar
Propagação
do fogo em
vegetação
vegetação
2. Simplificação e formulação de hipóteses
Years since last fire
1973-2002
head
rear
flanks
main spread direction
3. Dedução do modelo
Célula sem vegetação (rio ou estrada)
Célula com vegetação
Célula queimando
Célula queimada
3. Dedução do modelo
– O fogo pode se propagar de uma célula para qualquer outra
célula vizinha
– O modelo utiliza uma probabilidade que determina a facilidade
ou dificuldade pro fogo avançar e leva em conta os fatores
selecionados na fase anterior
– O modelo possui um relógio interno que determina a evolução
do tempo
4. Resolução do modelo
– Simulação computacional 1:
• Probabilidade de propagação do fogo = 0.3
– Simulação computacional 2:
• Probabilidade de propagação do fogo = 0.4
5. Validação do modelo
About the fire:
• Date: July 09, 2002
• Wind speed: 35 km/h (WS 2)
• Wind direction: NE
WS 2
O
N
L
S
supposed starting point
Iteration 0
Iteration 20 Iteration 40 Iteration 60
Iteration 80 Iteration 100 Iteration 120
6. Aplicação do modelo
• Modelagem da dinâmica de interação entre presa e predador
o Modelo baseado em equações
o Modelo baseado em agentes
1. Introdução ao problema e objetivo
2. Modelagem matemática da interação presa-predador
Modelo baseado em equações
Modelo baseado em agentes
3. Simulações e resultados
Modelo baseado em equações
Modelo baseado em agentes
4. Considerações finais
Objetivo geral:
• Explorar duas abordagens de modelagem matemática para a
dinâmica de interação entre populações biológicas do tipo
predação: a modelagem baseada em equações e a
modelagem baseada em agentes.
Objetivos específicos:
• Definir e delinear as duas abordagens de modelagem e como
elas são empregadas para modelar o fenômeno de estudo;
• Explorar, por meio de simulações computacionais, os modelos
matemáticos visando apontar as vantagens e desvantagens
de cada uma das abordagens de modelagem.
– Modela o fenômeno a partir de uma
concepção holística ou agregada.
– A descrição do fenômeno e a representação
das interações é tratável matematicamente.
– Uma equação modela o comportamento
coletivo e suas soluções caracterizam o
estado do sistema como um todo. Unidade A
Unidade B
Interação
j(A,B)
comportamento do
modelo equação ~j(𝑨, 𝑩)
Modelagem baseada em equações
Modelagem baseada em equações
Objetivo: Encontrar uma função que nos diga qual o tamanho
da população ao longo do tempo
Ponto de partida: Equações que definem a taxa de variação
populacional do longo do tempo
Exemplo: Modelo de crescimento exponencial (Malthusiano) 𝑑𝑁
𝑑𝑡= 𝑏 − 𝑑 𝑁 = 𝑟𝑁
𝑏: taxa inst. de nascimento 𝑑: taxa inst. de mortes
Solução: A solução do modelo nos fornece o tamanho da
população ao longo do tempo 𝑁 = 𝑓(𝑡).
Modelo de Lotka-Volterra
𝑑𝑉
𝑑𝑡= 𝑟𝑉 − 𝛼 𝑉𝑃
𝑑𝑃
𝑑𝑡= 𝛽𝑉𝑃 − 𝑞𝑃
Vito Volterra
Alfred Lotka
𝑉 = 𝑓(𝑡): número de presas no tempo 𝑡
𝑃 = 𝑔(𝑡): número de predadores no tempo 𝑡
Modelo de Lotka-Volterra
𝑑𝑉
𝑑𝑡= 𝑟𝑉 − 𝛼 𝑉𝑃
𝑑𝑃
𝑑𝑡= 𝛽𝑉𝑃 − 𝑞𝑃
taxa de variação da
população de presas
taxa de variação da
população de predadores
Modelo de Lotka-Volterra
𝑑𝑉
𝑑𝑡= 𝑟𝑉 − 𝛼 𝑉𝑃
𝑑𝑃
𝑑𝑡= 𝛽𝑉𝑃 − 𝑞𝑃
A população de presas
cresce em função da
natalidade, onde 𝑟 é a
taxa de natalidade das
presas.
