Testes da relação de dualidade de distância cósmica (RDDC)

Testes da relacao de dualidade de distancia com

fgas

Simony Santos

Universidade Federal de Campina Grande

07 de Janeiro de 2014

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1 Fracao de Massa de Gas em Aglomerados de Galaxias

2 Deducao da expressao para a fgas

3 Analises utilizando SNIa vs. fgasAnalisesResultados

4 Analises utilizando fx vs. fSZResultados

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Fracao de Massa de Gas em Aglomerados de Galaxias

Fracao de Massa de Gas em Aglomerados de

Galaxias

Pressupostos para utilizar as medidas de fgas como testescosmologicos:

Um aglomerado de galaxias e uma amostra representativado conteudo material do Universo;

A razao entre materia em forma de gas e a materia total semantem constante ao longo de toda evolucao do Universo;

A maior parte da materia barionica do aglomerado esta soba forma do gas do meio intra-aglomerado.

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Galaxias





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Galaxias





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Galaxias





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Deducao da expressao para a fgas


Tomando a razao entre a medida de fgas para dois mo-delos cosmologicos diferentes, temos:

f 1gas

f 2gas

=

(η1

η2

)ς (d1A

d2A

)ς/2+1

(1)

Quando ς = 0 recuperamos as medidas via ESZ, equando ς = 1 recuperamos as medidas em raios-X.

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Tomando a razao entre a medida de fgas para dois mo-delos cosmologicos diferentes, temos:

f 1gas

f 2gas

=

(η1

η2

)ς (d1A

d2A

)ς/2+1

(1)

Quando ς = 0 recuperamos as medidas via ESZ, equando ς = 1 recuperamos as medidas em raios-X.

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Portanto, dado um modelo cosmologico, a expressaopara a medida de fracao de gas pode ser escrita como:

fgas = N

(η∗

ηmod

)ς (d∗AdmodA

)ς/2+1

(2)

onde (mod) se refere ao modelo a ser testado e (∗) ao modelofiducial a ser adotado nas observacoes.

Alem disso, N e um parametro com dependencia mınimacom a razao entre a massa em forma de gas e a massa total doaglomerado a ser medido, de modo que, se tomarmos medidasproximas, z << 1, fgas = N .

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Portanto, dado um modelo cosmologico, a expressaopara a medida de fracao de gas pode ser escrita como:

fgas = N

(η∗

ηmod

)ς (d∗AdmodA

)ς/2+1

(2)

onde (mod) se refere ao modelo a ser testado e (∗) ao modelofiducial a ser adotado nas observacoes.

Alem disso, N e um parametro com dependencia mınimacom a razao entre a massa em forma de gas e a massa total doaglomerado a ser medido, de modo que, se tomarmos medidasproximas, z << 1, fgas = N .

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Por outro lado, podemos escrever a equacao para me-dida da fgas de acordo com os parametros cosmologicos e as-trofısicos como,

N = fgas =Mgas

Mtot= G [b,mest , ...]

Mb


Ωb

Ωtot(3)

Com isto, a expressao para a fracao de massa de gascomo teste cosmologico pode ser escrita como,

fgas = G [b,mest , ...]Ωb

Ωtot

(η∗

ηmod

)ς (d∗AdmodA

)ς/2+1

(4)

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Por outro lado, podemos escrever a equacao para me-dida da fgas de acordo com os parametros cosmologicos e as-trofısicos como,

N = fgas =Mgas


Mb


Ωb

Ωtot(3)

Com isto, a expressao para a fracao de massa de gascomo teste cosmologico pode ser escrita como,

fgas = G [b,mest , ...]Ωb

Ωtot

(η∗

ηmod

)ς (d∗AdmodA

)ς/2+1

(4)

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Assim, e possıvel submeter a analise observacional um mo-delo cosmologico que possua em sua composicao, alem das com-ponentes de radiacao, materia barionica e escura, uma compo-nente responsavel pela presente fase de aceleracao do Universo,que possua uma equacao de estado do tipo px = ωρx .

