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Aqui la primera presentacion que cargo, para aquellas personas que requieran de material didactico para la enseñanza de la Matematica.
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2. TEMARIO
3. Temario
Qu es la trigonometra?
Qu es ngulo?
Razones Trigonomtricas
Razones Trigonomtricas en el tringulo rectngulo
ngulos en posicin normal
ngulos Cuadrantales
Razones Trigonomtricas de un ngulo en posicin normal
Razones Trigonomtricas de un ngulo negativo
4. INTRODUCCIN
5. Introduccin
Para desarrollar el siguiente tema, se utilizara presentaciones en
el orden en el que se presenta en el temario, de acuerdo a un
proceso donde se pretende la estructuracin de los
conocimientos.
En esta presentacin se aborda una introduccin a la trigonometra a
su nivel ms elemental: las razones trigonomtricas de ngulos agudos.
Se supone conocida la nocin de ngulo y su medida as como la nocin
de ngulos complementarios.
Se inicia tambin un acercamiento a la relacin entre razones
trigonomtricas y la relacin fundamental, necesarias para la
resolucin de tringulos rectngulos.
6. CONTENIDO
TERICO
7. Qu es la trigonometra?
Rama de las matemticas que estudia las relaciones entre los lados y
los ngulos de tringulos, de las propiedades y aplicaciones de las
funciones trigonomtricas de ngulos. las dos ramas fundamentales son
la trigonometra plana, que se ocupa de figuras contenidas en un
plano, y la trigonometra esfrica, que se ocupa de tringulos que
forman parte de la superficie de una esfera.
8. Qu es un ngulo?
el Angulo es la porcin de plano delimitada por dos semirrectas del
mismo origen
Los ngulos se identifican por 3 letras donde :
La letra central corresponde al vrtice
Las otras 2 letras son puntos cualquiera de las semirrectas que lo
forman
9. Clasificacin de los ngulos
Angulo agudo: mayor que 0 menor que 90
Angulo recto: mide 90 grados
Angulo obtuso: mayor que 90 menor que 180
Angulo llano: mide 180 grados
10. Razones Trigonomtricas
Razn: En forma general se le define como la comparacin entre dos
cantidades, por medio de un cociente aplicando esta definicin a un
triangulo cualquiera y relacionando sus 3 lados 2 a 2, obtenemos 6
razones veamos:
;;;;;
11. Razones Trigonomtricas
Operador Trigonomtrico: Se llama as al smbolo matemtico que como
tal, no tiene significado cuando acta por si solo, pero que se
transforma cuando lo acompaa un ngulo. Estos operadores
trigonomtricos son 6.
12. Razn Trigonomtrica:
Es aquella que se obtiene como consecuencia de fusionar un operador
trigonomtrico y un ngulo obtenindose como resultado un nmero,
veamos el siguiente ejemplo:
I). tg45 = 1
II) sen30 = (1/2)
III) cos60 = (1/2)
IV)sec45 = 2
13. Tringulo
rectngulo
hipotenusa
catetos
Triangulo Rectngulo
Caracterstica principal de un tringulorectnguloesqueuno de
susngulosmide 900
14. Razones Trigonomtricas en el triangulo rectngulo
Se les define como los cocientes que se obtienen al relacionar los
catetos y la hipotenusa de un triangulo rectngulo, a continuacin
veamos las definiciones de cada una de dichas razones
trigonomtricas con respecto al ngulo agudo A.
15. SenA=Cateto Opuesto/Hipotenusa =a/c
CosA=Cateto adyacente/Hipotenusa =b/c
TanA=Cateto opuesto/Cateto adyacente =a/b
CotA =Cateto adyacente/Cateto Opuesto =b/a
SecA =Hipotenusa/Cateto adyacente =c/b
CscA =Hipotenusa/Cateto Opuesto =c/a
C
c = Hipotenusa
a
Cateto Opuesto
B
A
b
Cateto Adyacente
Razones Trigonomtricas en el triangulo rectngulo
16. Condiciones que hay que tener presente:
y ; son menores que 1.
y ; toman cualquier valor.
y ; son mayores que 1.
>>
2=2+2,()
+=90;()
17. ngulos en posicin normal.-
Un ngulo est en posicin normal si su vrtice esta en el origen y su
lado inicial coincide con el semieje positivo de las abscisas, y su
lado final en cualquier parte del plano, si el lado final coincide
con un eje, entonces el ngulo es mltiplo de 90.
