Lógica, Linguagem e a “Realidade”

Lançamento do Livro “The Functional Interpretation of Logical Deduction”

(World Sci., Oct 2011) Ruy J.G.B. de Queiroz

Linguagem versus “Realidade”

• “O mundo é a totalidade de fatos, não de coisas”

• “Os limites de minha linguagem significam os limites de meu mundo”

• “Sobre o que não podemos falar, devemos passar em silêncio”

Ludwig Wittgenstein (1889-1951)

Lógica: Ciência da Argumentação, Princípios da Racionalidade

• Aristóteles (380 a.C. – 322 a.C.): o que há por trás do raciocínio dedutivo

• Leibniz (1646-1716): linguagem simbólica visando objetividade

• Frege (1848-1925): tratamento matemático a argumentos

“Toda Filosofia é uma Crítica da Linguagem”

• “Escreví um livro chamado Tractatus Logico-Philosophicus contendo todo o meu trabalho dos últimos 6 anos. Acredito que resolví nossos problemas finalmente. Isso pode parecer arrogante, mas não consigo evitar.” (1919)

Bertrand Russell (1872-1970) (co-autor do “Principia Mathematica”)

• “Ele foi talvez o exemplo mais perfeito que conhecí de gênio como tradicionalmente concebido, apaixonado, profundo, intenso, e dominador. Ele tinha uma espécie de pureza que nunca conheci igualada exceto por G.E.Moore.”(1959)

Família Wittgenstein em Viena

• Karl Wittgenstein: 2o mais rico do Império Áustro-Húngaro (atrás dos Rotschilds). Dono da Siderúrgica Krupp

• Klimt pintou Gretl

• Ravel compôs peça (mão esquerda) para Paul

• Brahms, Mahler e Strauss freqüentavam a casa

• 1919: renúncia à herança

Professor primário, Jardineiro, Arquiteto (1919-1928)

Palestra em Viena (Março/1928): “Matemática, Ciência e Linguagem”

Leis do Intuicionismo (1906):

1. Matemática é alingüística

2. Há objetos da Matemática que são criados, e não descobertos

Luitzen E. J. Brouwer (1881-1966) e o Intuicionismo

• Matemática também como um ato de criação, e não apenas de descoberta

• A concepção de espaço não é a priori, embora a de tempo o seja

• Controvertido, porém respeitado: ajudou a criar a Topologia

• Na Universidade aos 16

Livro Azul (1930)

• “As perguntas ‘O que é comprimento?’, ‘O que é significado?’, ‘O que é o número 1?’, etc., produzem em nós uma cãimbra mental.

• Sentimos que não podemos apontar para nada em resposta a elas, e mesmo assim deveríamos apontar para algo.”

Santo Agostinho e o Aprendizado de Linguagem

• “Quando Santo Agostinho fala sobre o aprendizado de linguagem ele fala sobre como associar nomes a coisas, ou entender os nomes das coisas.

• Nomear aqui aparece como os fundamentos, a base e tudo o que diz respeito a linguagem.

• Nessa visão de linguagem encontramos as raízes da seguinte idéia: Toda palavra tem um significado. Esse significado está correlacionado com a palavra. É o objeto para o qual a palavra aponta.”

Jogos de Linguagem

• “Vou chamar o todo, consistindo de linguagem e as ações nas quais ela está entrelaçada, de ‘jogo de linguagem’.”

• “A palavra ‘jogo-de-linguagem’ é usada aqui para enfatizar o fato de que falar numa linguagem é parte de uma atividade, ou uma forma de vida.”

• “Quando penso através da linguagem, não existem ‘significados’ passando pela minha mente em conjunto com as expressões verbais: a linguagem é em si mesma o veículo do pensamento”. (Não há linguagem privada).

Gramática Filosófica (1933)

• “Qualquer interpretação ainda fica pendurada no ar juntamente com o que ela interpreta, e não pode lhe dar suporte.

• Interpretações por si só não determinam significado.”

Investigações Filosóficas (1945)

• “Para uma ampla classe de casos—embora não para todos—nos quais empregamos a palavra ‘significado’ ela pode ser definida assim: o significado de uma palavra é seu uso na linguagem”

• “Filosofia é uma batalha contra o enfeitiçamento de nossa inteligência por meio da linguagem”.

