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MATRIZES: Conceito, Representação, Nomenclatura, Lei de Formação de Uma Matriz, Tipos de matrizes, Adição e subtração de Matrizes, Multiplicação de Um Escalar por uma Matriz, Multiplicação de Matrizes.
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Matrizes
Por
Profº Valtenir Batista
Se você gostou pode contribua voluntariamente com o autor desta apostila depositando uma quantia em reais para ajudar sua família.
Agência; 0634 – Caixa Econômica Federal
C/C 4777-0
Titular Valtenir Batista Caetano
MATRIZES
Conceito:
Em Matemática matrizes são tabelas retangulares utilizadas para organizar dados numéricos.Nas matrizes, cada elemento é chamado elemento da matriz.As filas horizontais são chamadas linhas.As filas verticais são chamadas de colunas. Uma matriz com m linhas e n colunas é chamada de matriz m por n (escreve-se m × n) e, m e n são suas dimensões, tipo ou ordem.
EXEMPLO:
Neste exemplo a matriz tem 4 linhas e 3 colunas então dizemos que esta é uma matriz 4 x 3 (lê-se quatro por três), isso por que tem 4 linhas e 3 colunas.Veja outros exemplos de matrizes e suas ordens ou tipos.
Numa matriz, cada número(elemento) ocupa uma posição definida por sua linha e por sua coluna, nessa ordem.VEJA:
EXERCICIO
1- O que são matrizes?
2- Como são chamadas as filas horizontais de uma matriz?
3- O que são colunas de uma matriz?
4- Por que uma matriz é chamada 3 x 5 (de ordem três por cinco)?
5- Crie uma matriz de ordem 3 x 6.
(Lê-se matriz de ordem 2×3, ou seja duas linhas e três colunas
(Lê-se matriz de ordem 2×2, ou seja duas linhas e duas colunas
(Lê-se matriz de ordem 3×3, ou seja três linhas e três colunas)
(Lê-se matriz de ordem 4×5, ou seja quatro linhas e cinco colunas
6- Como se lê as matrizes abaixo:
[ 3 2 ¿ ] [ 4 0 ¿ ]¿¿
¿¿
[ 3 2 1 ¿ ] [ 4 0 2¿ ] [ 1 5 3 ¿ ]¿¿
¿¿
[ 3 2 1 3 ¿ ] [ 4 0 2 1 ¿ ] [1 5 3 6¿ ] [ 0 2 4 2¿ ]¿¿
¿¿
7- Em que linha e coluna está o elemento 5 da matriz abaixo
[ 3 2 1 ¿ ] [ 4 0 2¿ ] [ 1 5 3 ¿ ]¿¿
¿¿
8- Em que linha e coluna estão os elementos 6 e 7 da matriz abaixo
[ 3 2 6 ¿ ] [ 4 0 2 ¿ ] [7 0 3 ¿ ]¿¿
¿¿
REPRESENTAÇÃO DE UMA MATRIZ
Uma matriz pode ser representada de três formas ou através de parenteses, ou através de chaves ou por meio de barra dupla.Veja:
(2 1 8 ¿ ) ¿¿
¿¿ matriz representada entre parenteses
[ 2 1 8 ¿ ] ¿¿
¿¿ Matriz representada entre colchetes
‖2 1 8 ¿‖¿¿
¿¿Matriz representada entre barra dupla
PARTES DE UMA MATRIZ
Observe a tabela abaixo.
Como você pode vê as partes de uma matriz são Elemento, linhas e colunas Elementos saão cada parte que está dentro da matriz; Linhas é o conjunto dos elementos que estão na horizontal Coluna é o conjunto dos elementos que estão na vertical
NOMENCLATURA
No âmbito da nomenclatura de matrizes podemos ver as seguintes definições:
Am x n (É uma matriz A com m linhas e n colunas).
aij (É um elemento qualquer que está na linha i e na coluna j de uma matriz).
REPRESENTAÇÃO GENÉRICA DE UMA MATRIZ
Observe as matrizes ao lado.
Logo podemos escrever a matriz generica ou seja a matriz que representa matriz de qualquer ordem.
Abrevidamente esta matriz pode ser representada assim:
A = (aij) m x n (Lê-se Matriz A dos elementos aij do tipo m x n
i – Representa a linha na qual o elemento está inserido.
j – Representa a coluna na qual o elemento está inserido.
Vamos ver alguns exemplos:
Matriz genérica matriz específica
Indicamos assim:
a11 = 1 (Lê-se a um um igual a 1) a21 = 5 (Lê-se a dois um igual a 5) a12 = 3 (Lê-se a um dois igual a 3) a22 = 4 (Lê-se a dois dois a 4) a13 = 9 (Lê-se a um três igual a 9) a23 = 10 (Lê-se a dois três igual a 10)
1º EXEMPLO: Quais os valores de, a13 e a21 na matriz abaixo?
a13 é o elemento que está na 1ª linha e na 3ª coluna. Então a13 = 1 a21 é o elemento que está na 2ª linha e na 1ª coluna. Então a21 = 4
2º EXEMPLO:, Quais os valores de, a23 e a34 na matriz abaixo?
a23 é o elemento que está na 2ª linha e na 3ª coluna. Então a23 = 2
a34 é o elemento que está na 3ª linha e na 4ª coluna. Então a34 = 6
3º EXEMPLO: Na matriz abaixo quais os valores de aij?
i é a linha como aij está na linha 2 então i = 2
j é a coluna como aij está na coluna 1 então j=1 logo (i = 2; j =1)
4º EXEMPLO: Na matriz abaixo quais os valores de aij?
i é a linha como aij está na linha 3 então i = 3
j é a coluna como aij está na coluna 2 então j=2 logo (i = 3; j =2)
EXERCICIO
1- Escreva como se lê os elementos abaixo:a11 a21 a32
a43 a 56 a45
2- Diga quais são os valores dos elementos a23, a33, a42 representados na matriz abaixo.
3- Observe a matriz abaixo e diga quais são os valores dos elementos a14, a31, a44 nela
4- Quais são os valores de i e j na matriz abaixo?
5- Na matriz abaixo qual é o valor de i e de j?
6- Observe a tabela abaixo e responda:
a) O elemento quantro está em que linha e em que coluna?
b) Como indicamos o elemento 20 na matriz genérica?
c) O elemento 12 é indicado de que maneira?
d) Se i é igual a 4, e j é igual a 2, qual é o elemento representado na matriz?
e) Qual é o elemento representado na tabela em i=2 e j=4?
LEI DE FORMAÇÃO DE UMA MATRIZ (ESCREVENDO UMA MATRIZ)
Para escrever uma matriz, precisamos saber sua ordem (ou seja quantas linhas e quantas colunas ela terá), conhecer a lei de formação (geralmente uma expressão algébrica), depois substituir os valores de i e j na expressão e realizar os cálculos.
EXEMPLO 01 – Escrever a matriz A = (aij)2 x 3, tal que aij = i + j.
A lei de formação é aij = i +j.i é a linhaj é a coluna
EXEMPLO 02 – Escrever a matriz A = (aij)2 x 3, tal que aij = i − j.
A lei de formação é aij = i −j.i é a linhaj é a coluna
EXEMPLO 03 – Escrever a matriz A = (aij)2 x 2, tal que aij = 2i –j.
SOLUÇÃO:Pelos dados do problema a matriz é dois por dois, ou seja tem duas linhas e duas colunas. Então na representação genérica pode ser assim.
A lei de formação é aij = 2i –j.i é a linhaj é a coluna Então temos
a11 = 2.1 −1 = 1a12 = 2.1 −2 = 0 logo a matriz é a21 = 2.2 −1 = 3a22 = 2.2 −2 = 2
EXEMPLO 04 – Encontre a matriz B = [aij]2 x 3, tal que aij = 3i –j.
SOLUÇÃO:Pelos dados do problema a matriz é dois por três, ou seja tem duas linhas e três colunas. Então na representação genérica pode ser assim.
A lei de formação é aij = 3i –j.i é a linhaj é a coluna
então temosa11 = 3.1 −1 = 2a12 = 3.1 −2 = 1 logo a matriz é a13 = 3.1 −3 = 0a21 = 3.2 −1 = 5a22 = 3.2 −2 = 4a23 = 3.2 −3 = 3
EXEMPLO 05 – Encontre a matriz C = [aij]3x2, tal que C =
[ i2 4 i ¿ ] ¿¿
¿¿.
SOLUÇÃO:i é a linha j é a coluna
a11 = 12 = 1a12 = 4.1 = 4 logo a matriz é a21 = −2.1= −2a22 = 3.2= 6
EXERCICIO
1- Escreva a matriz A = [aij]2 x 2, tal que aij = 4i –j.
2- Encontre a matriz B = [aij]2 x 3, tal que aij = 2i + j.
3- Escrever a matriz C = [aij]3 x 2, tal que C=
[ i2 3 j ¿ ] [2 j 2i+ j ¿ ] ¿¿
¿¿
4- Diga quais são os elementos a13, a32, a22 representados na matriz abaixo.
5- Reescreva a matriz abaixo substituindo os valores de i e j pelo seu correspondente e representando corretamente entre parenteses, colchetes ou barra dupla.
6- Escreva a matriz A = [aij]4 x 5, tal que aij = i2 –j.
7- Escreva a matriz B = [aij]3 x 5, tal que aij = i +2j.
8- Escreva a matriz A = [aij]3 x 6, tal que aij = i2 –2j.
TIPOS DE MATRIZESUma matriz pode ser de vários tipos. Quanto às fileiras podemos ter:
Matriz linha.A = (1 2 3 ) (Observe que esta matriz tem somente uma linha). Então ele é chamada de Matriz linha.
Matriz coluna.
A = ¿ (1 ¿ ) (2 ¿ ) ¿¿
¿ (Observe que esta matriz tem somente uma coluna). Então ele é chamada de Matriz coluna.
Matriz Quadrada
Uma Matriz é quadrada quando o número de linhas é igual ao números de colunas, ou seja, quando podemos dizer que, m tem a mesma quantidade de elementos que n. Exemplo:
A = ¿ (1 2 ¿ ) ¿¿
¿ é uma Matriz quadrada pois o número de linha é igual ao de colunas, ou seja ela tem duas linhas e duas colunas.
Chamamos esta matriz de matriz quadrada de ordem 2.
A = ¿ (1 2 3 ¿ ) (4 5 6 ¿ ) ¿¿
¿ é uma Matriz quadrada pois o número de linha é igual ao de colunas, ou seja ela tem três linhas e três colunas.
Chamamos esta matriz de matriz quadrada de ordem 3.
A = ¿ (1 2 3 ¿ ) ¿¿
¿ Esta não é uma Matriz quadrada pois o número de linha não é igual ao de colunas.
Ela é uma matriz de ordem 2 x 3
ESTUDANDO A MATRIZ QUADRADA
A Matriz Quadrada tem a diagonal principal e a diagonal secundário. Numa matriz quadrada A de ordem n × n, chama-se de diagonal principal os elementos aij onde i = j, para i de 1 a n. A outra diagonal da matriz é chamada de diagonal secundária.
Exemplo:
Uma matriz Quadrada pode ser: Triangular Inferior, Triangular Superior e Diagonal
Exemplo: (Observe que abaixo da Diagonal Principal todos os elementos são zeros). logo esta matriz e chamada de Matriz Triangular Inferior.
Exemplo: (Observe que acima da Diagonal Principal todos os elementos são zeros). logo esta matriz e chamada de Matriz Triangular Superior.
Exemplo: (Observe que tanto a acima da Diagonal Principal como em baixo todos os elementos são
zeros). logo esta matriz e chamada de Matriz Diagonal. Note que uma matriz diagonal ela é ao mesmo tempo triangular superior e triangular inferior.
Matriz Identidade
Matriz identidade é uma matriz diagonal (lógico que todo matriz diagonal é quadrada), que tem todos os elementos da diagonal principal iguais a 1 e os outros elementos iguais a 0.
Exemplo: I 2 = ¿ [ 1 0 ¿ ] ¿
¿¿ outro exemplo:
I 2 = ¿ [ 1 0 0¿ ] [ 0 1 0 ¿ ] ¿¿
¿
A única matriz identidade que não contém zero é a matriz identidade de ordem 1:
Matriz Nula
Matriz nula é uma matriz onde todos os elementos é 0. Ela pode ser quadrada ou de qualquer ordem.
Exemplo:
I 2 = ¿ [ 0 0 0 ¿ ] [0 0 0 ¿ ]¿¿
¿ esta é uma matriz nula, pois todos os seus elementos são 0.
Matriz transposta
A matriz transposta de uma matriz Am × n é a matriz Atn × m em que , ou seja, todos os elementos da primeira
linha, tornar-se-ão elementos da primeira coluna, todos os elementos da segunda linha, tornar-se-ão elementos da segunda coluna, todos os elementos da n linha, tornar-se-ão elementos da m coluna.
Exemplo:
A = ¿ [ 1 2 3 ¿ ]¿¿
¿. Outro exemplo
A = ¿ [ 0 10 23 ¿ ] [8 9 11 ¿ ]¿¿
¿.
Matriz simétrica
Uma matriz A é simétrica se ela for igual a sua transposta ou seja uma Matriz A é simétrica se A = At. Isso só ocorre com matrizes quadradas.
Exemplo:
se fazermos a transposta desta matriz temos At = ¿ [ 1 2 0 ¿ ] [ 2 7 4 ¿ ]¿
¿¿ as duas são iguais. Logo dizemos que a
Matriz A é simétrica ou A = At. (observe que os elementos acima e abaixo da diagonal principal são iguais. Quando isso acontece a matriz é simétrica, pois sua transposta vai ser igual a matriz principal.
Outros exemplos de matrizes simétricas:
B= ¿ [ 1 6 ¿ ] ¿¿
¿ é uma matriz simétrica porque B =Bt
B= ¿ [ 3 7 1¿ ] [ 7 8 9 ¿ ]¿¿
¿ é uma matriz simétrica porque B =Bt
EXERCICIO1- Quais os tipos de matrizes que você conhece até agora?
2- O que é uma Matriz linha? dê exemplo.
3- Define matriz coluna e escreva uma para exemplificar.
4- O que é uma matriz quadrada? Construa uma de ordem 5.
5- Das matrizes abaixo quais não são quadrada?
A= ¿ [3 7 1¿ ] [ 7 8 9 ¿ ] ¿¿
¿
B= ¿ [ 0 7 ¿ ] [ 7 8 ¿ ]¿¿
¿
C= ¿ [ 3 7 1 0¿ ] [ 7 8 9 0 ¿ ]¿¿
¿
D= ¿ [ 3 7 1 0 ¿ ] [7 8 9 0 ¿ ] [1 9 5 0 ¿ ] ¿¿
¿
E= ¿ [0 7 ¿ ]¿¿
¿
6- Diga quais são os elementos da diagonal principal das matrizes abaixo.
A= ¿ [3 7 1¿ ] [ 7 8 9 ¿ ] ¿¿
¿
B= ¿ [ 3 7 1 0 ¿ ] [ 7 8 9 0 ¿ ] [1 9 5 0 ¿ ]¿¿
¿
C= ¿ [ 0 7 ¿ ]¿¿
¿7- Determine a soma dos elementos da diagonal principal da matriz abaixo.
