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LogaritmoPARTE 5 –Bases Especiais.
Dois casos particulares de interesse para se ter logaritmos e de uso universal são:
Base Dez – Se deve ao fato de que o Nosso Sistema de Numeração é o Sistema
Decimal;
Base e – e é um número irracional descoberto pelo matemático NEPER, ao qual a
descrição de logaritmos em sua Base é de Total Interesse do Mundo Científico, pois
neste sistema o estudo de fenômenos científicos se tornam mais amenos e
compreensíveis.
No caso de logaritmos na Base Dez (10) dispensa-se o uso explícito da Base, ficando
então subtendido, e assim a sua notação é: )x(log
Ilustração
a. Como: 100 = 102 tem que: log ( 100) = 2
b. Como: 1 000 = 103 tem que: log ( 1000) = 3
c. Como: 10 000 = 104 tem que: log ( 10 000) = 4
d. Como: 100 000= 105 tem que: log ( 100 000) = 5
e. Como: 10 = 101 tem que: log ( 10) = 1
Ilustração - Continuação
a. Como: 1 = 100 tem que: log ( 1) = 0
b. Como: 0,1 = 1 / 10 = 10 -1 tem que: log ( 0,1) = -1
c. Como: 0,01 = 1 / 100 = 1 / (102 ) = 10-2 tem que: log ( 0,01) = - 2
d. Como: 0,001 = 1 / 1 000 = 1 /( 10 3 ) = 10 -3 tem que: log ( 0,001) = - 3
Ilustração - Resumo
log ( 100) = 2 log ( 100 000) = 5 log ( 0,1) = -1
log ( 1000) = 3 log ( 10) = 1 log ( 0,01) = - 2
L log ( 10 000) = 4 log ( 1) = 0 log ( 0,001) = - 3
Ilustração - Resumo
log ( 100) = 2 log ( 100 000) = 5 log ( 0,1) = -1
log ( 1000) = 3 log ( 10) = 1 log ( 0,01) = - 2
L log ( 10 000) = 4 log ( 1) = 0 log ( 0,001) = - 3
Comentário Acerca da Ilustração
a. Pelos valores obtidos na Ilustração Acima obteve:
b. Se: 0 < x < 1 log(x) < 0
c. Se: 1 < x < 10 0 < log(x) < 1
d. Se: 10 < x < 100 1 < log(x) < 2
e. Se: 100 < x < 1000 2 < log(x) < 3
f. Se: 1000 < x < 10 000 3 < log(x) < 4
Questionamento:
Mas e quando x for Negativo?
Conclusão para este caso:
Recordemos: O Número é a Base elevado ao Valor do Logaritmo;
Aqui: A Base é 10 (Dez);
Assim: a) 10 elevado a um número positivo é um Número Positivo;
b) 10 elevado a um Número Negativo é uma Fração em que:
i) Numerador é 1;
ii) Denominador é 10 elevado ao este número e é Positivo.
Daí: Conclui que Para Números Negativos NÃO se calcula o Logaritmo.
Logo: Logaritmo é SOMENTE para Números Positivos.
O Valor do Logaritmo, quando
escrito sob a forma de um número
decimal possui a característica:
Pela Descrição já vista, para
o caso de números maiores que 1, o valor do logaritmo na Base 10 é:
Um número decimal (é real mas escrito na forma aproximada) ao qual pode ser
escrito como:
Um número Inteiro adicionado à parte decimal ( entre Zero e Um) e assim
procedendo o valor do logaritmo é composto de:
Parte Inteira: É denominado de CARACTERÍSTICA;
Parte Decimal ( < 1,0): é a MANTISSA.
Comentário Acerca da Ilustração
a. Pelos valores obtidos na Ilustração Acima obteve:
b. Se: 0 < x < 1 log(x) < 0
c. Se: 1 < x < 10 0 < log(x) < 1
d. Se: 10 < x < 100 1 < log(x) < 2
e. Se: 100 < x < 1000 2 < log(x) < 3
f. Se: 1000 < x < 10 000 3 < log(x) < 4
Observando o quadro ao lado,
tem que o valor da característica é:
ZERO se o número está entre 1 e 9;
UM se for entre 10 e 99;
DOIS se entre 100 e 999;
TRÊS se entre 1000 e 9999;
Etc.
Ou seja: A Característica é um identificador da Grandeza do Número e seu valor
é:
No caso de números maiores que 1: A quantia de dígitos da Parte Inteira
Subtraído de uma Unidade;
Entre 0 e 1: Será visto em outro momento.
