Teste02 b

Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 2010/2011 1

Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis

11º Ano de Matemática – A

Tema I – Geometria no Plano e no Espaço II

2º Teste de avaliação

Grupo I

1. Em cada uma das figuras seguintes, está representado, no círculo trigonométrico, a traço

grosso, o lado extremidade de um ângulo cujo lado origem é o semieixo positivo Ox.

Em qual das figuras esse ângulo pode ter 6 radianos de amplitude?

(A) (B) (C) (D)

2. Considere um vector AB��

tal que AB 1=��

Qual é o valor do produto escalar AB BA⋅��

?

(A) 1 (B) 1− (C) 0 (D) 2

3. Considere, num referencial o. n. xOy, a recta r de equação 1 2

y x3 5

= − +

Seja s a recta perpendicular a r que passa no ponto de coordenadas ( )1,4 .

Qual é a equação reduzida da recta s?

(A) y 3x 1= − (B) y 3x 1= − + (C) y 3x 7= − + (D) y 3x 1= +

• As cinco questões deste grupo são de escolha múltipla.

• Para cada uma delas são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correcta.

• Escreva na sua folha de respostas a letra correspondente à alternativa que seleccionar para cada questão.

• Se apresentar mais do que uma resposta, a questão será anulada, o mesmo acontecendo se a letra transcrita

for ilegível.

• Não apresente cálculos ou justificações.

• Cada resposta certa vale 10 pontos, cada pergunta errada, não respondida, ou anulada, vale 0 (zero) pontos.


4. Num referencial o.n. Oxyz, considere o plano α , de equação x 2y z 2+ − =

Seja β o plano que é paralelo a α e que contém o ponto ( )0,1,2 .

Qual das condições seguintes é uma equação do plano β ?

(A) x 2y z 1+ − = (B) x z 2+ = (C) x 2y z 0− − + = (D) x y z 1− + =

5. Considere, num referencial o.n. xOy, as rectas r e s, definidas, respectivamente, por:

( ) ( ) ( )r : x,y 1,3 k 2,0 ,k= + ∈ℝ e 4

s :y x 15

= +

Qual é a amplitude, em graus, do ângulo destas duas rectas (valor arredondado às unidades)?

(A) 37º (B) 39º (C) 41º (D) 43º

Grupo II

1. Observe a figura e determine o comprimento da ponte AC .

2. Na figura, está representado o quadrado [ABCD] de lado 4.

Considere que um ponto P se desloca ao longo do lado [CD],

nunca coincidindo com o ponto C, nem com o ponto D.

Para cada posição de P, seja x a amplitude, em radianos, do

ângulo BAP x ,4 2

π π ∈

.

Resolva as questões seguintes usando valores exactos .

2.1. Mostre que a área da região sombreada é dada em função de x, por ( ) 8A x 16

tgx= −

Nas questões deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos

os cálculos ou esquemas que tiver de efectuar e todas as justificações necessárias.

Atenção: quando não é indicada a aproximação que se pede para um resultado,

pretende-se sempre o valor exacto.


2.2. Determine o valor de x para o qual a área da região sombreada é 48 8 3

3−

2.3. Para um certo valor de x, sabe-se que 12

cos x2 13π + = −

. Determine, para esse valor de

x, a área da região sombreada.

3. Na figura está representada, em referencial o.n. Oxyz, uma

pirâmide quadrangular regular.

A base da pirâmide está contida no plano de equação z 4= .

O vértice A pertence ao eixo Oz.

O vértice B pertence ao plano yOz .

O vértice D pertence ao plano xOz.

O vértice C tem coordenadas ( )4,4,4 .

A altura da pirâmide é 6.

3.1. Justifique que as coordenadas do ponto E são ( )2,2, 2− .

3.2. Mostre que uma condição que define a recta DE é z 4

x 4 y3−− = − = .

3.3. Determine uma equação do plano que contém o ponto B e é perpendicular à recta DE.

4. Seja [AB] um diâmetro qualquer da circunferência de centro O e

R um ponto fixo, exterior à circunferência.

4.1. Exprima RA′��

em função de RB��

e BA′��

e mostre que:

RA RA RA RB′⋅ = ⋅��

4.2. Identifique o conjunto dos pontos P que satisfazem a

equação vectorial PB PA 0⋅ =��

FIM

A'

A O

B

R


Cotações

Questão Cotação

1 10

2 10

3 10

4 10

5 10

1 20

2.1 15

2.2 15

2.3 15

3.1 15

3.2 15

3.3 15

4.1 20

4.2 20





2º Teste de avaliação

Grupo I

1. (D) Em cada uma das figuras seguintes, está representado, no círculo

trigonométrico, a traço grosso, o lado extremidade de um ângulo cujo lado

origem é o semieixo positivo Ox.