A= ¿ [3 7 1¿ ] [ 7 8 9 ¿ ] ¿¿
¿8- Determine a soma dos elementos da diagonal secundária da matriz abaixo.
A= ¿ [3 7 1¿ ] [ 7 8 9 ¿ ] ¿¿
¿9- Diga se as matrizes abaixo são Triangular inferior, Triangular superior ou diagonal.
A= ¿ [3 0 0 ¿ ] [7 3 0 ¿ ]¿¿
¿
B= ¿ [ 3 0 0¿ ] [ 0 3 0 ¿ ]¿¿
¿
C= ¿ [ 3 7 1 ¿ ] [0 8 9¿ ]¿¿
¿
10- O que é uma matriz identidade? Dê exemplo.
11- Das matrizes abaixo, diga quais são nulas e quais são identidades.
B= ¿ [ 0 0 0¿ ] [ 0 0 0 ¿ ]¿¿
¿
C= ¿ [ 0 0 1 ¿ ] [0 1 0 ¿ ]¿¿
¿
D= ¿ [ 0 0 0 ¿ ] [0 0 0 ¿ ]¿¿
¿
D= ¿ [ 1 0 0¿ ] [ 0 1 0¿ ]¿¿
¿
12 – Determine a transposta das matrizes abaixo.
A= ¿ [0 7 ¿ ] [7 8 ¿ ] ¿¿
¿
B= ¿ [ 3 7 1 ¿ ] [7 8 9¿ ]¿¿
¿
C= ¿ [13 17 10 ¿ ] ¿¿
¿
13- Verifique quais das matrizes abaixo são simétricas.
A= ¿ [0 7 ¿ ]¿¿
¿
B= ¿ [ 3 7 1 ¿ ] [7 3 9¿ ]¿¿
¿
C= ¿ [1 6 ¿ ]¿¿
¿
C= ¿ [ 2 5 1 3 ¿ ] [5 2 9 0 ¿ ] [ 1 9 2 7 ¿ ]¿¿
¿
B= ¿ [ 3 7 4 ¿ ] [7 3 8¿ ]¿¿
¿
14- Escreva a transposta da matriz A = (aij) 3x3 talque aij = i + 3j.
15- Determine a soma da diagonal principal da matriz B = (bij)4 x 4 talque bij = 4i –j.
16- Construa uma matriz linha com 4 elementos talque aij = i + j2.
17- Escreva uma matriz coluna com 5 elementos onde cada elemento aij = i + j2.
A= ¿ [1 0 0¿ ] [ 0 1 0 ¿ ]¿¿
¿
IGUALDADE DE MATRIZESDuas matrizes são iguais se e somente se são da mesma ordem (ou seja possuem o mesmo número de linha e colunas) e seus elementos correspondentes são iguais.
Exemplo: Vejas as matrizes abaixo.
A = ¿ [ 1 3 5 ¿ ]¿¿
¿
e B= ¿ [1 3 5 ¿ ]¿
¿¿
Elas são de mesma ordem e cada elemento correspondente são
iguais. Dizemos então que estas matrizes são iguais ou simplesmente A=B.
Veja outro exemplo:
A = B pois A = ¿ [3 8 2 ¿ ]¿¿
¿ e
B= ¿ [ 5−2 6+2 2−1 ¿ ] ¿¿
¿
Elas são de mesma ordem e seus elementos
correspondentes são iguais. Dizemos então que estas matrizes são iguais ou simplesmente A=B.
Veja outro exemplo: Quais os valores de a, b. c e d, para que as matrizes sejam iguais?
Resposta: A = ¿ [ 2 6 ¿ ]¿
¿¿ e
B= ¿ [a b ¿ ] ¿¿
¿
para que as matrizes sejam iguais devemos ter
{a = 2 ¿ {b = 6 ¿ {c = 4 ¿ ¿¿¿
logo fica ¿ [ 2 6 ¿ ] ¿
¿¿
Exercício
1- Detemine o valor de cada incógnita para que as matrizes sejam iguais.