Entao, comparando os dados observacionais com sua mode-lagem teorica e possıvel inferir quais valores para seus parametrosmelhor se ajustam as observacoes.

Os autores utilizaram o modelo fiducial ΛCDM, com ΩΛ =0, 7, ΩM = 0, 3, bem como, h = 0, 7.

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A expressao teorica para a fracao de massa de gas em aglo-merados e a seguinte:

fgas = fracKAγb(z)1 + S(z)

(Ωb

ΩM

)(dΛCDMA

dmodA

)3/2

(5)

onde K e uma constante de calibracao, A reflete a diferenca entreos diametros angulares, o parametro γ da conta da pressao notermica do gas, b(z) e o fator de depreciacao e S(z) representa afracao de massa barionica nas estrelas.

Alem disso, a relacao de dualidade de distancia foi assumidacomo valida para ambos os modelos.

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A expressao teorica para a fracao de massa de gas em aglo-merados e a seguinte:

fgas = fracKAγb(z)1 + S(z)

(Ωb

ΩM

)(dΛCDMA

dmodA

)3/2

(5)

onde K e uma constante de calibracao, A reflete a diferenca entreos diametros angulares, o parametro γ da conta da pressao notermica do gas, b(z) e o fator de depreciacao e S(z) representa afracao de massa barionica nas estrelas.

Alem disso, a relacao de dualidade de distancia foi assumidacomo valida para ambos os modelos.

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Utilizando o fato de que:

dA =c

(1 + z)

∫ z

0

dz

H0E (z)(6)

temos,

dΛCDMA =

1

(1 + z)

∫ z

0

dz

70√

0, 3a−3 + 0, 7(7)

dmodA =

1

(1 + z)

∫ z

0

dz

H0

√ΩMa−3 + Ωxa−3(ω+1)

(8)

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Utilizando o fato de que:

dA =c

(1 + z)

∫ z

0

dz

H0E (z)(6)

temos,

dΛCDMA =

1

(1 + z)

∫ z

0

dz

70√

0, 3a−3 + 0, 7(7)

dmodA =

1

(1 + z)

∫ z

0

dz

H0

√ΩMa−3 + Ωxa−3(ω+1)

(8)

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Para tal analise, os autores encontraram como melhor ajusteentre os parametros teoricos e os dados observacionais os seguintesvalores:

ΩM = 0, 28± 0, 06

ω = −1, 14+0,27−0,35

ambos para o nıvel de confianca de 1σ.

Para a analise conjunta, temos:

ΩM = 0, 253± 0, 021

ω = −0, 98± 0, 07

tambem na regiao de 1σ.

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Para tal analise, os autores encontraram como melhor ajusteentre os parametros teoricos e os dados observacionais os seguintesvalores:

ΩM = 0, 28± 0, 06

ω = −1, 14+0,27−0,35

ambos para o nıvel de confianca de 1σ.

Para a analise conjunta, temos:

ΩM = 0, 253± 0, 021

ω = −0, 98± 0, 07

tambem na regiao de 1σ.

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Analises utilizando SNIa vs. fgas


Com o objetivo de testar a viabilidade observacional darelacao de dualidade de distancia cosmica ajustando os parametrosteoricos atraves de medidas para ηobs , o autor recorreu a expressaooriginal da RDDC utilizando duas fontes distintas de dados parainferir um valor de ηobs .

Para as medidas de distancia de luminosidade dL, foram uti-lizadas medidas do modulo de distancia de SNIa e para as medidasde distancia de diametro angular dA, foram utilizadas medidas dafracao da massa do gas em aglomerados de galaxias.

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Com o objetivo de testar a viabilidade observacional darelacao de dualidade de distancia cosmica ajustando os parametrosteoricos atraves de medidas para ηobs , o autor recorreu a expressaooriginal da RDDC utilizando duas fontes distintas de dados parainferir um valor de ηobs .

Para as medidas de distancia de luminosidade dL, foram uti-lizadas medidas do modulo de distancia de SNIa e para as medidasde distancia de diametro angular dA, foram utilizadas medidas dafracao da massa do gas em aglomerados de galaxias.

