O Desenvolvimento do Pensamento Funcional nos Anos Iniciais: desenhando o céu, contando histórias e fazendo viagens.1

Lívia de Oliveira Vasconcelos Everaldo Gomes Leandro

1 Texto publicado em formato de livreto. Disponível em: http://www.leetra.ufscar.br/biblioteca. 2015.

O pensamento funcional é explorado frequentemente nas práticas escolares e

permeia as atividades cotidianas. No entanto, tal prática acontece, em certos casos, de

forma inconsciente ou despropositadamente.

Cientes disso, elaboramos esse material que tem como objetivo apresentar

algumas propostas de atividades que podem contribuir para o desenvolvimento desse

tipo de pensamento nos anos iniciais que consideramos importante para o letramento

Matemático.

No entanto, poderá o leitor se perguntar que pensamento é este que estamos nos

referindo como funcional. Pressupondo tal inquietação, iniciaremos nossa discussão a

partir desse ponto.

Um dos conteúdos Matemáticos apresentados nas Propostas Curriculares

Nacionais (PCN) é Função. Segundo os PCN, tal conteúdo deverá ser apresentado aos

alunos no final do Ensino Fundamento II e retomado durante o Ensino Médio. A grosso

modo, podemos dizer que o Conteúdo de Funções é o que nos permite estudar as

relações quantitativas existentes entre duas ou mais variáveis. Uma relação entre

variáveis (Quantidade de objetos e valor pago) pode ser estabelecida, por exemplo, se

sabemos o valor de um objeto e conseguimos, a partir desse dado, fazer uma previsão

do valor que gastaríamos para se adquirir 45 unidades deste mesmo objeto. Enfim, na

nossa rotina relações como essa aparecem o tempo todo, mesmo sem nos darmos conta

disso.

Quando o Conteúdo de Funções passa a ser abordado no contexto escolar torna-

se alvo de dúvida e incompreensão dos alunos. A priorização de uma abordagem lógico-

formal do Conteúdo de Funções, que prioriza gráficos, expressões algébricas e tabelas,

pode camuflar alguns significados intrínsecos a esse conteúdo.

Defendemos que uma discussão qualitativa do Conceito de Função nos anos

iniciais pode contribuir para uma posterior formalização desse conteúdo durante o

Ensino Médio. Dessa forma, quando nos remetemos ao pensamento funcional, nos

referimos a um conjunto de noções que permitirá uma interpretação da relação existente

entre duas variáveis associadas, ou seja, a compreensão de que os fenômenos não

ocorrem de forma aleatória, que as coisas possuem relações intrínsecas e que a

percepção dessas permite ao sujeito interpretar a realidade em que ele está inserido.

Quando se trata do estudo dos Conteúdos de Funções percebe-se que há uma

valorização de seus aspectos algébricos e geométricos. No entanto, o significado do

Conceito de Função está intimamente ligado à ideia de fluência, regularidades,

relação, variáveis e leis.

As atividades que seguem abaixo foram pensadas com o intuito de explorar as

essas ideias no contexto dos anos iniciais. As três atividades buscam romper com a

concepção de aula de matemática rígida que está sempre permeada por números e

cálculos.

Importa-nos lembrar também que a forma como o professor direciona as

atividades é determinante para que as mesmas contribuam para o desenvolvimento do

pensamento funcional. As potencialidades das propostas abaixo estão relacionadas às

discussões conceituais que devem surgir, a partir das provocações do docente, enquanto

os alunos desenvolvem as atividades.

Desenhando o céu 2

A ideia de fluência pode ser entendida segundo Caraça (1984) pelos processos

de transformação presentes na natureza: os animais e plantas que crescem, e a

modificação das espécies minerais como o leito de um rio que muda ou o ferro que vira

ferrugem.

Para desenvolver essa ideia de fluência o professor poderá utilizar sua

criatividade para propor qualquer atividade em que os alunos apresentem respostas

variadas que exemplificam o processo de transformação. Segue abaixo nossa sugestão:

O que podemos ver quando olhamos o céu?

Roteiro: Pedir que as crianças façam o desenho do céu que elas viram quando fizeram

um passeio ou uma viagem que gostaram muito.

A partir do enunciado acima crianças podem desenhar um céu azul, com sol,

aves, etc. Outra opção é que elas desenhem um céu nublado, cheio de nuvens escuras ou

o céu da noite com estrelas e a lua. Pode surgir também um céu com arco-íris, um céu

laranja do pôr do sol, ou outras possibilidades de representação.

Tendo em mãos esse material, defendemos que o professor pode questionar aos

alunos:

Porque eu pedi que todos vocês desenhassem o céu e cada um me

apresentou um desenho diferente?

O céu é o mesmo todo dia?

2 Essa atividade foi estruturada a partir de uma sugestão dada pela Professora Dr.ª Maria do Carmo de Sousa em um encontro da ACIEPE (Atividade Curricular de Integração Ensino Pesquisa e Extensão) intitulada de “Quando a história da matemática passa a ser Metodologia de Ensino”. A Professora destacou que uma das possibilidades de discutir os movimentos de fluência seria convidando as crianças a pintarem o céu. Fundamentados nessa proposta, elaboramos a atividade Desenhando o Céu apresentada nesse livro.