A população de
predadores decresce em
função da mortalidade,
onde 𝑞 é a taxa de
mortalidade.
Modelo de Lotka-Volterra
𝑑𝑉
𝑑𝑡= 𝑟𝑉 − 𝛼 𝑉𝑃
𝑑𝑃
𝑑𝑡= 𝛽𝑉𝑃 − 𝑞𝑃
A população de presas
decresce em função da
predação, onde 𝛼 é a
eficiência na predação.
A população de
predadores cresce em
função da predação,
onde 𝛽 é a taxa de
eficiência de conversão
da predação sobre a
população de
predadores.
• Parte de uma concepção individual ou
desagregada.
• Modelagem a partir do comportamento
individual das partes + interações entre
elas.
• Um comportamento coletivo
emergente: “O todo é mais do que a
soma das partes”
Modelagem baseada em agentes
comportamento do
modelo
(partes + interações)
Definição de agente:
• “Um agente é uma entidade que pode
perceber seu ambiente por meio de
sensores e agir sobre este por meio de
atuadores” (Russel & Norvig, 2003).
Outra definição de agente:
• “Um agente é qualquer ator dentro de um
ambiente, é qualquer entidade que pode
afetar a si mesma, ao ambiente e a outros
agentes.”
Modelagem baseada em agentes
Modelagem baseada em agentes
Ambiente
Espacial
Agentes
O modelo é definido por:
• uma coleção de agentes (comportamento)
• uma representação do ambiente onde atuam
O modelo é definido por:
• uma coleção de agentes
• uma representação do ambiente onde atuam
• Interações entre os agentes
• Interações entre os agentes e o ambiente
Modelagem baseada em agentes
Modelagem baseada em agentes
passos discretos (iterações)
𝑡 = 0, 1, 2, … , 𝑡𝑓
busca por
alimentos reprodução morte movimento
Quando t=0:
• população inicial de presas e de predadores
• energia acumulada na busca por alimentos (predação ou pasto)
• probabilidade de uma presa nascer (por indivíduo)
• probabilidade de um predador nascer (por indivíduo)
Comportamento das presas e predadores (executados a cada iteração):
Modelo baseado em equações
𝑑𝑉
𝑑𝑡= 𝑟𝑉 − 𝛼 𝑉𝑃
𝑑𝑃
𝑑𝑡= 𝛽𝑉𝑃 − 𝑞𝑃
V(t) e P(t)
método numérico
(Runge-Kutta de 4a. ordem)
visualização
MATLAB
Modelo baseado em equações
Solução do modelo para uma dada condição inicial
1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.51
1.5
2
2.5
3
3.5
numero de presas
num
ero
de p
red
ad
ore
s
Valores da população de presas e predadores ao longo do tempo para a condição
inicial (𝑉0, 𝑃0) = (1,5; 2,0) e os valores dos parâmetros 𝑟 = 1, 𝛼 = 0,5, 𝑞 = 0.75,
𝛽 = 0,25.
Modelo baseado em equações
Soluções do modelo para diferentes condições iniciais
Plano de fases 𝑉 × 𝑃 do modelo de Lotka-Volterra utilizando os valores de
parâmetros 𝑟 = 1, 𝛼 = 0,5, 𝑞 = 0.75, 𝛽 = 0,25 e diferentes valores de condições
iniciais, conforme indicadas no gráfico.
Modelo baseado em equações
Crítica: a população de presas possui recursos ilimitados
Valores da população de presas e predadores ao longo do tempo para a condição
inicial(𝑉0, 𝑃0) = (1,5, 2,0) e valores dos parâmetros 𝑟 = 0,1, 𝑞 = 0,1, 𝛽 = 0 e 𝛼 = 0.
Modelo baseado em equações
A população de predadores responde à abundância de presas
Comportamento da população de presas e predadores para
𝑉0 , 𝑃0 = (1,5; 2,0), 𝑟 = 1,0, 𝑞 = 0.75, 𝛼 = 0,5, 𝛽 = 0,25.
