Teste01 b

Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 2010/2011 1

Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis

11º Ano de Matemática – A

Tema I – Geometria no Plano e no Espaço II

1º Teste de avaliação

Grupo I

1. Na figura estão representados, em referencial o.n. xOy, o círculo trigonométrico e um triângulo

[OAB].

Os pontos A e B pertencem à circunferência.

O segmento [AB] é perpendicular ao semieixo positivo Ox.

O conto C é o ponto de intersecção da circunferência com o semieixo

positivo Ox.

Seja α a amplitude do ângulo COA. 0,2

π α ∈

Qual das expressões seguintes dá a área do triângulo [OAB], em função de α ?

(A) tg .senα α (B) sen .cosα α (C) tg .cos

2α α

(D) tg .sen

2α α

2. Num determinado quadrante o seno é negativo e crescente. Nesse quadrante

(A) a tangente é positiva (B) o co-seno é decrescente

(C) a tangente é decrescente (D) o co-seno é positivo

3. A que quadrante pertence o ângulo 73π− ?

(A) 1º (B) 2º (C) 3º (D) 4º

• As cinco questões deste grupo são de escolha múltipla.

• Para cada uma delas são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correcta.

• Escreva na sua folha de respostas a letra correspondente à alternativa que seleccionar para cada questão.

• Se apresentar mais do que uma resposta, a questão será anulada, o mesmo acontecendo se a letra transcrita

for ilegível.

• Não apresente cálculos ou justificações.

• Cada resposta certa vale 10 pontos, cada pergunta errada, não respondida, ou anulada, vale 0 (zero) pontos.


4. Sabendo que 90º 180º< α < , indique o quadrante a que pertence 180º +α .

(A) 1º (B) 2º (C) 3º (D) 4º

5. Quantas são as soluções da equação 3senx 1= que pertencem ao intervalo [ ]0,10π ?

(A) 5 (B) 10 (C) 15 (D) 20

Grupo II

1. Observe a figura. Sabendo que a amplitude do

ângulo EDC é 30º e que CD 10cm= , calcule:

1.1. as amplitudes, expressas em radianos, dos

ângulos internos do triângulo [DEC].

1.2. o valor exacto do perímetro do trapézio

[ABCD].

1.3. a amplitude do ângulo α com aproximação ao minuto de grau.

2. Duas patrulhas militares partem do posto de comando C

em direcção aos pontos A e B que estão separados por

um lago, como ilustra a figura.

Sabe-se que:

• CA 20km=

• �CAB 75º=

• ɵABC 40º=

Uma das patrulhas vai permanecer em A e a outra

em B. Ambas as patrulhas possuem walkie-talkies,

que permitem estabelecer comunicações entre si a uma distância máxima de 27 km.

Averigúe se as duas patrulhas podem estabelecer comunicação a partir dos pontos A e B.

Nas questões deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos

os cálculos ou esquemas que tiver de efectuar e todas as justificações necessárias.

Atenção: quando não é indicada a aproximação que se pede para um resultado,

pretende-se sempre o valor exacto.

30º

x

2x

10αααα

DE

CB

A


3. Considere a expressão ( ) ( )A x 3sen x cos x2π = π + − +

3.1. Mostre que ( )A x 2.senx= −

3.2. Calcule o valor exacto de 3

A4π

.

4. O Manuel resolveu a seguinte questão “ Seja 3

,2 2π π θ∈

um ângulo cuja tangente é 2,5− ,

recorrendo à calculadora, determine com aproximação às centésimas, um valor aproximado

de θ e sem recorrer à calculadora calcule o valor exacto da expressão

( )2cos cos2π π − θ + − θ

”, como segue:

( )1tg 2,5 1,19− − −≃ e como queremos um ângulo em 3

,2 2π π

( )1tg 2,5 2 5,09−θ = − + π ≃

( )2cos cos 2cos sen2π π − θ + − θ = θ + θ

( )2 22 2

1 29 1 4 21 2,5 cos x cos x

4 29cos x cos x 29+ − = ⇔ = ⇔ = ⇔ =

sen 52,5 sen

2 2929

θ− = ⇔ θ = −

Então ( ) 2 5 1 292cos cos 2cos sen 2

2 2929 29 29

π π − θ + − θ = θ + θ = × − = − = −

Analise a resolução e caso considere a resolução errada, corrija os erros e apresente a sua

justificação.


