Relações métricas no triângulo retângulo e na circunferência

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Elementos de um triângulo retânguloO triângulo ABC da figura representa um triângulo retângulo em A .

( é reto)

O lado oposto ao ângulo reto é chamado de hipotenusa.Os outros dois lados são chamados catetos.

Traçando a altura relativa à hipotenusa, temos as medidas h, m e n.

• h: medida da altura relativa à hipotenusa;• m: medida da projeção do cateto

sobre a hipotenusa;• n: medida da projeção do cateto

sobre a hipotenusa.

a

A

B C

bc

cate

to cateto

hipotenusa

CB

A

bc

a

h

m nH

Início SairCapítulo 6 • Relações métricas no triângulo retângulo e na circunferência

Teorema ou relação de Pitágoras

25 = 16 + 9

A relação ou teorema de Pitágoras é enunciada:

Em todo triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa (a) é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos (b e c).

a2 = b2 + c2

5

a cb

C

B

A

4

3 = +

a = 5b = 4 c = 3

a2 b2c2

Vamos exemplificar a relação de Pitágoras vista no ano anterior para um caso particular:


CB

A

bc

a

h

m n

H

Demonstração do teorema de Pitágoras

Vejamos uma demonstração, baseada na semelhança de triângulos.

Considere um triângulo ABC, retângulo em A, com altura relativa à hipotenusa.

Temos que: a = m + n 1

1 2

3


Colocando-os na mesma posição, podemos perceber os ângulos e os lados correspondentes.

Vamos considerar agora os triângulos HBA e ABC.

Os dois triângulos têm um ângulo reto e o ângulo em comum.

O que eles têm em comum?

Assim, os triângulos são semelhantes pelo caso de semelhança AA.

c2 = am 2

ah = bc 3

ch = bm 4

= =

c h

m

c b

a

m h

c

c b

a

1 31

3


Vamos considerar agora os triângulos ABC e HAC.

Os dois triângulos têm um ângulo reto e o ângulo em comum; portanto, são semelhantes.

Novamente, vamos refletir sobre o que eles têm em comum.

b2 = an

bc = ah

bh = nc

5

3

6 c2 = am 2

b2 + c2 = an + am

b2 + c2 = a(n + m)

1a = m + nComo:

Então: b2 + c2 = a2

c b

a

A

CB

A

CH n

bh

3 2


Outras relações métricas importantes no triângulo retângulo1ª relação

Assim como fizemos anteriormente, ao observar os dois triângulos podemos verificar que eles são semelhantes.

Em qualquer triângulo retângulo, o quadrado da medida da altura relativa à hipotenusa é igual ao produto das medidas das projeções dos catetos sobrea hipotenusa.

A

HB

c h

m CH

hb

n= =

De , obtemos que .=

Logo:

h2 = mn

A

1 2


2ª relação

c2 = am b2 = an

Em qualquer triângulo retângulo, o quadrado da medida de um cateto é igual ao produto da medida da hipotenusa pela medida da projeção desse cateto sobre a hipotenusa.

Da demonstração do teorema de Pitágoras, podemos notar que foram estabelecidas outras relações:

3ª relaçãoTambém da demonstração, temos outra relação:

Em qualquer triângulo retângulo, o produto das medidas dos catetos é igual ao produto da medida da hipotenusa pela medida da altura relativa à hipotenusa.

c b

a

A

CB

A

CH n

bh

c

b

a

AC

B

A

CH n

bh

bc = ah

3 2

32


c2 = am

bc = aha = m + n

Resumindo, as relações métricas do triângulo retângulo são:

a2 = b2 + c2

h2 = mn

b2 = anc b

a

m n

h


Aplicações importantes do teorema de PitágorasDiagonal de um quadrado

O triângulo ADC é retângulo em D.

Aplicamos então o teorema de Pitágoras:

Portanto, a medida da diagonal de um quadrado é sempre igual ao produto da medida de um lado por .

Dado um quadrado ABCD qualquer, cujo lado mede ℓ, como encontrar a medida (d) da diagonal desse quadrado em função de ? ℓ

A B

CD

d

ℓ

ℓ ℓ

ℓ

d2 = 2 + 2 ℓ ℓ

d2 = 2ℓ 2

d = ℓ

d = ℓ 2


Altura de um triângulo equilátero

O triângulo ABH é retângulo em H.