Se eu olhar para o céu hoje, daqui (professor indica um local: jardim da

escola, calçada, etc) e voltar amanhã e olhar de novo, eu vou ver a

mesma coisa?

Porque tem dias que o céu está azul e outros ele está cinza? Essas cores

significam alguma coisa?

Os questionamentos acima foram estruturados com o objetivo de evidenciar os

movimentos de fluência, que citamos acima e a ideia de regularidade, já que a

identificação de padrões também é noção central do conceito de função.

Os movimentos fluentes são explorados nessa atividade a partir do processo de

transformação constante daquilo que se pode ver no céu. São esses movimentos que nos

permitem ver um céu preto às 5 horas da manhã e um céu azul as 7, que ao longo do dia

pode se tornar cinza e ir alternando sucessivamente. Essa discussão deve ajudar

professores e alunos a perceberem que os fenômenos da realidade estão em constante

transformação.

O último questionamento sugerido tem como intenção explorar a noção de

regularidade. Nossa expectativa é de que, a partir dessa pergunta os alunos apresentem

respostas como “o céu azul significa que é um inverno seco ou um dia de verão sem

chuva”, ou “o céu cinza escuro indica que deverá chover em breve”. Afirmativas como

essas são frutos de repetidas observações dos fenômenos da natureza, que apresentam

certa regularidade a partir das quais podemos emitir algumas previsões.

Historicamente as ideias de fluência e regularidade foram fundamentais para que

o homem pudesse perceber a existência das estações do ano, das fases da lua e até

mesmo controlar suas atividades como, por exemplo, plantar algum alimento na época

propícia para conseguir uma boa colheita.

Outra ideia fundamental para futura aprendizagem das relações funcionais é a de

relação. Dessa forma, a atividade que segue abaixo é uma proposta de continuidade da

atividade de desenhar o céu e tem como objetivo central explorar o conceito de relação.

Como termina a história?

Essa atividade consiste em contar uma história até um determinado ponto

estratégico e deixar que os alunos sugiram um encerramento para a mesma. Na sugestão

abaixo, usamos a fábula da Lebre e a Tartaruga, mas vale ressaltar que a proposta pode

ser feita com outras histórias apresentadas em livros ou vídeos. É importante que a

história escolhida ainda seja desconhecida para a maioria das crianças. Segue abaixo a

fábula sugerida:

A lebre e a tartaruga

“A Lebre e a Tartaruga” é uma fábula atribuída a Esopo e recontada por Jean de La Fontaine.

Certo dia, a lebre que era muito convencida, desafiou a tartaruga para uma corrida, argumentando que ela era mais rápida e que a tartaruga nunca a venceria. A tartaruga começou a treinar enquanto a lebre não fazia nada. Chegou o dia da corrida. A lebre e a tartaruga colocaram-se nos seus lugares e, após o sinal, partiram. A tartaruga estava a correr o mais rápido que conseguia, mas rapidamente foi ultrapassada pela lebre, que percebendo já estar a uma longa distância da sua concorrente, deitou-se e dormiu. Enquanto a lebre dormia, não se dava conta que a tartaruga ia se aproximando mais rapidamente da linha de chegada. Quando acordou, a lebre, horrorizada, viu que a tartaruga estava muito perto da linha de chegada. Assim, a lebre começou a correr o mais depressa que pode, tentando, a todo o custo ultrapassar a tartaruga. Mas não conseguiu.”

http://www.fabulasecontos.com/a-lebre-e-a-tartaruga/

Nossa proposta é que a parte destacada em negrito no quadro anterior seja

contada as crianças e que o professor proponha que elas, em grupos, inventem um final

para história. Em seguida, sugerimos que os alunos socializem esse final com os

colegas. Nessa etapa, os professores poderão ver que o final não se dá de forma

aleatória, pois os alunos o redigem com base na primeira parte que eles conhecem e

também a partir de conexões que fazem com o seu entorno.

Claro que, cientes de que a imaginação de uma criança é algo imprevisível, não

tentaremos inutilmente prever os finais que elas poderão narrar. No entanto, ousamos

afirmar que nenhum desses finais se dá de forma aleatória, todos são frutos de relações.

A exploração dessas relações com os alunos é fundamental para que o professor finalize

a atividade discutindo coletivamente que muitos fenômenos do mundo também se dão

de forma relacionada. Veja alguns exemplos de relações a serem discutidas;

A velocidade que eu caminho está relacionada ao tempo em que chego em casa;

O tamanho do meu corpo está relacionado à minha massa;

O desenvolvimento do meu corpo está relacionado com minha idade.

Essas discussões são importantes, pois a ideia de relação é elemento central do

Conceito de Função. Embora nem toda relação seja uma função, ou seja, nem toda

relação possa ser traduzida numa correspondência unívoca entre duas variáveis, toda

função é a descrição de uma relação unívoca entre duas variáveis. Desse modo,

compreender qualitativamente essas relações facilitará que no futuro elas possam ser

exploradas no campo quantitativo.

