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VAMOS FALAR DE MATEMÁTICAProf. Marcelo Gama�
Problema 3: Simpli�cação de radicais duplos√A±√B
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Solução Prof. Marcelo Gama
Nosso problema é transformar as expressões√A+√B e
√A−√B
em expressões mais simples, isto é, sem radicais dentrode radicais.
O primeiro passo é estabelecer que forma mais simplespodemos esperar. Que tal√
A+√B =
√x+√y
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Agora nosso trabalho é encontrar valores apropriadospara x e para y.
Inicialmente, elevamos tudo ao quadrado e organizamosos temos com e sem radicais
√A+√B =
√x+√y ⇒
(√A+√B
)2
=(√
x+√y)2
⇒ A+√B =
(√x)2
+ 2√x√y + (
√y)2
⇒ A+√B = x+ y +
√4x y
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Solução Prof. Marcelo Gama
Comparamos os coe�cientes dos termos com e sem raiz{x+ y = A
4xy = Bou
{x+ y = A
xy = B/4
Podemos prosseguir de duas formas (que, na verdade, sãoequivalentes)
Modo 1:x e y são raízes de uma equação do segundo grau onde◦ (Soma) x+ y = A◦ (Produto) xy = B/4
ou seja, x e y são raízes da equação
t2 − At+B/4 = 0
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Solução Prof. Marcelo Gama
Modo 2:De x+ y = A encontramos y = A− x e
xy = B/4⇒ x(A− x) = B/4
⇒ Ax− x2 −B/4 = 0 × (−1)⇒ x2 − Ax+B/4 = 0
De qualquer forma, precisaremos resolver a equação
t2 − At+B/4 = 0
Como sabemos, as soluções de at2 + bt+ c = 0 são
t =−b±
√b2 − 4ac
2a
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Solução Prof. Marcelo Gama
No nosso caso
a = 1, b = −A, c = B/4
Então
t =−b±
√b2 − 4ac
2a
=−(−A)±
√(−A)2 − 4(1)(B/4)
2(1)
=A±√A2 −B
2
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Solução Prof. Marcelo Gama
Podemos fazer
x =A+√A2 −B
2e y =
A−√A2 −B
2ou
x =A−√A2 −B
2e y =
A+√A2 −B
2
De qualquer forma teremos
√A+√B =
√x+√y =
√A+√A2−B2
+√
A−√A2−B2
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Solução Prof. Marcelo Gama
De modo análogo encontramos
√A−√B =
√x−√y =
√A+√A2−B2
−√
A−√A2−B2
Observação importante:
◦ Essas fórmulas terão alguma utilidade apenas quandoA2 −B for um quadrado
◦ Dessa forma será possível extrair a raiz quadrada√A2 −B
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Exemplo Prof. Marcelo Gama
Simpli�car a expressão√
4−√7
√4−√7 =
√4 +√42 − 7
2+
√4−√42 − 7
2
=
√4 +√9
2+
√4−√9
2
=
√4 + 3
2+
√4− 3
2
=
√7
2+
√1
2
=
√7×22×2
+
√1×22×2
=
√14
2+
√2
2
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Exemplo Prof. Marcelo Gama
A título de curiosidade:
√14/2 = 1, 8708286933869706928 . . .√2/2 = 0, 7071067811865475244 . . .√
4−√7 = 2, 5779354745735182172 . . .
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OBRIGADO PELA ATENÇÃO
Professor Marcelo Gama
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