Numeros de outros lugares 25 cópias de cada frente e verso

E.E. PROF. SALATIEL DE ALMEIDA - MUZAMBINHO – MG

Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães

MATEMÁTICA

SISTEMA DE NUMERAÇÃO ROMANO

O Sistema de Numeração Romano, que todos conhecemos, também é decimal e posicional, mas, ele é representado pela

repetição de elementos e por regras de justaposição de algarismos, e não pela multiplicação por potências de 10 dependendo da

posição do número. É um sistema restrito, que não permite escrever números muito grandes.

Vamos relembrá-lo, com alguns exemplos

I – um

II – dois

III – três

IV – quatro

V – cinco

VI – seis

VII – sete

VIII – oito

IX – nove

X – dez

XI – onze

XII – doze

XIII – treze

XIV – catorze

XV – quinze

XX – vinte

XXI – vinte e um

XXVI – vinte e

seis

XXX – trinta

XXXIX – trinta e

nove

XL – quarenta

L – cinqüenta

LX – sessenta

LXVII – sessenta e

sete

LXX – setenta

LXXX – oitenta

XC – noventa

C – cem

CI – cento e um

CV – cento e cinco

CXX – cento e

vinte

CXLVIII – cento e

quarenta e oito

CC – duzentos

CCC – trezentos

CD – quatrocentos

D – quinhentos

DC – seiscentos

DCC – setecentos

DCCC –

oitocentos CM –

novecentos M –

mil

MCC – mil e

duzentos

MCCVII – mil

duzentos e sete

MM – dois mil

MMM – três mil

É interessante observar que não existe algarismo romano para representar o número zero, o que é uma grande

inconveniência.

A partir de 3.999, escrevemos os numerais colocando traços em cima do que queremos dizer que vale mil vezes.

Ex: 5.742, escrevemos DCCXLIIV . 134.526, escrevemos DXXVICXXXIV . 12.534.222, escrevemos

CCXXIIDXXIVXII .

Com certeza, um sistema complexo e de difícil uso. Experimente fazer uma divisão com algarismos romanos.

Até 1.300, os algarismos indo arábicos foram proibidos em muitas cidades e países da Europa, sob o argumento que estes

eram fáceis de falsificar. O uso de algarismos romanos durou até cerca o século XVII em algumas escolas, e até meados do século

XVIII em escritas contábeis.

É importante observar que a escrita de numerais romanos foi alterada no curso de sua história. Por exemplo, inicialmente

o número 1000 era escrito como | , e repetíamos até 4 vezes o número, sendo, por exemplo IIII o símbolo de 4, VIIII o símbolo

de 9, XXXX o símbolo de 40, etc...Mais informações sobre isto e sobre a origem dos símbolos romanos você encontrará nas

referências que damos.



MATEMÁTICA

NOME:________________________________________________ - DATA:____________

EXERCÍCIOS

1. Escreva em algarismos romanos:

a) 72 b) 512 c) 1.523 d) 2.004 e) 5.122

f) 122.511 g) 5.125.235

2. Escreva em algarismos indo-arábicos: a) LII b) XLVII c) LXXVII d) MCMLXIII

e) DCCXXXIX f) DCCLXX g) XLVIIXV h) XXXVIIIDXI i) DLXIVCCCXI

3. Efetue a soma DCXVIII + MCMLXXVIII

4. No alto de uma casa estava escrito o número MDCCCXCVIII. Em que ano esta casa pode ter sido construída?

5. (Exame de Seleção Cotil/Unicamp-2002) De acordo com as informações do quadro abaixo, escreva os séculos correspondentes, utilizando algarismos romanos.

Navegante Feito Época Século

Cristóvão Colombo Descoberta do continente americano 1488

Vasco da Gama Descoberta do caminho marítimo para as Índias

1498

Pedro Álvares Cabral

Descoberta do Brasil 1500

Fernão de Magalhães

Descoberta das Filipinas 1521

6. (Exame de Seleção do Centro Estadual de Educação Paula Souza – Ensino Médio – SP/1º 2001)

Observe a tabela abaixo:

ANO FATO SÉCULO

1445 Invenção da tipografia por Gutenberg

1876 Invenção do Telefone por Graham Bell

1957 Sputinik: 1º satélite colocado em órbita da Terra

pelos russos

Os séculos correspondetes a cada uma dessas datas são, respectivamente: a) XV, XIX e XX b) XIV, XVII e XVIII c) XIV, XX e XXI

d) XIII, XX e XXI e) XIII, XVI E XX

7. (Concurso Professor de Matemática 5ª à 8ª séries – Prefeitura Municipal de Sertãozinho-SP/2002) 46. Durante a Idade Média, na Europa a multiplicação e a divisão de números naturais eram tidas como operações

extremamente complicadas e dominadas apenas no nível universitário, por poucas pessoas tidas como sábias. Nessa época, essa dificuldade se devia ao fato de que a) o Sistema de Numeração Decimal, como hoje o conhecemos, ainda não era do conhecimento dos europeus.

b) os europeus realizavam essas operações no sistema de numeração romana. c) o ábaco era bastante difundido na Europa, impedindo o desenvolvimento do algoritmo usual atual.

d) os europeus não tinham necessidade de fazer multiplicações ou divisões para resolver problemas de seu cotidiano. e) os sábios que dominavam os procedimentos operatórios não os divulgavam, por desacreditarem da

capacidade das demais pessoas em aprendê-los.



MATEMÁTICA

2.3 SISTEMA DE NUMERAÇÃO EGÍPCIO

O Sistema de numeração egípcio também é decimal, porém, é feito com a justaposição repetida de numerais. Não é um sistema

posicional. Não importa a ordem como foram colocados, os símbolos representa a mesma idéia.

Um dos mais antigo vestígio de número da humanidade são gravações de numerais egípcios em um cetro real de 3400 aC,

quando o rei Menes unificou o Baixo e o Alto Egito. Os números do cetro representavam as conquistas da guerra: 120.000

prisioneiros, 400.000 cabeças de gado e 1.422.000 cabras.

Vejam os algarismos egípcios:

bastão vertical Unidade (1)

Calcanhar ou arco ou ferradura Dezena (10)

Rolo de pergaminho, espiral, cadeia ou

pedaço de corda enrolada Centena (100)

Flor de lótus Unidade de Milhar (1.000)

Dedo apontado ou encurvado Dezena de Milhar (10.000)

Girino ou barboto (peixe) Centena de Milhar (100.000)

Homem espantado com os braços esticados ou

A figura da deidade cósmica Deus do sem-fim. Unidade de Milhão (1.000.000)

Os algarismos egípcios se escreviam por justaposição.

(Mapa do Egito retirado do livro de História da Matemática de Howard Eves)

Vejam os números até 20:

Outros exemplos

45 (quarenta e cinco)

242 (duzentos e quarenta e dois)

1803 (mil oitocentos e três)

Note que 245 pode ser escrito de várias outras formas, nada interferindo a posição:

,

ou

Em nosso sistema de numeração, é evidentemente diferente escrever 245 e 452 ou 524. Mas no s istema egípcio a ordem

não altera o sentido do número.

Os egípcios não tinham sinal para o zero, da mesma forma que os romanos.

No antigo Egito existiam três tipos de linguagem escrita: o hieroglífico (usada em monumentos de pedra, madeira ou metal,

a forma mais bela de escrita já conhecida), o hierático (escrita religiosa ou sacerdotal, mais arredondada, que surgiu do uso ma is

rápido da pena de escrever de caniço dos escribas) e o demótico (versão popular e abreviada do hierático). A escrita que estu damos

aqui é a hieroglífica. As presentes nas grandes pirâmides do Egito e nos monumentos dos reis.

A numeração hierática e demótica, surgidas por volta do século VIII a.C., eram pouco diferentes entre si, sendo a escrita

demótica um pouco mais simples. Abaixo, passamos uma tabela, com o sistema de numeração hierático comparado ao hieroglífico .

Do livro Números e Numerais, da coleção Tópicos de História da Matemática para Uso em Sala de Aula,

Os egípcios também conheciam frações. Todas de numerador 1 (exceção: 2/3). O estudo das frações egípcias é um dos

mais encantadores da história da Matemática. Elas estão presentes no mais importante documento da antiguidade, com problemas

Matemáticos, o Papiro de Rhind, que estudaremos em frente.



