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VAMOS FALAR DE MATEMÁTICAProf. Marcelo Gama�
Descomplicando a regra da cadeia
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1/38
Sumário
1. O que é a regra da cadeia?
2. Estudando as funções básicas
3. Desmontando funções compostas
4. Faz mais um!
2/38
Prof. Marcelo Gama
O que é a regra da cadeia?
1. O que é a regra da cadeia? 3/38
O que é a regra da cadeia?Prof. Marcelo Gama
A regra da cadeia é um método para calcular derivadasde funções compostas
Exemplo .◦ Observando a função função
f(x) =(cos(√x))5
vemos que ela é construída utilizando-se três funçõesmais �básicas�
I p(x) =√x
I q(t) = cos tI r(z) = z5
1. O que é a regra da cadeia? 4/38
O que é a regra da cadeia?Prof. Marcelo Gama
A regra da cadeia é um método para calcular derivadasde funções compostas
Exemplo .◦ Observando a função função
f(x) =(cos(√x))5
vemos que ela é construída utilizando-se três funçõesmais �básicas�
I p(x) =√x
I q(t) = cos tI r(z) = z5
1. O que é a regra da cadeia? 4/38
O que é a regra da cadeia?Prof. Marcelo Gama
A regra da cadeia é um método para calcular derivadasde funções compostas
Exemplo .◦ Observando a função função
f(x) =(cos(√x))5
vemos que ela é construída utilizando-se três funçõesmais �básicas�
I p(x) =√x
I q(t) = cos tI r(z) = z5
1. O que é a regra da cadeia? 4/38
O que é a regra da cadeia?Prof. Marcelo Gama
A regra da cadeia é um método para calcular derivadasde funções compostas
Exemplo .◦ Observando a função função
f(x) =(cos(√x))5
vemos que ela é construída utilizando-se três funçõesmais �básicas�
I p(x) =√x
I q(t) = cos tI r(z) = z5
1. O que é a regra da cadeia? 4/38
O que é a regra da cadeia?Prof. Marcelo Gama
A regra da cadeia é um método para calcular derivadasde funções compostas
Exemplo .◦ Observando a função função
f(x) =(cos(√x))5
vemos que ela é construída utilizando-se três funçõesmais �básicas�
I p(x) =√x
I q(t) = cos t
I r(z) = z5
1. O que é a regra da cadeia? 4/38
O que é a regra da cadeia?Prof. Marcelo Gama
A regra da cadeia é um método para calcular derivadasde funções compostas
Exemplo .◦ Observando a função função
f(x) =(cos(√x))5
vemos que ela é construída utilizando-se três funçõesmais �básicas�
I p(x) =√x
I q(t) = cos tI r(z) = z5
1. O que é a regra da cadeia? 4/38
O que é a regra da cadeia?Prof. Marcelo Gama
Podemos �reconstruir� a função original como umacomposição (encadeamento) dessas componentes básicas
Componentes:◦ p(x) =
√x, q(t) = cos t, r(z) = z5
Composta:◦ f(x) =
(cos(√x))5︸ ︷︷ ︸√
= p
= (cos(p(x)))5︸ ︷︷ ︸
cos= q
= (q(p(x)))5︸ ︷︷ ︸( )5 = r
= r(q(p(x)))
1. O que é a regra da cadeia? 5/38
O que é a regra da cadeia?Prof. Marcelo Gama
Podemos �reconstruir� a função original como umacomposição (encadeamento) dessas componentes básicas
Componentes:◦ p(x) =
√x,
q(t) = cos t, r(z) = z5
Composta:◦ f(x) =
(cos(√x))5︸ ︷︷ ︸√
= p
= (cos(p(x)))5︸ ︷︷ ︸
cos= q
= (q(p(x)))5︸ ︷︷ ︸( )5 = r
= r(q(p(x)))
1. O que é a regra da cadeia? 5/38
O que é a regra da cadeia?Prof. Marcelo Gama
Podemos �reconstruir� a função original como umacomposição (encadeamento) dessas componentes básicas
Componentes:◦ p(x) =
√x, q(t) = cos t,
r(z) = z5
Composta:◦ f(x) =
(cos(√x))5︸ ︷︷ ︸√
= p
= (cos(p(x)))5︸ ︷︷ ︸
cos= q
= (q(p(x)))5︸ ︷︷ ︸( )5 = r
= r(q(p(x)))
1. O que é a regra da cadeia? 5/38
O que é a regra da cadeia?Prof. Marcelo Gama
Podemos �reconstruir� a função original como umacomposição (encadeamento) dessas componentes básicas
Componentes:◦ p(x) =
√x, q(t) = cos t, r(z) = z5
Composta:◦ f(x) =
(cos(√x))5︸ ︷︷ ︸√
= p
= (cos(p(x)))5︸ ︷︷ ︸
cos= q
= (q(p(x)))5︸ ︷︷ ︸( )5 = r
= r(q(p(x)))
1. O que é a regra da cadeia? 5/38
O que é a regra da cadeia?Prof. Marcelo Gama
Podemos �reconstruir� a função original como umacomposição (encadeamento) dessas componentes básicas
Componentes:◦ p(x) =
√x, q(t) = cos t, r(z) = z5
Composta:◦ f(x) =
(cos(√x))5︸ ︷︷ ︸√
= p
=
(cos(p(x)))5︸ ︷︷ ︸
cos= q
= (q(p(x)))5︸ ︷︷ ︸( )5 = r
= r(q(p(x)))
1. O que é a regra da cadeia? 5/38
O que é a regra da cadeia?Prof. Marcelo Gama
Podemos �reconstruir� a função original como umacomposição (encadeamento) dessas componentes básicas
Componentes:◦ p(x) =
√x, q(t) = cos t, r(z) = z5
Composta:◦ f(x) =
(cos(√x))5︸ ︷︷ ︸√
= p
= (cos(p(x)))5︸ ︷︷ ︸
cos= q
=
(q(p(x)))5︸ ︷︷ ︸( )5 = r
= r(q(p(x)))
1. O que é a regra da cadeia? 5/38
O que é a regra da cadeia?Prof. Marcelo Gama
Podemos �reconstruir� a função original como umacomposição (encadeamento) dessas componentes básicas
Componentes:◦ p(x) =
√x, q(t) = cos t, r(z) = z5
Composta:◦ f(x) =
(cos(√x))5︸ ︷︷ ︸√
= p
= (cos(p(x)))5︸ ︷︷ ︸
cos= q
= (q(p(x)))5︸ ︷︷ ︸( )5 = r
= r(q(p(x)))
1. O que é a regra da cadeia? 5/38
O que é a regra da cadeia?Prof. Marcelo Gama
Podemos �reconstruir� a função original como umacomposição (encadeamento) dessas componentes básicas
Componentes:◦ p(x) =
√x, q(t) = cos t, r(z) = z5
Composta:◦ f(x) =
(cos(√x))5︸ ︷︷ ︸√
= p
= (cos(p(x)))5︸ ︷︷ ︸
cos= q
= (q(p(x)))5︸ ︷︷ ︸( )5 = r
= r(q(p(x)))
1. O que é a regra da cadeia? 5/38
O que é a regra da cadeia?Prof. Marcelo Gama
A regra da cadeia simplesmente diz que
? Para derivar uma função composta...X basta derivar cada uma das componentes básicasX e multiplicar tudo!
Formalmente:◦ SE a função p(x) é derivável no �ponto� x◦ E a função q(y) é derivável no �ponto� p(x)◦ ENTÃO a função q(p(x)) é derivável no �ponto� x E◦ [q(p(x))]′ = [q′(p(x))] · p′(x)
1. O que é a regra da cadeia? 6/38
O que é a regra da cadeia?Prof. Marcelo Gama
A regra da cadeia simplesmente diz que? Para derivar uma função composta...
X basta derivar cada uma das componentes básicasX e multiplicar tudo!
Formalmente:◦ SE a função p(x) é derivável no �ponto� x◦ E a função q(y) é derivável no �ponto� p(x)◦ ENTÃO a função q(p(x)) é derivável no �ponto� x E◦ [q(p(x))]′ = [q′(p(x))] · p′(x)
1. O que é a regra da cadeia? 6/38
O que é a regra da cadeia?Prof. Marcelo Gama
A regra da cadeia simplesmente diz que? Para derivar uma função composta...X basta derivar cada uma das componentes básicas
X e multiplicar tudo!
Formalmente:◦ SE a função p(x) é derivável no �ponto� x◦ E a função q(y) é derivável no �ponto� p(x)◦ ENTÃO a função q(p(x)) é derivável no �ponto� x E◦ [q(p(x))]′ = [q′(p(x))] · p′(x)
1. O que é a regra da cadeia? 6/38
O que é a regra da cadeia?Prof. Marcelo Gama
A regra da cadeia simplesmente diz que? Para derivar uma função composta...X basta derivar cada uma das componentes básicasX e multiplicar tudo!