Comentário Acerca da Ilustração
a. Pelos valores obtidos na Ilustração Acima obteve:
b. Se: 0 < x < 1 log(x) < 0
c. Se: 1 < x < 10 0 < log(x) < 1
d. Se: 10 < x < 100 1 < log(x) < 2
e. Se: 100 < x < 1000 2 < log(x) < 3
f. Se: 1000 < x < 10 000 3 < log(x) < 4
Afinal de contas:
O que é Realmente a Característica?
Resposta:
Como se sabe todo número pode ser escrito na Forma de um produto, onde
suas parcelas são:
Primeira: Um número decimal compreendido de Zero a Um;
Segunda: Uma Potência Inteira de Dez.
Exemplo.
01. 32,56 = 3,256x101 02. 1342,56 = 1,34256x103
03. 2,126 = 2,126x100 04. 0,00327 = 3,27x10-3
E a característica é o expoente inteiro de 10.
Motivo da Potência de Base 10: Aqui está estudando: Logaritmo Decimal
Afinal de contas:
O que é Realmente a Característica?
Resposta:
Como se sabe todo número pode ser escrito na Forma de um produto, onde
suas parcelas são:
Primeira: Um número decimal compreendido de Zero a Um;
Segunda: Uma Potência Inteira de Dez.
Exemplo.
01. 32,56 = 3,256x101 02. 1342,56 = 1,34256x103
03. 2,126 = 2,126x100 04. 0,00327 = 3,27x10-3
E a característica é o expoente inteiro de 10.
Motivo da Potência de Base 10: Aqui está estudando: Logaritmo Decimal
Exemplo.
Do exemplo anterior que foi:
01. 32,56 = 3,256x101 02. 1342,56 = 1,34256x103
03. 2,126 = 2,126x100 04. 0,00327 = 3,27x10-3
Tem que cada característica é:
01. Um ( 101 ) 02. Três ( 103 )
03. Zero (100 ) 04. Três Negativo (10-3 )
Característica de Números entre Zero e UM.
Pelo exemplo acima percebe que é a o Número de Posições após a virgula até o
Primeiro digito diferente de Zero, porem é seu negativo.
Com isto tem: se a = 0,0000 768 a sua característica é: - 5
Determinação da Mantissa.O Processo Matemático para encontrar a Mantissa do logaritmo de um dado
número não é imediato como na determinação da Característica , sendo assim existem Tabuas que fornecem seus valores tal qual:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1,10 0,0414 0,0453 0,0492 0,0531 0,0569 0,0607 0,0645 0,0682 0,0719 0,0755
1,20 0,0793 0,0793 0,0794 0,0794 0,0794 0,0794 0,0794 0,0794 0,0794 0,0795
1,30 0,1142 0,1142 0,1142 0,1142 0,1142 0,1142 0,1142 0,1142 0,1142 0,1142
1,40 0,1465 0,1465 0,1465 0,1465 0,1465 0,1465 0,1465 0,1465 0,1465 0,1465
1,50 0,1765 0,1765 0,1765 0,1765 0,1765 0,1765 0,1765 0,1765 0,1765 0,1765
1,60 0,2046 0,2046 0,2046 0,2046 0,2046 0,2046 0,2046 0,2046 0,2046 0,2046
1,70 0,2310 0,2310 0,2310 0,2310 0,2310 0,2310 0,2310 0,2310 0,2310 0,2310
1,80 0,2558 0,2558 0,2558 0,2558 0,2558 0,2558 0,2558 0,2558 0,2558 0,2558
1,90 0,2793 0,2793 0,2793 0,2793 0,2793 0,2793 0,2793 0,2793 0,2793 0,2793
Uso e Interpretação
çA Primeira Coluna Indica a Parte Inteira e a Primeira Casa Decimal;
aA Primeira Linha indica a Segunda Casa Decimal;
E cada valor descrito é o logaritmo do número lido, e como 1,00 < x < 9,99 , na realidade o que se tem é a Mantissa.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1,10 0,0414 0,0453 0,0492 0,0531 0,0569 0,0607 0,0645 0,0682 0,0719 0,0755
1,20 0,0793 0,0793 0,0794 0,0794 0,0794 0,0794 0,0794 0,0794 0,0794 0,0795
1,30 0,1142 0,1142 0,1142 0,1142 0,1142 0,1142 0,1142 0,1142 0,1142 0,1142
1,40 0,1465 0,1465 0,1465 0,1465 0,1465 0,1465 0,1465 0,1465 0,1465 0,1465
