FICHA TCNICA Ttulo Tpicos de Fsica Edio Electrnica Copyright 2008 do autor Autor

Gustavo Vitorino Monteiro da Silva Engenheiro Electrotcnico Mestre em Engenharia Electrotcnica e de Computadores e-mail: gustavo.silva@fxs.pt

Foto do autor: Lus Silva, FXS

Capa

FXS, Gesto de Marketing, Lda. Rua Prof. Mark Athias, 4, 3 Frente 1600-646 LISBOA PORTUGAL Tel: 210 185 159 Fax: 217 599 327 www.fxs.pt e-mail: info@fxs.pt

ISBN: 978-972-99862-5-3

Lisboa, 2 de Abril de 2008

ao meu neto Henrique

PREFCIO Este pequeno livro surge na sequncia de dar a conhecer o trabalho realizado com a leccionao da disciplina de Complementos de Fsica, da antiga licenciatura bi-etpica em Automao Controlo e Instrumentao (ACI) da Escola Superior de Tecnologia de Setbal do Instituto Politcnico de Setbal.

Das obras j desenvolvidas so de realar, para alm das publicaes de carcter pedaggico, efectuadas no mbito das disciplinas leccionadas, os livros de Instrumen-tao Industrial 1 edio (1999), Processamento Digital de Sinais (2000), Controlo No Linear (2003) e Instrumentao Industrial 2 edio (2004).

Este trabalho no constitui de modo algum um tratado sobre Fsica, pois no abarca alguns assuntos fundamentais que uma obra desse tipo deveria conter, como por exemplo Termodinmica, ptica e outros. Constitui sim um pequeno conjunto de tpi-cos que foram leccionados durante alguns anos numa determinada disciplina que fazia parte do elenco curricular do curso de ACI.

Em cada captulo so apresentados alguns problemas de aplicao que pretendem estimular o aluno, ou o leitor, a repensar na teoria exposta e a consolidar a sua com-preenso. Os problemas do ltimo captulo foram resolvidos utilizando o Matlab, que de entre os programas de clculo cientfico que conheo aquele apresenta uma gran-de versatilidade e elevado potencial, ao mesmo tempo que extremamente fcil de utilizar.

O Autor

i

CONTEDO

Pg. 1. MECNICA CLSSICA ...................................................................................................................... 1

1.1. CINEMTICA ...................................................................................................................................... 1 1.2. MOVIMENTO NUM PLANO .................................................................................................................. 4

1.2.1. Coordenadas polares ................................................................................................................ 4 1.2.2. Coordenadas normais ............................................................................................................... 5 1.2.3. Movimento circular ................................................................................................................... 5 1.2.4. Movimento circular uniforme ................................................................................................... 6

1.3. DINMICA DE UMA PARTCULA MATERIAL ........................................................................................ 6 1.4. MOVIMENTOS RELATIVOS ................................................................................................................. 7

1.4.1. Posio da partcula ................................................................................................................. 8 1.4.2. Velocidade da partcula ............................................................................................................ 8 1.4.3. Acelerao da partcula ............................................................................................................ 9 1.4.4. A 2 lei de Newton ................................................................................................................... 10 1.4.5. Relatividade de Galileu ........................................................................................................... 10 1.4.6. Transformao de Galileu ...................................................................................................... 10

1.5. TRABALHO E ENERGIA ..................................................................................................................... 11 1.5.1. Trabalho .................................................................................................................................. 11 1.5.2. Energia cintica ...................................................................................................................... 12 1.5.3. Impulso de uma fora .............................................................................................................. 12 1.5.4. Campo gravtico ...................................................................................................................... 12 1.5.5. Potencial e energia potencial ................................................................................................. 13 1.5.6. Conservao da energia ......................................................................................................... 14 1.5.7. Atraco universal .................................................................................................................. 14 1.5.8. Movimentos com atrito............................................................................................................ 15 1.5.9. Momento angular de uma partcula material ......................................................................... 16

1.6. DINMICA DOS SISTEMAS ................................................................................................................ 19 1.6.1. Movimento do centro de inrcia ............................................................................................. 19 1.6.2. Teorema do momento linear ................................................................................................... 20 1.6.3. Colises entre partculas e exploses ..................................................................................... 21 1.6.4. Teorema do momento angular ................................................................................................ 22 1.6.5. Energia de rotao ................................................................................................................. 23