Formalmente:◦ SE a função p(x) é derivável no �ponto� x◦ E a função q(y) é derivável no �ponto� p(x)◦ ENTÃO a função q(p(x)) é derivável no �ponto� x E◦ [q(p(x))]′ = [q′(p(x))] · p′(x)
1. O que é a regra da cadeia? 6/38
O que é a regra da cadeia?Prof. Marcelo Gama
A regra da cadeia simplesmente diz que? Para derivar uma função composta...X basta derivar cada uma das componentes básicasX e multiplicar tudo!
Formalmente:
◦ SE a função p(x) é derivável no �ponto� x◦ E a função q(y) é derivável no �ponto� p(x)◦ ENTÃO a função q(p(x)) é derivável no �ponto� x E◦ [q(p(x))]′ = [q′(p(x))] · p′(x)
1. O que é a regra da cadeia? 6/38
O que é a regra da cadeia?Prof. Marcelo Gama
A regra da cadeia simplesmente diz que? Para derivar uma função composta...X basta derivar cada uma das componentes básicasX e multiplicar tudo!
Formalmente:◦ SE a função p(x) é derivável no �ponto� x
◦ E a função q(y) é derivável no �ponto� p(x)◦ ENTÃO a função q(p(x)) é derivável no �ponto� x E◦ [q(p(x))]′ = [q′(p(x))] · p′(x)
1. O que é a regra da cadeia? 6/38
O que é a regra da cadeia?Prof. Marcelo Gama
A regra da cadeia simplesmente diz que? Para derivar uma função composta...X basta derivar cada uma das componentes básicasX e multiplicar tudo!
Formalmente:◦ SE a função p(x) é derivável no �ponto� x◦ E a função q(y) é derivável no �ponto� p(x)
◦ ENTÃO a função q(p(x)) é derivável no �ponto� x E◦ [q(p(x))]′ = [q′(p(x))] · p′(x)
1. O que é a regra da cadeia? 6/38
O que é a regra da cadeia?Prof. Marcelo Gama
A regra da cadeia simplesmente diz que? Para derivar uma função composta...X basta derivar cada uma das componentes básicasX e multiplicar tudo!
Formalmente:◦ SE a função p(x) é derivável no �ponto� x◦ E a função q(y) é derivável no �ponto� p(x)◦ ENTÃO a função q(p(x)) é derivável no �ponto� x E
◦ [q(p(x))]′ = [q′(p(x))] · p′(x)
1. O que é a regra da cadeia? 6/38
O que é a regra da cadeia?Prof. Marcelo Gama
A regra da cadeia simplesmente diz que? Para derivar uma função composta...X basta derivar cada uma das componentes básicasX e multiplicar tudo!
Formalmente:◦ SE a função p(x) é derivável no �ponto� x◦ E a função q(y) é derivável no �ponto� p(x)◦ ENTÃO a função q(p(x)) é derivável no �ponto� x E◦ [q(p(x))]′ = [q′(p(x))] · p′(x)
1. O que é a regra da cadeia? 6/38
Prof. Marcelo Gama
Estudando as �nções básicas
2. Estudando as funções básicas 7/38
Estudando as funções básicasProf. Marcelo Gama
Podemos encontrar diversas classes de funções
Funções básicas
Potências: y = x5
Polinômios : y = x3 − 9x2 + x− 1
Exponenciais y = ax (a �xo, a > 0, a 6= 1)
Logaritmos: y = loga(x), y = ln(x)
Trigonométricas: y = sen(x) y = tg(x) y = sec(x)
y = cos(x) y = cotg(x) y = cossec(x)
Trigonométricas y = arcsen(x) y = arccos(x)
inversas y = arctg(x) y = arccotg(x)
y = arcsec(x) y = arccosec(x)
2. Estudando as funções básicas 8/38
Estudando as funções básicasProf. Marcelo Gama
Podemos encontrar diversas classes de funçõesFunções básicas
Potências: y = x5
Polinômios : y = x3 − 9x2 + x− 1
Exponenciais y = ax (a �xo, a > 0, a 6= 1)
Logaritmos: y = loga(x), y = ln(x)
Trigonométricas: y = sen(x) y = tg(x) y = sec(x)
y = cos(x) y = cotg(x) y = cossec(x)
Trigonométricas y = arcsen(x) y = arccos(x)
inversas y = arctg(x) y = arccotg(x)
y = arcsec(x) y = arccosec(x)
2. Estudando as funções básicas 8/38
Estudando as funções básicasProf. Marcelo Gama
Será necessário conhecer as derivadas das funções básicas
Potências:
◦ Função: y = xn
◦ Derivada: y′ = n · xn−1
◦ Exemplo: y = x5 ⇒ y′ = 5x4
2. Estudando as funções básicas 9/38
Estudando as funções básicasProf. Marcelo Gama
Será necessário conhecer as derivadas das funções básicas
Potências:
◦ Função: y = xn
◦ Derivada: y′ = n · xn−1
◦ Exemplo: y = x5 ⇒ y′ = 5x4
2. Estudando as funções básicas 9/38
Estudando as funções básicasProf. Marcelo Gama
Será necessário conhecer as derivadas das funções básicas
Potências:
◦ Função: y = xn
◦ Derivada: y′ = n · xn−1
◦ Exemplo: y = x5 ⇒ y′ = 5x4
2. Estudando as funções básicas 9/38
Estudando as funções básicasProf. Marcelo Gama
Será necessário conhecer as derivadas das funções básicas
Potências:
◦ Função: y = xn
◦ Derivada: y′ = n · xn−1
◦ Exemplo: y = x5 ⇒ y′ = 5x4
2. Estudando as funções básicas 9/38
Estudando as funções básicasProf. Marcelo Gama
Será necessário conhecer as derivadas das funções básicas
Potências:
◦ Função: y = xn
◦ Derivada: y′ = n · xn−1
◦ Exemplo: y = x5 ⇒ y′ = 5x4
2. Estudando as funções básicas 9/38
Estudando as funções básicasProf. Marcelo Gama
Será necessário conhecer as derivadas das funções básicas
Polinômios:
◦ Função: y = anxn + an−1x
n−1 + . . .+ a1x+ a0
◦ Derivada: y′ = n · anxn−1 + (n− 1) · an−1xn−2 + . . .+ a1
◦ Exemplo: y = x4 − 3x2 + 8x− 4⇒ y′ = 4x3 − 6x+ 8
2. Estudando as funções básicas 10/38
Estudando as funções básicasProf. Marcelo Gama
Será necessário conhecer as derivadas das funções básicas
Polinômios:
◦ Função: y = anxn + an−1x
n−1 + . . .+ a1x+ a0
◦ Derivada: y′ = n · anxn−1 + (n− 1) · an−1xn−2 + . . .+ a1
◦ Exemplo: y = x4 − 3x2 + 8x− 4⇒ y′ = 4x3 − 6x+ 8
2. Estudando as funções básicas 10/38
Estudando as funções básicasProf. Marcelo Gama
Será necessário conhecer as derivadas das funções básicas
Polinômios:
◦ Função: y = anxn + an−1x
n−1 + . . .+ a1x+ a0
◦ Derivada: y′ = n · anxn−1 + (n− 1) · an−1xn−2 + . . .+ a1
◦ Exemplo: y = x4 − 3x2 + 8x− 4⇒ y′ = 4x3 − 6x+ 8
2. Estudando as funções básicas 10/38
Estudando as funções básicasProf. Marcelo Gama
Será necessário conhecer as derivadas das funções básicas
Polinômios:
◦ Função: y = anxn + an−1x
n−1 + . . .+ a1x+ a0
◦ Derivada: y′ = n · anxn−1 + (n− 1) · an−1xn−2 + . . .+ a1
◦ Exemplo: y = x4 − 3x2 + 8x− 4⇒ y′ = 4x3 − 6x+ 8
2. Estudando as funções básicas 10/38
Estudando as funções básicasProf. Marcelo Gama
Será necessário conhecer as derivadas das funções básicas
Polinômios:
◦ Função: y = anxn + an−1x
n−1 + . . .+ a1x+ a0
◦ Derivada: y′ = n · anxn−1 + (n− 1) · an−1xn−2 + . . .+ a1
◦ Exemplo: y = x4 − 3x2 + 8x− 4⇒ y′ = 4x3 − 6x+ 8
2. Estudando as funções básicas 10/38
Estudando as funções básicasProf. Marcelo Gama
Será necessário conhecer as derivadas das funções básicas
Exponenciais:
◦ Função: y = ax
◦ Derivada: y′ = ax ln a
◦ Exemplo 1: y = 4x ⇒ y′ = 4x · ln 4◦ Exemplo 2: y = ex ⇒ y′ = ex · ln e︸︷︷︸
1
= ex
2. Estudando as funções básicas 11/38
Estudando as funções básicasProf. Marcelo Gama
Será necessário conhecer as derivadas das funções básicas
Exponenciais:
◦ Função: y = ax
◦ Derivada: y′ = ax ln a
◦ Exemplo 1: y = 4x ⇒ y′ = 4x · ln 4◦ Exemplo 2: y = ex ⇒ y′ = ex · ln e︸︷︷︸
1
= ex
2. Estudando as funções básicas 11/38
Estudando as funções básicasProf. Marcelo Gama
Será necessário conhecer as derivadas das funções básicas
Exponenciais:
◦ Função: y = ax
◦ Derivada: y′ = ax ln a
◦ Exemplo 1: y = 4x ⇒ y′ = 4x · ln 4◦ Exemplo 2: y = ex ⇒ y′ = ex · ln e︸︷︷︸
1
= ex
2. Estudando as funções básicas 11/38
Estudando as funções básicasProf. Marcelo Gama
Será necessário conhecer as derivadas das funções básicas
Exponenciais:
◦ Função: y = ax
◦ Derivada: y′ = ax ln a
◦ Exemplo 1: y = 4x ⇒ y′ = 4x · ln 4◦ Exemplo 2: y = ex ⇒ y′ = ex · ln e︸︷︷︸
1
= ex
2. Estudando as funções básicas 11/38
Estudando as funções básicasProf. Marcelo Gama
Será necessário conhecer as derivadas das funções básicas
Exponenciais:
◦ Função: y = ax
◦ Derivada: y′ = ax ln a
◦ Exemplo 1: y = 4x ⇒ y′ = 4x · ln 4
◦ Exemplo 2: y = ex ⇒ y′ = ex · ln e︸︷︷︸1
= ex
2. Estudando as funções básicas 11/38
Estudando as funções básicasProf. Marcelo Gama
Será necessário conhecer as derivadas das funções básicas
Exponenciais:
◦ Função: y = ax
◦ Derivada: y′ = ax ln a
◦ Exemplo 1: y = 4x ⇒ y′ = 4x · ln 4◦ Exemplo 2: y = ex ⇒ y′ = ex · ln e︸︷︷︸
1
= ex
2. Estudando as funções básicas 11/38
Estudando as funções básicasProf. Marcelo Gama
Será necessário conhecer as derivadas das funções básicas
Logaritmos:
◦ Função: y = loga x
◦ Derivada: y′ = 1x ln a
◦ Exemplo 1: y = log7 x⇒ y′ = 1x ln 7
◦ Exemplo 2: y = lnx = loge x⇒ y′ = 1
x ln e︸︷︷︸1
= 1x
2. Estudando as funções básicas 12/38
Estudando as funções básicasProf. Marcelo Gama
Será necessário conhecer as derivadas das funções básicas
Logaritmos:
◦ Função: y = loga x
◦ Derivada: y′ = 1x ln a
◦ Exemplo 1: y = log7 x⇒ y′ = 1x ln 7
◦ Exemplo 2: y = lnx = loge x⇒ y′ = 1
x ln e︸︷︷︸1
= 1x
2. Estudando as funções básicas 12/38
Estudando as funções básicasProf. Marcelo Gama
Será necessário conhecer as derivadas das funções básicas
Logaritmos:
◦ Função: y = loga x
◦ Derivada: y′ = 1x ln a
◦ Exemplo 1: y = log7 x⇒ y′ = 1x ln 7
◦ Exemplo 2: y = lnx = loge x⇒ y′ = 1
x ln e︸︷︷︸1
= 1x
2. Estudando as funções básicas 12/38
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Será necessário conhecer as derivadas das funções básicas
Logaritmos:
◦ Função: y = loga x
◦ Derivada: y′ = 1x ln a
◦ Exemplo 1: y = log7 x⇒ y′ = 1x ln 7
◦ Exemplo 2: y = lnx = loge x⇒ y′ = 1
x ln e︸︷︷︸1
= 1x
2. Estudando as funções básicas 12/38
Estudando as funções básicasProf. Marcelo Gama
Será necessário conhecer as derivadas das funções básicas
Logaritmos:
◦ Função: y = loga x
◦ Derivada: y′ = 1x ln a
◦ Exemplo 1: y = log7 x⇒ y′ = 1x ln 7
◦ Exemplo 2: y = lnx = loge x⇒ y′ = 1
x ln e︸︷︷︸1
= 1x
2. Estudando as funções básicas 12/38
Estudando as funções básicasProf. Marcelo Gama
Será necessário conhecer as derivadas das funções básicas
Logaritmos:
◦ Função: y = loga x
◦ Derivada: y′ = 1x ln a
◦ Exemplo 1: y = log7 x⇒ y′ = 1x ln 7
◦ Exemplo 2: y = lnx = loge x⇒ y′ = 1
x ln e︸︷︷︸1
= 1x
2. Estudando as funções básicas 12/38
Estudando as funções básicasProf. Marcelo Gama
Será necessário conhecer as derivadas das funções básicas
Trigonométricas 1:
◦ Função: y = sen x
◦ Derivada: y′ = cos x
◦ Função: y = cos x
◦ Derivada: y′ = −sen x
2. Estudando as funções básicas 13/38
Estudando as funções básicasProf. Marcelo Gama
Será necessário conhecer as derivadas das funções básicas
Trigonométricas 1:
◦ Função: y = sen x
◦ Derivada: y′ = cos x
◦ Função: y = cos x
◦ Derivada: y′ = −sen x
2. Estudando as funções básicas 13/38
Estudando as funções básicasProf. Marcelo Gama
Será necessário conhecer as derivadas das funções básicas
Trigonométricas 1:
◦ Função: y = sen x
◦ Derivada: y′ = cos x
◦ Função: y = cos x
◦ Derivada: y′ = −sen x
2. Estudando as funções básicas 13/38
Estudando as funções básicasProf. Marcelo Gama
Será necessário conhecer as derivadas das funções básicas
Trigonométricas 1:
◦ Função: y = sen x
◦ Derivada: y′ = cos x
◦ Função: y = cos x
◦ Derivada: y′ = −sen x
2. Estudando as funções básicas 13/38
Estudando as funções básicasProf. Marcelo Gama
Será necessário conhecer as derivadas das funções básicas
Trigonométricas 1:
◦ Função: y = sen x
◦ Derivada: y′ = cos x
◦ Função: y = cos x
◦ Derivada: y′ = −sen x
2. Estudando as funções básicas 13/38
Estudando as funções básicasProf. Marcelo Gama
Será necessário conhecer as derivadas das funções básicas
Trigonométricas 1:
◦ Função: y = sen x
◦ Derivada: y′ = cos x
◦ Função: y = cos x
◦ Derivada: y′ = −sen x
2. Estudando as funções básicas 13/38
Estudando as funções básicasProf. Marcelo Gama
Será necessário conhecer as derivadas das funções básicas
Trigonométricas 2:
◦ Função: y = tg x
◦ Derivada: y′ = sec2 x
◦ Função: y = cotg x
◦ Derivada: y′ = −cossec2 x
2. Estudando as funções básicas 14/38
Estudando as funções básicasProf. Marcelo Gama
Será necessário conhecer as derivadas das funções básicas
Trigonométricas 2:
◦ Função: y = tg x
◦ Derivada: y′ = sec2 x
◦ Função: y = cotg x
◦ Derivada: y′ = −cossec2 x
2. Estudando as funções básicas 14/38
Estudando as funções básicasProf. Marcelo Gama
Será necessário conhecer as derivadas das funções básicas
Trigonométricas 2:
◦ Função: y = tg x
◦ Derivada: y′ = sec2 x
◦ Função: y = cotg x
◦ Derivada: y′ = −cossec2 x
2. Estudando as funções básicas 14/38
Estudando as funções básicasProf. Marcelo Gama
Será necessário conhecer as derivadas das funções básicas
Trigonométricas 2:
◦ Função: y = tg x
◦ Derivada: y′ = sec2 x
◦ Função: y = cotg x
◦ Derivada: y′ = −cossec2 x
2. Estudando as funções básicas 14/38
Estudando as funções básicasProf. Marcelo Gama
Será necessário conhecer as derivadas das funções básicas
Trigonométricas 2:
◦ Função: y = tg x
◦ Derivada: y′ = sec2 x
◦ Função: y = cotg x
◦ Derivada: y′ = −cossec2 x
2. Estudando as funções básicas 14/38
Estudando as funções básicasProf. Marcelo Gama
Será necessário conhecer as derivadas das funções básicas
Trigonométricas 2:
◦ Função: y = tg x
◦ Derivada: y′ = sec2 x
◦ Função: y = cotg x
◦ Derivada: y′ = −cossec2 x
2. Estudando as funções básicas 14/38
Estudando as funções básicasProf. Marcelo Gama
Será necessário conhecer as derivadas das funções básicas
Trigonométricas 3:
◦ Função: y = sec x
◦ Derivada: y′ = sec x · tg x
◦ Função: y = cossec x
◦ Derivada: y′ = −cossec x · cotg x
2. Estudando as funções básicas 15/38
Estudando as funções básicasProf. Marcelo Gama
Será necessário conhecer as derivadas das funções básicas
Trigonométricas 3:
◦ Função: y = sec x
◦ Derivada: y′ = sec x · tg x
◦ Função: y = cossec x
◦ Derivada: y′ = −cossec x · cotg x
2. Estudando as funções básicas 15/38
Estudando as funções básicasProf. Marcelo Gama
Será necessário conhecer as derivadas das funções básicas
Trigonométricas 3:
◦ Função: y = sec x
◦ Derivada: y′ = sec x · tg x
◦ Função: y = cossec x
◦ Derivada: y′ = −cossec x · cotg x
2. Estudando as funções básicas 15/38
Estudando as funções básicasProf. Marcelo Gama
Será necessário conhecer as derivadas das funções básicas
Trigonométricas 3:
◦ Função: y = sec x
◦ Derivada: y′ = sec x · tg x
◦ Função: y = cossec x
◦ Derivada: y′ = −cossec x · cotg x
2. Estudando as funções básicas 15/38
Estudando as funções básicasProf. Marcelo Gama
Será necessário conhecer as derivadas das funções básicas
Trigonométricas 3:
◦ Função: y = sec x
◦ Derivada: y′ = sec x · tg x
◦ Função: y = cossec x
◦ Derivada: y′ = −cossec x · cotg x
2. Estudando as funções básicas 15/38
Estudando as funções básicasProf. Marcelo Gama
Será necessário conhecer as derivadas das funções básicas
Trigonométricas 3:
◦ Função: y = sec x
◦ Derivada: y′ = sec x · tg x
◦ Função: y = cossec x
◦ Derivada: y′ = −cossec x · cotg x
2. Estudando as funções básicas 15/38
Estudando as funções básicasProf. Marcelo Gama
Será necessário conhecer as derivadas das funções básicas
Trigonométricas inversas 1:
◦ Função: y = arcsen x
◦ Derivada: y′ = 1√1−x2
◦ Função: y = arccos x
◦ Derivada: y′ = − 1√1−x2
2. Estudando as funções básicas 16/38
Estudando as funções básicasProf. Marcelo Gama
Será necessário conhecer as derivadas das funções básicas
Trigonométricas inversas 1:
◦ Função: y = arcsen x
◦ Derivada: y′ = 1√1−x2
◦ Função: y = arccos x
◦ Derivada: y′ = − 1√1−x2
2. Estudando as funções básicas 16/38
Estudando as funções básicasProf. Marcelo Gama
Será necessário conhecer as derivadas das funções básicas
Trigonométricas inversas 1:
◦ Função: y = arcsen x
◦ Derivada: y′ = 1√1−x2
◦ Função: y = arccos x
◦ Derivada: y′ = − 1√1−x2
2. Estudando as funções básicas 16/38
Estudando as funções básicasProf. Marcelo Gama
Será necessário conhecer as derivadas das funções básicas
Trigonométricas inversas 1:
◦ Função: y = arcsen x
◦ Derivada: y′ = 1√1−x2
◦ Função: y = arccos x
◦ Derivada: y′ = − 1√1−x2
2. Estudando as funções básicas 16/38
Estudando as funções básicasProf. Marcelo Gama
Será necessário conhecer as derivadas das funções básicas
Trigonométricas inversas 1:
◦ Função: y = arcsen x
◦ Derivada: y′ = 1√1−x2
◦ Função: y = arccos x
◦ Derivada: y′ = − 1√1−x2
2. Estudando as funções básicas 16/38
Estudando as funções básicasProf. Marcelo Gama
Será necessário conhecer as derivadas das funções básicas
Trigonométricas inversas 1:
◦ Função: y = arcsen x
◦ Derivada: y′ = 1√1−x2
◦ Função: y = arccos x
◦ Derivada: y′ = − 1√1−x2
2. Estudando as funções básicas 16/38
Estudando as funções básicasProf. Marcelo Gama
Será necessário conhecer as derivadas das funções básicas
Trigonométricas inversas 2:
◦ Função: y = arctg x
◦ Derivada: y′ = 11+x2
◦ Função: y = arccotg x
◦ Derivada: y′ = − 11+x2
2. Estudando as funções básicas 17/38
Estudando as funções básicasProf. Marcelo Gama
Será necessário conhecer as derivadas das funções básicas
Trigonométricas inversas 2:
◦ Função: y = arctg x
◦ Derivada: y′ = 11+x2
◦ Função: y = arccotg x
◦ Derivada: y′ = − 11+x2
2. Estudando as funções básicas 17/38
Estudando as funções básicasProf. Marcelo Gama
Será necessário conhecer as derivadas das funções básicas
Trigonométricas inversas 2:
◦ Função: y = arctg x
◦ Derivada: y′ = 11+x2
◦ Função: y = arccotg x
◦ Derivada: y′ = − 11+x2
2. Estudando as funções básicas 17/38
Estudando as funções básicasProf. Marcelo Gama
Será necessário conhecer as derivadas das funções básicas
Trigonométricas inversas 2:
◦ Função: y = arctg x
◦ Derivada: y′ = 11+x2
◦ Função: y = arccotg x
◦ Derivada: y′ = − 11+x2
2. Estudando as funções básicas 17/38
Estudando as funções básicasProf. Marcelo Gama
Será necessário conhecer as derivadas das funções básicas
Trigonométricas inversas 2:
◦ Função: y = arctg x
◦ Derivada: y′ = 11+x2
◦ Função: y = arccotg x
◦ Derivada: y′ = − 11+x2
2. Estudando as funções básicas 17/38
Estudando as funções básicasProf. Marcelo Gama
Será necessário conhecer as derivadas das funções básicas
Trigonométricas inversas 2:
◦ Função: y = arctg x
◦ Derivada: y′ = 11+x2
◦ Função: y = arccotg x
◦ Derivada: y′ = − 11+x2
2. Estudando as funções básicas 17/38
Estudando as funções básicasProf. Marcelo Gama