Fundamentos da Matemática (1941-4)

• “Eu disse uma vez: ‘Se você quiser saber o que uma proposição matemática diz, olhe para o que sua demonstração prova’

• Agora, será que não há tanto veracidade quanto falsidade nisso?”

Lógica Simbólica e Funcionalidade

Haskell Curry (1900-1982)

William Howard (1926-)

• Cada enunciado da Matemática pode ser visto como o conjunto de suas provas

• “Interpretação Funcional de Curry-Howard” (1934, 1968)

Formalização da Matemática Construtiva (1970’s)

Per Martin-Löf (1942-)

• “Matemática Construtiva e Programação de Computadores são essencialmente a mesma coisa”

• “Uma prova matemática é um programa (de computador)”

• “Teoria Intuicionística de Tipos” (1972-1984)

Intuicionismo e Verificacionismo

Michael Dummett (1925-)

• Retomada do Intuicionismo, porém com base no paradigma “significado é uso” de Wittgenstein

• O significado de um enunciado matemático é determinado pelo que conta como uma prova dele. (1977)

Teoria Verificacionista do Significado

Dag Prawitz (1936-) • Teoria do Significado

baseada na idéia de que o modo de provar um enunciado determina seu significado

• Junta-se a Dummett para reformular o Intuicionismo sem o exoticismo de Brouwer (“Matemática é alingüística”).

Semântica Baseada em Jogo ou Diálogo

Jaakko Hintikka (1929-)

Paul Lorenzen (1915-1994)

• Significado de uma sentença na linguagem da matemática definido pela forma de interação, ao invés de condições de verdade

13o Simpósio Wittgenstein 1988 (Kirchberg, Áustria)

Moderador de minha apresentação: David Pears (1921-2009): tradutor do Tractatus para o inglês, biógrafo, e autor de vários livros importantes

Significado e Conseqüências

• “Será que você vai achar que estou louco se eu der a seguinte sugestão: o enunciado ‘todo x tem a propriedade P’ só tem significado quando estabelecemos que ‘a’ tem a propriedade P, qualquer que seja esse elemento ‘a’?” (Carta a Russell em 1912)

• “A questão não é ‘O que estou fazendo quando . . .?’ (pois isso poderia apenas ser uma questão psicológica) – mas sim, ‘Que significado o enunciado tem, o que pode ser deduzido dele, que conseqüências ele tem?’ (1947-1948)

Teoria de Tipos “Significado-como-Uso”

• Tese de Doutorado, Imperial College, Fev/1990

• Reformulação da Teoria de Martin-Löf, com base no paradigma “significado-como-uso” de Wittgenstein, alternativamente à posição de Dummett e Prawitz.

Sistemas Dedutivos Rotulados

• Dov Gabbay (1945-): Dedução lógica envolve uma combinação de linguagem e meta-linguagem

• Minha leitura: a teoria de tipos “significado-como-uso” seria uma realização dessa idéia

Curso em Riga (Letônia)

• Mathieu Marion (Québec): 25/05 a 10/06/2010, “Lógica: De Verdade a Provas e Jogos”: “Da numerosa bibliografia, olharemos unicamente para os artigos filosóficos do lógico Ruy de Queiroz…”

Provas de Igualdade

Martin Hofmann (Munique)

Thomas Streicher (Darmstadt)

• 1994: Modelo da Teoria Intuicionística de Tipos de Martin-Löf que refuta o princípio da unicidade de provas de igualdade

• 1994: Igualdade na Dedução Rotulada

Provas de Igualdade: Ju

• Dissertação de Mestrado (1995)

• 2o Lugar no concurso de teses da Sociedade Brasileira de Computação

• 3 publicações internacionais

Recentemente: Uma Ponte entre Geometria, Lógica e Álgebra

Vladimir Voevodsky (Princeton)

Steve Awodey (Carnegie-Mellon)

• Fundamentos da Matemática baseados no Modelo de Hofmann & Streicher (2005-presente)

• Um tipo é um espaço topológico; elementos são pontos; e provas de igualdade entre pontos são “caminhos”.

Desdobramentos Recentes

• Desde 1993 temos uma formulação de “prova de igualdade” como “caminhos”.

• Na dissertação de Ju (1995) surgiram mais detalhes técnicos que permitem a aproximação com o trabalho de Hofmann e Streicher, e com a linha de trabalho de Voevodsky e Awodey denominada de “Fundamentos Univalentes da Matemática”.