1,50 0,1765 0,1765 0,1765 0,1765 0,1765 0,1765 0,1765 0,1765 0,1765 0,1765
1,60 0,2046 0,2046 0,2046 0,2046 0,2046 0,2046 0,2046 0,2046 0,2046 0,2046
1,70 0,2310 0,2310 0,2310 0,2310 0,2310 0,2310 0,2310 0,2310 0,2310 0,2310
1,80 0,2558 0,2558 0,2558 0,2558 0,2558 0,2558 0,2558 0,2558 0,2558 0,2558
1,90 0,2793 0,2793 0,2793 0,2793 0,2793 0,2793 0,2793 0,2793 0,2793 0,2793
Exemplo de Leitura e Interpretação
Olhando na tabela de logaritmo vem:
a. log( 1,43 ) = 0,1465 ; b. log(1,10) = 0,0414 ; c. log(1,75) = 0,2310;
d. log(1,99) = 0,2793. etc.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1,10 0,0414 0,0453 0,0492 0,0531 0,0569 0,0607 0,0645 0,0682 0,0719 0,0755
1,20 0,0793 0,0793 0,0794 0,0794 0,0794 0,0794 0,0794 0,0794 0,0794 0,0795
1,30 0,1142 0,1142 0,1142 0,1142 0,1142 0,1142 0,1142 0,1142 0,1142 0,1142
1,40 0,1465 0,1465 0,1465 0,1465 0,1465 0,1465 0,1465 0,1465 0,1465 0,1465
1,50 0,1765 0,1765 0,1765 0,1765 0,1765 0,1765 0,1765 0,1765 0,1765 0,1765
1,60 0,2046 0,2046 0,2046 0,2046 0,2046 0,2046 0,2046 0,2046 0,2046 0,2046
1,70 0,2310 0,2310 0,2310 0,2310 0,2310 0,2310 0,2310 0,2310 0,2310 0,2310
1,80 0,2558 0,2558 0,2558 0,2558 0,2558 0,2558 0,2558 0,2558 0,2558 0,2558
1,90 0,2793 0,2793 0,2793 0,2793 0,2793 0,2793 0,2793 0,2793 0,2793 0,2793
Comentário Sobre a Tabua:
01. Esta Tabua está totalmente restrita, ela foi apenas didática, existem livro de tabelas de logaritmo;
02. Por questão de comodidade foi tomado os números somente com duas casas decimais;
03. Nas Tabuas Gerais aparecem também as Partes Proporcionais, cujo objetivo é de inserir logaritmos de valores intermediários, aos quais na era da informática já não faz mais necessário pois seus valores se obtêm tanto em Planilhas como em calculadoras cientificas.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1,10 0,0414 0,0453 0,0492 0,0531 0,0569 0,0607 0,0645 0,0682 0,0719 0,0755
1,20 0,0793 0,0793 0,0794 0,0794 0,0794 0,0794 0,0794 0,0794 0,0794 0,0795
1,30 0,1142 0,1142 0,1142 0,1142 0,1142 0,1142 0,1142 0,1142 0,1142 0,1142
1,40 0,1465 0,1465 0,1465 0,1465 0,1465 0,1465 0,1465 0,1465 0,1465 0,1465
1,50 0,1765 0,1765 0,1765 0,1765 0,1765 0,1765 0,1765 0,1765 0,1765 0,1765
1,60 0,2046 0,2046 0,2046 0,2046 0,2046 0,2046 0,2046 0,2046 0,2046 0,2046
1,70 0,2310 0,2310 0,2310 0,2310 0,2310 0,2310 0,2310 0,2310 0,2310 0,2310
1,80 0,2558 0,2558 0,2558 0,2558 0,2558 0,2558 0,2558 0,2558 0,2558 0,2558
1,90 0,2793 0,2793 0,2793 0,2793 0,2793 0,2793 0,2793 0,2793 0,2793 0,2793
Cálculo de Logaritmo com o Auxílio da Tabua:
Seja um número real positivo qualquer. Como se sabe, este número pode ser escrito na forma:
x = a. 10n
aplicando logaritmo vem: log( x ) = log (a. 10n ) = log ( a) + log (10n )
log( x ) = log ( a) + n = n + log ( a)
Em que: log ( a) é a Mantissa;
n é a característica.
Isto Diz que: Para achar o logaritmo de um número qualquer com o uso da Tabua de Logaritmo:
Soma: a Característica com a Mantissa.
Exemplo:
Com o auxilio da Tábua de Logaritmo, ache cada valor que se pede:
01. log( 177 )
Solução
Como: 177 = 1,77x 102 vem:
log( 177 ) = log (1,77. 102 ) = log ( 1,77) + log (102 ) = log ( 1,77) + 2
Aqui: 2 é a Característica; log(1,77) é a Mantissa.
