Teste04 b

Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 2009/2010 1

Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis

10º Ano de Matemática – A

Geometria no Plano e no Espaço I

4º Teste de avaliação – versão B

Grupo I

1. O domínio plano da figura pode ser definido por

uma das condições seguintes. Identifique-a.

(A) ( ) ( )2 2 2x 3 y 2 4 x 3 y x

3− + − ≤ ∧ ≥ ∧ ≥

(B) ( ) ( )2 2 3x 2 y 3 9 y 3 y x

2+ + − ≤ ∧ ≥ ∧ ≥ −

(C) ( ) ( )2 2 3x 2 y 3 9 y 3 y x

2− + + ≤ ∧ ≥ ∧ ≥

(D) ( ) ( )2 2 2x 3 y 2 4 x 3 y x

3+ + + ≤ ∧ ≥ ∧ ≥ −

2. Na figura esta representado um referencial o.n. xOy.

A recta AB é definida pela equação x 3y 3 0+ − = .

A equação reduzida da recta r paralela a AB e que passa pelo

ponto ( )C 3,0− é uma das seguintes. Identifique-a

(A) y 3x 6= + (B) y 3x 6= − −

(C) 1

y x 13

= − + (D) 1

y x 13

= − −

3. Uma função quadrática f tem contradomínio 0

+ℝ e o seu gráfico tem a recta de equação x 5=

como eixo de simetria. Escolha das seguintes a expressão que pode definir f.

(A) ( ) ( )2f x 3 x 5= −

(B) ( ) ( )2f x x 5 3= + +

(C) ( ) ( )2f x x 5 3= − +

(D) ( ) 2f x 3x 5= +

• As cinco questões deste grupo são de escolha múltipla.

• Para cada uma delas são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correcta.

• Escreva na sua folha de respostas a letra correspondente à alternativa que seleccionar para cada questão.

• Se apresentar mais do que uma resposta, a questão será anulada, o mesmo acontecendo se a letra transcrita

for ilegível.

• Não apresente cálculos ou justificações.

• Cada resposta certa vale 10 pontos, cada pergunta errada, não respondida, ou anulada, vale 0 (zero) pontos.

y

xO A

B

6

4

2

-2

-5 5x

y

3

- 2

C

O 1


4. A figura representa a função f definida por ( ) 2f x x= .

Qual dos gráficos seguintes pode representar a função g

definida por ( ) 2g x x 2= + ?

(A) (B)

(C) (D)

5. Considere duas funções, reais de variável real, f e g, tais que ( ) ( )g x f x 3 1= − + . Sabendo que

o ponto de coordenadas ( )1,5 pertence ao gráfico de f, então podemos afirmar:

(A) ( )g 4 5= (B) ( )g 4 8= (C) ( )g 4 2= (D) ( )g 4 6=

Grupo II

1. Considere a função g representada graficamente na

figura seguinte.

1.1. Indique:

1.1.1. domínio e contradomínio de g;

1.1.2. a imagem de zero;

1.1.3. o original que tem imagem 2− .

1.2. Indique o conjunto solução das condições:

1.2.1. ( )g x 0=

Nas questões deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos

os cálculos ou esquemas que tiver de efectuar e todas as justificações necessárias.

Atenção: quando não é indicada a aproximação que se pede para um resultado,

pretende-se sempre o valor exacto.


1.2.2. ( )g x 0>

1.3. Faça uma tabela de monotonia e extremos para a função g.

1.4. Seja ( )g x k,k= ∈ℝ , determine k de modo que a equação tenha exactamente duas

soluções.

2. A função L representa o lucro, em milhares de euros, da produção mensal de uma fábrica, de

x centenas de peças e é definida por ( ) 2L x 0,5x 4x 3= − + − .

2.1. Calcule ( )L 0 e diga o que representa o valor obtido?

2.2. Calcule o lucro obtido pela produção mensal de 600 peças?

2.3. Calcule ( )L 2 e interprete ( )L 2

200 no contexto do problema.

2.4. Determine o lucro máximo e o número de peças que devem ser produzidas para o obter?

2.5. Quantas peças devem ser produzidas para manter um lucro de 3500 euros?

NOTA: sempre que recorrer à calculadora não se esqu eça de transcrever os gráficos.

3. Num referencial o.n. ( )O,e,f� �

, considere ( )A 1,1− , ( )B 2, 1− , ( )C 1,1 e o vector u 2 f=� �

.

3.1. Verifique se os vectores u�

e AC��

são colineares.

3.2. Calcule AB��

e u�

.

3.3. Verifique se o ponto C pertence à mediatriz de [AB].

3.4. Considere todos os círculos de centro na origem do referencial e de raio r. Determine para

que valores de r o ponto B pertence aos círculos considerados.

4. Construiu-se, a partir de um cubo, o poliedro representado na figura, unindo os pontos médios

das arestas do cubo, como sugere a figura, obtendo-se assim um cuboctaedro.

Admita-se que a unidade do referencial é o centímetro e que o ponto R, vértice do cubo tem

coordenadas ( )6,6,6 .

4.1. Indique as coordenadas dos vértices do cuboctaedro

representados na figura.