Será necessário conhecer as derivadas das funções básicas
Trigonométricas inversas 3:
◦ Função: y = arcsec x
◦ Derivada: y′ = 1|x|√x2−1
◦ Função: y = arccossec x
◦ Derivada: y′ = − 1|x|√x2−1
2. Estudando as funções básicas 18/38
Estudando as funções básicasProf. Marcelo Gama
Será necessário conhecer as derivadas das funções básicas
Trigonométricas inversas 3:
◦ Função: y = arcsec x
◦ Derivada: y′ = 1|x|√x2−1
◦ Função: y = arccossec x
◦ Derivada: y′ = − 1|x|√x2−1
2. Estudando as funções básicas 18/38
Estudando as funções básicasProf. Marcelo Gama
Será necessário conhecer as derivadas das funções básicas
Trigonométricas inversas 3:
◦ Função: y = arcsec x
◦ Derivada: y′ = 1|x|√x2−1
◦ Função: y = arccossec x
◦ Derivada: y′ = − 1|x|√x2−1
2. Estudando as funções básicas 18/38
Estudando as funções básicasProf. Marcelo Gama
Será necessário conhecer as derivadas das funções básicas
Trigonométricas inversas 3:
◦ Função: y = arcsec x
◦ Derivada: y′ = 1|x|√x2−1
◦ Função: y = arccossec x
◦ Derivada: y′ = − 1|x|√x2−1
2. Estudando as funções básicas 18/38
Estudando as funções básicasProf. Marcelo Gama
Será necessário conhecer as derivadas das funções básicas
Trigonométricas inversas 3:
◦ Função: y = arcsec x
◦ Derivada: y′ = 1|x|√x2−1
◦ Função: y = arccossec x
◦ Derivada: y′ = − 1|x|√x2−1
2. Estudando as funções básicas 18/38
Estudando as funções básicasProf. Marcelo Gama
Será necessário conhecer as derivadas das funções básicas
Trigonométricas inversas 3:
◦ Função: y = arcsec x
◦ Derivada: y′ = 1|x|√x2−1
◦ Função: y = arccossec x
◦ Derivada: y′ = − 1|x|√x2−1
2. Estudando as funções básicas 18/38
Prof. Marcelo Gama
Desmontando �nções compµtasem suas componentes básicas
3. Desmontando funções compostas 19/38
Desmontando funções compostasProf. Marcelo Gama
Exemplo 1: f(x) = e3x
◦ Componente 1: p(x) = 3x
◦ Derivada 1: p′(x) = 3
3. Desmontando funções compostas 20/38
Desmontando funções compostasProf. Marcelo Gama
Exemplo 1: f(x) = e3x
◦ Componente 1: p(x) = 3x
◦ Derivada 1: p′(x) = 3
3. Desmontando funções compostas 20/38
Desmontando funções compostasProf. Marcelo Gama
Exemplo 1: f(x) = e3x
◦ Componente 1: p(x) = 3x
◦ Derivada 1: p′(x) = 3
3. Desmontando funções compostas 20/38
Desmontando funções compostasProf. Marcelo Gama
Exemplo 1: f(x) = e3x
◦ Função: f(x) = ep(x)
◦ Componente 2: q(t) = et
◦ Derivada 2: q′(t) = et
◦ Composição: q(p(x)) = ep(x) = e3x = f(x)
3. Desmontando funções compostas 21/38
Desmontando funções compostasProf. Marcelo Gama
Exemplo 1: f(x) = e3x
◦ Função: f(x) = ep(x)
◦ Componente 2: q(t) = et
◦ Derivada 2: q′(t) = et
◦ Composição: q(p(x)) = ep(x) = e3x = f(x)
3. Desmontando funções compostas 21/38
Desmontando funções compostasProf. Marcelo Gama
Exemplo 1: f(x) = e3x
◦ Função: f(x) = ep(x)
◦ Componente 2: q(t) = et
◦ Derivada 2: q′(t) = et
◦ Composição: q(p(x)) = ep(x) = e3x = f(x)
3. Desmontando funções compostas 21/38
Desmontando funções compostasProf. Marcelo Gama
Exemplo 1: f(x) = e3x
◦ Função: f(x) = ep(x)
◦ Componente 2: q(t) = et
◦ Derivada 2: q′(t) = et
◦ Composição: q(p(x)) = ep(x) = e3x = f(x)
3. Desmontando funções compostas 21/38
Desmontando funções compostasProf. Marcelo Gama
Exemplo 1: f(x) = e3x
◦ Função: f(x) = ep(x)
◦ Componente 2: q(t) = et
◦ Derivada 2: q′(t) = et
◦ Composição: q(p(x)) = ep(x) = e3x = f(x)
3. Desmontando funções compostas 21/38
Desmontando funções compostasProf. Marcelo Gama
Exemplo 1: f(x) = e3x
◦ Função: f(x) = q(p(x))
◦ Regra da cadeia: f ′(x) = q′(p(x)) · p′(x)
◦ Componentes: q′(t) = et, p′(x) = 3
◦ Derivada
f ′(x) = q′(3x) · p′(x)= e3x · 3 = 3e3x
3. Desmontando funções compostas 22/38
Desmontando funções compostasProf. Marcelo Gama
Exemplo 1: f(x) = e3x
◦ Função: f(x) = q(p(x))
◦ Regra da cadeia: f ′(x) = q′(p(x)) · p′(x)
◦ Componentes: q′(t) = et, p′(x) = 3
◦ Derivada
f ′(x) = q′(3x) · p′(x)= e3x · 3 = 3e3x
3. Desmontando funções compostas 22/38
Desmontando funções compostasProf. Marcelo Gama
Exemplo 1: f(x) = e3x
◦ Função: f(x) = q(p(x))
◦ Regra da cadeia: f ′(x) = q′(p(x)) · p′(x)
◦ Componentes: q′(t) = et, p′(x) = 3
◦ Derivada
f ′(x) = q′(3x) · p′(x)= e3x · 3 = 3e3x
3. Desmontando funções compostas 22/38
Desmontando funções compostasProf. Marcelo Gama
Exemplo 1: f(x) = e3x
◦ Função: f(x) = q(p(x))
◦ Regra da cadeia: f ′(x) = q′(p(x)) · p′(x)
◦ Componentes: q′(t) = et, p′(x) = 3
◦ Derivada
f ′(x) = q′(3x) · p′(x)= e3x · 3 = 3e3x
3. Desmontando funções compostas 22/38
Desmontando funções compostasProf. Marcelo Gama
Exemplo 1: f(x) = e3x
◦ Função: f(x) = q(p(x))
◦ Regra da cadeia: f ′(x) = q′(p(x)) · p′(x)
◦ Componentes: q′(t) = et, p′(x) = 3
◦ Derivada
f ′(x) = q′(3x) · p′(x)= e3x · 3 = 3e3x
3. Desmontando funções compostas 22/38
Desmontando funções compostasProf. Marcelo Gama
Exemplo 1: f(x) = e3x
◦ Função: f(x) = q(p(x))
◦ Regra da cadeia: f ′(x) = q′(p(x)) · p′(x)
◦ Componentes: q′(t) = et, p′(x) = 3
◦ Derivada
f ′(x) = q′(3x) · p′(x)= e3x · 3 = 3e3x
3. Desmontando funções compostas 22/38
Desmontando funções compostasProf. Marcelo Gama
Exemplo 1: f(x) = e3x
◦ Função: f(x) = q(p(x))
◦ Regra da cadeia: f ′(x) = q′(p(x)) · p′(x)
◦ Componentes: q′(t) = et, p′(x) = 3
◦ Derivada
f ′(x) = q′(3x) · p′(x)= e3x · 3 = 3e3x
3. Desmontando funções compostas 22/38
Desmontando funções compostasProf. Marcelo Gama
Exemplo 2: f(x) =((x2 + 1)10 + 1
)8
◦ Componente 1: p(x) = x2 + 1
◦ Derivada 1: p′(x) = 2x
3. Desmontando funções compostas 23/38
Desmontando funções compostasProf. Marcelo Gama
Exemplo 2: f(x) =((x2 + 1)10 + 1
)8◦ Componente 1: p(x) = x2 + 1
◦ Derivada 1: p′(x) = 2x
3. Desmontando funções compostas 23/38
Desmontando funções compostasProf. Marcelo Gama
Exemplo 2: f(x) =((x2 + 1)10 + 1
)8◦ Componente 1: p(x) = x2 + 1
◦ Derivada 1: p′(x) = 2x
3. Desmontando funções compostas 23/38
Desmontando funções compostasProf. Marcelo Gama
Exemplo 2: f(x) =((x2 + 1)10 + 1
)8