MATEMÁTICA

NOME:________________________________________________ - DATA:____________

EXERCÍCIOS

1. Escreva em algarismos egípcios, os números encontrados no cetro do rei Menos: 120.000 prisioneiros, 400.000 cabeças de

gado e 1.422.000 cabras.

2. Escreva em algarismos egípcios:

a) 526 b) 111 c) 526 d) 1252 e) 10523

f) 1005 g) 52342 h) 152334 i) 5123456

3. Escreva em algarismos indo-arábicos:

a) b)

c) d)



MATEMÁTICA

2.4 SISTEMA DE NUMERAÇÃO BABILÔNICO

(Mapa da Mesopotâmia retirado do livro de História da Matemática de Howard Eves)

Babilônia é a capital da Mesopotâmia, uma das mais importantes civilizações da antiguidade, localizada entre os rio s Tigre

e Eufrates. Mesopotâmia (meso = meio, potamus = rio). Atualmente, Iraque.

O sistema de numeração babilônico, desenvolvido aproximadamente 2000 anos antes de Cristo não era decimal, era

sexagesimal (base 60), usando-se o sistema decimal para representações de 1 à 60. E também era um sistema posicional (como o

romano e o indo-arábico). Neste sistema não existia sinal para o zero, o que gerava muita confusão.

Os números eram escritos em tábuas de argila, usando-se um estilo com ponta triangular que fazia figuras no formato de

cunhas (caracteres cuneiformes).

Para se escrever até 9 usavam-se cunhas da seguinte forma.

O dez era representado por uma cunha na horizontal: .

Números entre 11 e 59 eram escritos misturando cunhas horizontais e verticais.

Ex:

38 (trinta e oito)

55 (cinqüenta e cinco)

Para escrever números maiores que 60, usava-se cunhas verticais antes das cunhas horizontais, separados por um espaço.

Ex:

1x60 + 3

63 (sessenta e três)

1x60 + 15

75 (setenta e cinco)

1x60 + 24

104 (cento e quatro)

3x60 + 19

199 (cento e noventa e nove)

13x60 + 44

824 (oitocentos e vinte e quatro)

Quando chegava-se em 3600, pulava-se mais um espaço. Ex:

1x3600 + 48x60 + 42

6522 (seis mil, quinhentos e vinte e

dois)

Em textos mais recentes (período selêucida, nos últimos 3 séculos antes de Cristo), usou -se o símbolo para separar os

números. Fica evidente que escrever para representar 63 é uma forma mais simples do que se não usarmos os

separadores.

É claro que este sistema é muito confuso por não ter o número zero. Como se escreveria 60? A escrita do número 60 era

idêntica ao do número 6, e isto gerou muitos problemas.

O número , portanto, podia representar 1, 60 ou 3600. Ou seja, um sistema confuso. (Além disto, também poderia

representar frações como 1/60 e 1/3600). Isto pela inexistência do número zero.



MATEMÁTICA

NOME:________________________________________________ - DATA:____________

EXERCÍCIOS

1. Escreva em algarismos babilônicos:

a) 43 b) 72 c) 89 d) 115 e) 125

f) 162 g) 192 h) 252 i) 722 j) 915

l) 1523 m) 2222 n) 5234 o)21523 p) 55135


a) b) c)

d) e)

3. Escreva os números 1, 60 e 3600 e fale das desvantagens do sistema de numeração babilônico.

4. (Concurso Professor de Matemática 5ª à 8ª séries e Ensino Médio– SESI-SP/2004) Os sumérios, segundo George Ifrah, em

seu livro Os números, por volta de 3300 a.C. usavam os seguintes símbolos para números:

- um pequeno cone para representar a unidade

- a bolinha marcando a dezena

- um grande cone das sessenta unidades

- um grande cone perfurado vale 600 unidades

- uma esfera equivale a 3600 unidades

- uma esfera perfurada representa 36 000 unidades

Por volta do ano de 2 650 a.C. foi proposto na escola de formação de escribas e contadores, o seguinte problema: “Um granel de

cevada foi repartido entre diversos homens e cada qual recebeu 7 silas de cevada. Quantos eram os homens?” O granel equivale a 1

152 000 silas.

Para resolver o problema é necessário efetuar uma divisão, que os sumérios faziam pelo sistema de trocas porque o cálculo escrito

ainda não era utilizado.