Na tabua:
log(1,77) = 0,2310
Logo: log(177) = 2 + 0,2310
Chega a: log(177) = 2,2310
Resposta: 2,2310
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1,10 0,0414 0,0453 0,0492 0,0531 0,0569 0,0607 0,0645 0,0682 0,0719 0,0755
1,20 0,0793 0,0793 0,0794 0,0794 0,0794 0,0794 0,0794 0,0794 0,0794 0,0795
1,30 0,1142 0,1142 0,1142 0,1142 0,1142 0,1142 0,1142 0,1142 0,1142 0,1142
1,40 0,1465 0,1465 0,1465 0,1465 0,1465 0,1465 0,1465 0,1465 0,1465 0,1465
1,50 0,1765 0,1765 0,1765 0,1765 0,1765 0,1765 0,1765 0,1765 0,1765 0,1765
1,60 0,2046 0,2046 0,2046 0,2046 0,2046 0,2046 0,2046 0,2046 0,2046 0,2046
1,70 0,2310 0,2310 0,2310 0,2310 0,2310 0,2310 0,2310 0,2310 0,2310 0,2310
1,80 0,2558 0,2558 0,2558 0,2558 0,2558 0,2558 0,2558 0,2558 0,2558 0,2558
1,90 0,2793 0,2793 0,2793 0,2793 0,2793 0,2793 0,2793 0,2793 0,2793 0,2793
02. log( 1 230 000 )
Solução
Como: 1 130 000 = 1,13x 106 vem:
log(1 130 000 ) = log (1,13x 106 ) = log ( 1,13) + log (106) = log ( 1,13) + 6
Característica: log(1,13); Mantissa: 6.
Na tabua:
log(1,13) = 0,0531
Logo:
log(1 130 000 ) = 6 + 0,0531
Chega a:
log(1 130 000 ) = 6,0531
Resposta: 6,0531
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1,10 0,0414 0,0453 0,0492 0,0531 0,0569 0,0607 0,0645 0,0682 0,0719 0,0755
1,20 0,0793 0,0793 0,0794 0,0794 0,0794 0,0794 0,0794 0,0794 0,0794 0,0795
1,30 0,1142 0,1142 0,1142 0,1142 0,1142 0,1142 0,1142 0,1142 0,1142 0,1142
1,40 0,1465 0,1465 0,1465 0,1465 0,1465 0,1465 0,1465 0,1465 0,1465 0,1465
1,50 0,1765 0,1765 0,1765 0,1765 0,1765 0,1765 0,1765 0,1765 0,1765 0,1765
1,60 0,2046 0,2046 0,2046 0,2046 0,2046 0,2046 0,2046 0,2046 0,2046 0,2046
1,70 0,2310 0,2310 0,2310 0,2310 0,2310 0,2310 0,2310 0,2310 0,2310 0,2310
1,80 0,2558 0,2558 0,2558 0,2558 0,2558 0,2558 0,2558 0,2558 0,2558 0,2558
1,90 0,2793 0,2793 0,2793 0,2793 0,2793 0,2793 0,2793 0,2793 0,2793 0,2793
03. log( 0,000 15 )
Solução
Como: 0,000 15 = 1,5x 10 -5 vem:
log(0,000 15 ) = log (1,5x 10 -5 ) = log ( 1,5) + log (10-5) = log ( 1,5) + ( - 5)
Característica: log(1,5); Mantissa: - 5 .
Na tabua:
log(1,5) = 0,1765
Logo:
log(0,000 15 ) = - 5 + 0,1765
Chega a:
log(0,000 15 ) = - 4,8235
Resposta: - 4,8235
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1,10 0,0414 0,0453 0,0492 0,0531 0,0569 0,0607 0,0645 0,0682 0,0719 0,0755
1,20 0,0793 0,0793 0,0794 0,0794 0,0794 0,0794 0,0794 0,0794 0,0794 0,0795
1,30 0,1142 0,1142 0,1142 0,1142 0,1142 0,1142 0,1142 0,1142 0,1142 0,1142
1,40 0,1465 0,1465 0,1465 0,1465 0,1465 0,1465 0,1465 0,1465 0,1465 0,1465
1,50 0,1765 0,1765 0,1765 0,1765 0,1765 0,1765 0,1765 0,1765 0,1765 0,1765
1,60 0,2046 0,2046 0,2046 0,2046 0,2046 0,2046 0,2046 0,2046 0,2046 0,2046
1,70 0,2310 0,2310 0,2310 0,2310 0,2310 0,2310 0,2310 0,2310 0,2310 0,2310
1,80 0,2558 0,2558 0,2558 0,2558 0,2558 0,2558 0,2558 0,2558 0,2558 0,2558
1,90 0,2793 0,2793 0,2793 0,2793 0,2793 0,2793 0,2793 0,2793 0,2793 0,2793
PARTE 5 –Bases Especiais
FIMProf. Gercino Monteiro Filho