Modelo baseado em equações
A população de predadores responde à abundância de presas
Comportamento da população de presas e predadores para
𝑉0 , 𝑃0 = (1,5; 2,0), 𝑟 = 1,5, 𝑞 = 0.75, 𝛼 = 0,5, 𝛽 = 0,25.
Modelo baseado em equações
A população de predadores responde à abundância de presas
Comportamento da população de presas e predadores para
𝑉0 , 𝑃0 = (1,5; 2,0), 𝑟 = 2,0, 𝑞 = 0.75, 𝛼 = 0,5, 𝛽 = 0,25.
Modelo baseado em equações
População de predadores estagnada ⟹ extinção das presas
Comportamento da população de presas e predadores para
𝑉0 , 𝑃0 = (1,5; 2,0), 𝑟 = 2,0, 𝑞 = 0.75, 𝛼 = 0,5, 𝛽 = 0,25.
Modelo baseado em agentes
V(t) e P(t)
visualização
MATLAB
Parâmetros de entrada do modelo baseado em agentes
• tf: tempo final de simulaçao
• sz = [sx sy]: dimensoes do espaco celular
• D: densidade inicial do pasto
• regrowTime: tempo de regeneracao do pasto
• npreys: numero inicial de presas
• birthPreys: taxa de natalidade de presas
• preyStarvation: tempo que a presa morre de fome
• npreds: numero inicial de predadores
• birthPreds: taxa de natalidade de predadores
• predStarvation: tempo que o predador morre de fome
Parâmetros de entrada do modelo baseado em agentes
• tf = 1000; ... tempo final de simulação
• sz = [50 50]; ... dimensões do espaço celular
• D = 0.75; ... densidade inicial do pasto
• regrowTime = 10; ... tempo de regeneração do pasto
• npreys = 100; ... numero inicial de presas
• preyStarvation = 2; ... tempo que a presa morre de fome
• npreds = 50; ... numero inicial de predadores
• predStarvation = 10; ... tempo que o predador morre de fome
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
predador
presa
pasto
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000
100
200
300
400
500
600
700
predadores
presas
pasto
• npreys = 100
• birthPreys = 0.25
• preyStarvation = 2
• npreds = 50
• birthPreds = 0.05;
• predStarvation = 10;
Diferenças entre as abordagens
As duas abordagens possuem enfoques diferentes:
• A modelagem baseada em equações se fundamenta em
um enfoque holístico, implícito e agregado
• A modelagem baseada em agentes se fundamenta em
um enfoque discreto, explícito e desagregado
• Ambas conseguem descrever o comportamento cíclico
da dinâmica de interação entre presas e predadores
Modelagem baseada em equações
• Na sua forma original, o modelo de Lotka-Volterra apresenta
limitações
• A modelagem baseada em equações é matematicamente
tratável • a dificuldade no tratamento aumenta a medida que introduzimos mais
realismo ao modelo, consequentemente a solução numérica torna-se mais
difícil
• Modelos baseados em equações são bem úteis para estudos
teóricos iniciais
Modelagem baseada em agentes
• A modelagem baseada em agentes desenvolve um modelo de
simulação • o modelo é baseado em regras simples que buscam mimicar o mundo real
(espaço e as partes s]ao explícitas)
• A modelagem baseada em agente é extremamente flexível e
conceitualmente poderosos • são mais propensos à modificações visando sofisticação na representação
da realidade
• mais realismo implica em regras mais bem elaboradas e detalhadas
• Modelo de propagação do fogo em incêndios de vegetação
o Modelo baseado em autômatos celulares probabilísticos
• Modelo baseado em agentes para a tragédia do bem comum
o Modelo baseado em agentes
• Cerrado: “Savanas Brasileiras”: – 80% a 90% de formação savânica
– Segunda savana tropical mais rica em
biodiversidade no mundo
• Intensa pressão humana – Área inicial: 200 milhões de hectares
– Área atualmente: menos de 20%
– Áreas de proteção atuais: menos de 2%
• O fogo é elemento estruturante da vegetação – Estudos do histórico evolutivo da vegetação sugerem que as transformações
começaram a menos de 10 milhões de anos atrás e diversificou-se em 4 milhões de anos atrás ou menos, coincidindo com a expansão dos biomas savânicos no mundo
O fogo em Unidades de Conservação no Cerrado
Fonte: compilação de dados do IBAMA (Prevfogo) realizada por Helena França.
