Instituto Superior TécnicoDepartamento de Matemática

07-01-2012Código:

3o TESTE DE ÁLGEBRA LINEAR1o SEMESTRE 2011/2012

MEEC

Nome:Número:O teste que vai realizar tem a duração de 1 hora e 30 minutos e consiste naresolução de 5 problemas (6 páginas). Os 3 primeiros são de escolha múltipla;cada resposta em branco vale 0 valores e cada resposta errada vale -1/3 da respectivaclassi�cação. Os problemas 4 e 5 não são de escolha múltipla, devendo por issoapresentar os cálculos efectuados.

Para os 3 primeiros problemas marque as suas escolhas na tabela abaixo

1a 1b 1c 1d 2 3A) �B) � �C) � �D) �

Os quadros abaixo destinam-se à correcção da prova. Por favor nãoescreva nada.

1a 1b 1c 1d 2 3

0.5 0.5 0.5 0.5 2.0 1.0

Nota da escolha múltiplaProb. 4a (1.5 val)Prob. 4b (0.5 val)Prob. 5a (1 val)Prob. 5b (2 val)TOTAL

1

Problema 1: Com a 2 R, seja Ta : R3 ! R3 a transformação linear que na base canónica deR3 é representada pela matriz 24 1 a+ 4 0

0 a+ 5 00 a 5

35

a) (0.5 val) Qual das seguintes a�rmações é verdadeira ?

A) Ta(1; 1; 1)� a(1; 1; 1) = (3; 3; 3) B) Ta(1; 1; 1)� a(1; 1; 1) = (4; 4; 4)

C) Ta(1; 1; 1)� a(1; 1; 1) = (5; 5; 5) D) Ta(1; 1; 1)� a(1; 1; 1) = (6; 6; 6)

b) (0.5 val) Calcule a matriz [Ta]B;B que representa Ta na base B = fv1; v2; v3g, onde

v1 = (1; 0; 0); v2 = (1; 1; 1) e v3 = (0; 0; 1):

A resposta correcta é:

A) [Ta]B;B =

24 1 0 00 a+ 6 00 0 5

35 B) [Ta]B;B =

24 1 0 00 a+ 5 00 0 5

35

C) [Ta]B;B =

24 1 0 00 a� 6 00 0 5

35 D) [Ta]B;B =

24 1 0 00 a� 5 00 0 5

35

c) (0.5 val) Para que valores de a é Ta uma transformação linear bijectiva?A resposta correcta é:

A) a 6= 5 B) a 6= �5 C) a 6= 6 D) a 6= �6

d) (0.5 val) Para a = �4, calcule T�1a (y1; y2; y3) para qualquer (y1; y2; y3) 2 R3.A resposta correcta é:

A) T�1�4 (y1; y2; y3) = (y1; y2;45y2 +

45y3) B) T�1�4 (y1; y2; y3) = (y1; y2;

15y2 +

45y3)

C) T�1�4 (y1; y2; y3) = (y1; y2;45y2 +

15y3) D) T�1�4 (y1; y2; y3) = (y1; y2;

15y2 +

15y3)

2

Problema 2 (2 val): Seja T : P2 ! P2 uma transformação linear no espaço vectorial dospolinómios com coe�cientes reais e grau � 2. Sabendo que os polinómios

p1(t) = 1; p2(t) = 1 + t e p3(t) = t2

são vectores próprios de T associados aos valores próprios �1 = 1, �2 = 5 e �3 = 0, calcule oconjunto das soluções da equação linear T (p(t)) = 30 + 25t.A resposta correcta é:

A) f10 + 5t+ at2 : a 2 Rg B) f5 + 5t+ at2 : a 2 Rg

C) f10 + 10t+ at2 : a 2 Rg D) f5 + 10t+ at2 : a 2 Rg

Problema 3 (1 val): Considere o subespaço de R4 de�nido por

U =�(x1; x2; x3; x4) 2 R4 : x1 + 2x2 + 4x3 + x4 = 0

.

Calcule a distância do vector (1; 0; 0; 1) ao subespaço U . A resposta correcta é:

A)p2814

B)p2613

C)p2412

D)p2211

Nos problemas que se seguem deverá justi�car as suas respostas e apresentar oscálculos efectuados.

3

Problema 4: Considere a matriz

A =

24 5 1 �50 4 50 0 5

35 .a) (1.5 val) Calcule os valores próprios de A e uma base para cada um dos seus subespaçospróprios.

Resposta:

4

b) (0.5 val) Determine uma matriz diagonalD e uma matriz invertível P tais queD = P�1AP .

Resposta:

Problema 5: Sejam U e V espaços vectoriais e T : U ! V uma transformação linear.

a) (1 val) Mostre que se Nuc T = f0g, então T é injectiva.

Resposta:

5

Código: 20461

b) (2 val) Mostre que se Nuc T = f0g e u1; :::; uk 2 U são vectores linearmente independentes,então também os vectores T (u1); :::; T (uk) 2 V são linearmente independentes.

Resposta:

6