4.2. Determine a distância entre os pontos A e G.

4.3. Mostre que a razão entre os volumes do cubo e do

cuboctaedro é 1,2.

FIM

y

z

x

F

E

G

H

J

D

C

BA

O

I

R


COTAÇÕES

QUESTÃO COTAÇÃO QUESTÃO COTAÇÃO

1 10 50 2.1 10

2 10 2.2 10

3 10 2.3 10

4 10 2.4 10

5 10 50 2.5 10

1.1.1 6 30 3.1 8

1.1.2 5 3.2 6

1.1.3 5 3.3 6

1.2.1 5 3.4 10

1.2.2 5 30 4.1 10

1.3 8 4.2 5

1.4 6 40 4.3 15





4º Teste de avaliação – Proposta de resolução

Grupo I

1. (B) O domínio plano da figura pode ser definido pela

condição ( ) ( )2 2 3x 2 y 3 9 y 3 y x

2+ + − ≤ ∧ ≥ ∧ ≤ −

2. (D) Na figura esta representado um referencial o.n.

xOy.

A recta AB é definida pela equação x 3y 3 0+ − = cuja

equação reduzida é:

1x 3y 3 0 3y x 3 y x 1

3+ − = ⇔ = − + ⇔ = − +

A equação reduzida da recta r paralela a AB e que passa

pelo ponto ( )C 3,0− é uma equação do tipo 1

y x b3

= − +

que é verificada pelas coordenadas do ponto C:

( )10 3 b b 1

3= − × − + ⇔ = − . Pelo que a equação reduzida

da recta r é 1

y x 13

= − −

3. (A) Uma função quadrática f tem contradomínio 0+ℝ e o seu gráfico tem a recta de equação

x 5= como eixo de simetria. A expressão que pode definir f é ( ) ( )2f x 3 x 5= − .

4. (C) A figura representa a função f definida por ( ) 2f x x= .

O gráfico que pode representar a função g definida por

( ) 2g x x 2= + é

y

xO A

B

6

4

2

-2

-5 5x

y

3

- 2

C

O 1


5. (D) Consideremos duas funções, reais de variável real, f e g, tais que ( ) ( )g x f x 3 1= − + .

Sabendo que o ponto de coordenadas ( )1,5 pertence ao gráfico de f, então podemos afirmar

que ( ) ( )g 4 f 1 1 5 1 6= + = + =

Grupo II

1. Considere a função g representada graficamente na

figura.

1.1. Indiquemos:

1.1.1. O domínio de g é [ ]3,4− e contradomínio

de g é [ ]2,3− ;

1.1.2. a imagem de zero é 2 ou seja ( )g 0 2= ;

1.1.3. o original que tem imagem 2− é 2 ou seja

( )g x 2 x 2= − ⇔ = .

1.2. Indiquemos o conjunto solução das condições:

1.2.1. ( )g x 0 x 3 x 1 x 3= ⇔ = − ∨ = ∨ = , o conjunto solução é { }S 3,1,3= −

1.2.2. ( ) ] [ ] ]g x 0 x 3,1 3,4> ⇔ ∈ − ∪ , o conjunto solução é ] [ ] ]3,1 3,4− ∪

1.3. Façamos uma tabela de monotonia e extremos para a função g.

x 3− 0 2 4

( )g x 0

m

ր 2 ց 2−

m

ր 3

M

1.4. Seja ( )g x k,k= ∈ℝ , determinemos k de modo que a equação tenha exactamente duas

soluções. A equação só tem duas soluções quando ] [ ] [k 2,0 2,3∈ − ∪ .

2. A função L representa o lucro, em milhares de euros, da produção mensal de uma fábrica, de

x centenas de peças e é definida por ( ) 2L x 0,5x 4x 3= − + − .

2.1. ( )L 0 3= − e o valor obtido traduz que os custos fixos da fábrica (custos independentes do

número de peças produzidas) são 3 milhares de euros.

2.2. O lucro obtido pela produção mensal de 600 peças é 3000 euros, dado por

( )L 6 0,5 36 4 6 3 3= − × + × − =


2.3. ( )L 2 0,5 4 4 2 3 3= − × + × − = e ( )L 2 3

0,015200 200

= = traduz, no contexto do problema, o

lucro por cada peça quando se produzem 200 peças.

2.4. Determine o lucro máximo e o número de peças que devem ser produzidas para o obter?

O lucro máximo é 5000 euros e obtém-se quando se produzem 400 peças.

2.5. Quantas peças devem ser produzidas para manter um lucro de 3500 euros?

Para que o lucro se mantenha cerca de 3500 euros devem ser produzidas ou 227 peças ou

573 peças.

3. Num referencial o.n. ( )O,e,f� �

, consideremos ( )A 1,1− , ( )B 2, 1− , ( )C 1,1 e o vector u 2 f=� �

.

3.1. Verifiquemos se os vectores u�

e AC��

são colineares:

o ( ) ( ) ( )AC C A 1,1 1,1 2,0= − = − − =��

o ( )u 0,2=�

o 2 2 0 0 4 0× ≠ × ⇔ ≠ logo os vectores não são colineares

3.2. Calculemos ( ) ( )2 2AB 1 2 1 1 13= − − + + =��

e 2u 0 2 2= + =�

.

