Teste02 b

Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 2009/2010 1

Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis

10º Ano de Matemática – A

Geometria no Plano e no Espaço I

2º Teste de avaliação

Grupo I

1. Os pontos ( )A 3,7− e ( )B 5,7 são simétricos em relação:

(A) à origem (B) à recta de equação x 1=

(C) à bissectriz dos quadrantes pares (D) à recta de equação y 1=

2. Na figura junta, o conjunto de pontos sombreado pode ser definido pela

condição:

(A) y 0 y x≥ ∧ ≥ − (B) y x x 0≥ ∧ ≥

(C) y 0 y x≥ ∨ ≥ − (D) y x x 0≥ ∨ ≥

3. Considere o cubo com 4 cm de aresta representado no referencial

Oxyz. O lugar geométrico definido pela condição y 4 z 4= − ∧ = − é:

(A) o plano ABC (B) a recta BF

(C) a recta AB (D) a recta AD

4. A figura representa um octaedro regular de aresta 5 ao qual foi aplicado

um referencial o.m. com origem no centro do octaedro. Podemos concluir

que a cota de V é:

(A) 5 2 (B) 5 2

2 (C)

15

2− (D)

5 3

2

• As cinco questões deste grupo são de escolha múltipla.

• Para cada uma delas são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correcta.

• Escreva na sua folha de respostas a letra correspondente à alternativa que seleccionar para cada questão.

• Se apresentar mais do que uma resposta, a questão será anulada, o mesmo acontecendo se a letra transcrita

for ilegível.

• Não apresente cálculos ou justificações.

• Cada resposta certa vale 10 pontos, cada pergunta errada, não respondida, ou anulada, vale 0 (zero) pontos.

x

y

z

O

V

x

y

z

G O

CD

FE

A B


5. Considere um cubo A de aresta a e cubo B de aresta b. Sabe-se que o volume de A é o dobro

do volume de B então o valor de ab

é

(A) 32 (B) 2 (C) 3 2 (D) 312

Grupo II

1. No referencial xOy da figura a unidade

nos dois eixos é a quadrícula.

1.1. Identifique as coordenadas dos

pontos A, B, D , E e I

1.2. Identifique as equações das rectas

que contêm as fronteiras da região

sombreada e em seguida defina-a

por uma condição.

2. Num sólido constituído por três cubos,

geometricamente iguais, foram assinalados seis pontos: A,

B, C, D, E e F.

Considere o referencial o.m. Oxyz, em que a unidade é igual

à aresta dos cubos.

2.1. Indique as coordenadas dos pontos A, B, C, D, E e F.

2.2. Escreva a equação do plano ACF

2.3. Defina por uma condição a recta AC.

2.4. Identifique o ponto simétrico de D em relação a C.

Indique as suas coordenadas.

2.5. Desenhe na figura a secção produzida no sólido pelo

plano OCE e calcule a sua área.

z

y

x

D

EC

F

A

O

B

Nas questões deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos

os cálculos ou esquemas que tiver de efectuar e todas as justificações necessárias.

Atenção: quando não é indicada a aproximação que se pede para um resultado,

pretende-se sempre o valor exacto.

4

2

-2

-4

5 x

y

O

A

DC

G H

FE

J I

L K

B


3. Na figura estão traçadas seis diagonais faciais de um cubo, uma em cada face, de modo que

as seis diagonais representadas concorrem apenas em quatro dos vértices do cubo.

3.1. Justifique porque é que o poliedro cujas arestas são as diagonais traçadas é um tetraedro

regular.

3.2. Supondo que a aresta do cubo é igual à unidade, prove que a área de cada face do

tetraedro é 3

2 e que a área total do tetraedro é 2 3 .

3.3. Repare que o espaço entre o tetraedro e o cubo é ocupado por quatro pirâmides

geometricamente iguais, das quais uma está evidenciada na

figura.

Mostre que o volume do tetraedro é 13

do volume do cubo.

Sugestão: Depois de representar a aresta do cubo por x

comece por responder às seguintes questões:

• Qual é a área da base da pirâmide sombreada na

figura?

• Qual é a altura da pirâmide?

• Qual é o seu volume?

4. As rectas de equação y x= e x 6= definem com uma recta paralela ao eixo das abcissas um

triângulo de área 32 cm2. Determine uma possível equação dessa recta. Verifique se a solução

que encontrou é a única.

Sugestão: Faça uma representação geométrica da situação.