É na figura (D) que está representado um ângulo que pode ter 6 radianos de

amplitude porque 6r 344º≃

2. (B) Considere um vector AB��

tal que AB 1=��

O valor do produto escalar AB BA⋅��

é ( )AB BA 1 1 cos 180º 1⋅ = × × = −��

3. (D) Considere, num referencial o. n. xOy, a recta r de equação 1 2

y x3 5

= − +

Seja s a recta perpendicular a r que passa no ponto de coordenadas ( )1,4 .

A equação reduzida da recta s é é da forma y 3x b= + porque uma recta perpendicular a outra

tem declive igual ao simétrico do inverso do declive da recta dada. Porque passa em ( )1,4

será 4 3 1 b b 1= × + ⇔ = . A equação da recta é y 3x 1= +

4. (C)Num referencial o.n. Oxyz, considere o plano α , de equação x 2y z 2+ − =

Seja β o plano que é paralelo a α e que contém o ponto ( )0,1,2 . Entãoβ tem uma equação

do tipo x 2y z D+ − = que é verificada pelas coordenadas do ponto 0 2 1 2 D D 0+ × − = ⇔ = e

finalmente a equação do plano β é x 2y z 0 x 2y z 0+ − = ⇔ − − + =

5. (B) Considere, num referencial o.n. xOy, as rectas r e s, definidas, respectivamente, por:

( ) ( ) ( )r : x,y 1,3 k 2,0 ,k= + ∈ℝ e 4

s :y x 15

= +


A amplitude, em graus, do ângulo destas duas rectas (valor arredondado às unidades) é dado

por ( ) r.scos r ,s

r s=

×

� �

ɵ� � onde ( )r 2,0=

� e ( )s 5,4=�

. Então

( ) ( )2 2 2 2

2 5 0 4 10cos r ,s cos r ,s

2 412 0 5 4

× + ×= ⇔ =

×+ × +ɵ ɵ pelo que 1 10

r ,s cos2 41

− = ×

ɵ e

r ,s 39ºɵ ≃

Grupo II

1. Observemos a figura para determinarmos o comprimento da ponte AC .

Considerando a altura do triângulo em relação ao lado

[AC] podemos calcular b e h através do ângulo de 30º e

do lado que nos são dados:

� Cálculo de h:

( ) h 1sen 30º h 200 h 100

200 2= ⇔ = × ⇔ =

� Cálculo de b: ( ) b 3cos 30º b 200 b 100 3

200 2= ⇔ = × ⇔ =

Calculemos agora a, a partir do ângulo de 50º e de h:

� Cálculo de a: ( ) ( )100 100

tg 50º aa tg 50º

= ⇔ =

Finalmente calculamos ( )100

AC a b 100 3 257,12mtg 50º

= + = + ≃

2. Na figura, está representado o quadrado [ABCD] de lado 4.

Considere que um ponto P se desloca ao longo do lado [CD],

nunca coincidindo com o ponto C, nem com o ponto D.

Para cada posição de P, seja x a amplitude, em radianos, do

ângulo BAP x ,4 2

π π ∈

.

Resolvamos as questões seguintes usando valores exactos .

50º 30º

200 m

b

h

aA

B

C


2.1. Mostremos que a área da região sombreada é dada em função de x, por ( ) 8A x 16

tgx= −

� Pela expressão dada verificamos que esta área é a área do quadrado menos a

área do triângulo [ADP].

� A área do quadrado é 16.

� o triângulo [ADP] é um triângulo rectângulo com um ângulo igual a x e outro a x2π − .

Sendo x a amplitude do ângulo APD podemos tirar que 4 4

tgx DPtgxDP

= ⇔ = .

� A área do triângulo é

44

8tgxA A

2 tgx

×= ⇔ =

� A área da região sombreada é em função de x, ( ) 8A x 16

tgx= −

2.2. Determine o valor de x para o qual a área da região sombreada é 48 8 3

3−

48 8 3 8 2416 48tgx 8 3tgx 48tgx 24 8 3tgx 24 tgx

3 tgx 8 3

− = − ⇔ − = − ⇔ − = − ⇔ = ⇔

3 3tgx tgx 3 x

3 6π= ⇔ = ⇔ = , considerando que x ,

4 2 π π ∈

.

2.3. Para um certo valor de x, sabe-se que 12

cos x2 13π + = −

. Determinemos, para esse

valor de x, a área da região sombreada.