18. ngulos en posicin normal.-
: ngulo en posicin normal(-)
: ngulo en posicin normal(+)
OA: coincide con el eje (+) Ox
: ngulo de Q1(primer cuadrante)
: ngulo de Q3(tercer cuadrante)
19. ngulos en posicin normal
Y
Lado final del ngulo en posicin normal
Medida del ngulo en posicin normal
ngulo en el 2do Cuadrante
x
o
Lado inicial del ngulo en posicin normal
Origen de Coordenadas
20. ngulos en posicin normal
Y
ngulo ubicado en el 3er cuadrante
Medida del ngulo en posicin normal
Y
X
Lado inicial
Lado inicial
X
ngulo ubicado en el 4to cuadrante
Lado Final
Lado Final
21. ngulos Cuadrantales.-
Un ngulo en posicin normal es cuadrantal, cuando su lado final
coincide con cualquiera de los semiejes de un sistema de
coordenadas rectangulares. Los ngulos cuadrantales no pertenecen a
ningn cuadrante y son de la forma:
Para todo n que pertenece a los nmeros naturales.
902
22. ngulos Cuadrantales.-
23. Razones Trigonomtricas de un ngulo en posicin normal
Las razones trigonomtricas del ngulo se definen como se muestra en
la tabla: en las definiciones que sigue, se va a establecer el
dominio y el recorrido de las razones trigonomtricas aunque deberan
ser evidentes.
Sea un ngulo en posicin normal y sea P un punto cualquiera
(distinto de O) en el lado terminal de
24. Razones Trigonomtricas de un ngulo en posicin normal
25. Razones Trigonomtricas de un ngulo en posicin normal
26. CUADRO DE LAS R. T. DE LOS ANGULOS: O, 90, 180, 270 y
360.
27. Razones Trigonomtricas de un ngulo negativo
La determinacin de las razones trigonomtricas de un ngulo negativo,
se puede lograr mediante la regla de Reduccin al primer cuadrante,
conviene, sin embargo, disponer de una relacin especial. Trace
ngulos iguales a y -, en posicin normal y escoja P(-x;y) y P(-x;-y)
como se muestra en la figura, obteniendo dos tringulos
congruentes.
28. Razones Trigonomtricas de un ngulo negativo
29. Luego hallamos las RT del TR OMP y el TR OMP.
30. EJERCICIOS
RESUELTOS
31. N1
Ejercicio
Resolucin:
Por el Teorema de Pitgoras, hallamos el cateto que nos falta:
2+2=2
2+32=52
2+9=25
2=259
2=16
=16
=4
32. Ahora aplicamos las definiciones de las funciones
trigonomtricas y encontramos:
33. N2
Ejercicio
Para el triangulo rectngulo PQR recto en R; halla el seno, coseno y
la tangente del ngulo de P y Q.
34. Resolucin:
35. N3
Ejercicio
Puedes usar el tringulo de la derecha para hallar el seno y el
coseno de 42. Primero, usa el teorema de Pitgoras para hallar la
longitud, h, de la hipotenusa.
2+2=h2
102+92=h2
100+81=h2
181=h
13.45=h
36. Resolucin:
Para el ngulo de 42, el cateto opuesto tiene una longitud de 9 y el
cateto adyacente tiene una longitud de 10.
37.60 m
d
N4
Ejercicio
53
Desde lo alto de un edificio de 60 m de altura se observa una seal
en el suelo con un ngulo de depresin de 53. A que distancia del
edificio se halla la seal observada?
40 m
42 m
44 m
45 m
48 m
37
38. Resolucin:
Utilizando tringulos notables, hallamos el valor de k:
Si 3K = 60, entonces k = 20.
Por lo tanto la seal se encuentra a una distancia de 4K; es decir:
4(20) y eso vendra a ser 80 metros.
39. N5
Ejercicio
Hallamos las razones trigonomtricas del ngulo :
Para el ngulo ,16es el C.Oy 12 el C.A
40. Resolucin:
Sen =1620
Csc =2016
Cos =1220
Sec =2012
Tg =1612
Ctg =12 16
41. N6
Ejercicio
Determina el valor numrico de E:
3
2sen
+ 3 sen
- Cos 2
2
6
E =
Sec 180+tg 2
42. Resolucin:
43. EJERCICIOS
PROPUESTOS
44. a
30
b
25
N7
Ejercicio
Halla la medida de los dos catetos del siguiente tringulo
45. N8
Ejercicio
Siendo P(-3;4) un punto del lado final de un ngulo x en posicin
normal, calcular:
E = sec x + cscx
Marca con una (x) la respuesta correcta
-5/12
-6/15
2/13
46. 3 pies
escalera
4 pies
N9
Ejercicio
Estamoscargandounaescalera de largo L porun pasillo de 3 pies de
anchohacia un area de 4 pies de ancho, Segnel
siguientedibujo.
Halla la medida del largo de la escaleracomofuncin del ngulotalcomo
se ilustra.
47. N10
Ejercicio
Qu es un ngulo cuadrantal?
Halla las funciones trigonomtricas de los ngulos: 0 , 90 , 180 ,
270 Y 360, no olvides que la division por cero no esta
determinado.
48. N11
Ejercicio