◦ Função: f(x) =(p(x)10 + 1
)8◦ Componente 2: q(t) = t10 + 1
◦ Derivada 2: q′(t) = 10t9
◦ Composição: q(p(x)) = p(x)10 + 1 = (x2 + 1)10 + 1
3. Desmontando funções compostas 24/38
Desmontando funções compostasProf. Marcelo Gama
Exemplo 2: f(x) =((x2 + 1)10 + 1
)8◦ Função: f(x) =
(p(x)10 + 1
)8
◦ Componente 2: q(t) = t10 + 1
◦ Derivada 2: q′(t) = 10t9
◦ Composição: q(p(x)) = p(x)10 + 1 = (x2 + 1)10 + 1
3. Desmontando funções compostas 24/38
Desmontando funções compostasProf. Marcelo Gama
Exemplo 2: f(x) =((x2 + 1)10 + 1
)8◦ Função: f(x) =
(p(x)10 + 1
)8◦ Componente 2: q(t) = t10 + 1
◦ Derivada 2: q′(t) = 10t9
◦ Composição: q(p(x)) = p(x)10 + 1 = (x2 + 1)10 + 1
3. Desmontando funções compostas 24/38
Desmontando funções compostasProf. Marcelo Gama
Exemplo 2: f(x) =((x2 + 1)10 + 1
)8◦ Função: f(x) =
(p(x)10 + 1
)8◦ Componente 2: q(t) = t10 + 1
◦ Derivada 2: q′(t) = 10t9
◦ Composição: q(p(x)) = p(x)10 + 1 = (x2 + 1)10 + 1
3. Desmontando funções compostas 24/38
Desmontando funções compostasProf. Marcelo Gama
Exemplo 2: f(x) =((x2 + 1)10 + 1
)8◦ Função: f(x) =
(p(x)10 + 1
)8◦ Componente 2: q(t) = t10 + 1
◦ Derivada 2: q′(t) = 10t9
◦ Composição: q(p(x)) = p(x)10 + 1 = (x2 + 1)10 + 1
3. Desmontando funções compostas 24/38
Desmontando funções compostasProf. Marcelo Gama
Exemplo 2: f(x) =((x2 + 1)10 + 1
)8
◦ Função: f(x) = (q(p(x)))8
◦ Componente 3: r(z) = z8
◦ Derivada 3: r′(z) = 8z7
◦ Composição:r(q(p(x))) = q(p(x))8 = ((x2 + 1)10 + 1)8 = f(x)
3. Desmontando funções compostas 25/38
Desmontando funções compostasProf. Marcelo Gama
Exemplo 2: f(x) =((x2 + 1)10 + 1
)8◦ Função: f(x) = (q(p(x)))8
◦ Componente 3: r(z) = z8
◦ Derivada 3: r′(z) = 8z7
◦ Composição:r(q(p(x))) = q(p(x))8 = ((x2 + 1)10 + 1)8 = f(x)
3. Desmontando funções compostas 25/38
Desmontando funções compostasProf. Marcelo Gama
Exemplo 2: f(x) =((x2 + 1)10 + 1
)8◦ Função: f(x) = (q(p(x)))8
◦ Componente 3: r(z) = z8
◦ Derivada 3: r′(z) = 8z7
◦ Composição:r(q(p(x))) = q(p(x))8 = ((x2 + 1)10 + 1)8 = f(x)
3. Desmontando funções compostas 25/38
Desmontando funções compostasProf. Marcelo Gama
Exemplo 2: f(x) =((x2 + 1)10 + 1
)8◦ Função: f(x) = (q(p(x)))8
◦ Componente 3: r(z) = z8
◦ Derivada 3: r′(z) = 8z7
◦ Composição:r(q(p(x))) = q(p(x))8 = ((x2 + 1)10 + 1)8 = f(x)
3. Desmontando funções compostas 25/38
Desmontando funções compostasProf. Marcelo Gama
Exemplo 2: f(x) =((x2 + 1)10 + 1
)8◦ Função: f(x) = (q(p(x)))8
◦ Componente 3: r(z) = z8
◦ Derivada 3: r′(z) = 8z7
◦ Composição:r(q(p(x))) = q(p(x))8 = ((x2 + 1)10 + 1)8 = f(x)
3. Desmontando funções compostas 25/38
Desmontando funções compostasProf. Marcelo Gama
Exemplo 2: f(x) =((x2 + 1)10 + 1
)8
◦ Função: f(x) = r(q(p(x)))
◦ Regra da cadeia: f ′(x) = r′(q(p(x))) · q′(p(x)) · p′(x)
◦ Componentes: r′(z) = 8z7, q′(t) = 10t9, p′(x) = 2x
◦ Derivada
f ′(x) = r′((x2 + 1)10 + 1) · q′(x2 + 1) · p′(x)= 8((x2 + 1)10 + 1)7 · 10(x2 + 1)9 · (2x)= 160((x2 + 1)10 + 1)7 · (x2 + 1)9 · x
3. Desmontando funções compostas 26/38
Desmontando funções compostasProf. Marcelo Gama
Exemplo 2: f(x) =((x2 + 1)10 + 1
)8◦ Função: f(x) = r(q(p(x)))
◦ Regra da cadeia: f ′(x) = r′(q(p(x))) · q′(p(x)) · p′(x)
◦ Componentes: r′(z) = 8z7, q′(t) = 10t9, p′(x) = 2x
◦ Derivada
f ′(x) = r′((x2 + 1)10 + 1) · q′(x2 + 1) · p′(x)= 8((x2 + 1)10 + 1)7 · 10(x2 + 1)9 · (2x)= 160((x2 + 1)10 + 1)7 · (x2 + 1)9 · x
3. Desmontando funções compostas 26/38
Desmontando funções compostasProf. Marcelo Gama
Exemplo 2: f(x) =((x2 + 1)10 + 1
)8◦ Função: f(x) = r(q(p(x)))
◦ Regra da cadeia: f ′(x) = r′(q(p(x))) · q′(p(x)) · p′(x)
◦ Componentes: r′(z) = 8z7, q′(t) = 10t9, p′(x) = 2x
◦ Derivada
f ′(x) = r′((x2 + 1)10 + 1) · q′(x2 + 1) · p′(x)= 8((x2 + 1)10 + 1)7 · 10(x2 + 1)9 · (2x)= 160((x2 + 1)10 + 1)7 · (x2 + 1)9 · x
3. Desmontando funções compostas 26/38
Desmontando funções compostasProf. Marcelo Gama
Exemplo 2: f(x) =((x2 + 1)10 + 1
)8◦ Função: f(x) = r(q(p(x)))
◦ Regra da cadeia: f ′(x) = r′(q(p(x))) · q′(p(x)) · p′(x)
◦ Componentes: r′(z) = 8z7, q′(t) = 10t9, p′(x) = 2x
◦ Derivada
f ′(x) = r′((x2 + 1)10 + 1) · q′(x2 + 1) · p′(x)= 8((x2 + 1)10 + 1)7 · 10(x2 + 1)9 · (2x)= 160((x2 + 1)10 + 1)7 · (x2 + 1)9 · x
3. Desmontando funções compostas 26/38
Desmontando funções compostasProf. Marcelo Gama
Exemplo 2: f(x) =((x2 + 1)10 + 1
)8◦ Função: f(x) = r(q(p(x)))
◦ Regra da cadeia: f ′(x) = r′(q(p(x))) · q′(p(x)) · p′(x)
◦ Componentes: r′(z) = 8z7, q′(t) = 10t9, p′(x) = 2x
◦ Derivada
f ′(x) = r′((x2 + 1)10 + 1) · q′(x2 + 1) · p′(x)= 8((x2 + 1)10 + 1)7 · 10(x2 + 1)9 · (2x)= 160((x2 + 1)10 + 1)7 · (x2 + 1)9 · x
3. Desmontando funções compostas 26/38
Desmontando funções compostasProf. Marcelo Gama
Exemplo 2: f(x) =((x2 + 1)10 + 1
)8◦ Função: f(x) = r(q(p(x)))
◦ Regra da cadeia: f ′(x) = r′(q(p(x))) · q′(p(x)) · p′(x)
◦ Componentes: r′(z) = 8z7, q′(t) = 10t9, p′(x) = 2x
◦ Derivada
f ′(x) = r′((x2 + 1)10 + 1) · q′(x2 + 1) · p′(x)
= 8((x2 + 1)10 + 1)7 · 10(x2 + 1)9 · (2x)= 160((x2 + 1)10 + 1)7 · (x2 + 1)9 · x
3. Desmontando funções compostas 26/38
Desmontando funções compostasProf. Marcelo Gama
Exemplo 2: f(x) =((x2 + 1)10 + 1
)8◦ Função: f(x) = r(q(p(x)))
◦ Regra da cadeia: f ′(x) = r′(q(p(x))) · q′(p(x)) · p′(x)
◦ Componentes: r′(z) = 8z7, q′(t) = 10t9, p′(x) = 2x
◦ Derivada
f ′(x) = r′((x2 + 1)10 + 1) · q′(x2 + 1) · p′(x)= 8((x2 + 1)10 + 1)7 · 10(x2 + 1)9 · (2x)
= 160((x2 + 1)10 + 1)7 · (x2 + 1)9 · x
3. Desmontando funções compostas 26/38
Desmontando funções compostasProf. Marcelo Gama
Exemplo 2: f(x) =((x2 + 1)10 + 1
)8◦ Função: f(x) = r(q(p(x)))
◦ Regra da cadeia: f ′(x) = r′(q(p(x))) · q′(p(x)) · p′(x)
◦ Componentes: r′(z) = 8z7, q′(t) = 10t9, p′(x) = 2x
◦ Derivada
f ′(x) = r′((x2 + 1)10 + 1) · q′(x2 + 1) · p′(x)= 8((x2 + 1)10 + 1)7 · 10(x2 + 1)9 · (2x)= 160((x2 + 1)10 + 1)7 · (x2 + 1)9 · x
3. Desmontando funções compostas 26/38
Prof. Marcelo Gama
F� mais um!
