POLINÔMIOS

MONÔMIO

Dados um número complexo a e um número

natural n, chama-se de monômio à expressão

formada por um número e uma parte literal.

a . xn

a: coeficiente numérico

x: incógnita(variável)

n: expoente da incógnita(grau do monômio)

POLINÔMIOS

São estruturas algébricas resultantes da adição

e/ou subtração de monômios.

P(x) = an . x + an-1 . x + an-2 . x + ... + a1 . x + a0n n-1 n-2 1

Observações:

I. Os polinômios são representados, geralmente, com

seus termos em ordem decrescente de grau;

II. an, an-1, ... , a1 e a0 são os coeficientes do polinômio,

com a0 sendo o termo independente de P(x).

GRAU DE UM POLINÔMIO

O grau de um polinômio é dado pelo maior grau

de um monômio com coeficiente não nulo.

Exemplos:

a) P(x) = x + 3x - 7x + 6 3 2

4

Grau 3 (completo)

b) Q(x) = x + 2x - 1 Grau 4 (incompleto)

c) D(x) = x + 4 Grau 1 (completo)

d) R(x) = -7 Grau 0 (completo)

VALOR NUMÉRICO

É o resultado obtido quando substituímos a

incógnita por uma constante qualquer e efetuamos os

devidos cálculos.

Observação: Indicamos o valor numérico do

polinômio P(x) para x = a por P(a).

Exemplo:

Sendo P(x) = x + 2x – 1, o seu valor numérico para x = 2 é: 3

P(2) = (2) + 2.(2) – 1 3

... P(2) = 11

Denominaremos a como a raiz do polinômio, se o

número complexo a for tal que P(a) = 0.

02. O gráfico da função p(x) = x + (a + 3).x - 5x + b

contém os pontos (-1;0) e (2;0). Sendo assim, o valor de

p(0) é:

3 2

a) 1

b) - 6

c) - 1

d) 6

e) 0

POLINÔMIO

IDENTICAMENTE NULO

É o polinômio que possui todos os coeficientes

iguais a zero.

P(x) = 0 . x + 0 . x + 0 . x + ... + 0 . x + 0n n-1 n-2

Exercício: Para que valor(es) de a o polinômio

P(x) = (a – 1). x + (a + 1). x é identicamente nulo?2 2

POLINÔMIOS IDÊNTICOS

Dois polinômios de mesmo grau P(x) e Q(x) são

idênticos quando possuem todos os coeficientes de

mesmo grau iguais.

P(x) = an . x + an-1 . x + an-2 . x + ... + a1 . x + a0

Q(x) = bn . x + bn-1 . x + bn-2 . x + ... + b1 . x + b0

n

n

n-1

n-1

n-2

n-2

P(x) = Q(x)a1 = b1

a0 = b0

an = bn

an-1 = bn-1...

OPERAÇÕES COM

POLINÔMIOS

1. ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO

Consiste em efetuar os termos semelhantes, ou

seja, adicionar e subtrair os termos de mesmo grau.

Observação:

Se P(x), Q(x) e (P+Q)(x) são polinômios não

nulos, então o grau de (P+Q)(x) é menor ou igual ao

maior dos graus entre P(X) e Q(x).

2. MULTIPLICAÇÃO

Consiste em aplicar normalmente a propriedade

distributiva entre os termos dos polinômios em

questão.

Ex: Sendo P(x) = 3x + 1 e Q(x) = x - 2x + 3,

determine P(x) . Q(x).

2

Observação:

Se dois polinômios P(x) e Q(x) são não nulos,

então o grau de (P.Q)(x) é igual à soma dos graus de

P(X) e Q(x).

Exercício:

01. Sejam os polinômios f e g de graus 4 e 2,

respectivamente. Se o polinômio f + g é não nulo, então

seu grau sempre será:

a) 8

b) 6

c) 4

d) um número par

e) menor ou igual a 4

3. DIVISÃO

Sejam dois polinômios, P(x) como dividendo e

D(x) como divisor, com D(x) = 0. Dividir P(x) por D(x)

significa obter dois outros polinômios: Q(x) que é o

quociente e R(x) que é o resto, tais que:

P(x)

R(x)

D(x)

Q(x)P(x) = D(x) . Q(x) + R(x)

Observação:

Se dois polinômios P(x) e D(x) são não nulos,

então o grau de (P/D)(x) é igual à diferença entre os

graus de P(X) e D(x).

I. Método das chaves (algoritmo de Euclides)

Esse método pode ser aplicado com divisores de

qualquer grau. Trata-se do mesmo processo de

divisão estudado no ensino infantil.

Dividir o polinômio P(x) = x + 3x - 3x – 1 por

D(x) = x – 1.

4 2

Exemplo:

Observações:

a) No método das chaves, é aconselhável que

se complete os polinômios incompletos;

b) A divisão termina quando o grau do resto for

menor do que o grau do divisor.

II. Dispositivo prático de Briot-Ruffini

Esse dispositivo só pode ser aplicado com

divisores de 1º grau do tipo (x - a).

Nesse dispositivo, é obrigatório completar os

polinômios incompletos.

Exemplo:

Dividir o polinômio P(x) = 2x - x + 2 por

D(x) = x – 2.

4 2

TEOREMA DO RESTO

O resto da divisão de um polinômio P(x) por (x - a)

é igual a P(a).

P(x)

r

x - a

Q(x)

P(x) = (x – a) . Q(x) + r

P(a) = (a – a) . Q(a) + r

P(a) = 0 . Q(a) + r

P(a) = r

Exercício:

01. Obter o resto da divisão de P(x) = 2x + x – 9 por x – 2.3

02. Se os polinômios P(x) = 2x + 9x + 3bx – (b - 9) e

Q(x) = x – bx + 7x - 3b, quando divididos por x – 1,

fornecem restos iguais, então determine o valor de b.

3

2 3

2

TEOREMA DE D’ALEMBERT

Um polinômio P(x) é divisível por (x - a) se, e

somente se, P(a) = 0, ou seja, se a é raiz de P(x).

P(x)

0

x - a

Q(x)P(a) = 0

*Obs.: Se a é raiz de P(x), então P(a) = 0.

Exercício:

Determine o valor de m para que o polinômio

P(x) = x + 2x + mx – 6 seja divisível por x – 2. 2 3