Q u a t r o n ú m e r o s r a c i o n a i s A , B , C e D d i f e r e n t e s d e z e r o , n e s s a o r d e m , f o r m a m u m a p r o p o r ç ã o q u a n d o :

A C

B D

O s n ú m e r o s A , B , C e D s ã o d e n o m i n a d o s t e r m o s

O s n ú m e r o s A e B s ã o o s d o i s p r i m e i r o s t e r m o sO s n ú m e r o s C e D s ã o o s d o i s ú l t i m o s t e r m o sO s n ú m e r o s A e C s ã o o s a n t e c e d e n t e sO s n ú m e r o s B e D s ã o o s c o n s e q ü e n t e sA e D s ã o o s e x t r e m o sB e C s ã o o s m e i o s

A d i v i s ã o e n t r e A e B e a d i v i s ã o e n t r e C e D, é u m a c o n s t a n t e K , d e n o m i n a d a c o n s t a n t e d e p r o p o r c i o n a l i d a d e K d e s s a r a z ã o .

Para a proporçãoA C

B D valem as seguintes propriedades:O produto dos meios é igual ao produto dos extremos, isto é:

A * D = B * CA soma (diferença) dos dois primeiros termos está para o primeiro

termo, assim como a soma (diferença) dos dois últimos está para o terceiro termo, isto é:

A + B C + D e A - B C - D

A C A C

A soma (diferença) dos dois primeiros termos está para o segundo termo, assim como a soma (diferença) dos dois últimos está para o quarto termo, isto é:

A + B C + D A - B C - D

B D B D

A soma (diferença) dos antecedentes está para a soma (diferença) dos conseqüentes, assim como cada antecedente está para o seu conseqüente, isto é:

A + C A A - C B + D B B - D

A + C A - C C B + D B - D D

Duas grandezas são diretamente proporcionais quando, aumentando uma delas, a outra também aumenta na mesma proporção, ou, diminuindo uma delas, a outra também diminui na mesma proporção.

Se duas grandezas X e Y são diretamente proporcionais, os números que expressam essas grandezas variam na mesma razão, isto é, existe uma constante K tal que:

X Y= K Exemplos:Uma torneira foi aberta para encher uma caixa com

água azul. A cada 15 minutos é medida a altura do nível de água. (cm=centímetros e min=minutos)

Observamos que quando duplica o intervalo de tempo, a altura do nível da água também duplica e quando o intervalo de tempo é triplicado, a altura do nível da

água também é triplicada.

( a ) Q u a n d o o i n t e r v a l o d e t e m p o p a s s a d e 1 5 m i np a r a 3 0 m i n , d i z e m o s q u e o t e m p o v a r i a n a r a z ã o 1 5 / 3 0 , e n q u a n t o q u e a a l t u r a d a á g u a v a r i a d e 5 0 c m p a r a 1 0 0 c m , o u s e j a , a a l t u r a v a r i a n a r a z ã o 5 0 / 1 0 0 . O b s e r v a m o s q u e e s t a s d u a s r a z õ e s s ã o i g u a i s :

C o n c l u í m o s q u e a r a z ã o e n t r e o v a l o r n u m é r i c o d o t e m p o q u e a t o r n e i r a f i c a a b e r t a e o v a l o r n u m é r i c o d a a l t u r a a t i n g i d a p e l a

á g u a é s e m p r e i g u a l , a s s i m d i z e m o s e n t ã o q u e a a l t u r a d o n í v e l d a á g u a é d i r e t a m e n t e p r o p o r c i o n a l a o t e m p o q u e a t o r n e i r a f i c o u a b e r t a .

Em média, um automóvel percorre80 Km em 1 hora, 160 Km em 2 horas e 240 Km em 3 horas.(Km=quilômetro, h=hora). Construímos uma tabela da situação:

N o t a m o s q u e q u a n d o d u p l i c a o i n t e r v a l o d e t e m p o , d u p l i c a t a m b é m a d i s t â n c i a p e r c o r r i d a e q u a n d o o i n t e r v a l o d e t e m p o é t r i p l i c a d o , a d i s t â n c i a t a m b é m é t r i p l i c a d a , o u s e j a , q u a n d o o i n t e r v a l o d e t e m p o a u m e n t a , a d i s t â n c i a p e r c o r r i d a t a m b é m a u m e n t a n a m e s m a p r o p o r ç ã o .O b s e r v a ç õ e s : U s a n d o r a z õ e s e p r o p o r ç õ e s , p o d e m o s d e s c r e v e r e s s a s i t u a ç ã o d e o u t r o m o d o .

Concluímos que o tempo gasto e a

distância percorrida, variam sempre na

mesma razão e isto significa que a

distância percorrida é diretamente

proporcional ao tempo gasto para

percorrê-la, se a velocidade média do

automóvel se mantiver constante.

Regra de três

composta

R e g r a d e t r ê s c o m p o s t a é u m p r o c e s s o d e r e l a c i o n a m e n t o d e g r a n d e z a s d i r e t a m e n t e p r o p o r c i o n a i s , i n v e r s a m e n t e p r o p o r c i o n a i s o u u m a m i s t u r a d e s s a s s i t u a ç õ e s .