Tabela – CAUSAS DAS QUEIMADAS EM PARQUES NACIONAIS NO CERRADO
Parque Nacional Antropogênica
no %
Natural (raios)
no %
Desconhecida
no %
Total
no Período de obs.
Brasília, DF
14 13 21 19 74 68 109 1991-2003 (1992, 1994)
Chapada Diamantina, BA 229 72 1 0 89 28 319 2000-2005
Chapada dos Guimarães, MT 21 70 4 13 05 17 30 2006
Chapada dos Veadeiros, GO 61 59 11 11 32 31 104 1989-2005 (1996, 1997)
Emas, GO 15 17 62 71 10 11 87 1991-2004 (1993, 2000)
Grande Sertão Veredas, MG 142 99 0 0 2 1 144 2000-2005
Serra da Canastra, MG 76 52 47 32 24 16 147 1987-2005 (1995)
Serra do Cipó, MG 130 70 0 0 56 30 186 1991-1992; 2000-2005
Obs: Na última coluna,os valores entre parênteses indicam os anos em que não constam observações.
O fogo em Unidades de Conservação no Cerrado
Modelagem do comportamento do fogo no Cerrado
• É uma área ainda incipiente
• Principais publicações são voltadas ao contexto ecológico
– Projeto Fogo - Efeitos do regime de fogo sobre a estrutura de uma
comunidade de Cerrado (Reserva Ecológica do IBGE – Brasília).
• Cerrado: “Savanas Brasileiras”: – 80% a 90% de formação savânica
– Segunda savana tropical mais rica em
biodiversidade no mundo
• Intensa pressão humana – Área inicial: 200 milhões de hectares
– Área atualmente: menos de 20%
– Áreas de proteção atuais: menos de 2%
• O fogo é elemento estruturante da vegetação – Estudos do histórico evolutivo da vegetação sugerem que as transformações
começaram a menos de 10 milhões de anos atrás e diversificou-se em 4 milhões de anos atrás ou menos, coincidindo com a expansão dos biomas savânicos no mundo
O fogo em Unidades de Conservação no Cerrado
Fonte: compilação de dados do IBAMA (Prevfogo) realizada por Helena França.
Tabela – CAUSAS DAS QUEIMADAS EM PARQUES NACIONAIS NO CERRADO
Parque Nacional Antropogênica
no %
Natural (raios)
no %
Desconhecida
no %
Total
no Período de obs.
Brasília, DF
14 13 21 19 74 68 109 1991-2003 (1992, 1994)
Chapada Diamantina, BA 229 72 1 0 89 28 319 2000-2005
Chapada dos Guimarães, MT 21 70 4 13 05 17 30 2006
Chapada dos Veadeiros, GO 61 59 11 11 32 31 104 1989-2005 (1996, 1997)
Emas, GO 15 17 62 71 10 11 87 1991-2004 (1993, 2000)
Grande Sertão Veredas, MG 142 99 0 0 2 1 144 2000-2005
Serra da Canastra, MG 76 52 47 32 24 16 147 1987-2005 (1995)
Serra do Cipó, MG 130 70 0 0 56 30 186 1991-1992; 2000-2005
Obs: Na última coluna,os valores entre parênteses indicam os anos em que não constam observações.
O fogo em Unidades de Conservação no Cerrado
Modelagem do comportamento do fogo no Cerrado
• É uma área ainda incipiente
• Principais publicações são voltadas ao contexto ecológico
– Projeto Fogo - Efeitos do regime de fogo sobre a estrutura de uma
comunidade de Cerrado (Reserva Ecológica do IBGE – Brasília).
• Objetivo Geral
– Propor um modelo de propagação do fogo, fundamentado no estado-da-arte da modelagem do comportamento do fogo em incêndios de vegetação, que projete cenários de propagação de incêndios no Cerrado.
• Objetivos Específicos
– Idealizar o modelo a partir do formalismo de autômatos celulares probabilísticos e da teoria de percolação.