1.7. APNDICE ........................................................................................................................................ 24 1.8. PROBLEMAS RESOLVIDOS ................................................................................................................ 25

1.8.1. Probl. 1. 1 Movimento rectilneo ......................................................................................... 25 1.8.2. Probl. 1. 2 Movimento circular ............................................................................................ 27 1.8.3. Probl. 1. 3 Movimentos relativos ......................................................................................... 29 1.8.4. Probl. 1. 4 Movimentos relativos ......................................................................................... 30 1.8.5. Probl. 1. 5 Movimento de um projctil ................................................................................ 31 1.8.6. Probl. 1. 6 - Queda de um grave ............................................................................................. 32 1.8.7. Probl. 1. 7 Movimento de um projctil ................................................................................ 34 1.8.8. Probl. 1. 8 - Movimento de um projctil ................................................................................. 35 1.8.9. Probl. 1. 9 Energia cintica e potencial .............................................................................. 37 1.8.10. Probl. 1. 10 Movimento circular uniforme ........................................................................ 38 1.8.11. Probl. 1. 11 Movimento circular uniforme ........................................................................ 39 1.8.12. Probl. 1. 12 Movimento circular uniforme ........................................................................ 40 1.8.13. Probl. 1. 13 Movimentos relativos ..................................................................................... 41

ii

1.8.14. Probl. 1. 14 Mov. circ. unif. Satlites GPS ..................................................................... 44 1.8.15. Probl. 1. 15 Fora e trabalho ............................................................................................ 46 1.8.16. Probl. 1. 16 Fora e energia .............................................................................................. 47 1.8.17. Probl. 1. 17 Atraco universal ......................................................................................... 48 1.8.18. Probl. 1. 18 - Conservao do momento linear .................................................................... 49 1.8.19. Probl. 1. 19 - Conservao da energia ................................................................................. 51 1.8.20. Probl. 1. 20 - Conservao da energia ................................................................................. 53 1.8.21. Probl. 1. 21 Mov. Circular e energia cintica ................................................................... 54 1.8.22. Probl. 1. 22 Energia de rotao ......................................................................................... 55 1.8.23. Probl. 1. 23 Atrito .............................................................................................................. 56 1.8.24. Probl. 1. 24 Pndulo balstico............................................................................................ 57 1.8.25. Probl. 1. 25 Movimento de rotao e translao ............................................................... 58 1.8.26. Probl. 1. 26 Conservao do momento linear ................................................................... 59 1.8.27. Probl. 1. 27 Conservao do momento angular ................................................................ 60

2. ELECTROMAGNETISMO ................................................................................................................ 61

2.1. ELECTROSTTICA ............................................................................................................................ 61 2.1.1. Carga elctrica ....................................................................................................................... 61 2.1.2. Lei de Coulomb() ..................................................................................................................... 62 2.1.3. Campo elctrico ...................................................................................................................... 62 2.1.4. Densidade de carga ................................................................................................................ 63 2.1.5. Movimento de uma partcula carregada num campo elctrico ............................................... 64

2.2. FLUXO DO CAMPO ELCTRICO ........................................................................................................ 65 2.2.1. Fluxo de um vector .................................................................................................................. 65 2.2.2. Circulao de um vector ......................................................................................................... 65 2.2.3. Teorema de Stokes .................................................................................................................. 66 2.2.4. Fluxo do Campo Elctrico e lei de Gauss ............................................................................... 66 2.2.5. Condutores em equilbrio electrosttico ................................................................................. 68 2.2.6. ngulo slido e lei de Gauss ................................................................................................... 68

2.3. POTENCIAL ELCTRICO E CAPACIDADE ........................................................................................... 69 2.3.1. Energia potencial .................................................................................................................... 69 2.3.2. Diferena de potencial ............................................................................................................ 69 2.3.3. Potencial devido a uma carga ................................................................................................ 69 2.3.4. Potencial devido a uma distribuio de cargas ...................................................................... 70 2.3.5. Capacidade e condensadores .................................................................................................. 71

2.4. CONDUTORES E CORRENTE ELCTRICA ............................................................................................ 73 2.4.1. Corrente elctrica ................................................................................................................... 73 2.4.2. Lei de ohm ............................................................................................................................... 74 2.4.3. Energia e potncia .................................................................................................................. 75 2.4.4. Leis de Kirchhoff ..................................................................................................................... 76