O m é t o d o f u n c i o n a l p a r a r e s o l v e r u m p r o b l e m a d e s s a o r d e m é m o n t a r u m a t a b e l a c o m d u a s l i n h a s , s e n d o q u e a p r i m e i r a l i n h a i n d i c a a s g r a n d e z a s r e l a t i v a s à p r i m e i r a s i t u a ç ã o e n q u a n t o q u e a s e g u n d a l i n h a i n d i c a o s v a l o r e s c o n h e c i d o s d a s e g u n d a s i t u a ç ã o .

S e A 1 , B 1 , C 1 , D 1 , E 1 , . . . s ã o o s v a l o r e s a s s o c i a d o s à s g r a n d e z a s p a r a u m a p r i m e i r a s i t u a ç ã o e A 2 , B 2 , C 2 , D 2 , E 2 , . . . s ã o o s v a l o r e s a s s o c i a d o s à s g r a n d e z a s p a r a u m a s e g u n d a s i t u a ç ã o , m o n t a m o s a t a b e l a a b a i x o l e m b r a n d o q u e e s t a m o s i n t e r e s s a d o s e m o b t e r o v a l o r n u m é r i c o p a r a u m a d a s g r a n d e z a s , d i g a m o s Z 2 s e c o n h e c e m o s o c o r r e s p o n d e n t e v a l o r n u m é r i c o Z 1 e t o d a s a s m e d i d a s d a s o u t r a s g r a n d e z a s .

Q u a n d o t o d a s a s g r a n d e z a s s ã o d i r e t a m e n t e p r o p o r c i o n a i s à g r a n d e z a Z , r e s o l v e m o s a p r o p o r ç ã o :

Q u a n d o t o d a s a s g r a n d e z a s s ã o d i r e t a m e n t e p r o p o r c i o n a i s à g r a n d e z a Z , e x c e t o a s e g u n d a g r a n d e z a ( c o m a l e t r a B , p o r e x e m p l o ) q u e é i n v e r s a m e n t e p r o p o r c i o n a l à g r a n d e z a Z , r e s o l v e m o s a p r o p o r ç ã o c o m B 1 t r o c a d a d e p o s i ç ã o c o m B 2 :

A s g r a n d e z a s q u e f o r e m d i r e t a m e n t e p r o p o r c i o n a i s à g r a n d e z a Z s ã o i n d i c a d a s n a m e s m a o r d e m ( d i r e t a ) q u e a p a r e c e m n a t a b e l a e n q u a n t o q u e a s g r a n d e z a s q u e f o r e m i n v e r s a m e n t e p r o p o r c i o n a i s à g r a n d e z a Z a p a r e c e r ã o n a o r d e m i n v e r s a d a q u e l a q u e a p a r e c e r a m n a t a b e l a .P o r e x e m p l o , s e t e m o s c i n c o g r a n d e z a s e n v o l v i d a s : A , B , C , D e Z , s e n d o a p r i m e i r a A e a t e r c e i r a C d i r e t a m e n t e p r o p o r c i o n a i s à g r a n d e z a Z e a s o u t r a s d u a s B e D i n v e r s a m e n t e p r o p o r c i o n a i s à g r a n d e z a Z , d e v e r e m o s r e s o l v e r a p r o p o r ç ã o :

O b s e r v a ç ã o : O p r o b l e m a d i f í c i l é a n a l i s a r d e u m p o n t o d e v i s t a l ó g i c o q u a i s g r a n d e z a s s ã o d i r e t a m e n t e p r o p o r c i o n a i s o u i n v e r s a m e n t e p r o p o r c i o n a i s . C o m o é m u i t o d i f í c i l r e a l i z a r e s t a a n á l i s e d e u m p o n t o d e v i s t a g e r a l , a p r e s e n t a r e m o s a l g u n s e x e m p l o s p a r a e n t e n d e r o f u n c i o n a m e n t o d a s i t u a ç ã o .

E x e m p l o s :

F u n c i o n a n d o d u r a n t e 6 d i a s , 5 m á q u i n a s p r o d u z i r a m 4 0 0 p e ç a s d e u m a m e r c a d o r i a . Q u a n t a s p e ç a s d e s s a m e s m a m e r c a d o r i a s e r ã o p r o d u z i d a s p o r 7 m á q u i n a s i g u a i s à s p r i m e i r a s , s e e s s a s m á q u i n a s f u n c i o n a r e m d u r a n t e 9 d i a s ?V a m o s r e p r e s e n t a r o n ú m e r o d e p e ç a s p e l a l e t r a X . D e a c o r d o c o m o s d a d o s d o p r o b l e m a , v a m o s o r g a n i z a r a t a b e l a :

A g r a n d e z a N ú m e r o d e p e ç a s ( C ) s e r v i r á d e r e f e r ê n c i a p a r a a s o u t r a s g r a n d e z a s . A n a l i s a r e m o s s e a s g r a n d e z a s N ú m e r o d e m á q u i n a s ( A ) e N ú m e r o d e d i a s ( B ) s ã o d i r e t a m e n t e p r o p o r c i o n a i s o u i n v e r s a m e n t e p r o p o r c i o n a i s à g r a n d e z a C q u e r e p r e s e n t a o N ú m e r o d e p e ç a s . Ta l a n á l i s e d e v e s e r f e i t a d e u m a f o r m a i n d e p e n d e n t e p a r a c a d a p a r d e g r a n d e z a s .