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A possibilidade de utilizar SNIa advem da tecnica de trata-lascomo velas padronizaveis. Como se busca restringir os parametros rela-tivos a Cosmologia, utiliza-se a grandeza fısica denominada modulo dedistancia, que e definida da seguinte forma:

µ(z) = m −M = 5 log10(dL/Mpc) + 25⇒dL = 10(µ−25)/5Mpc (9)

Com relacao as medidas de dA, no caso de fgas medidas em raios-X, temos:

dA = N2/3

(dΛCDMA

η2/3f2/3x

)(10)

onde N e um fator de normalizacao.

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A possibilidade de utilizar SNIa advem da tecnica de trata-lascomo velas padronizaveis. Como se busca restringir os parametros rela-tivos a Cosmologia, utiliza-se a grandeza fısica denominada modulo dedistancia, que e definida da seguinte forma:

µ(z) = m −M = 5 log10(dL/Mpc) + 25⇒dL = 10(µ−25)/5Mpc (9)

Com relacao as medidas de dA, no caso de fgas medidas em raios-X, temos:

dA = N2/3

(dΛCDMA

η2/3f2/3x

)(10)

onde N e um fator de normalizacao.

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Utilizando as equacoes (9) e (10), podemos reescrevera RDDC, como:

η(z) =dL

dA(1 + z)2=

10(µ−25)/5

N2/3(

dΛCDMA

η2/3f2/3x

)(1 + z)2

⇒

ηobs =f 2x 103(µ−25)/5

N2d∗3A (1 + z)6(11)

onde todos os parametros sao grandezas observaveis.

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Apresentadas as fontes de medidas observacionais paraηobs , e necessario agora definir a parte teorica para analise.

Com este intuito, foram adotadas duas parametrizacoes,

η(z) = 1 + η0z (12)

η(z) = 1 + η0z

1 + z(13)

De posse das medidas de ηobs , bem como das parame-trizacoes teoricas, pode-se fazer a analise fenomenologica.

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η(z) = 1 + η0z (12)

η(z) = 1 + η0z

1 + z(13)


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η(z) = 1 + η0z (12)

η(z) = 1 + η0z

1 + z(13)


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Para a analise estatıstica foi utilizado o teste do χ2, onde omelhor ajuste entre observacao e teoria e obtido atraves da mini-mizacao do valor,

χ2 =∑i

[ηobs(zi ; p)− ηteo(η0)]2

σ2ηobs

(14)

Como N nao representa uma variavel vital para a analise, foiutilizado o metodo de marginalizacao em analises de estatısticasBayesiana. De modo que, a expressao para o χ2 e integrada sobretodos os valores possıveis de N:

χ2 = −2 ln

∫ +∞

−∞e−χ

2(N,fx ,µ)/2dN (15)

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Para a analise estatıstica foi utilizado o teste do χ2, onde omelhor ajuste entre observacao e teoria e obtido atraves da mini-mizacao do valor,

χ2 =∑i

[ηobs(zi ; p)− ηteo(η0)]2

σ2ηobs

(14)

Como N nao representa uma variavel vital para a analise, foiutilizado o metodo de marginalizacao em analises de estatısticasBayesiana. De modo que, a expressao para o χ2 e integrada sobretodos os valores possıveis de N:

χ2 = −2 ln

∫ +∞

−∞e−χ

2(N,fx ,µ)/2dN (15)

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Analises utilizando SNIa vs. fgas Analises

Analises

A analise propriamente dita foi dividida em dois momentos.

Primeiro par de combinacao: comparar os valores de µprovenientes do levantamento de SNIa denominado Union 2e os valores de fx fornecidos por LaRoque et al..

Segundo par de combinacao: comparar os mesmos valoresde µ mas agora com os dados de fx fornecidos por Ettori etal..

OBS.: A compilacao Union 2 conta com 557 pontos estendidospor um intervalo de redshift entre 0, 015 < z < 1, 400.