2.5. CAMPO MAGNTICO. ........................................................................................................................ 77 2.5.1. Introduo ............................................................................................................................... 77 2.5.2. Fora exercida sobre a carga elctrica .................................................................................. 77 2.5.3. Fora exercida sobre a corrente elctrica .............................................................................. 78 2.5.4. Movimento de uma partcula num campo magntico ............................................................. 78 2.5.5. O efeito de Hall ....................................................................................................................... 79 2.5.6. A lei de Biot-Savart ................................................................................................................. 79 2.5.7. Fora magntica entre dois condutores paralelos .................................................................. 80 2.5.8. Lei de Ampere ......................................................................................................................... 81 2.5.9. Lei de Gauss do campo magntico.......................................................................................... 81 2.5.10. Generalizao da lei de Ampere ........................................................................................... 82 2.5.11. O magnetismo na matria ..................................................................................................... 82

2.6. AS EQUAES DE MAXWELL ........................................................................................................... 83 2.6.1. A lei da induo, de Faraday .................................................................................................. 83 2.6.2. Lei de Lenz .............................................................................................................................. 83

iii

2.6.3. As equaes de Maxwell na forma integral ............................................................................ 83 2.6.4. As equaes de Maxwell na forma diferencial ........................................................................ 84 2.6.5. Ondas electromagnticas ........................................................................................................ 85 2.6.6. O espectro das ondas electromagnticas ................................................................................ 86

2.7. FENMENOS PERIDICOS ................................................................................................................. 87 2.7.1. Exemplos de fenmenos peridicos ........................................................................................ 87 2.7.2. Representao analtica e grfica .......................................................................................... 87 2.7.3. O sinal sinusoidal ................................................................................................................... 88 2.7.4. A srie de Fourier ................................................................................................................... 90 2.7.5. O movimento harmnico simples ............................................................................................ 91

2.8. CIRCUITOS EM CORRENTE ALTERNADA ............................................................................................ 93 2.8.1. Tenso alternada sinusoidal ................................................................................................... 93 2.8.2. Tenso e corrente numa resistncia ........................................................................................ 94 2.8.3. Tenso e corrente numa bobina .............................................................................................. 95 2.8.4. Tenso e corrente num condensador ...................................................................................... 97 2.8.5. Circuito RLC srie .................................................................................................................. 99 2.8.6. Energia e potncia ................................................................................................................ 101 2.8.7. Energia armazenada ............................................................................................................. 102

2.9. TRANSFORMADOR ......................................................................................................................... 103 2.9.1. Descrio .............................................................................................................................. 103 2.9.2. Equaes instantneas .......................................................................................................... 103 2.9.3. Transformador ideal ............................................................................................................. 104

2.10. CIRCUITOS TRIFSICOS ................................................................................................................ 106 2.10.1. Sistemas trifsicos ............................................................................................................... 106 2.10.2. Valores instantneos ........................................................................................................... 106 2.10.3. Diagramas vectoriais .......................................................................................................... 107 2.10.4. Ligaes em estrela e tringulo .......................................................................................... 109

2.11. LINHA DE TRANSMISSO .............................................................................................................. 110 2.11.1. Descrio e caracterizao ................................................................................................ 110 2.11.2. Equaes da linha bifilar .................................................................................................... 110 2.11.3. Factor de reflexo ............................................................................................................... 112 2.11.4. Propagao de impulsos numa linha .................................................................................. 113

2.12. PROBLEMAS RESOLVIDOS ............................................................................................................ 115 2.12.1. Problema 2. 1 Clculo do nmero de cargas ................................................................... 115 2.12.2. Problema 2. 2 Fora elctrica e gravtica ....................................................................... 115 2.12.3. Problema 2. 3 Foras e medio da carga elctrica ....................................................... 116 2.12.4. Problema 2. 4 Dipolo elctrico ........................................................................................ 118 2.12.5. Problema 2. 5 Carga sujeita a fora elctrica ................................................................. 119 2.12.6. Problema 2. 6 Campo elctrico de uma carga ................................................................. 120 2.12.7. Problema 2. 7 Potencial de uma carga ............................................................................ 121 2.12.8. Problema 2. 8 Potencial de uma esfera isolante .............................................................. 122 2.12.9. Problema 2. 9 Potencial de uma esfera condutora .......................................................... 123 2.12.10. Problema 2. 10 Potencial de 2 esferas concntricas ..................................................... 125 2.12.11. Problema 2. 11 Potencial e diferena de potencial ....................................................... 125 2.12.12. Problema 2. 12 Campo elctrico e capacidade entre 2 placas ...................................... 127 2.12.13. Problema 2. 13 Capacidade de condensadores ............................................................. 128 2.12.14. Problema 2. 14 Aplicao numrica do problema anterior ........................................... 129 2.12.15. Problema 2. 15 Efeito do dielctrico num condensador ................................................ 130 2.12.16. Problema 2. 16 Condensador com 2 dielctricos .......................................................... 131 2.12.17. Problema 2. 17 Resistncia de um condutor .................................................................. 132 2.12.18. Problema 2. 18 Tenses e correntes alternadas ............................................................ 133 2.12.19. Problema 2. 19 - Circuito RLC srie ................................................................................ 134

2.13. PROBLEMAS PROPOSTOS .............................................................................................................. 136 2.13.1. Problema 2. 20 Dipolo ..................................................................................................... 136 2.13.2. Problema 2. 21 Cargas .................................................................................................... 136 2.13.3. Problema 2. 22 Descarga de condensador ...................................................................... 136

iv

2.13.4. Problema 2. 23 Resistncia .............................................................................................. 136 2.13.5. Problema 2. 24 Associao de resistncias ..................................................................... 136 2.13.6. Problema 2. 25 Associao de bobinas ........................................................................... 136 2.13.7. Problema 2. 26 Associao de condensadores ................................................................ 137 2.13.8. Problema 2. 27 Fora electromagntica sobre carga, 1.................................................. 137 2.13.9. Problema 2. 28 Fora electromagntica sobre carga, 2.................................................. 137 2.13.10. Problema 2. 29 Fora sobre uma espira ........................................................................ 137 2.13.11. Problema 2. 30 Campo magntico produzido por uma corrente ................................... 137 2.13.12. Problema 2. 31 Barra em movimento num campo magntico ....................................... 138 2.13.13. Problema 2. 32 Fora de uma corrente sobre condutores ............................................. 138 2.13.14. Problema 2. 33 Aplicao da lei de Ampere .................................................................. 138 2.13.15. Problema 2. 34 Aplicao da lei de Gauss do campo magntico .................................. 138 2.13.16. Problema 2. 35 - Transformador ...................................................................................... 138 2.13.17. Problema 2. 36 F.e.m. numa bobina em movimento em B ............................................. 139 2.13.18. Problema 2. 37 Linha bifilar, 1 ...................................................................................... 139 2.13.19. Problema 2. 38 Linha bifilar, 2 ...................................................................................... 140 2.13.20. Problema 2. 39 Ondas electromagnticas, 1 ................................................................. 140 2.13.21. Problema 2. 40 Ondas electromagnticas, 2 ................................................................. 140

3. FSICA RELATIVISTA ................................................................................................................... 141

3.1. INTRODUO ................................................................................................................................. 141 3.2. TRANSFORMAES DE GALILEU .................................................................................................... 142 3.3. A VELOCIDADE DA LUZ .................................................................................................................. 143 3.4. OS POSTULADOS DE TEORIA DA RELATIVIDADE RESTRITA ............................................................. 144 3.5. O TEMPO DE UM REFERENCIAL ....................................................................................................... 144

3.5.1. Sincronizao de relgios ..................................................................................................... 145 3.5.2. Simultaneidade de acontecimentos ....................................................................................... 145 3.5.3. Dilatao do tempo ............................................................................................................... 146 3.5.4. O paradoxo dos gmeos ........................................................................................................ 148 3.5.5. A contraco do espao ........................................................................................................ 148 3.5.6. O diagrama espao-tempo .................................................................................................... 149 3.5.7. O efeito de Dppler ............................................................................................................... 150

3.6. TRANSFORMAES DE LORENTZ ................................................................................................... 150 3.6.1. Equaes de transformao de coordenadas ........................................................................ 151 3.6.2. Equaes de transformao de velocidade ........................................................................... 152

3.7. MOMENTO LINEAR E LEIS DE NEWTON .......................................................................................... 153 3.8. ENERGIA ........................................................................................................................................ 155 3.9. ELECTROMAGNETISMO E RELATIVIDADE ....................................................................................... 158 3.10. TEORIA DA RELATIVIDADE GENERALIZADA ................................................................................. 160 3.11. PROBLEMAS RESOLVIDOS ............................................................................................................ 163