V a m o s c o n s i d e r a r a s g r a n d e z a s , n ú m e r o d e p e ç a s e n ú m e r o d e m á q u i n a s .

D e v e m o s f a z e r u s o d e l ó g i c a p a r a c o n s t a t a r q u e s e t i v e r m o s m a i s m á q u i n a s o p e r a n d o p r o d u z i r e m o s m a i s p e ç a s e s e t i v e r m o s m e n o s m á q u i n a s o p e r a n d o p r o d u z i r e m o s m e n o s p e ç a s . A s s i m t e m o s q u e e s t a s d u a s g r a n d e z a s s ã o d i r e t a m e n t e p r o p o r c i o n a i s .

V a m o s a g o r a c o n s i d e r a r a s g r a n d e z a s N ú m e r o d e p e ç a s e N ú m e r o d e d i a s .

N o v a m e n t e d e v e m o s u s a r a l ó g i c a p a r a c o n s t a t a r q u e s e t i v e r m o s m a i o r n ú m e r o d e d i a s p r o d u z i r e m o s m a i o r n ú m e r o d e p e ç a s e s e t i v e r m o s m e n o r n ú m e r o d e d i a s p r o d u z i r e m o s m e n o r n ú m e r o d e p e ç a s . A s s i m t e m o s q u e e s t a s d u a s g r a n d e z a s t a m b é m s ã o d i r e t a m e n t e p r o p o r c i o n a i s .

C o n c l u í m o s q u e t o d a s a s g r a n d e z a s e n v o l v i d a s s ã o d i r e t a m e n t e p r o p o r c i o n a i s , l o g o , b a s t a r e s o l v e r a p r o p o r ç ã o :

q u e p o d e s e r p o s t a n a f o r m a :

R e s o l v e n d o a p r o p o r ç ã o , o b t e m o s X = 8 4 0 , a s s i m , s e a s 7 m á q u i n a s f u n c i o n a r e m d u r a n t e 9 d i a s s e r ã o p r o d u z i d a s 8 4 0 p e ç a s .

Um motocicl ista, rodando 4h por dia, percorre em média 200 Km em 2 dias.

Em quantos dias esse motocicl ista irá percorrer 500 Km, se rodar 5 h por dia? (h=hora, Km=quilômetro).

Vamos representar o número de dias procurado pela letra X. De acordo com os dados do problema, vamos organizar a tabela:

A g r a n d e z a N ú m e r o d e d i a s ( C ) é a q u e s e r v i r á c o m o r e f e r ê n c i a p a r a a s o u t r a s g r a n d e z a s . A n a l i s a r e m o s s e a s g r a n d e z a s Q u i l ô m e t r o s ( A ) e H o r a s p o r d i a ( B ) s ã o d i r e t a m e n t e p r o p o r c i o n a i s o u i n v e r s a m e n t e p r o p o r c i o n a i s à g r a n d e z a C q u e r e p r e s e n t a o N ú m e r o d e d i a s . Ta l a n á l i s e d e v e s e r f e i t a d e u m a f o r m a i n d e p e n d e n t e p a r a c a d a p a r d e g r a n d e z a s .

C o n s i d e r e m o s a s g r a n d e z a s N ú m e r o d e d i a s e Q u i l ô m e t r o s . U s a r e m o s a l ó g i c a p a r a c o n s t a t a r q u e s e r o d a r m o s m a i o r n ú m e r o d e d i a s , p e r c o r r e r e m o s m a i o r q u i l o m e t r a g e m e s e r o d a r m o s m e n o r n ú m e r o d e d i a s p e r c o r r e r e m o s m e n o r q u i l o m e t r a g e m . A s s i m t e m o s q u e e s t a s d u a s g r a n d e z a s s ã o d i r e t a m e n t e p r o p o r c i o n a i s .

Na outra análise, vamos agora considerar as grandezas número de dias e Horas por dia. Verif icar que para real izar o mesmo percurso, se t ivermos maior número de dias uti l izaremos menor número de horas por dia e se t ivermos menor número de dias necessitaremos maior número de horas para o mesmo percurso. Logo, estas duas grandezas são inversamente proporcionais e desse modo:

R e s o l v e n d o e s t a p r o p o r ç ã o , o b t e m o s X = 4 , s i g n i f i c a n d o q u e p a r a p e r c o r r e r 5 0 0 K m , r o d a n d o 5 h p o r d i a , o m o t o c i c l i s t a l e v a r á 4 d i a s .