– Investigar a capacidade do modelo idealizado em representar a dinâmica de propagação de incêndios de vegetação.
– Propor parametrizações que explicitem o comportamento do modelo em função das condições ambientais de incêndios reais e em seguida avaliá-las.
– Propor uma metodologia de ajuste visando aplicar o modelo para simular incêndios de vegetação no Cerrado.
Idealização do modelo 1
Análise exploratória do modelo 2
Parametrização e avaliação das parametrizações 3
Ajuste e aplicação do modelo 4
O fogo se propaga como um processo
de contágio ao longo da vegetação
momento ou energia
conectividade
Teoria de percolação e incêndios de vegetação
limiares condicionam a propagação do fogo
fator condicionante
pro
babili
dade d
e p
ropag
ação d
o f
ogo
Teoria de percolação e autômatos celulares
V F O E vegetação queimando queimado sem vegetação
O incêndio de vegetação é modelado como um processo de contágio ao
longo das células com vegetação e é condicionado por uma probabilidade
𝑆 chamada de probabilidade efetiva de propagação do fogo.
A probabilidade efetiva 𝑺 depende da:
– probabilidade 𝐷 (densidade da vegetação):
𝐷 = 0.1 𝐷 = 0.5 𝐷 = 0.9
Relaciona-se com a componente conectividade e caracteriza
a abundância ou disponibilidade de combustível vegetal.
Vegetação esparsa vegetação densa
A probabilidade efetiva 𝑺 depende da:
– probabilidade 𝐼 (dinâmica de propagação do fogo):
Relaciona-se com a componente momento e caracteriza a
dinâmica de propagação do fogo ao longo da vegetação.
Vizinhança de Moore
V F 𝐼
t t+1
A probabilidade efetiva 𝑺 depende da:
– probabilidade 𝐵 (chances de extinção do fogo):
F O 𝐵
t t+1
Relaciona-se com a componente momento e caracteriza a
dinâmica de combustão.
𝐷 = 1,00 𝐵 = 0,40 𝐼 = 0,25 𝐷 = 0,80 𝐵 = 0,40 𝐼 = 0,25 𝐷 = 0,60 𝐵 = 0,40 𝐼 = 0,25
Probabilidade efetiva de propagação do fogo
𝐷 = 0,30 𝐷 = 0,40 𝐷 = 0,50
𝐷 = 0,60 𝐷 = 0,80 𝐷 = 1,00
Fronteira crítica e padrões de propagação do fogo
𝐷 = 1
Fronteira crítica e padrões de propagação do fogo
𝐷 = 1
padrões sólidos
extinção
Velocidade adimensional de propagação do fogo 𝑅0:
𝑅 = 𝑅𝑎
Δl
Δt
Especialização do modelo para simular incêndios reais
𝑆 = 𝑓(condições ambientais)
Condições ambientais heterogêneas
vegetação
Tipo de combustível vegetal
Quantidade de combustível vegetal disponível
Teor de umidade
Feições topográficas
Temperatura do ar
Umidade relativa
Velocidade e direção do
vento
Parametrização da probabilidade 𝑫
Relaciona-se com a continuidade do combustível vegetal
𝐷 = 0 𝐷 = 1 0 < 𝐷 < 1
Gramíneas do gênero Spinifex
comuns no oeste da Austrália
Área com Capim-flecha no PNE. Aceiro no PNE
Parametrização da probabilidade 𝑰
Relaciona-se com a eficiência dos mecanismos de transferência de calor
emitidos pela frente de fogo
• Fatores que influenciam: • Tipo de combustível vegetal