3.11.1. Probl. 3.1 Comprimento prprio ..................................................................................... 163 3.11.2. Probl. 3.2 Tempo prprio ................................................................................................ 164 3.11.3. Probl. 3.3 Tempo e comprimento prprios ...................................................................... 165 3.11.4. Probl. 3.4 Diagrama espao-tempo, 2D .......................................................................... 166 3.11.5. Probl. 3.5 Diagrama espao-tempo, 3D .......................................................................... 167 3.11.6. Probl. 3.6 Composio de velocidades, 1 ........................................................................ 168 3.11.7. Probl. 3.7 Composio de velocidades, 2 ........................................................................ 168 3.11.8. Probl. 3.8 Composio de velocidades, 3 ........................................................................ 170 3.11.9. Probl. 3.9 Composio de velocidades, 4 ........................................................................ 171 3.11.10. Probl. 3.10 Simultaneidade ............................................................................................ 172 3.11.11. Probl. 3.11 Momento linear ........................................................................................... 173 3.11.12. Probl. 3.12 Ec clssica / Ec relativista .......................................................................... 174 3.11.13. Probl. 3.13 Desintegrao de partculas, 1 ................................................................... 175 3.11.14. Probl. 3.14 Desintegrao de partculas, 2 ................................................................... 176 3.11.15. Probl. 3.15 Energia de uma partcula ........................................................................... 176

v

3.11.16. Probl. 3.16 Energia e velocidade de electres ............................................................... 177 3.11.17. Probl. 3.17 Converso massa-energia, 1 ....................................................................... 177 3.11.18. Probl. 3.18 Converso massa-energia, 2 ....................................................................... 178 3.11.19. Probl. 3.19 Energia cintica e tempo prprio ............................................................... 179 3.11.20. Probl. 3.20 Velocidade e massa-energia ....................................................................... 180 3.11.21. Probl. 3.21 Converso massa-energia ........................................................................... 180 3.11.22. Probl. 3.22 Massa-energia e momento linear ................................................................ 181 3.11.23. Probl. 3.23 Energia e comprimento ............................................................................... 182 3.11.24. Probl. 3.24 Fora e acelerao ..................................................................................... 183 3.11.25. Probl. 3.25 Efeito de Dppler, 1 .................................................................................... 185 3.11.26. Probl. 3.26 Efeito de Dppler, 2 .................................................................................... 186 3.11.27. Probl. 3.27 Raio gravitacional....................................................................................... 187 3.11.28. Probl. 3.28 Equivalncia entre E e B ............................................................................. 188

4. INTRODUO FSICA QUNTICA ...................................................................................... 189

4.1. RADIAO DO CORPO NEGRO ....................................................................................................... 189 4.1.1. Corpo negro .......................................................................................................................... 189 4.1.2. Lei de Stefan .......................................................................................................................... 190 4.1.3. Lei Rayleigh-Jeans ................................................................................................................ 191 4.1.4. Lei do deslocamento de Wien ................................................................................................ 191 4.1.5. Lei de radiao de Planck .................................................................................................... 191

4.2. EFEITO FOTOELCTRICO ................................................................................................................ 193 4.3. ESPECTROS DOS GASES .................................................................................................................. 195 4.4. EFEITO DE COMPTON ..................................................................................................................... 197 4.5. O TOMO DE HIDROGNIO ............................................................................................................. 201 4.6. ONDAS DE MATRIA ...................................................................................................................... 206 4.7. PRINCPIO DA INCERTEZA .............................................................................................................. 207 4.8. FUNO DE ONDA .......................................................................................................................... 208 4.9. EQUAO DE SCHRDINGER ......................................................................................................... 211 4.10. PRINCPIOS DA MECNICA QUNTICA ......................................................................................... 215 4.11. PROBLEMAS RESOLVIDOS ............................................................................................................ 217