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Analises





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Analises





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Para o primeiro par de combinacao foram tomados 38 pon-tos relativos as medidas de fx fornecidas por LaRoque et al. numintervalo de redshift de 0, 14 < z < 0, 89.

E para o segundo par de combinacao, os dados fornecidospor Ettori et al. foram 57 aglomerados de galaxias, distribuıdosem um intervalo de redshift de 0, 063 < z < 1, 063.

No entanto, apenas 38 dos 57 aglomerados de galaxias fo-ram utilizados, com o objetivo de comparar diretamente com osresultados do primeira combinacao.

Alem disso, o criterio de escolha dos 38 pontos foi o de seobter pontos com menor discrepancia de redshift entre as SNIa eos aglomerados.

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Analises utilizando SNIa vs. fgas Resultados

Resultados

Parametrizacao 1:

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Resultados

Parametrizacao 1:

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Resultados

Parametrizacao 2:

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Resultados

Parametrizacao 2:

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Analises utilizando fx vs. fSZ


Agora vamos nos deter a um valor observacional de ηobtido atraves da observacao de fgas em um mesmo aglome-rado, proveninentes de medidas tanto via raios-X quanto viaefeito Sunyaev-Zel’dovich.

A motivacao para utilizar medidas de um mesmo ob-servavel e que as estimativas de η na analise anterior pode-riam estar contaminadas com erros sistematicos alem de seremamostras com redshifts diferentes.

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Agora vamos nos deter a um valor observacional de ηobtido atraves da observacao de fgas em um mesmo aglome-rado, proveninentes de medidas tanto via raios-X quanto viaefeito Sunyaev-Zel’dovich.

A motivacao para utilizar medidas de um mesmo ob-servavel e que as estimativas de η na analise anterior pode-riam estar contaminadas com erros sistematicos alem de seremamostras com redshifts diferentes.

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Sabemos que,

fx = Aηd3/2A

fSZ = BdA

Se assumirmos a RDDC como valida, ao tomarmos uma medidade fgas em um aglomerado, seu valor deve ser o mesmo tanto para asmedidas em raios-X quanto via ESZ, de modo que,

fSZfx

= 1

Aliviando a premissa de validade da RDDC, devemos ter:

fSZfx

= η (16)

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Sabemos que,

fx = Aηd3/2A

fSZ = BdA


fSZfx

= 1


fSZfx

= η (16)

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Sabemos que,

fx = Aηd3/2A

fSZ = BdA


fSZfx

= 1


fSZfx

= η (16)

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Novamente sera utilizado o teste do χ2 para a analisefenomenologica, sendo assim, precisamos definir as expressoesteoricas e determinar as fontes observacionais.

Do ponto de vista teorico, o valor para o parametro daRDDC (ηteo) esta associada a uma certa parametrizacao.

E do ponto de vista observacional, o valor associado aηobs ira provir de medidas da fracao de gas em aglomeradostanto em raios-X quanto via ESZ.

Os dados utilizados nesse caso foram fornecidos por La-Roque et al..

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De maneira analoga, foi realizado o teste estatıstico doχ2 para obter quais valores de ηteo melhor se ajustam as me-didas de ηobs ,

χ2 =∑i

[ηteo(zi ; η0)− ηobs(zi ; fx , fSZ )]2

σ2ηobs

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onde σ2ηobs

e o desvio obtido atraves da propagacao dos errosde medidas indiretas, definido como:

σ2ηobs =

fSZfx

√(σfSZfSZ

)2

+

(σfxfx

)2

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Analises utilizando fx vs. fSZ Resultados

Resultados

Conjunto original de 38 pontos:

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Resultados

Conjunto original de 38 pontos:

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Resultados

Conjunto de 29 pontos:

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Resultados


O χ2 reduzido obtido para a comparacao entre a modeloa-gem teorica da distribuicao do gas no aglomerado e a observacao,para os pontos excluıdos, varia entre 2, 43 < χ2 < 41, 62.

O que implica em valores maios compatıveis com a RDDC,

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Resultados




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Resultados




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