Razão e Proporção - Campus Sertão · Proporção Proporção representa a igualdade entre duas razões. ... diretamente proporcionais aos números 6, 20 e 16, nessa ordem. Veja:

Razão e Proporção

Daniel Bruno

Razão

A razão pode ser expressa como a divisão ourelação entre duas grandezas de algum sistema demedidas. Por exemplo, para preparar uma bebida naforma de suco, normalmente adicionamos a litros desuco concentrado com b litros de água.

A relação entre a quantidade de litros de sucoconcentrado e de água é um número real expressocomo uma fração:

𝐚

𝐛= a/b, lê-se razão entre a e b ou a está para b.

UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 2

Razão

Outro exemplo:

Em uma partida de basquete um jogador faz 20arremessos e acerta 10. Podemos avaliar oaproveitamento desse jogador, dividindo onúmero de arremessos que ele acertou pelototal de arremessos, o que significa que ojogador acertou 1 para cada dois arremessos.Nesse caso, temos:

Razão = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑎𝑐𝑒𝑟𝑡𝑜𝑠

𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑎𝑟𝑟𝑒𝑚𝑒𝑠𝑠𝑜𝑠=

10

20=

𝟏

𝟐


Razão Inversa

Na razão temos os termos: antecedente e

consequente, onde na razão1

2o

antecedente é 1 e o consequente é 2.

Para a razão inversa é feita a troca do

antecedente com o consequente. Exemplo:

Razão = 1

2 RazãoInversa =

2

1


Proporção

Proporção representa a igualdade entre

duas razões. A proporção entre a/b e c/d é

a igualdade:

𝑎

b=

c

𝑑


Proporção

Exemplo: Um carro faz 13km por litro de

combustível, então para 26km preciso de 2L,

para 39km preciso de 3L e assim por diante.

R1 = 26

2

R2 = 39

3

Logo, formamos a proporção:

R1 = R2 26

2=

39

3


Propriedades

Numa proporção:

𝑎

b=

c

𝑑

Os números a e d são denominados

extremos enquanto os números b e c são

os meios e vale a propriedade: o produto

dos meios é igual ao produto dos extremos,

isto é:


a · d = b · c

Propriedades

Numa proporção quando somamos termo a

termo a razão se mantém.

26

2=

39

3=

26 + 39

2 + 3

65

5 13

Numa proporção quando subtraímos termo

a termo a razão se mantém.

26

2=

39

3=

26 − 39

2 − 3

−13

−1 13


Números proporcionais

O número 3 representa em relação a 6 (metade) omesmo que 10 representa em relação a 20 (metade),que é o mesmo que 8 representa em relação a 16.

Dizemos então que os números 3, 10 e 8 sãodiretamente proporcionais aos números 6, 20 e 16,nessa ordem. Veja:

3

6=

10

20=

8

16

1

2

1

2

1

2

Nesse caso, 1

2é considerado o coeficiente ou constante

de proporcionalidade.


Números proporcionais

Além disso:

A fração irredutível𝑎

𝑏é equivalente ao

coeficiente de proporcionalidade(k);

Quando somamos ou subtraímos termos a

termos a razão que se mantém é k. Exemplo:𝑎 + 𝑐 + 𝑒 +⋯ 𝑦

𝑏 + 𝑑 + 𝑓 +⋯ 𝑧= k


Grandezas Diretamente Proporcionais

(G.D.P.)

Duas grandezas são ditas diretamente

proporcionais, quando o aumento de uma

implica no aumento da outra, quando a

redução de uma implica na redução da

outra, ou seja, o que você fizer com uma

acontecerá com a outra.



(G.D.P.)

Exemplo: Se numa receita de pudim de

micro-ondas uso duas latas de leite

condensado, 6 ovos e duas latas de leite,

para um pudim. Terei que dobrar a

quantidade de cada ingrediente se quiser

fazer dois pudins, ou reduzir a metade cada

quantidade de ingredientes se quiser,

apenas meia receita.



(G.D.P.)


Observe a tabela abaixo que relaciona o preçoque tenho que pagar em relação à quantidadede pães que peça:

Preço e quantidade de pães são grandezasdiretamente proporcionais. Portanto, se peçomais pães, pago mais, se peço menos pães,pago menos.

Preço (R$ ) 0,20 0,40 1,00 2,00 4,00 10,00

Nº de pães 1 2 5 10 20 50


(G.D.P.)

Observe que quando dividimos o preço pela

quantidade de pães obtemos sempre o

mesmo valor. Em grandezas diretamente

proporcionais, a razão é constante.

0,20

1=

0,40

2=

1,00

5=

2,00

10=

4,00

20=

10,00

50= k


Grandezas Inversamente Proporcionais

(G.I.P.)

Duas grandezas são ditas inversamente

proporcionais quando o aumento de uma

implica na redução da outra, quando a

redução de uma implica no aumento da

outra, ou seja, o que você fizer com uma

acontecerá o inverso com a outra.



(G.I.P.)

Exemplo: Numa viagem, quanto maior avelocidade média no percurso, menor será otempo de viagem. Quanto menor for avelocidade média, maior será o tempo deviagem. Observe a tabela abaixo querelaciona a velocidade média e o tempo deviagem, para uma distância de 600km.