• Teor de umidade do combustível vegetal
• Velocidade e direção do vento
• Feições topográficas
gradiente de elevação
Parametrização da probabilidade 𝑰
𝐼 = 𝐼0 ⋅ 𝜆𝑀 ⋅ 𝜆𝑠 ⋅ 𝜆𝑤
– efeito das características da vegetação: 𝐼0
– efeito da umidade do combustível vegetal: 𝜆𝑚 = exp −𝑏1𝑀
– efeito das feições topográficas: 𝜆𝑠 = exp 𝑎𝜃𝑠
– efeito da velocidade e direção do vento: 𝜆𝑤 = 1 + 𝑓 𝜔 𝑐1𝑈𝑐2
Parametrização da probabilidade I
𝑬𝒊−𝟏,𝒋−𝟏 𝑬𝒊−𝟏,𝒋 𝑬𝒊−𝟏,𝒋+𝟏
𝑬𝒊,𝒋−𝟏 𝑬𝒊,𝒋 𝑬𝒊,𝒋+𝟏
𝑬𝒊+𝟏,𝒋−𝟏 𝑬𝒊+𝟏,𝒋 𝑬𝒊+𝟏,𝒋+𝟏
Δ𝑙
Δ𝑙
𝜃𝑠<0 𝜃𝑠>0
Parametrização da probabilidade 𝑰
𝑓 𝜔 = exp (𝑐3𝑈(cos 𝜔 − 1))
𝝎
𝒇(𝝎)
Parametrização da probabilidade B
Quantifica a sustentabilidade e a combustibilidade
da queima do combustível vegetal
• Sustentabilidade:
– Depende do teor de umidade do combustível vegetal
• Combustibilidade:
– Depende das características do combustível vegetal
Parametrização da probabilidade B
Quantifica a sustentabilidade e a combustibilidade
da queima do combustível vegetal
𝐵 = 𝐵0 ⋅1
𝜆𝑚
𝑏2
– efeito das características da vegetação: 𝐵0
– efeito da umidade do combustível vegetal: 1
𝜆𝑚
𝑏2
Três classes de acúmulo de combustível
FC1
FL1
FC1
FL2
FC1
FL3
𝐼0 0,20 0,25 0,35
𝐵0 0,45 0,40 0,35
Três classes de acúmulo de combustível
FL1
FL2
FL2
Efeitos de variações no acúmulo de combustível vegetal
iteração = 20 iteração = 80 iteração = 120
Efeitos de variações no acúmulo de combustível vegetal
obstáculos naturais
iteração = 40 iteração = 120 iteração = 150
Efeitos de variações na umidade de combustível vegetal
(𝑏1 = 0,1 e 𝑏2 = 0,05)
𝑀 = 5%
iteração = 50 iteração = 200 iteração = 354
Efeitos de variações na umidade de combustível vegetal
(𝑏1 = 0,1 e 𝑏2 = 0,05)
𝑀 = 10%
iteração = 50 iteração = 200 iteração = 289
Efeitos de variações na umidade de combustível vegetal
(𝑏1 = 0,1 e 𝑏2 = 0,05)
𝑀 = 15%
iteração = 50 iteração = 200 iteração = 213
Efeitos de variações nas feições topográficas
feição topográfica hipotética
Efeitos de variações nas feições topográficas
(𝑎 = 0,05)
iteração = 50 iteração = 120 iteração = 240
Efeitos de variações na velocidade do vento
(𝑐1 = 0,10, 𝑐2 = 0,90 e 𝑐3 = 0,05)
𝑈 = 0
direção do vento
iteração = 50 iteração = 100 iteração = 150
Efeitos de variações na velocidade do vento
(𝑐1 = 0,10, 𝑐2 = 0,90 e 𝑐3 = 0,05)
𝑈 = 2
iteração = 50 iteração = 100 iteração = 150
direção do vento
Efeitos de variações na velocidade do vento
(𝑐1 = 0,10, 𝑐2 = 0,90 e 𝑐3 = 0,05)
𝑈 = 6
iteração = 50 iteração = 100 iteração = 150
direção do vento
Efeitos de variações na velocidade do vento
𝑀 = 15% (𝑏1 = 0,1 e 𝑏2 = 0,05)
𝑈 = 0 (𝑐1 = 0,10, 𝑐2 = 0,90 e 𝑐3 = 0,05)
iteração = 50 iteração = 200 iteração = 213
Efeitos de variações na velocidade do vento
𝑀 = 15% (𝑏1 = 0,1 e 𝑏2 = 0,05)
𝑈 = 15 (𝑐1 = 0,10, 𝑐2 = 0,90 e 𝑐3 = 0,05)
direção do vento
iteração = 50 iteração = 100 iteração = 262
Efeito das parametrizações sobre
a dinâmica do modelo
𝐷 = 1,00
Região-alvo: Parque Nacional das Emas, estado de
Goiás, Brasil
- Criado em 1961
- Área total: 132000 hectares
- totalizando 348km e dividindo o Parque em 20
blocos
- Histórico de incêndios mapeado desde 1973
Vegetação do Cerrado
Fonte: J. Mistry, Fire in the cerrado (savannas) of Brazil: an ecological review, Progress in Physical Geography, Vol. 22, No. 4., pp. 425-
448
estrato herbáceo-subarbustivo
estrato arbóreo-arbustivo
Vegetação do Parque Nacional das Emas
Fisionomias abertas (80% do PNE)
•Campo limpo
•Campo sujo
•Campo cerrado
Foto
: M
ário B
arr
oso
cerrado fechado
mata ciliar ou de galeria
campo úmido
Fisionomias abertas do Parque Nacional das Emas
campo limpo campo sujo campo cerrado
Dominância do capim-flecha (Tristachya leiostachya)
1 ano
sem queima
2 anos
sem queima
3 anos
sem queima
4 anos
sem queima
O fogo nas fisionomias abertas do Parque Nacional
das Emas
amostras pontuais
regularmente espaçadas
O fogo nas fisionomias abertas do Parque Nacional
das Emas
Dis
trib
uiç
ão
cu
mu
lativa
anos sem queima
𝐹 𝑡 = 1 − exp −𝑡
𝑏
𝑐
anos sem queima
De
nsid
ade d
e p
rob
abili
dade
𝑓 𝑡 =𝑐𝑡𝑐−1
𝑏𝑐exp −
𝑡
𝑏
𝑐
anos sem queima
taxa
de
ris
co
de
qu
eim
a
𝜆 𝑡 =𝑐𝑡𝑐−1
𝑏𝑐
• Inflamabilidade das fisionomias abertas
guiada pela fenologia do capim-flecha
• 75% de chances do fogo ocorrer até 3
ou 4 anos sem queima (valor crítico)
O fogo nas fisionomias abertas do Parque Nacional
das Emas
Dis
trib
uiç
ão
cu
mu
lativa
anos sem queima
𝐹 𝑡 = 1 − exp −𝑡
𝑏
𝑐
anos sem queima
De
nsid
ade d
e p
rob
abili
dade
𝑓 𝑡 =𝑐𝑡𝑐−1
𝑏𝑐exp −
𝑡
𝑏
𝑐
anos sem queima
taxa
de
ris
co
de
qu
eim
a
𝜆 𝑡 =𝑐𝑡𝑐−1
𝑏𝑐
Três classes de acúmulo:
• acúmulo baixo (o - 1 ano sem queima)
• acúmulo médio (1 - 2 anos sem queima)
• acúmulo alto (mais de 3 anos sem
queima)
Jun2006-Mai2007
Jun2006-Mai2007
Jun2006-Mai2007
Classes de acúmulo de combustível
Escala comparativa entre as classes de tipo e
respectivas
classes de acúmulo de combustível vegetal
Valores das probabilidades elementares
Miranda et al (2009): Máxima velocidade de propagação do fogo documentada para
o Cerrado é de 0,6 m/s. Logo Δ𝑙 = 30 m e Δ𝑡 = 50 s.
Valores das probabilidades elementares
cerrado aberto
FC1 floresta
cerrado
fechado
campo
úmido
FL1 FL2 FL3 FC4 FC2 FC3
𝐵0 0,350 0,250 0,220 0,450 0,700 0,800
𝐼0 0,075 0,115 0,152 0,100 0,115 0,075
Procedimento de ajuste objetivo
modelo de
propagação do fogo
incêndio
simulado
dados de saída
incêndio real
objetivo
minimizar a diferença em
termos de extensão e
tempo de duração
MÉTODO
DE BUSCA
dados de entrada
O ajuste é definido à partir de 50 execuções independentes do algoritmo de vaga-lumes, com
32 vaga-lumes que se movimentam no espaço de busca ao longo de 30 iterações.