FIM

Questão 1 2 3 4 5 1.1 1.2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 3.1 3.2 3.3 4 Cotação 10 10 10 10 10 10 30 12 10 10 10 18 5 16 14 15





2º Teste de avaliação – Proposta de resolução

Grupo I

1. (B) Os pontos ( )A 3,7− e ( )B 5,7 são simétricos em

relação à recta de equação x 1=

2. (D) Na figura junta, o conjunto de

pontos sombreado pode ser

definido pela condição

y x x 0≥ ∨ ≥

3. (D) Considere o cubo com 4 cm de aresta representado no referencial

Oxyz. O lugar geométrico definido pela condição y 4 z 4= − ∧ = − é a

recta AD porque y 4= − representa o plano da face [ADGE] e z 4= −

representa o plano da face [ABCD].

4. (B) A figura representa um octaedro regular de aresta 5 ao qual foi

aplicado um referencial o.m. com origem no centro do octaedro.

Podemos concluir que a cota de V é 5 2

2 porque OV é metade da

diagonal, dum quadrado com 5 de lado, que mede 5 2 .

5. (C) Considere um cubo A de aresta a e cubo B de aresta b. Sabe-se que o volume de A é o

dobro do volume de B então o valor de ab

é 3 2 , porque a razão dos volumes de duas figuras

semelhantes é o cubo da razão de semelhança (razão dos comprimentos).

x

y

z

O

V

x

y

z

G O

CD

FE

A B

8

6

4

2

-2

5

y

x

BA

O


Grupo II

1. No referencial xOy da figura a unidade

nos dois eixos é a quadrícula.

1.1. As coordenadas dos pontos A, B, D,

E e I são: ( )A 2,3− , ( )B 1,3− , ( )D 5,1 ,

( )E 5,2 e ( )I 6, 3−

1.2. As equações das rectas que contêm

as fronteiras da região sombreada

são:

• AL: x 2= − • BC: x 1= − • DK: x 5=

• LK: y 0= • CD: y 1= • AB: y 3=

Uma condição que define a zona é: ( ) ( )2 x 1 0 y 3 1 x 5 0 y 1− ≤ ≤ − ∧ ≤ ≤ ∨ − ≤ ≤ ∧ ≤ ≤

2. Num sólido constituído por três cubos, geometricamente iguais,

foram assinalados seis pontos: A, B, C, D, E e F.

Considere o referencial o.m. Oxyz, em que a unidade é igual à

aresta dos cubos.

2.1. As coordenadas dos pontos A, B, C, D, E e F são: ( )A 0, 1,1− ,

( )B 1,0,0 , ( )C 0,0,1 , ( )D 1,0,2− , ( )E 1,1,1− e ( )F 0,1,0 .

2.2. A equação do plano ACF é x 0= .

2.3. Uma condição que define a recta AC é x 0 z 1= ∧ = .

2.4. O ponto simétrico de D em relação a C é ( )B 1,0,0 . Indique as

suas coordenadas.

2.5. Na figura está desenhada a secção produzida no sólido pelo

plano OCE e a sua área é a de 3 rectângulos com 1 de largura e

2 de comprimento, logo a área da secção é:

( )A 3 1 2 3 2= × × =

3. Na figura estão traçadas seis diagonais faciais de um cubo, uma em cada face, de modo que

as seis diagonais representadas concorrem apenas em quatro dos vértices do cubo.

3.1. O poliedro cujas arestas são as diagonais traçadas é um tetraedro regular porque tem 4

faces, geometricamente iguais, que são triângulos equiláteros e em cada um dos 4

vértices concorrem exactamente 3 faces.

z

y

x

D

EC

F

A

O

B

4

2

-2

-4

5 x

y

O

A

DC

G H

FE

J I

L K

B

z

y

x

D

EC

F

A

O

B


3.2. Supondo que a aresta do cubo é igual à unidade ficamos a saber

que a diagonal de cada face é 2 . Para provarmos que a área de

cada face do tetraedro é 3

2 vamos começar por calcular o valor da

altura h ( )2

22 22 2 3

2 h h 2 h2 4 2

= + ⇔ = − ⇔ =

A área do triângulo é

32

32A2 2

×= =

A área total do tetraedro é t t

3A 4 A 2 3

2= × ⇔ = como queríamos provar.

3.3. Reparemos que o espaço entre o tetraedro e o cubo é ocupado por quatro pirâmides

geometricamente iguais, das quais uma está evidenciada na

figura.

Mostremos que o volume do tetraedro é 13

do volume do cubo.

