Razão e Proporção

Razão

O conceito de razão é a forma mais comum e prática de fazer a comparação relativa entre duas grandezas. Ao dividir uma grandeza por outra, estamos comparando a primeira com a segunda, que passa a ser a base da comparação.

Razão é uma forma de se realizar a comparação de duas grandezas, no entanto, para isto é necessário que as duas estejam na mesma unidade de medida.

A razão entre dois números a e b é obtida dividindo-se a por b. Obviamente b deve ser diferente de zero.

32 : 16 é um exemplo de razão cujo valor é 2, isto é, a razão de 32 para 16 é igual a 2.

32 = 2 = 2

16 1

Questão 1

Em um tanque de combustível de um carro flex há 5 litros de álcool e 30 litros de gasolina. Qual é a razão da quantidade de álcool para a de gasolina ?

Álcool = 50 = 1

Gasolina 30 6

Resposta : 1 ou 1:66

Questão 2Se a área de um retângulo mede 300 cm² e a área de um outro retângulo mede 210 cm², ao fazermos a razão das áreas, temos:

210 = 7 = 0,7

300 10

Resposta : 7 ou 7:10 ou 0,7

10

Questão 3Uma escola tem 1200 m² de área construída e 3000 m² de área livre. A razão da área construída para

a área livre é:

A) 6/5

B) 3/5

C) 4/5

D) 1/10

E) 2/5

Solução: razão = área construída = 1200= 2 (letra E)

área livre 3000 5

Isso significa que a área construída representa 2= 0,4,ou 40%, da área livre.5

APLICAÇÕES DO CONCEITO DE RAZÃO

Escala

Ao compararmos mapas com os lugares a serem representados por eles, representamos as distâncias em escala menor que a real. O conceito é dado pela seguinte razão:

Escala = medida no mapa (ambos na mesma unidade de medida).

medida real

Questão 4Um ônibus de 12 m de comprimento foi desenhado com 40 cm. Qual é a escala utilizada no desenho?

Escala = desenho = 40 cmreal 12 m

Primeiramente, transformamos os 12 m para centímetro para trabalharmos no mesmo sistema de unidades:

12 m=12⋅100 cm = 1200 cm

Escala = desenho = 40 cm = 1real 1200cm 30

Resposta = 1 ou 1:3030

Questão 5A escala da planta de um terreno na qual o comprimento de 60 metros foi representado por um segmento de 3 cm é:

A) 1 : 10.000B) 1 : 2.000C) 1 : 3.000D) 1 : 6.000E) 1 : 4.000

Primeiramente, transformamos os 60 m para centímetros, para trabalharmos no mesmo sistema de unidades: 60 m= 60⋅100 cm = 6000 cm

Escala = 3cm = 1 ou 1:2000 (letra B)6000cm 2000

APLICAÇÕES DO CONCEITO DE RAZÃO

Velocidade Média

É a razão entre a distância percorrida e o tempo total de percurso. A velocidade média será sempre acompanhada de uma unidade, que depende das unidades escolhidas para calcular distância e tempo. Alguns exemplos de unidades para a velocidade média são km/h, m/s, cm/s etc.

Velocidade média = distância percorrida

tempo total de percurso

Questão 6A distância entre as cidades do Rio de Janeiro e São Paulo é de, aproximadamente, 400 km. Um carro levou 5 horas para percorrer esse trajeto. Determine sua a velocidade média.

Velocidade = distância percorrida = 400km = 80 km/h

tempo total de percurso 5h

O significado desse valor é que a cada hora o carro percorreu, aproximadamente, 80 km.

Questão 7Se um ciclista percorre 123 km em 5 horas, qual era sua velocidade média?

Velocidade = distância percorrida = 123km = 24,6 km/h

tempo total de percurso 5h

O significado desse valor é que a cada hora o ciclista percorreu, aproximadamente, 24,6 km.

APLICAÇÕES DO CONCEITO DE RAZÃO

Densidade

A densidade de um corpo é a razão entre a sua massa e o seu volume. A densidade também será sempre acompanhada de uma unidade, que depende das unidades escolhidas para medir a massa e o volume. Alguns exemplos de unidades para a densidades são g/cm³, kg/m³ etc.

Densidade = massavolume

Questão 8Uma quantidade de óleo de cozinha ocupava completamente uma jarra com 1 litro de volume. Sabe-se que a densidade do óleo é de, aproximadamente, 0,86 g/cm³. Determine a massa do óleo, em gramas.

Como a densidade é dada em g/cm³, isso significa que o volume deve ser dado em cm³. Assim, fazendo a conversão, 1l = 1 dm³ = 1000 cm³.

Densidade = massa ⇒ 0,86 = massa ⇒ massa = 0,86⋅1000 = 860 g volume 1000

Questão 9Sessenta das 520 galinhas de um aviário não foram vacinadas; morreram 92 galinhas vacinadas. Para as galinhas vacinadas, qual é a razão entre o numero de galinhas vivas e de mortas?

Total de galinhas – total de galinhas não vacinadas = 520 - 60 = 460 galinhas vacinadas

Total de galinhas vacinadas – total de galinhas vacinadas mortas = 460 – 92 = 368 galinhas vivas e vacinadas

Galinhas vacinadas e vivas = 368 = 4Galinhas mortas 92 1

Resposta : 4 ou 4:11

ProporçãoChamamos de proporção a igualdade de duas razões.

a1 = a2 = k (também escrito por a1:b1 :: a2:b2),b1 b2

onde a1, a2, b1, b2 são números reais com b1 e b2 diferentes de zero. O número k é o que chamamos de constante da proporção (Lê-se “a1 está para b1 assim como a2 está para b2).

O antecedente da primeira razão (a1) e o consequente da segunda (b2) são chamados de extremos, enquanto o consequente da primeira razão (b1) e o antecedente da segunda razão (a2) são chamados de meios. Os nomes são sugestivos quando consideramos a segunda forma de expressar a proporção (a1:b1 :: a2:b2)

Propriedade fundamental da proporçãoO produto dos meios é igual ao produto dos extremos. O que denotamos por:

a = c ⟺ bc =adb d

Pela comutatividade do produto, podemos escrever a mesma proporção de várias maneiras distintas:

a = c ⟺ d = b ⟺ d = c ⟺ a = bb d c a b a c d

Propriedade fundamental da proporção

é uma proporção, pois 10:20 = 3:6

é uma proporção, pois 9:12

= 3:4

9 x 4 = 12 x 3

36 = 36

4 x 15 = 6 x 10

60 = 60

Multiplicação cruzada

Questão 10Foi aumentada a capacidade de publico de um estádio. Onde havia 7 cadeiras, agora há 8 cadeiras. O local tinha 3640 lugares. Quantos lugares tem atualmente?

7 = 36408 X

7x = 29120

X = 29120 = 4160 lugares .7

Questão 11Para fazer 600 pães, são gastos, em uma padaria, 100 Kg de farinha. Quantos pães podem ser feitos com 25kg de farinha?

Estabelecemos a seguinte relação:

60 = 100 ⟺ 100x = 600*25 ⟺ 100x = 15000 ⟺ x = 15000 ⟺ x = 150X 25 100

Podem ser feitos 150 pães.

Questão 12(Enem 2012) Há, em virtude da demanda crescente de economia de água, equipamentos e utensílios como, por exemplo, as bacias sanitárias ecológicas, que utilizam 6 litros de água por descarga em vez dos 15 litros utilizados por bacias sanitárias não ecológicas, conforme dados da Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT).Qual será a economia diária de água obtida por meio da substituição de uma bacia sanitária não ecológica, que gasta cerca de 60 litros por dia com a descarga, por uma bacia sanitária ecológica?

a) 24 litros b) 36 litros c) 40 litros d) 42 litros e) 50 litros

Chamemos de x o número de litros de água despejados pela bacia ecológica. Daí,

15 = 6 → 15x = 360 → x = 24litros60 x

Assim, a economia será de: 60−24 = 36litros Resposta: letra B