Cotações

Questão Cotação

1 10

2 10

3 10

4 10

5 10

1.1 15

1.2 15

1.3 10

2 35

3.1 25

3.2 20

4 30





1º Teste de avaliação – Proposta de resolução

Grupo I

1. (B) Na figura estão representados, em referencial o.n. xOy, o círculo trigonométrico e um

triângulo [OAB].

Os pontos A e B pertencem à circunferência.

O segmento [AB] é perpendicular ao semieixo positivo Ox.

O conto C é o ponto de intersecção da circunferência com o semieixo

positivo Ox.

Seja α a amplitude do ângulo COA. 0,2

π α ∈

Qual das expressões seguintes dá a área do triângulo [OAB], em função de α . Como as

coordenadas do ponto A são ( )cos ,senα α a área do triângulo [OAB] é dada por

2sen cosA A sen .cos

2α × α= ⇔ = α α

2. (D) Num determinado quadrante o seno é negativo e crescente. O seno é negativo nos 3º e 4º

quadrantes mas no 3º é decrescente e no 4º é crescente, trata-se pois do 4º quadrante onde a

tangente é negativa e crescente e o co-seno é positivo e crescente, pelo que a resposta

correcta é o co-seno é positivo.

3. (D) o ângulo 73π− pertence ao 4º quadrante porque

72

3 3 3π π π− = − π − = −

4. (D) Sabendo que 90º 180º< α < , 180º +α pertence ao 4º quadrante

como se vê no círculo

1

0,5

-0,5

-1

-1 1 x

y

180+αααα

αααα

O


5. (B) Há 10 soluções da equação 3senx 1= que pertencem ao intervalo [ ]0,10π , porque a

função seno repete-se de 2π em 2π e em [ ]0,2π há duas soluções, uma no 1º quadrante e

outra no 2º.

Grupo II

1. Observe a figura. Sabendo que a amplitude do

ângulo EDC é 30º e que CD 10cm= , calcule:

1.1. as amplitudes, expressas em radianos, dos

ângulos internos do triângulo [DEC] são

�D6π= , �C

3π= e ɵE

2π=

1.2. o valor exacto do perímetro do trapézio [ABCD].

De DE 3

cos30 DE 10 DE 5 310 2

= ⇔ = × ⇔ = e de CE 1

sen30 CE 10 CE 510 2

= ⇔ = × ⇔ =

Então o Perímetro é P 5 10 10 5 3 10 P 35 5 3= + + + + ⇔ = +

1.3. a amplitude do ângulo α com aproximação ao minuto de grau é 63º 26’.

2. Duas patrulhas militares partem do posto de comando C

em direcção aos pontos A e B que estão separados por

um lago, como ilustra a figura.

Sabe-se que:

• CA 20km=

• �CAB 75º=

• ɵABC 40º=

Uma das patrulhas vai permanecer em A e a outra

em B. Ambas as patrulhas possuem walkie-talkies,

que permitem estabelecer comunicações entre si a uma distância máxima de 27 km.

30º

x

2x

10αααα

DE

CB

A


Pretendemos calcular AB para podermos comparar com a distância 27 km.

Ora da figura sai que começámos por calcular

� ( )C 180º 40º 75º 65º= − + = e traçámos a altura h,

relativa ao lado [BC].

De ( ) ( )hsen 65º h 20.sen 65º

20= ⇔ =

e ( ) ( )( )

20.sen 65ºhsen 40º AB

sen 40ºAB= ⇔ =

então AB 28,20km≃

As duas patrulhas não podem estabelecer comunicação a partir dos pontos A e B porque

estão a uma distância superior a 27 km.