4. Faz mais um! 27/38
Faz mais um! Prof. Marcelo Gama
Exemplo 3: f(x) = sen(x5)
◦ Componente 1: p(x) = x5
◦ Derivada 1: p′(x) = 5x4
4. Faz mais um! 28/38
Faz mais um! Prof. Marcelo Gama
Exemplo 3: f(x) = sen(x5)
◦ Componente 1: p(x) = x5
◦ Derivada 1: p′(x) = 5x4
4. Faz mais um! 28/38
Faz mais um! Prof. Marcelo Gama
Exemplo 3: f(x) = sen(x5)
◦ Componente 1: p(x) = x5
◦ Derivada 1: p′(x) = 5x4
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Exemplo 3: f(x) = sen(x5)
◦ Função: f(x) = sen(p(x))
◦ Componente 2: q(t) = sen(t)
◦ Derivada 2: q′(t) = cos(t)
◦ Composição:q(p(x)) = sen(p(x)) = sen(x5) = f(x)
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Exemplo 3: f(x) = sen(x5)
◦ Função: f(x) = sen(p(x))
◦ Componente 2: q(t) = sen(t)
◦ Derivada 2: q′(t) = cos(t)
◦ Composição:q(p(x)) = sen(p(x)) = sen(x5) = f(x)
4. Faz mais um! 29/38
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Exemplo 3: f(x) = sen(x5)
◦ Função: f(x) = sen(p(x))
◦ Componente 2: q(t) = sen(t)
◦ Derivada 2: q′(t) = cos(t)
◦ Composição:q(p(x)) = sen(p(x)) = sen(x5) = f(x)
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Exemplo 3: f(x) = sen(x5)
◦ Função: f(x) = sen(p(x))
◦ Componente 2: q(t) = sen(t)
◦ Derivada 2: q′(t) = cos(t)
◦ Composição:q(p(x)) = sen(p(x)) = sen(x5) = f(x)
4. Faz mais um! 29/38
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Exemplo 3: f(x) = sen(x5)
◦ Função: f(x) = sen(p(x))
◦ Componente 2: q(t) = sen(t)
◦ Derivada 2: q′(t) = cos(t)
◦ Composição:q(p(x)) = sen(p(x)) = sen(x5) = f(x)
4. Faz mais um! 29/38
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Exemplo 3: f(x) = sen(x5)
◦ Função: f(x) = q(p(x))
◦ Regra da cadeia: f ′(x) = q′(p(x)) · p′(x)
◦ Componentes: q′(t) = cos(t), p′(x) = 5x4
◦ Derivada
f ′(x) = q′(x5) · p′(x)= cos(x5) · 5x4
= 5x4cos(x5)
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Exemplo 3: f(x) = sen(x5)
◦ Função: f(x) = q(p(x))
◦ Regra da cadeia: f ′(x) = q′(p(x)) · p′(x)
◦ Componentes: q′(t) = cos(t), p′(x) = 5x4
◦ Derivada
f ′(x) = q′(x5) · p′(x)= cos(x5) · 5x4
= 5x4cos(x5)
4. Faz mais um! 30/38
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Exemplo 3: f(x) = sen(x5)
◦ Função: f(x) = q(p(x))
◦ Regra da cadeia: f ′(x) = q′(p(x)) · p′(x)
◦ Componentes: q′(t) = cos(t), p′(x) = 5x4
◦ Derivada
f ′(x) = q′(x5) · p′(x)= cos(x5) · 5x4
= 5x4cos(x5)
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Exemplo 3: f(x) = sen(x5)
◦ Função: f(x) = q(p(x))
◦ Regra da cadeia: f ′(x) = q′(p(x)) · p′(x)
◦ Componentes: q′(t) = cos(t), p′(x) = 5x4
◦ Derivada
f ′(x) = q′(x5) · p′(x)= cos(x5) · 5x4
= 5x4cos(x5)
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Exemplo 3: f(x) = sen(x5)
◦ Função: f(x) = q(p(x))
◦ Regra da cadeia: f ′(x) = q′(p(x)) · p′(x)
◦ Componentes: q′(t) = cos(t), p′(x) = 5x4
◦ Derivada
f ′(x) = q′(x5) · p′(x)= cos(x5) · 5x4
= 5x4cos(x5)
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Exemplo 3: f(x) = sen(x5)
◦ Função: f(x) = q(p(x))
◦ Regra da cadeia: f ′(x) = q′(p(x)) · p′(x)
◦ Componentes: q′(t) = cos(t), p′(x) = 5x4
◦ Derivada
f ′(x) = q′(x5) · p′(x)
= cos(x5) · 5x4
= 5x4cos(x5)
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Exemplo 3: f(x) = sen(x5)
◦ Função: f(x) = q(p(x))
◦ Regra da cadeia: f ′(x) = q′(p(x)) · p′(x)
◦ Componentes: q′(t) = cos(t), p′(x) = 5x4
◦ Derivada
f ′(x) = q′(x5) · p′(x)= cos(x5) · 5x4
= 5x4cos(x5)
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Exemplo 3: f(x) = sen(x5)
◦ Função: f(x) = q(p(x))
◦ Regra da cadeia: f ′(x) = q′(p(x)) · p′(x)
◦ Componentes: q′(t) = cos(t), p′(x) = 5x4
◦ Derivada
f ′(x) = q′(x5) · p′(x)= cos(x5) · 5x4
= 5x4cos(x5)
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Exemplo 4: f(x) = sen2 x
◦ Função: f(x) = (sen x)2
◦ Componente 1: p(x) = sen x
◦ Derivada 1: p′(x) = cos x
4. Faz mais um! 31/38
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Exemplo 4: f(x) = sen2 x
◦ Função: f(x) = (sen x)2
◦ Componente 1: p(x) = sen x
◦ Derivada 1: p′(x) = cos x
4. Faz mais um! 31/38
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Exemplo 4: f(x) = sen2 x
◦ Função: f(x) = (sen x)2
◦ Componente 1: p(x) = sen x
◦ Derivada 1: p′(x) = cos x
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Exemplo 4: f(x) = sen2 x
◦ Função: f(x) = (sen x)2
◦ Componente 1: p(x) = sen x
◦ Derivada 1: p′(x) = cos x
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Exemplo 4: f(x) = sen2 x
◦ Função: f(x) = (p(x))2
◦ Componente 2: q(t) = t2
◦ Derivada 2: q′(t) = 2t
◦ Composição: q(p(x)) = (p(x))2 = (sen x)2 = f(x)
4. Faz mais um! 32/38
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Exemplo 4: f(x) = sen2 x
◦ Função: f(x) = (p(x))2
◦ Componente 2: q(t) = t2
◦ Derivada 2: q′(t) = 2t
◦ Composição: q(p(x)) = (p(x))2 = (sen x)2 = f(x)
4. Faz mais um! 32/38
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Exemplo 4: f(x) = sen2 x
◦ Função: f(x) = (p(x))2
◦ Componente 2: q(t) = t2
◦ Derivada 2: q′(t) = 2t
◦ Composição: q(p(x)) = (p(x))2 = (sen x)2 = f(x)
4. Faz mais um! 32/38
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Exemplo 4: f(x) = sen2 x
◦ Função: f(x) = (p(x))2
◦ Componente 2: q(t) = t2
◦ Derivada 2: q′(t) = 2t
◦ Composição: q(p(x)) = (p(x))2 = (sen x)2 = f(x)
4. Faz mais um! 32/38
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Exemplo 4: f(x) = sen2 x
◦ Função: f(x) = (p(x))2
◦ Componente 2: q(t) = t2
◦ Derivada 2: q′(t) = 2t
◦ Composição: q(p(x)) = (p(x))2 = (sen x)2 = f(x)
4. Faz mais um! 32/38
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Exemplo 4: f(x) = sen2 x
◦ Função: f(x) = q(p(x))
◦ Regra da cadeia: f ′(x) = q′(p(x)) · p′(x)
◦ Componentes: q′(t) = 2t, p′(x) = cos x
◦ Derivada
f ′(x) = q′(sen x) · p′(x)= 2sen x · cos x = 2sen x cos x
4. Faz mais um! 33/38
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Exemplo 4: f(x) = sen2 x
◦ Função: f(x) = q(p(x))
◦ Regra da cadeia: f ′(x) = q′(p(x)) · p′(x)
◦ Componentes: q′(t) = 2t, p′(x) = cos x
◦ Derivada
f ′(x) = q′(sen x) · p′(x)= 2sen x · cos x = 2sen x cos x
4. Faz mais um! 33/38
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Exemplo 4: f(x) = sen2 x
◦ Função: f(x) = q(p(x))
◦ Regra da cadeia: f ′(x) = q′(p(x)) · p′(x)
◦ Componentes: q′(t) = 2t, p′(x) = cos x
◦ Derivada
f ′(x) = q′(sen x) · p′(x)= 2sen x · cos x = 2sen x cos x
4. Faz mais um! 33/38
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Exemplo 4: f(x) = sen2 x
◦ Função: f(x) = q(p(x))
◦ Regra da cadeia: f ′(x) = q′(p(x)) · p′(x)
◦ Componentes: q′(t) = 2t, p′(x) = cos x
◦ Derivada
f ′(x) = q′(sen x) · p′(x)= 2sen x · cos x = 2sen x cos x
