concurseiro_estatistico@outlook.com

Enunciado

Preliminares

I Seja uma população �nita de tamanho N , digamos:

U = {1, 2, . . . , N}

I Seja uma amostra de tamanho n :

s = {1, 2, . . . , n}

I Considere o elemento i ∈ U , associamos ao elemento i a probabilidade πi deinclusão na amostra :

πi = P (i ∈ s), i = 1, 2, 3, . . . , N

Preliminares

I Seja δi a variável aleatória que indica a presença da unidade i na amostra s:

δi =

{1, i ∈ s0, i /∈ s

⇒

{P (δi = 1) = πi

P (δi = 0) = 1− πi

I Se (i, j) ∈ U , associamos a probabilidade πi,j de segunda ordem :

πij = P (i ∈ s, j ∈ s)

Preliminares

Veja que

δi δj δiδj P (δiδj = d)

0 0 0 (1− π)20 1 0 (1− π)π1 0 0 π(1− π)1 1 1 π2

Veja que

E(δiδj) = π2

Para a covariância de (δi, δj) :

Cov(δi, δj) = E(δiδj)− E(δi)E(δj) = π2 − π2 ⇒ Cov(δi, δj) = 0

Resolução

54. C � Se gerarmos aleatoriamente

ε1, ε2, ε3, . . . , εN ⇒ Ei ∼ U(0, 1)

P (E < 0, 01) = 0, 01 ⇒ πi = 0, 01, ∀i ∈ 1, . . . , N

OBSERVAÇÃO: Este procedimento é conhecido como amostragem deBernoulli. Os elementos são selecionados com iguais probilidade de inclusão

na amostra.

Resolução

I De maneira geral associamos a cada elemento k da amostra

s = {1, 2, . . . , n}

o valor yk (a variável de interesse!). Na questão 55

yk =

{1, procedente;

0, improcedente.

I Ora, queremos estimar o total populacional y =∑i∈U

yi por uma amostra

s = {y1, y2, . . . , yn}, n << N . Intuitivamente podemos usar

y =∑i∈s

yk ⇒ Estimador Enviesado!

Resolução

I Podemos usar uma combinação linear dos elementos da amostra :

y =∑i∈s

ωkyk

I Vamos reescrever este estimador da seguinte forma :

y =∑i∈U

ωiyiδi

I Queremos atribuir peso à amostra de tal sorte que :

E(y) =∑i∈U

yi ⇒ E

(∑i∈U

ωiyiδi

)=∑i∈U

yi

I Segue-se que:

E(y) =∑i∈U

ωiyiE(δi) =∑i∈s

ωiyiπi =∑i∈U

yi ⇒ ωiπi = 1, logo, ωi =1

πi

Resolução

I Estimador Não Viciado para o total∑i∈U

yi :

y =∑i∈s

ωiyi =∑i∈s

yiπi

I Lembrete V ar(δi) = π(1− π). Calculo da Variância do estimador.

V ar(y) = V ar

(∑i∈U

yiπiδi

)=∑i∈s

(yiπi

)2

V ar(δi) =(1− π)π

∑i∈s

y2i

Resolução

54. C � Cada elemento tem probabilidade de inclusão igual a πi = 0, 01, ∀i ∈ U ;

55. E � O tamanho amostral é uma variável aleatória;

56. E � O estimador da variância é

V ar(y) =(1− π)π

∑i∈s

y2i

;

57. C � O estimador não viciado para o total populacional é

y =∑i∈s

yiπi

=85

0, 01= 8.500

Se substituímos esse valor na questão 56:

V ar(y) =(1− π)π

∑i∈s

y2i = 841.500

PACOTE CESPE/CEBRASPE

I MPU/2013;I STF/2013;I FUB/2013;I FUB/2015;I TCE/2016 - Fiscalização;I TCE/2016 - Administração.