FC1, FL1
FC1, FL2
FC1, FL3
FC2
FC3
FC4
rio
aceiro
queimando
queimada
FC1, FL1
FC1, FL2
FC1, FL3
FC2
FC3
FC4
rio
aceiro
queimando
queimada
Garrett Hardin
• Ecologista norte-americano que alertou sobre
os perigos da superpopulação.
• Expôs em 1968 um artigo intitulado “A
tragédia do bem comum” (em inglês “The
tragedy of the commons”), chamando a
atenção para o perigo que ações inocentes de
indivíduos podem impor ao meio ambiente.
• A tragédia dos comuns é um tipo de
armadilha social, frequentemente
econômica, que envolve um conflito entre
interesses individuais e o bem comum no uso
de recursos finitos.
Garrett Hardin
(1951 - 1986)
"The Tragedy of the Commons". Science 162 (3859): 1243–1248. 1968. doi:10.1126/science.162.3859.1243
• Ocorre quando indivíduos atuam independentemente e racionalmente,
esgotando um recurso que é compartilhado, mesmo tendo conhecimento de que
este recurso possa se esgotar.
O pasto é um recurso compartilhado entre vários pastores.
O pastor pode usar livremente o pasto para alimentar o seu rebanho.
Embora saibam que o recurso é limitado, o manejo do pasto é ignorado.
Embora saiba que o recurso é limitado, o manejo do pasto é ignorado.
antes depois
overgrazing
(consumo exagerado de pastagem)
• Objetivo do pastor: maximizar sua produção, ou seja,
aumentar o tamanho de seu rebanho.
• Cada animal possui uma utilidade com uma componente
positiva e outra componente negativa:
– Positivo: o pastor recebe todo o lucro sobre cada animal
adicional.
– Negativo: a pastagem é ligeiramente degradada por cada animal
adicional.
• A divisão destes custos e benefícios é desigual: o pastor
individualista ganha todas as vantagens, mas as
desvantagens são compartilhadas entre todos os
pastores que usam a pastagem.
20 40 60 80 100
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
agente
pastor
recurso
comum
(pasto)
• Comportamento do agente pastor:
– Ocupa uma célula
– Possui um rebanho que consome o recurso da célula
– Movimenta-se aleatoriamente ao longo do espaço celular
– Possui três tipos de estratégias de uso do recurso:
• Predatória: o consomo do recurso se dá indiscriminadamente
• Equilibrada: o consumo é diretamente proporcionalmente à
abundância de recursos
• Mista: Opta pelo equilibrado, mas se desvirtua em alguns
momentos, optando pela estratégia predatória
• Recurso (espaço celular):
– Uma vez consumida pelo pastor, existe uma probabilidade de
regeneração do pasto
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
tempo
pro
po
rçã
o d
e p
asto
Estratégia predatória
Estratégia mista
Estratégia equilibrada
• A estratégia predatória induz a
uma competição, onde muitos
consumirem pouco recurso.
• A estratégia equilibrada
favorece uma melhor
distribuição de consumo do
recurso.
• A estratégia mista apresenta-
se no intermédio entre a
predatória e a e equilibrada.
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
50
100
150
200
250
300Estratégia Predatória
10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000
50
100
150
200
250Estratégia Equilibrada
0 10 20 30 40 50 60 70 800
50
100
150
200
250
300Estratégia Mista
• Modelagem matemática é uma arte.
• Simplificar antes de modelar é essencial.
• A etapa de concepção do modelo é a mais elegante e
exige o domínio de vários formalismos de modelagem
de modo que o modelar opte pelo mais adequado.
• A etapa de implementação computacional do modelo é a
mais poética.
• A etapa da validação de um modelo é a mais “hardcore”.
• Importância de um modelo:
– Caráter diagnóstico: obtenção de cenários what-if.
– Caráter prognóstico: obtenção de projeções.
George E. P. Box
Matemático inglês
Essentially, all models are wrong, but some are useful.
Remember that all models are wrong; the practical
question is how wrong do they have to be to not be useful.
Lembre-se de que todos os modelos são errados; a
questão prática é como errado eles têm que ser para não
ser útil. Box & Draper (1987), Empirical model-building and response surfaces, Wiley, p. 424.