Vamos aplicar o teorema de Pitágoras:

Dado um triângulo equilátero ABC qualquer, cujo lado mede ℓ, como podemos encontrar a medida (h) da altura desse triângulo em função de ℓ?

Portanto, a medida da altura é igual ao produto da metade da medida de um lado por .

h2 + = ℓ 2 ℓ h = ou 2 ℓ

h2 = 2 _ 2 ℓ ℓ

h2 = 2 ℓ

h = ou ℓ

h = . ℓ

A

B C

h

H

ℓ ℓ

ℓ

ℓ ℓ


Diagonal de um bloco retangular

Caso particular: diagonal do cubo

Consideremos um bloco retangular cujas arestas medem a, b e c, e cuja diagonal de uma face mede d e a diagonal do bloco retangular mede D.O triângulo BEH é retângulo em E e sua hipotenusa mede D. Mas, para calcular o valor de D, precisamos encontrar o valor de d.

Aplicando o teorema de Pitágoras:

d2 = a2 + b2 D2 = a2 + b2 + c2

O cubo é um caso particular do bloco retangular em que a = b = c = ℓ. Assim:

A

B C

I

E F

HH

D

da

b

c

D =

A

B C

D

I

F

HG

E

d

ℓ ℓ

ℓ

= =D = ℓ 2 + 2 + 2 ℓ ℓ ℓ ℓ2

D2 = d2 + c2


Triângulo inscrito em uma semicircunferênciaQuando um vértice de um triângulo pertence à semicircunferência e os outros dois vértices são extremidades de um diâmetro, dizemos que o triângulo está inscrito em uma semicircunferência.

Todo triângulo inscrito em uma semicircunferência é triângulo retângulo.

A

BOC

A

BOC


Outras situações que envolvem as relações métricas no triângulo retânguloOs ternos pitagóricos

Ternos de números inteiros positivos a, b e c que obedecem à relação a2 = b2 + c2 são chamados ternos pitagóricos.

Tente pensar em um terno pitagórico!

O mais conhecido é: 3, 4 e 5.

3, 4, 55

4

3


Classificação dos triângulos quanto aos ângulos conhecendo-se as medidas de seus três lados

Considere a, b e c as medidas dos três lados de um triângulo, na mesma unidade de medida, com a sendo a medida do lado maior.

Podemos classificar o triângulo com relação a seus ângulos internos:

• Já sabemos que, se a2 = b2 + c2, temos um triângulo retângulo.

• Se a2 > b2 + c2, temos um triângulo obtusângulo.

• Se a2 < b2 + c2, temos um triângulo acutângulo.


Relações métricas na circunferênciaRelação entre duas cordas concorrentes em uma circunferência

Considerando os triângulos APC e DPB, temos:

ângulos inscritos de mesmo arco

ângulos opostos pelo vértice

Podemos concluir, então, que os triângulos são semelhantes. Logo:

Assim, demonstramos que:

Em toda circunferência, quando duas cordas se cruzam, o produto das medidas das duas partes de uma é igual ao produto das medidas das duas partes de outra.

C

DB

A

P

Na circunferência ao lado, e são duas cordas que se cruzam no ponto P.

AP . BP = CP . DP

= =


Relação entre dois segmentos de reta secantes a uma circunferência

Em toda circunferência, se traçamos dois segmentos de reta secantes a partir de um mesmo ponto, o produto da medida de um deles pela medida da sua parte externa é igual ao produto da medida do outro pela medida da sua parte externa.

PA . PB = PC . PD

A B

D

C

P


Relação entre um segmento de reta secante e um segmento de reta tangente a uma circunferência

Observando os triângulos PAC e PBA, temos:

ângulo comum

ângulo de segmento e ângulo inscrito de mesmo arco

A

B

CP

Na circunferência abaixo, a partir do ponto P, temos um segmento de reta tangente e um segmento de reta secante .


Pelo caso AA, os triângulos PAC e PBA são semelhantes. Portanto, os lados homólogos têm medidas proporcionais:

Em toda circunferência, se traçamos, a partir de um mesmo ponto, um segmento de reta tangente e um segmento de reta secante, o quadrado da medida do segmento de reta tangente é igual ao produto da medida do segmento de reta secante pela medida da sua parte externa.

(PA)2 = PB . PC= =

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