3.3. Verifiquemos se o ponto C pertence à mediatriz de [ ]AB :

( ) ( )2 2AC 1 1 1 1 2= − − + − = ( ) ( )2 2

BC 2 1 1 1 5= − + − − =

logo como CA CB≠ , C não pertence à mediatriz de [ ]AB .

3.4. Consideremos todos os círculos de centro na origem do referencial e de raio r. Vamos

determinar para que valores de r o ponto B pertence aos círculos considerados.

( ) ( )2 2OB 2 0 1 0 5= − + − − = então terá de ser r 5 r 5, ≥ ⇔ ∈ +∞

4. Construiu-se, a partir de um cubo, o poliedro representado na figura, unindo os pontos médios

das arestas do cubo, como sugere a figura, obtendo-se assim um cuboctaedro.


Admita-se que a unidade do referencial é o centímetro e que o ponto R, vértice do cubo tem

coordenadas ( )6,6,6 .

4.1. Indiquemos as coordenadas dos vértices do cuboctaedro

representados na figura:

( )A 3,0,6 , ( )B 0,3,6 , ( )C 3,6,6 , ( )D 6,3,6 , ( )E 6,0,3 , ( )F 3,0,0 ,

( )G 0,6,3 , ( )H 6,6,3 , ( )I 6,3,0 , ( )J 3,6,0

4.2. Determinemos a distância entre os pontos A e G:

( ) ( ) ( )2 2 2AG 3 0 0 6 6 3 9 36 9 54 3 6= − + − + − = + + = =

4.3. Mostremos que a razão entre os volumes do cubo e do cuboctaedro é 1,2.

o O volume do cubo é 3cuboV 6 216= =

o O volume da pirâmide [RDHC] é pirâmide1 3 3 9

V 33 2 2

×= × × =

o O volume do cuboctaedro é cuboctaedro cubo pirâmide9

V V 8 V 216 8 1802

= − × = − × =

o cubo

cuboctaedro

V 2161,2

V 180= =

FIM

y

z

x

F

E

G

H

J

D

C

BA

O

I

R





4º Teste de avaliação – Critérios de correcção

Grupo I

1 2 3 4 5

B D A C D

Grupo II

1. ………………………………………………………………………………………………….. 40

1.1. ………………………………………………..………………………………………. 16

1.1.1. ………………………………………………………………………… 6

•••• Identificar o domínio ………………………………….....……… 3

•••• Identificar o contradomínio …………….…………….………... 3

1.1.2. ………………………………………………………………………… 5

1.1.3. ………………………………………………………………………… 5

1.2. ………………………………………………..………………………………………. 10

1.2.1. ………………………………………………………………………… 5

1.2.2. ………………………………………………………………………… 5

1.3. ………………………………………………..………………………………………. 8

•••• 1ª linha ………………………………………………………………………. 3

•••• 2ª linha ………………………………………………………………………. 3

•••• Indicação dos extremos …………………………………………………… 2

1.4. ………………………………………………..………………………………………. 6

2. …………………………………………………………………………………………………… 60

2.1. ………………………………………………………….………………………………. 10

• Calcular L(0) ……………………………………………………… 5

• Interpretar o resultado …………………………………………… 5

2.2. ………………………………………………………..………………………………… 10

2.3. ……………………………………………………….………………………………… 10

• Calcular ( )L 2 ……………………………………………………… 5

• Interpretar ( )L 2

200 ………………………………………………… 5

2.4. ………………………………………………………………………………………… 10


•••• Calcular o Lucro máximo..…………………...…………………………… 5

•••• Indicar o número de peças produzidas para obter o lucro máximo ..... 5

2.5. …………………………………………………………..……………………………. 10

•••• Apresentar o gráfico ou resolver a equação ………………………….. 5

•••• Apresentar o resultado ...………………………………………………… 5

3. …………………………………………………………………………………………………… 35

3.1. ………………………………………………………………………………………. 8

•••• Cálculo de AC��

…………………………………………………………….. 2

•••• Utilização da definição ou da condição de colinearidade ……………. 4

•••• Dar a resposta ……………………………………………………………. 2

3.2. ………………………………………………………………………………………. 6

3.3. ………………………………………………………………………………………. 6

3.4. ………………………………………………………………………………………. 10

•••• Calcular a distância de B à origem ………………..…………………… 5

•••• Concluir os valores que o raio pode tomar ……..…………………...... 5

4. ………………………………………………………………………………………………

4.1. ……………………………………………………………………………………….. 10

4.2. ……………………………………………………………………………………….. 5

4.3. ……………………………………………………………………………………….. 15

•••• Cálculo do volume do cubo …………………………………………….. 3

•••• Cálculo do volume de uma pirâmide …………………………………… 4

•••• Cálculo do volume do cuboctaedro …………………………………….. 5

•••• Cálculo da razão entre os volumes …………………………………….. 3

Total ………………………………………………………………………………………………… 200

Education

Teste04 b