� Ora 12 12 12

cos x senx senx2 13 13 13π + = − ⇔ − = − ⇔ =

� A partir de senx calculemos cosx. 2

2 212 144 25cos x 1 cos x 1 cos x

13 169 169 + = ⇔ = − ⇔ = ±

e como x ,4 2

π π ∈

será

5cos x

13=

� Sabendo senx e cos x podemos calcular

121213tgx tgx

5 513

= ⇔ =

� A área da região sombreada é neste caso 8 40 38

A 16 A 16 A12 12 35

= − ⇔ = − ⇔ =


3. Na figura está representada, em referencial o.n. Oxyz, uma

pirâmide quadrangular regular.

A base da pirâmide está contida no plano de equação z 4= .

O vértice A pertence ao eixo Oz.

O vértice B pertence ao plano yOz .

O vértice D pertence ao plano xOz.

O vértice C tem coordenadas ( )4,4,4 .

A altura da pirâmide é 6.

3.1. Justifiquemos que as coordenadas do ponto E são ( )2,2, 2− .

� A cota é 2− porque a altura da pirâmide é 6 e a base está num plano de cota 4, pelo

que a cota de E é 4 6 2− = −

� A abcissa e a ordenada de E são a abcissa e a ordenada do centro da base que dadas

as condições da figura tem coordenadas ( )2,2,4 .

� Finalmente ( )E 2,2, 2−

3.2. Mostre que uma condição que define a recta DE é z 4

x 4 y3−− = − = .

� O ponto D tem coordenadas ( )4,0,4 pelo que ( )DE 2,2, 6= − −��

, vector este paralelo ao

vector de coordenadas ( )1DE 1, 1,3

2− = −��

.

� A condição que define a recta que passa em D e tem a direcção de 1

DE2

−��

é

x 4 y z 4 z 4x 4 y

1 1 3 3− − −= = ⇔ − = − =

−

3.3. Determinemos uma equação do plano que contém o ponto B e é perpendicular à recta

DE. Trata-se de um plano que passa por B e pode ter como vector normal o vector de

coordenadas ( )1, 1,3− . Uma sua equação será do tipo x y 3z D− + = e verificada pelas

coordenadas do ponto ( )B 0,4,4 fica 0 4 3 4 D D 8− + × = ⇔ = . Uma equação do plano é

x y 3z 8− + =

4. Seja [AB] um diâmetro qualquer da circunferência de centro O e R um ponto fixo, exterior à

circunferência.


4.1. Comecemos por:

� exprimir RA′��


e BA′��

. RA RB BA′ ′= +��

� mostremos que: RA RA RA RB′⋅ = ⋅��

� Ora

( )RA RA RA RB BA RA RB RA BA RA RB′ ′ ′⋅ = ⋅ + = ⋅ + ⋅ = ⋅��

porque RA BA 0′⋅ =��

por os vectores serem

perpendiculares.

4.2. O conjunto dos pontos P que satisfazem a equação vectorial

PB PA 0⋅ =��

é a circunferência de diâmetro AB .

A'

A O

B

R

P





2º Teste de avaliação – Critérios de correcção

Grupo I

1 2 3 4 5

D B D C B

Grupo II

1. 20

• Desenhar a altura relativa a [AC] 2

Representar por letras a altura e as partes em que se divide [AC] 3

• Calcular h 4

• Calcular a 4

• Calcular b· 4

• Calcular AC 3

2. 45

2.1. 15

•••• Identificar a expressão como diferença entre a área do quadrado e a do

triângulo 2

•••• Calcular a área do quadrado 2

•••• Exprimir DP em função da tgx 5

•••• Calcular a área do triângulo 4

•••• Calcular a área da região sombreada 2

2.2. 15

•••• Escrever a equação 5

•••• Resolver a equação 8

•••• Apresentar a solução 2

2.3. 15

•••• Simplificar cos x2π +

4

•••• Calcular cos x 4

•••• Calcular tgx 4

•••• Calcular a área pedida 3


3. 50

3.1. 15

•••• Justificar a abcissa 5

•••• Justificar a ordenada 5

•••• Justificar a cota 5

3.2. 15

•••• Identificar pelas coordenadas um ponto da recta 2

•••• Identificar pelas coordenadas um vector director da recta 3

•••• Escrever uma equação da recta 5

•••• Provar que são equações equivalentes 5

3.3. 15

•••• Identificar o vector director da recta como normal ao plano 5

•••• Calcular as coordenadas de B 5

•••• Escrever a equação do plano 5

4. 40

4.1. 20

•••• Exprimir RA′��


e BA′��

10

•••• Mostrar que: RA RA RA RB′⋅ = ⋅��

10

4.2. 20

•••• Identificar o lugar geométrico 10

•••• Justificar 10

Total ………………………………………………………………………………………………… 200

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