• A área da base da pirâmide sombreada na figura é 2

b b

x x xA A

2 2×= ⇔ =

• A altura da pirâmide é x

• O volume da pirâmide é 2 3

pirâmide

1 x xV x

3 2 6= × × =

• O volume do cubo é 3cuboV x=

• O volume do tetraedro é:

tetraedro cubo pirâmideV V 4 V= − × ou seja

3 3 33

tetraedro tetraedro tetraedro

x 2x xV x 4 V V

6 6 3= − × ⇔ = ⇔ = o que significa que o volume

do tetraedro é 13

do volume do cubo.

h2 2

2

2


4. As rectas de equação y x= e x 6= definem com uma recta paralela ao eixo das abcissas um

triângulo de área 32 cm2. Determinemos uma possível equação dessa recta que terá de ser do

tipo y a= .

Da observação da figura ao lado podemos

constatar que os catetos do triângulo medem

6 a− e que a área do triângulo é dada por

( ) ( )6 a 6 aA

2

− −=

Então:( ) ( ) 26 a 6 a

32 64 36 12a a2

− −= ⇔ = − +

2 12 144 4 28a 12a 28 0 a

2± + ×⇔ − − = ⇔ = ⇔

12 256 12 16a a a 14 a 2

2 2± ±= ⇔ = ⇔ = ∨ = −

Concluímos assim haver duas soluções para o

problema: y 2= − dá um triângulo à esquerda da recta de equação x 6= e y 14= daria um

triângulo à direita da recta de equação x 6= .

FIM

8

6

4

2

-2

5

y = a(a,a)

(6,6)

6O 1

(6,a)





2º Teste de avaliação – Critérios de correcção

Grupo I

1 2 3 4 5

B D D B C

Grupo II

1. ………………………………………………………………………………………………….. 40

1.1. Calcular as coordenadas dos 5 pontos……………………………………….. 10

1.2. …………………………………………………………………………………….. 30

•••• Escrever uma equação de cada uma das 6 rectas...……………… 12

•••• Escrever a condição que define a zona.…………….……………… 18

2. …………………………………………………………………………………………………… 60

2.1. Calcular as coordenadas dos 6 pontos……………………………………….. 12

2.2. Escrever uma equação do plano ……………………………………………… 10

2.3. Escrever uma condição que defina a recta AC ……………………………… 10

2.4. …………………………………………………………………………………….. 10

•••• Indicar o ponto B ….…………………...………………………………..… 5

•••• Indicar as coordenadas do ponto B …..………………………..……...... 5

2.5. ……………………………………………………………………………………… 18

•••• Desenhar a secção ……………………………………………………….. 9

•••• Calcular a área da secção ……………………………………………….. 9

3. …………………………………………………………………………………………………… 35

3.1. Justificar que se trata de um tetraedro ………………………………………….. 5

•••• Justificar que os triângulos são equiláteros ……………………………… 2

•••• Justificar que tem 4 faces geometricamente iguais ………………….…. 1

•••• Justificar que concorrem 3 faces em cada vértice .……………...……… 2

3.2. ……………………………………………………………………………………….. 16

•••• Calcular a aresta do tetraedro ……………………………………………… 4

•••• Calcular a altura das faces …………………………………………………. 4

•••• Calcular a área de cada face ……………………………………………… 4


•••• Calcular a área total do tetraedro …………………………………………. 4

3.3. ……………………………………………………………………………………….. 14

•••• Calcular a área da base da pirâmide ……………………………………… 3

•••• Indicar a altura da pirâmide ………………………………………………… 2

•••• Calcular o volume de uma pirâmide ………………………………………. 3

•••• Calcular o volume do cubo …………………………………………………. 1

•••• Reconhecer que tetraedro cubo pirâmideV V 4 V= − × ……………………………… 2

•••• Calcular o volume do tetraedro ……………………………………………. 3

4. ……………………………………………………………………………………………… 15

•••• Desenhar a recta de equação y x= ……………………………….……… 2

•••• Desenhar a recta de equação x 6= ………………………………………. 2

•••• Identificar as coordenadas dos vértices ……………….……….………… 2

•••• Identificar os comprimentos dos catetos ……...……….…………………. 2

•••• Escrever a equação ( ) ( )6 a 6 a

322

− −= …………………………………… 3

•••• Resolver a equação …………………………………………………………. 2

•••• Dar a resposta justificando as duas soluções …………………………….. 3

Total ………………………………………………………………………………………………… 200

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