4. Faz mais um! 33/38
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Exemplo 4: f(x) = sen2 x
◦ Função: f(x) = q(p(x))
◦ Regra da cadeia: f ′(x) = q′(p(x)) · p′(x)
◦ Componentes: q′(t) = 2t, p′(x) = cos x
◦ Derivada
f ′(x) = q′(sen x) · p′(x)= 2sen x · cos x = 2sen x cos x
4. Faz mais um! 33/38
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Exemplo 4: f(x) = sen2 x
◦ Função: f(x) = q(p(x))
◦ Regra da cadeia: f ′(x) = q′(p(x)) · p′(x)
◦ Componentes: q′(t) = 2t, p′(x) = cos x
◦ Derivada
f ′(x) = q′(sen x) · p′(x)
= 2sen x · cos x = 2sen x cos x
4. Faz mais um! 33/38
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Exemplo 4: f(x) = sen2 x
◦ Função: f(x) = q(p(x))
◦ Regra da cadeia: f ′(x) = q′(p(x)) · p′(x)
◦ Componentes: q′(t) = 2t, p′(x) = cos x
◦ Derivada
f ′(x) = q′(sen x) · p′(x)= 2sen x · cos x = 2sen x cos x
4. Faz mais um! 33/38
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Exemplo 5: f(x) =√cos2 x+ 5
◦ Componente 1: p(x) = cos x
◦ Derivada 1: p′(x) = −sen x
4. Faz mais um! 34/38
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Exemplo 5: f(x) =√cos2 x+ 5
◦ Componente 1: p(x) = cos x
◦ Derivada 1: p′(x) = −sen x
4. Faz mais um! 34/38
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Exemplo 5: f(x) =√cos2 x+ 5
◦ Componente 1: p(x) = cos x
◦ Derivada 1: p′(x) = −sen x
4. Faz mais um! 34/38
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Exemplo 5: f(x) =√cos2 x+ 5
◦ Função: f(x) =√
p(x)2 + 5
◦ Componente 2: q(t) = t2 + 5
◦ Derivada 2: q′(t) = 2t
◦ Composição: q(p(x)) = p(x)2 + 5 = cos2 x+ 5
4. Faz mais um! 35/38
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Exemplo 5: f(x) =√cos2 x+ 5
◦ Função: f(x) =√
p(x)2 + 5
◦ Componente 2: q(t) = t2 + 5
◦ Derivada 2: q′(t) = 2t
◦ Composição: q(p(x)) = p(x)2 + 5 = cos2 x+ 5
4. Faz mais um! 35/38
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Exemplo 5: f(x) =√cos2 x+ 5
◦ Função: f(x) =√
p(x)2 + 5
◦ Componente 2: q(t) = t2 + 5
◦ Derivada 2: q′(t) = 2t
◦ Composição: q(p(x)) = p(x)2 + 5 = cos2 x+ 5
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Exemplo 5: f(x) =√cos2 x+ 5
◦ Função: f(x) =√
p(x)2 + 5
◦ Componente 2: q(t) = t2 + 5
◦ Derivada 2: q′(t) = 2t
◦ Composição: q(p(x)) = p(x)2 + 5 = cos2 x+ 5
4. Faz mais um! 35/38
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Exemplo 5: f(x) =√cos2 x+ 5
◦ Função: f(x) =√
p(x)2 + 5
◦ Componente 2: q(t) = t2 + 5
◦ Derivada 2: q′(t) = 2t
◦ Composição: q(p(x)) = p(x)2 + 5 = cos2 x+ 5
4. Faz mais um! 35/38
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Exemplo 5: f(x) =√cos2 x+ 5
◦ Função: f(x) =√
q(p(x))
◦ Componente 3: r(z) =√z
◦ Derivada 3: r′(z) = 12√z
◦ Composição:r(q(p(x))) =
√q(p(x)) =
√cos2 x+ 5 = f(x)
4. Faz mais um! 36/38
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Exemplo 5: f(x) =√cos2 x+ 5
◦ Função: f(x) =√
q(p(x))
◦ Componente 3: r(z) =√z
◦ Derivada 3: r′(z) = 12√z
◦ Composição:r(q(p(x))) =
√q(p(x)) =
√cos2 x+ 5 = f(x)
4. Faz mais um! 36/38
Faz mais um! Prof. Marcelo Gama
Exemplo 5: f(x) =√cos2 x+ 5
◦ Função: f(x) =√
q(p(x))
◦ Componente 3: r(z) =√z
◦ Derivada 3: r′(z) = 12√z
◦ Composição:r(q(p(x))) =
√q(p(x)) =
√cos2 x+ 5 = f(x)
4. Faz mais um! 36/38
Faz mais um! Prof. Marcelo Gama
Exemplo 5: f(x) =√cos2 x+ 5
◦ Função: f(x) =√
q(p(x))
◦ Componente 3: r(z) =√z
◦ Derivada 3: r′(z) = 12√z
◦ Composição:r(q(p(x))) =
√q(p(x)) =
√cos2 x+ 5 = f(x)
4. Faz mais um! 36/38
Faz mais um! Prof. Marcelo Gama
Exemplo 5: f(x) =√cos2 x+ 5
◦ Função: f(x) =√
q(p(x))
◦ Componente 3: r(z) =√z
◦ Derivada 3: r′(z) = 12√z
◦ Composição:r(q(p(x))) =
√q(p(x)) =
√cos2 x+ 5 = f(x)
4. Faz mais um! 36/38
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Exemplo 5: f(x) =√cos2 x+ 5
◦ Função: f(x) = r(q(p(x)))
◦ Regra da cadeia: f ′(x) = r′(q(p(x))) · q′(p(x)) · p′(x)
◦ Componentes: r′(z) = 12√z, q′(t) = 2t, p′(x) = −sen x
◦ Derivada
f ′(x) = r′(cos2 x+ 5
)· q′(cos x) · p′(x)
=1
2√cos2 x+ 5
· 2cos x · (−sen x)
= −cos x · sen x√cos2 x+ 5
4. Faz mais um! 37/38
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Exemplo 5: f(x) =√cos2 x+ 5
◦ Função: f(x) = r(q(p(x)))
◦ Regra da cadeia: f ′(x) = r′(q(p(x))) · q′(p(x)) · p′(x)
◦ Componentes: r′(z) = 12√z, q′(t) = 2t, p′(x) = −sen x
◦ Derivada
f ′(x) = r′(cos2 x+ 5
)· q′(cos x) · p′(x)
=1
2√cos2 x+ 5
· 2cos x · (−sen x)
= −cos x · sen x√cos2 x+ 5
4. Faz mais um! 37/38
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Exemplo 5: f(x) =√cos2 x+ 5
◦ Função: f(x) = r(q(p(x)))
◦ Regra da cadeia: f ′(x) = r′(q(p(x))) · q′(p(x)) · p′(x)
◦ Componentes: r′(z) = 12√z, q′(t) = 2t, p′(x) = −sen x
◦ Derivada
f ′(x) = r′(cos2 x+ 5
)· q′(cos x) · p′(x)
=1
2√cos2 x+ 5
· 2cos x · (−sen x)
= −cos x · sen x√cos2 x+ 5
4. Faz mais um! 37/38
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Exemplo 5: f(x) =√cos2 x+ 5
◦ Função: f(x) = r(q(p(x)))
◦ Regra da cadeia: f ′(x) = r′(q(p(x))) · q′(p(x)) · p′(x)
◦ Componentes: r′(z) = 12√z, q′(t) = 2t, p′(x) = −sen x
◦ Derivada
f ′(x) = r′(cos2 x+ 5
)· q′(cos x) · p′(x)
=1
2√cos2 x+ 5
· 2cos x · (−sen x)
= −cos x · sen x√cos2 x+ 5
4. Faz mais um! 37/38
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Exemplo 5: f(x) =√cos2 x+ 5
◦ Função: f(x) = r(q(p(x)))
◦ Regra da cadeia: f ′(x) = r′(q(p(x))) · q′(p(x)) · p′(x)
◦ Componentes: r′(z) = 12√z, q′(t) = 2t, p′(x) = −sen x
◦ Derivada
f ′(x) = r′(cos2 x+ 5
)· q′(cos x) · p′(x)
=1
2√cos2 x+ 5
· 2cos x · (−sen x)
= −cos x · sen x√cos2 x+ 5
4. Faz mais um! 37/38
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Exemplo 5: f(x) =√cos2 x+ 5
◦ Função: f(x) = r(q(p(x)))
◦ Regra da cadeia: f ′(x) = r′(q(p(x))) · q′(p(x)) · p′(x)
◦ Componentes: r′(z) = 12√z, q′(t) = 2t, p′(x) = −sen x
◦ Derivadaf ′(x) = r′
(cos2 x+ 5
)· q′(cos x) · p′(x)
=1
2√cos2 x+ 5
· 2cos x · (−sen x)
= −cos x · sen x√cos2 x+ 5
4. Faz mais um! 37/38
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Exemplo 5: f(x) =√cos2 x+ 5
◦ Função: f(x) = r(q(p(x)))
◦ Regra da cadeia: f ′(x) = r′(q(p(x))) · q′(p(x)) · p′(x)
◦ Componentes: r′(z) = 12√z, q′(t) = 2t, p′(x) = −sen x
◦ Derivadaf ′(x) = r′
(cos2 x+ 5
)· q′(cos x) · p′(x)
=1
2√cos2 x+ 5
· 2cos x · (−sen x)
= −cos x · sen x√cos2 x+ 5
4. Faz mais um! 37/38
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Exemplo 5: f(x) =√cos2 x+ 5
◦ Função: f(x) = r(q(p(x)))
◦ Regra da cadeia: f ′(x) = r′(q(p(x))) · q′(p(x)) · p′(x)
◦ Componentes: r′(z) = 12√z, q′(t) = 2t, p′(x) = −sen x
◦ Derivadaf ′(x) = r′
(cos2 x+ 5
)· q′(cos x) · p′(x)
=1
2√cos2 x+ 5
· 2cos x · (−sen x)
= −cos x · sen x√cos2 x+ 5
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