3. Considere a expressão ( ) ( )A x 3sen x cos x2π = π + − +

3.1. Mostremos que ( )A x 2senx= −

( ) ( ) ( ) ( )A x 3sen x cos x 3 senx senx 3senx senx 2senx2π = π + − + = × − − − = − + = −

porque

( )sen x senxπ + = − e cos x senx2π + = −

.

3.2. Calculemos o valor exacto de 3

A4π

.

3 3 2A 2sen 2 2

4 4 2π π = − = − × = −

porque

3 2sen sen sen

4 4 4 2π π π = π − = =

.

4. O Manuel resolveu a seguinte questão “ Seja 3

,2 2π π θ∈

um ângulo cuja tangente é 2,5− ,

recorrendo à calculadora, determine com aproximação às centésimas, um valor aproximado

de θ e sem recorrer à calculadora calcule o valor exacto da expressão

( )2cos cos2π π − θ + − θ

”, como segue:


,2 2π π

( )1tg 2,5 2 5,09−θ = − + π ≃

75º

65º

40º

20 kmh

B

C

A


( )2cos cos 2cos sen2π π − θ + − θ = θ + θ

( )2 22 2

1 29 1 4 21 2,5 cos x cos x

4 29cos x cos x 29+ − = ⇔ = ⇔ = ⇔ =

sen 52,5 sen

2 2929

θ− = ⇔ θ = −

Então ( ) 2 5 1 292cos cos 2cos sen 2

2 2929 29 29

π π − θ + − θ = θ + θ = × − = − = −

Analisemos a resolução e como consideramos a resolução errada, vamos corrigir os erros e

apresente a sua justificação.


,2 2π π

( )1tg 2,5 2 5,09−θ = − + π ≃ o que

o Manuel devia ter feito era ( )1tg 2,5 1,95−θ = − + π ≃ que é um ângulo do 2º quadrante onde a

tangente é negativa.

Simplificando ( )2cos cos 2cos sen2π π − θ + − θ = θ + θ

o Manuel devía ter encontrado

( )2cos cos 2cos sen2π π − θ + − θ = − θ + θ

porque ( )cos cosπ − θ = − θ e cos sen

2π − θ = θ

( )2 22 2

1 29 1 4 21 2,5 cos x cos x

4 29cos x cos x 29+ − = ⇔ = ⇔ = ⇔ = Aqui devia ter em

consideração que 2ºQθ∈ porque no 3º a tangente é positiva e que no 2º Q o co-seno é

negativo pelo devia concluir 2 4 2 2cos x cos x e 2º Q cos x

29 29 29= ⇔ = ± θ ∈ ⇔ = −

sen 52,5 sen

2 2929

θ− = ⇔ θ = − considerando a correcção anterior ficava:

sen 52,5 sen

2 2929

θ− = ⇔ θ =−

Finalmente ( ) 2 5 9 9 292cos cos 2cos sen 2

2 2929 29 29

π π − θ + − θ = − θ + θ = − × − + = =





1º Teste de avaliação – Critérios de correcção

Grupo I

1 2 3 4 5

B D D D B

Grupo II

1. 40

1.1. 15

• Passar 30º a radianos 5



1.2. 15

•••• Calcular CE 5

•••• Calcular DE 5

•••• Calcular o Perímetro 5

1.3. 10

•••• Calcular o ângulo 5

•••• Passar a graus e minutos 5

2. 35

•••• Desenhar h 5

•••• Calcular o ângulo em C 5

•••• Calcular h 10

•••• Calcular AB 10

•••• Dar a resposta 5

3. 45

3.1. 25

•••• Concluir que ( )sen x senxπ + = − 10

•••• Concluir que cos x senx2π + = −

10

•••• Responder 5

3.2. 20


•••• Substituir 5

•••• Calcular 3

sen4π

10

•••• Apresentar a resposta 5

4. 30

•••• Identificar os 5 erros 15

•••• Corrigir os 5 erros 15

Total ………………………………………………………………………………………………… 200

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