O viajante...

O viandante na floresta põe um pé diante do outro – e a cada passada o caminho por ele vencido se acresce de uma nova porção. O trajeto guarda com o número de passos uma relação fixa e determinada; e com esta simples constatação já esboçamos propriamente o caráter duma função: existe uma interdependência entre duas grandezas – no caso o número de passos e o trajeto – e essa interdependência obedece a uma lei determinada. (KARLSON, 1961, p.378/grifos do autor)

A atividade denominada de “O viajante” foi baseada no excerto de Karlson que

acabamos de apresentar. Nessa atividade sugerimos que o professor convide os alunos a analisar

a trajetória de um viajante que por motivos financeiros resolveu ir a pé. Sobre esse viajante

sabemos duas coisas:

Seu passo mede 75 centímetros 3;

Sua velocidade é sempre a mesma;

Baseados nessa informação os alunos são convidados a investigar:

Quais grandezas estão sempre variando no exemplo do viajante?

Com esse questionamento, esperamos que os alunos discutam e percebam que o que

muda sempre é o número de passos e a distância percorrida. Talvez os alunos não usem o termo

“distancia”, mas podem chegar a sinônimos como, por exemplo, o espaço que o viajante andou.

Essas grandezas estão relacionadas? Como?

A intenção dessa segunda provocação é de que os alunos descrevam qualitativamente a

relação que existe entre o número de passos e a distância percorrida, ou seja, que eles concluam

que, quanto maior o número de passos dados, maior a distância percorrida.

De acordo com a etapa de aprendizagem dos alunos e o nível de amadurecimento

algébrico o professor poderá iniciar, ou não, uma terceira discussão que tem como objetivo

descrever quantitativamente a relação descrita acima. O dialogo abaixo sugere como pode ser

direcionada essa discussão:

Professora: Pessoal vocês descobriram que quanto maior o número de passos maior a

distância percorrida, certo?

Alunos: certo!

Professora: Vamos então pensar: Quanto o viajante já percorreu se ele deu dois passos?

Alunos: Um metro e meio, professora!

Professora: E se ele deu dez passos, qual distância que ele já andou?

Alunos: Sete metros e meio!

Professora: E se ele deu 50 passos?

Alunos: Trinta e sete metros e meio, professora!

Professora: E como vocês conseguem descobrir a distância sempre que eu falo o número de

passos?

Alunos: Basta multiplicar o número de passos por 0,75 m que é o tamanho do passo do

viajante.

Professora: Então a distância percorrida é igual ao número de passos multiplicada pelo

tamanho do passo do viajante?

Alunos: Isso mesmo professora!

Percebam que em termos algébricos a última fala da professora poderia ser

descrita da seguinte forma d=0,75 . p, sendo d a distância e p o número de passos.

Nesse caso d e p são as variáveis do nosso problema, ou seja, as grandezas que estão

3 Se essa quantidade de 75 centímetros ainda for difícil de explorar com os alunos, sugerimos uma adaptação para um metro.

variando de forma relacionada. O valor do número de passos pode ser dado de forma

arbitrária, mas a distância percorrida sempre dependerá do número de passos. Uma

discussão como a sugerida no diálogo apresentada já está introduzindo essa noção de

variável que permeia toda a aprendizagem do conceito de função.

Algumas considerações

As propostas de atividade que foram apresentadas nesse livrinho podem dar ao leitor

certa inquietação se essas são mesmo atividades de Matemática. Culturalmente estamos

acostumados a ver aulas de matemática em outro formato: números, expressões, fórmulas,

figuras geométricas, operações... No entanto, nós defendemos que a formalização precoce do

Conceito de Função tem ocasionado em práticas mecanicistas e sem sentido para nossos alunos.

Acreditamos que uma discussão conceitual precede aprendizagem procedimental e que tal

discussão precisa ganhar espaços nas aulas de Matemática.

Defendemos também que o aluno que consegue compreender o Conceito de Função

pode estar preparado para manipulá-las algebricamente se comparado aquele que só tem

domínio de algoritmos, visto que o segundo possivelmente só resolverá exercícios bastante

parecidos com aqueles que ele já viu anteriormente.

Para saber mais:

CARAÇA, B. de J. Conceitos fundamentais da Matemática. 1. ed. Lisboa: Sá da Costa, 1984. KARLSON, P. A magia dos números: a Matemática ao alcance de todos. 1. ed. Globo, 1961. (Coleção Tapete Mágico). SOUSA, M. C. O ensino de álgebra numa perspectiva Lógico-Histórica: um estudo das elaborações correlatas de professores do ensino fundamental. 2004. Tese (Doutorado)-Universidade Estadual de Campinhas, Campinas. VAN DE WALLE, J. A. Matemática no Ensino Fundamental: formação de professores e aplicação em sala de aula. 6 ed. Editora Artmed, 2010. VASCONCELOS, L. O. Conceitos Fundamentais Da Matemática: Explorando O Conceito De Função. Trabalho de conclusão de curso, MG (UFLA). 2012