¿ [ 3 a b ¿ ]¿¿
¿ =
¿ [ x−2 −5 1 ¿ ]¿¿
¿
2- As matrizes abaixo são iguais?
A = ¿ [ 1 5 5 ¿ ]¿¿
¿
e B= ¿ [1 3 5 ¿ ]¿
¿¿
3- Quais os valores das incógnitas para que as matrizes abaixo seja iguais?
A = ¿ [ 10 15 6 ¿ ]¿¿
¿ e
B= ¿ [a b c ¿ ] ¿¿
¿
ADIÇÃO DE MATRIZES (Soma de Matrizes)
Para efetuarmos a soma de duas matrizes de mesma ordem basta somarmos os elementos que ocupa as posições correspondente.Exemplo 01 – Vamos somar as matrizes A e B. ou seja A + B
¿ [ 2 6 ¿ ] ¿¿
¿
+ ¿ [ 3 1¿ ]¿
¿¿ =
¿ [ 2+3 6+1¿ ]¿¿
¿ =
[ 5 7 ¿ ]¿¿
¿¿
Exemplo 02 – Vamos somar as matrizes B e C. ou seja B + C
¿ [ 3 1 2¿ ]¿¿
¿
+ ¿ [ 1 2 1 ¿ ] ¿
¿¿ =
¿ [ 3+1 1+2 2+1 ¿ ]¿¿
¿ =
¿ [ 4 3 3 ¿ ]¿¿
¿
Exemplo 03- Vamos somar as matrizes A e C. ou seja A + C
[ 3 1 2 ¿ ]¿¿
¿¿ +
[ 3 1 1 ¿ ] ¿¿
¿¿ =
[ 6 3 3¿ ]¿¿
¿¿
Exemplo 04- Vamos somar as matrizes A, B e C. ou seja A + B + C
[ 3 1 2¿ ]¿¿
¿¿ +
¿ [ 1 2 3 ¿ ]¿¿
¿
+ ¿ [ 3 1 1 ¿ ]¿
¿¿ =
[ 3+1+3 1+2+1 2+3+1 ¿ ]¿¿
¿¿ =
¿ [7 4 6 ¿ ]¿¿
¿
Exemplo 05- É possível realizar a soma das matrizes C e D. ou seja C + D
[ 3 1 2¿ ]¿¿
¿¿ +
¿ [ 3 1 ¿ ]¿¿
¿
EXERCÍCIO1- Agora que você já sabe somar matrizes, faça a soma das matrizes abaixo:
A = ¿ [1 8 12 ¿ ]¿¿
¿
B= ¿ [ 3 1 1 ¿ ] ¿¿
¿
2- Dadas as matrizes A= ¿ [3 2 1¿ ]¿
¿¿
, B= ¿ [ 3 4 5 ¿ ]¿
¿¿
e C= ¿ [−3 2 4 ¿ ]¿
¿¿
calcule:
a) A + B b) B + C c) A + C d) A + B + C
3- Efetue a soma da matriz A escrita abaixo com sua transposta. ou seja A + At.
A = ¿ [2 5 10 ¿ ] [1 4 8 ¿ ]¿¿
¿
4- Escreva a matriz A = (aij) 2x2, tal que aij = i+j sua transposta e depois faça a soma de A + At.
5- Escreva a matriz A = (aij)4x3, tal que aij = i + j e a Matriz B = (bij)4x3, tal que bij = 2i + j, em seguida faça a soma de
A com B.