Velocidade média (km/h) 60 100 120 150 200 300

Tempo de viagem (h) 10 6 5 4 3 2


(G.I.P.)

Velocidade média e Tempo de viagem sãograndezas inversamente proporcionais, assim seviajo mais depressa levo um tempo menor, se viajocom menor velocidade média levo um tempo maior.Observe que quando multiplicamos a velocidademédia pelo tempo de viagem obtemos sempre omesmo valor.

Em grandezas inversamente proporcionais, oproduto é constante.

60 . 10 = 100 . 6 = 120 . 5 = 150 . 4 = 200 . 3 = 300 . 2 = k


Vamos praticar...

Um estado brasileiro ocupa a área de

200.000 Km². De acordo com o censo

realizado, o estado tem uma população

aproximada de 12.000.000 habitantes. Qual

a densidade demográfica desse estado?


Vamos praticar...

Para obtermos a densidade demográfica

usamos a seguinte razão:

Dens. demográfica = número de habitantes

área ocupada

Dens. demográfica = 12.000.000 habitantes

200.000 Km2

Dens. Demográfica = 60 habitantes/Km2


Vamos praticar...

Suponhamos que um carro de Fórmula Indy

percorreu 328Km em 2h. Qual foi a

velocidade média do veículo nesse

percurso?


Vamos praticar...

Para obtermos a velocidade média usamos

a seguinte razão:

Velocidade média = distância 𝑝𝑒𝑟𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑑𝑎

tempo gasto

Velocidade média = 328Km2h

Velocidade média = 164 Km/h


Vamos praticar...

Qual a renda per capita de Alagoas

considerando os dados do IBGE (Instituto

Brasileiro de Geografia e Estatística), onde

o PIB (Produto Interno Bruto) era de

R$21.235.000 e população era cerca de

3.120.922 habitantes?


Vamos praticar...

A renda per capita é a razão entre o PIB

(Produto Interno Bruto) e o número de

habitantes, assim:

Renda per capita =Produto Interno BrutoNúmero de habitantes

Renda per capita =R$21.235.000

3.120.922 habitantes

Renda per capita R$6,8/habitante


Vamos praticar...

Uma empreiteira planejou construir

determinada obra em 8 dias, empregando

10 trabalhadores, trabalhando 6 horas por

dia. Se a jornada de trabalho fosse

ampliada em 2 horas diárias e o número de

trabalhadores reduzido para 7 essa mesma

obra seria concluída em quantos dias?


Vamos praticar...

Separando os dados:

Faremos as seguintes considerações:

• Trabalhadores e Dias. Se 10 empregadosterminam uma obra em 8 dias, então apenas 7empregados vão terminar essa mesma obra emmais dias. Diminuiu o número de empregados, masaumentou o número de dias. Então considera-segrandezas inversamente proporcionais, assimteremos a razão de 7/10.


Trabalhadores Horas por dia Conclusão em dias

10 6 8

7 8 x

Vamos praticar...

• Horas e dias. Dispondo-se de 6 horas

diárias, termina-se uma obra em 8 dias, se

passar a dispuser de 8 horas diárias, então

termina-se o trabalho em menos dias.

Aumentou o número de horas e diminuiu o

número de dias. Então considera-se

grandezas inversamente proporcionais,

assim teremos a razão de 8/6.


Vamos praticar...

Agora é só multiplicar as razões e igualar à

razão que contém a incógnita (8/x). Assim:

7

10. 8

6=

8

𝑥

56

60=

8

𝑥 56x = 480 x =

480

56

x = 8,57

A obra será concluída em aproximadamente

9 dias.


Vamos praticar...

Em uma construtora, 20 caminhões

descarregam 160m3 de areia em 8 horas.

Diminuindo as horas de atividade dos

caminhões para 5 horas, quantos

caminhões serão necessários para

descarregar 125m3 de areia.


Vamos praticar...

Montando uma tabela, colocando em cada

coluna as grandezas de mesma espécie e,

em cada linha, as grandezas de espécies

diferentes que se correspondem:

Vamos comparar as grandezas.


Horas Caminhões Volume

8 20 160

5 x 125

Vamos praticar...

Observe que:

Aumentando o número de horas de trabalho, podemosdiminuir o número de caminhões. Portanto a relação éinversamente proporcional.

Aumentando o volume de areia, devemos aumentar onúmero de caminhões. Portanto a relação é diretamenteproporcional.

Devemos igualar a razão que contém o termo x com oproduto das outras razões de acordo com o queobservamos.


Vamos praticar...

Montando a proporção e resolvendo:

20

𝑥=

160

125.5

8

20

𝑥=

20

25

20

𝑥=

4

5 4x = 100

x =100

4 x = 25

Assim, serão necessários 25 caminhões

para descarregar 125m3 em 5 horas.


Documents

Razão e Proporção - Campus Sertão · Proporção Proporção representa a igualdade entre duas razões. ... diretamente proporcionais aos números 6, 20 e 16, nessa ordem. Veja: