MODELACIÓN DEL CRECIMIENTO DEL ÁREA FOLIAR DE LA HOJA DE FRIJOL

M Sc Luis Ramón López Mendoza

Presentación

La modelación es una de las habilidades más importantes para el desarrollo del pensamiento matemático. Consiste en matematizar situaciones en diferentes contextos (reales, hipotéticos o formales), mediante el análisis de variables, el uso de diferentes representaciones, la definición de conceptos y la obtención de expresiones matemáticas que sintetizan las relaciones entre las variables, permitiendo estimar y calcular nuevos valores y predecir resultados al variar los parámetros iniciales.

Como lo plantea el MEN en su documento Estándares de Matemáticas, un modelo se produce para poder operar transformaciones o procedimientos experimentales sobre un conjunto de situaciones o un cierto número de objetos reales o imaginados, sin necesidad de manipularlos o dañarlos, para apoyar la formulación de conjeturas y razonamientos yconstruir conceptos básicos para avanzar hacia las demostraciones (MEN; 2008).

Planteamiento

Se desea encontrar una expresión matemática que describa la manera como crece el área de la hoja de una planta de fríjol, a lo largo de los días. Predecir el área de la hoja para un día determinado o dada un área aproximada, estimar el tiempo transcurrido.

Procedimiento

El día 22 de octubre de 2015, se sembró un grano de fríjol verde común. Al término de 2 a 3 días, se produjo la germinación, que consiste en el brote de la parte vegetal del grano; este es un proceso de germinación epigea. Dos días después, es decir entre el 5 y 6 día, se produce el abandono de los cotiledones, que suben pegadas al tronco de la planta. La primera medición del área foliar se realizó el día 8, y después se realizaron medidas diarias hasta el día 14, a excepción del día 13.

Para realizar las medidas de las áreas de una de las hojas, se utilizó el siguiente procedimiento: se colocó la hoja sobre papel cuadriculado y se dibujó el perímetro con un lápiz de mina delgada. Luego se contaron y enumeraron los cuadritos que cubre la región encerrada, haciendo aproximaciones y estimaciones, es decir, completando cuadritos de 0,5 x 0,5 cm2. El número total de cuadritos obtenidos se dividió por 4, para expresar la medida de las áreas en cm2 (4 cuadritos equivalen a 1 cm2).

Las medidas se registraron en la siguiente tabla:

Día Área Foliar (cm2)8 7,1259 8,6210 14,4511 23,812 30,114 50,2

Tabla No 1: Datos obtenidos

La siguiente imagen muestra la germinación, crecimiento de la hoja y el procedimiento utilizado para medir el área. Nótese que el papel muestra restos de clorofila de la planta, dejados al colocar la hoja para dibujar el contorno.

Con ayuda del software dinámico GeoGebra se procedió luego a obtener una gráfica, para realizar la respectiva regresión y obtener la expresión matemática de crecimiento del área de la hoja, en función del tiempo. La siguiente tabla muestra el procedimiento:

Paso Actividad Vista1 En el menú vista seleccionar Hoja de Cálculo

Hoja de Cálculo2 En la celda A1 escribir Día y en B1 Área Foliar (cm2)3 Escribir los datos de la tabla No 1

4 Seleccionar todos los datos ingresados, dar clic derecho, seleccionar Crea y luego Lista de puntos

5 Ir a Vista Gráfica, ajustar los ejes para ver los puntos A, B, C, D, E y F Vista Gráfica

6Seleccionar todos los datos, ir y desplegar el menú superior izquierdo, elegir la opción Análisis de regresión de dos variables Hoja de Cálculo

7 Seleccionar en Modelo de regresión Logística

Tabla No 2. Regresión con GeoGebra

El software muestra una curva que se ajusta a los puntos dibujados, y también la

expresión matemática y=77.09

1+672.76 e−0.51x

Haciendo un cambio de variable, se puede deducir que A= 77.091+672.76 e−0.51 t

Siendo A el

área foliar en cm2 y t el tiempo en días.

Debajo de la expresión encontrada, aparece una caja con el nombre Cálculo Simbólico, la cual permite reemplazar el valor de x (días), y obtener el respectivo valor de y (área foliar).

Por ejemplo, si se quiere estimar el área de la hoja, para el día 13, en el cual no se realizó la medición experimental, se obtiene un área de 40,66 cm2.

Esta competencia está referenciada en el documento Estándares Básicos de Competencias Matemáticas del MEN, como se resume a continuación:

Estándares:

Componentes: Numérico y Sistemas Numéricos; Variacional y Sistemas Algebraicos y Analíticos

Competencias: Uso de Múltiples Representaciones; Modelación

Desempeños:

Describo cualitativamente situaciones de cambio y variación utilizando el lenguaje natural, dibujos y gráficas. (1º - 3º)

Analizo y explico relaciones de dependencia entre cantidades que varían en el tiempo con cierta regularidad en situaciones económicas, sociales y de las ciencias naturales. (4º y 5º)

Reconozco el conjunto de valores de cada una de las cantidades variables ligadas entre sí en situaciones concretas de cambio (variación). (6º y 7º)

Analizo en representaciones gráficas cartesianas los comportamientos de cambio de funciones específicas pertenecientes a familias de funciones polinómicas, racionales, exponenciales y logarítmicas. (8º y 9º)

Utilizo las técnicas de aproximación en procesos infinitos numéricos. (10º y 11º)

Conclusiones

El crecimiento del área de la hoja de una planta, es similar a la forma como crece un ser humano o una población, y este crecimiento puede modelarse mediante una función

logística, para este caso la función obtenida es: A= ab+c∗edt

, donde A es el área, t es el

tiempo y a, b, c, d son constantes.

La modelación es una competencia que permite abordar problemas de aplicación en la biología, la física, la química, la economía y las ciencias sociales, de manera que el estudiante no solo ve la necesidad de problematizar el entorno, sino que al hacerlo y al utilizar procedimientos, algoritmos y múltiples representaciones, apropia conocimientos fundamentales de la matemática (Benítez et al, 2010).

Referencias

Benítez, D y Otros. 2010. El Desarrollo de Competencias Disciplinares de Matemáticas en el Ámbito Escolar. Tercer Encuentro Nacional de Profesores de Ciencias Exactas y Naturales, “Las TIC en el proceso de aprendizaje” – Memorias.

MEN, 2008. Estándares Básicos de Competencias en Matemáticas. Bogotá.