Como os sumérios representariam o número de homens, resultado correto para o problema?

a) 6 bolinhas, 2 grandes cones, 4 cones perfurados, 6 es feras, 4 esferas perfuradas.

b) 2 pequenos cones, 4 bolinhas, 2 grandes cones, 3 cones perfurados, 4 esferas, 5 esferas perfuradas.

c) 1 pequeno cone, 5 bolinhas, 5 grandes cones, 4 cones perfurados, 5 esferas, 4 esferas perfuradas.

d) 1 pequeno cone, 6 bolinhas, 2 grandes cones, 3 cones perfurados, 5 esferas, 3 esferas perfuradas.

e) 3 pequeno cone, 4 bolinhas, 2 grandes cones, 5 cones perfurados, 5 esferas, 4 esferas perfuradas.

5. (ENCCEJA – Ensino Médio – 2002) A civilização babilônica viveu na Mesopotâmia há cerca de 6000 anos. Os estudiosos

encontraram documentos dessa civilização feitos em tijolos relativamente finos de argila. A escrita era feita com uma espécie de

estilete nos tijolos ainda úmidos. Os traços dessa escrita tinham o formato de cunha e por isso a escrita dos babilônios é chamada

cuneiforme. Os arqueólogos descobriram tabletes babilônicos datados provavelmente de 1800 antes deCristo, onde apareceram as

seqüências numéricas:

1, 3, 9, 27, 81,...

1, 4, 16, 64,...

(Adaptado de CARVALHO, M. C. Padrões Numéricos e Seqüências. São Paulo. Editora Moderna. 1997)

As seqüências descobertas mostram que os babilônios já trabalhavam naquela época com seqüências de números que mostram a

seguinte regra de formação: cada número da seqüência pode ser obtido

(A) a partir do segundo,somando ao anterior um mesmo número.

(B) a partir do segundo, multiplicando o anterior por um mesmo número.

(C) a partir do quarto, somando ao anterior um mesmo número.

(D) a partir do terceiro, multiplicando o anterior por um mesmo número.



MATEMÁTICA

2.5 SISTEMA DE NUMERAÇÃO MAIA

“Esquecemos, a todo instante, os prodígios que o zero realiza no campo da Numeração”

Lancelot Hogben

Muito superior ao sistema babilônico, egípcio e romano, a civilização maia, que vivia na península do Yucatan (atual

México), no século IV d.C., desenvolveu um sistema de numeração posicional, vigesimal (base 20) e com símbolo especial para o

zero.

Os maias tinham dois tipos de escrita, a hieroglífica maia, com “símbolos de cabeça” para os números de 0 a 13, e os

números de 14 a 19 formados pela união da madíbula inferior de um símbolo de caveira para o 10 a um dos símbolos do 4 ao 9; e a

escrita mais comum, popular.

Esta escrita popular, que vamos ver sua estrutura facilitava cálculos aritméticos (inclusive a divisão) e servia para o

comércio e para a contagem do tempo. (É importante observar que os maias usavam dois tipos de numeração, uma para contagem

do tempo, em seu ano de 365 dias, e outra para fins comerciais. Na numeração para o tempo, chamada de contagem calendar, a

terceira posição vale 360, e não 400, como deveria valer, e, a quarta posição 7200, ao invés de 8000, portanto, um símbolo po deria

representar dois números diferentes, dependendo do contexto em que tivesse inserido).

Até 20, os números eram escritos da seguinte maneira, usando-se ponto (seixo) e a barra (vareta ou bastão):

Para números maiores que 20 são necessárias mais de 1 posição. E para o número 20 os maias usavam um concha (ou mão

fechada).

Alguns livros usam o símbolo para representar o zero da numeração maia.

Veja os números:

(Gravura do livro “Tópicos de História da Matemática para uso em sala de aula – Números e Numerais”)

Na notação comum, os números acima representam 13, 151, 400 e 8002. Em notação calendar, os dois últimos números

são 360 e 7202.



MATEMÁTICA

NOME:________________________________________________ - DATA:____________

EXERCÍCIOS

1. Escreva em algarismos maias:

a) 52 b) 45 c) 87 d) 135

e) 451 f) 525 g) 923 h) 1025

i) 9123 j) 65323


a) b) c) d) e) f)

Education

Numeros de outros lugares 25 cópias de cada frente e verso