SUBTRAÇÃO DE MATRIZES
Para efetuarmos a Subtração entre duas matrizes do mesmo tipo basta subtrairmos os elementos que ocupa as posições correspondente.Exemplo 01 – Vamos subtrair as matrizes A e B. ou seja A –B
[ 4 6 ¿ ] ¿¿
¿¿ −
¿ [ 1 3 ¿ ]¿¿
¿ =
[ 4−1 6−3 ¿ ]¿¿
¿¿ =
[ 3 3 ¿ ] ¿¿
¿¿
Resposta
:
Exemplo 02 – Vamos subtrair as matrizes B e C. ou seja B –C
[ 3 4 5 ¿ ]¿¿
¿¿ −
¿ [ 1 2 1 ¿ ] ¿¿
¿ =
¿ [ 3−1 4−2 5−1 ¿ ]¿¿
¿ =
[ 2 2 4 ¿ ]¿¿
¿¿
Exemplo 03- Vamos subtrair as matrizes A e C. ou seja A –C
[ 3 4 2¿ ]¿¿
¿¿ −
[ 2 1 1 ¿ ] ¿¿
¿¿ =
¿ [ 1 3 1 ¿ ] ¿¿
¿
Exemplo 04- É possível realizar a subtração das matrizes C e D.
[ 3 1 2¿ ]¿¿
¿¿ −
¿ [ 3 1 ¿ ] ¿¿
¿
EXERCÍCIO
1- Agora que você já sabe subtrair matrizes, faça a subtração das matrizes abaixo A −B:
A = ¿ [10 8 12 ¿ ] ¿¿
¿
B= ¿ [ 3 1 1 ¿ ] ¿¿
¿
2- Dadas as matrizes A= ¿ [6 8 10 ¿ ]¿
¿¿
, B= ¿ [ 4 5 9¿ ]¿
¿¿
, e C= ¿ [−3 2 4 ¿ ]¿
¿¿
calcule:
a) A − B b) B − C c) A − C
3- Efetue a subtração da matriz A escrita abaixo de sua transposta. ou seja A − At.
A = ¿ [2 5 10 ¿ ] [1 4 8 ¿ ]¿¿
¿
4- Escreva a matriz A = (aij) 3x3, , tal que aij = i+j sua transposta e depois faça a subtração de A − At.
5- Escreva a matriz A = (aij)2x4, tal que aij = i + j e a Matriz B = (bij)2x4, tal que bij = 2i + j, em seguida faça a
subtração de A − B.
MULTIPLICAÇÃO DE UM NÚMERO POR UMA MATRIZ (PRODUTO DE UM ESCALAR POR UMA MATRIZ)
Para multiplicar um número k qualquer por uma matriz n×m A, basta multiplicar cada entrada aij de A por k. Assim, a matriz resultante B será também n×m e bij = k.aij. ou seja de maneira mais simples podemos dizer que basta multiplicar o número qualquer por cada elemento da matriz.
Exemplo 01 – Multiplicar a matriz abaixo por 2.
Resposta
:
2 .¿ [ 3 1 ¿ ] ¿
¿¿ =
¿ [ 2 .3 2 . 1 ¿ ]¿¿
¿ =
¿ [ 6 2 ¿ ]¿¿
¿
Exemplo 02 – Multiplicar a matriz abaixo por 3.
3 .
[ 3 1 2¿ ]¿¿
¿¿=
[ 3 .3 3 . 1 3. 2 ¿ ]¿¿
¿¿ =
[ 9 3 6 ¿ ]¿¿
¿¿
Exemplo 03 – Multiplicar a matriz abaixo por 5.
5
.
[ 1 2 0 ¿ ] [ 2 1 2¿ ]¿¿
¿¿=
[ 5 10 0 ¿ ] [10 5 10 ¿ ]¿¿
¿¿
EXERCICIO
1- Faça o produto da matriz abaixo por 2.
[ 6 2 0 −3 ¿ ] [−1 5 3 −2 ¿ ] ¿¿
¿¿
2- Ao multiplicarmos a matriz A = (aij)2x2, tal que aij= 2i –j pelo número 3 obtemos que matriz?
3-Faça a multiplicação da transposta de A=
[ 1 2 0 ¿ ] [ 3 1 2¿ ]¿¿
¿¿ por 4.
MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES (Produto de Matrizes)Antes de iniciamos a fazer o produto entre matrizes vamos destacar alguns detalhes.→ O produto A . B é diferente de B . A, ou seja na multiplicação de matrizes a ordem importa (Normalmente estamos acostumados com a idéia de que a ordem dos fatores não altera o produto), isso em matrizes não existe. → Seja A a primeira matriz do produto e B a segunda matriz, o produto só é possível se atender as seguintes condições:
1- O número de coluna da primeira matriz (A), deve ser igual ao número de linha da segunda matriz (B).2- A matriz produto que é o resultado terá o mesmo número de linha da primeira matriz (A), e o mesmo número de coluna
da segunda matriz (B).Demonstração:
Exemplo 01 – Seja A =
[ 1 2 3 ¿ ]¿¿
¿¿ e B=
[ 2 1 ¿ ] [3 2¿ ]¿¿
¿¿
a) Podemos fazer o produto de A por B (A . B).
Resp. Sim pois o número de coluna da matriz A é igual ao número de linha da matriz B. como a matriz A tem 2 linhas e a matriz B tem duas colunas então a nova matriz produto vai ser de ordem 2 x 2.
b) Calcule o Produto se existir.
A . B = ¿ [1 .2+2 . 3+3 . 4 1 . 1+2. 2+3 .5 ¿ ]¿¿
¿¿ [ 20 20 ¿ ]¿¿
¿
Exemplo 02 – Multiplique a matriz A pela B =
A = ¿ [ 4 2 ¿ ] ¿¿
¿
Solução:
A . B= ¿ [ 4 .1+2 . 6 4 . 5+2 .2 ¿ ] ¿¿
¿¿ [ 16 24 ¿ ]¿¿
¿
Exemplo 03 – Faça o produto C . D
C = ¿ [2 1 ¿ ] [3 0 ¿ ] ¿¿
¿
Solução:
C . D = ¿ [ 2 .1+1 .3 2. 2+2 .3 ¿ ] [3 . 1+0 .3 3. 2+0 . 2¿ ]¿¿
¿[ 5 6 ¿ ] [ 3 6 ¿ ]¿¿
¿¿
Exemplo 04 – Faça o produto das matrizes (A . B).
A= ¿ [ 1 2¿ ] [ 3 1 ¿ ]¿¿
¿ e B=
[ 2 1 ¿ ] [3 2¿ ]¿¿
¿¿ Resposta: Não é possível fazer a multiplicação, pois o número de coluna da Matriz A, não é
igual ao número de linha da matriz B.
EXERCICIO
1- Efetue a multiplicação das matrizes A e B. (A.B)
A= ¿ [ 2 3 1¿ ]¿¿
¿ e B=
[ 3 4 ¿ ] [ 1 5¿ ]¿¿
¿¿
2- Seja a matrizA = ¿ [ 1 2 ¿ ]¿
¿¿
Responda:
a) É possível efetuar a multiplicação de A.B. justifique. b) Calcule o Produto se existir.
3- Escreva a matriz A = (aij)2x3 tal que aij = i + j, e a matriz B = (bij)3x2 tal que bij = i – j, em seguida faça o produto de A.B.
4- Calcule o produto das matrizes A e I2(A. I2). A= ¿ [ 2 3 1¿ ]¿
¿¿e
I 2 = ¿ [ 1 0 0¿ ] [ 0 1 0 ¿ ] ¿¿
¿
5- Faça a multiplicação da matrizes C por D (C. D).
C= ¿ [ 2 3 1¿ ] [−1 4 −2 ¿ ] ¿¿
¿e
D = ¿ [ 0 0 0 ¿ ] [0 0 0 ¿ ]¿¿
¿