4.11.1. Probl. 4.1 ............................................................................................................................ 217 4.11.2. Probl. 4.2 ............................................................................................................................ 218 4.11.3. Probl. 4.3 ............................................................................................................................ 218 4.11.4. Probl. 4.4 ............................................................................................................................ 220 4.11.5. Probl. 4.5 ............................................................................................................................ 221 4.11.6. Probl. 4.6 ............................................................................................................................ 222 4.11.7. Probl. 4.7 ............................................................................................................................ 223 4.11.8. Probl. 4.8 ............................................................................................................................ 224 4.11.9. Probl. 4.9 ............................................................................................................................ 224 4.11.10. Probl. 4.10 ........................................................................................................................ 225 4.11.11. Probl. 4.11 ........................................................................................................................ 225 4.11.12. Probl. 4.12 ........................................................................................................................ 226 4.11.13. Probl. 4.13 ........................................................................................................................ 227 4.11.14. Probl. 4.14 ........................................................................................................................ 228 4.11.15. Probl. 4.15 ........................................................................................................................ 228 4.11.16. Probl. 4.16 ........................................................................................................................ 229 4.11.17. Probl. 4.17 ........................................................................................................................ 230 4.11.18. Probl. 4.18 ........................................................................................................................ 230 4.11.19. Probl. 4.19 ........................................................................................................................ 231 4.11.20. Probl. 4.20 ........................................................................................................................ 231 4.11.21. Probl. 4.21 ........................................................................................................................ 232 4.11.22. Probl. 4.22 ........................................................................................................................ 233 4.11.23. Probl. 4.23 ........................................................................................................................ 233 4.11.24. Probl. 4.24 ........................................................................................................................ 234

vi

4.11.25. Probl. 4.25 ........................................................................................................................ 234 4.11.26. Probl. 4.26 ........................................................................................................................ 235 4.11.27. Probl. 4.27 ........................................................................................................................ 236 4.11.28. Probl. 4.28 ........................................................................................................................ 237

5. CONSTANTES, FORMULRIOS E TABELAS ......................................................................... 239

5.1. CONSTANTES MATEMTICAS ......................................................................................................... 239 5.2. CONSTANTES FUNDAMENTAIS DA FSICA ....................................................................................... 239 5.3. FORMULRIO DE MATEMTICA ..................................................................................................... 240

5.3.1. lgebra elementar ................................................................................................................. 240 5.3.2. Logaritmos e exponenciais .................................................................................................... 240 5.3.3. Geometria ............................................................................................................................. 240 5.3.4. Limites ................................................................................................................................... 240 5.3.5. Sries ..................................................................................................................................... 241 5.3.6. Trigonometria ....................................................................................................................... 241 5.3.7. Derivadas .............................................................................................................................. 241 5.3.8. Integrais indefinidos ............................................................................................................. 242

5.4. FORMULRIO DE FSICA ................................................................................................................ 243 5.4.1. Mecnica dos slidos ............................................................................................................ 243 5.4.2. Mecnica dos fluidos ............................................................................................................ 243 5.4.3. Electrotecnia ......................................................................................................................... 243

5.5. TABELA PERIDICA DE ELEMENTOS ............................................................................................... 245 5.6. TABELA DE CONVERSO DE UNIDADES .......................................................................................... 246 5.7. CARACTERSTICAS DE ALGUNS MATERIAIS .................................................................................... 248 5.8. ESCRITA DOS NMEROS E UNIDADES ............................................................................................. 249

5.8.1. Algarismos significativos ...................................................................................................... 249 5.8.2. Notao cientfica ................................................................................................................. 250 5.8.3. Arredondamentos .................................................................................................................. 250

1. MECNICA CLSSICA D-se o nome de Mecnica ao ramo da Fsica onde se estudam os movimentos dos cor-pos, e as foras a eles associadas. A Mecnica Clssica restringe-se a corpos com velo-cidades significativamente inferiores velocidade da luz no vazio e a corpos cujas dimenses so bastante superiores s dos tomos constituintes da matria.

habitual considerar-se a Mecnica Clssica dividida em trs reas: A Cinemtica, a Dinmica e a Esttica.

A Cinemtica trata do estudo do movimento, no sentido geomtrico, sem atender s causas que o originaram. Na Dinmica procura relacionar-se o movimento com as for-as que o originaram ou que ele origina. Na Esttica estuda-se o equilbrio de foras de modo a que no haja movimento.

1.1. Cinemtica Para descrever o movimento de um corpo utiliza-se um referencial. Referencial um sistema de eixos coordenados associados a um corpo rgido. O sistema de coordenadas pode ser qualquer: cartesiano, cilndrico, polar, etc. Os eixos podem ser ortogonais ou no, formar um triedro directo ou no.

Ao estudar o movimento de um corpo slido, por vezes associa-se este a uma partcula material.

Partcula material um corpo slido de dimenses desprezveis (em relao ao espao em que se est a estudar o movimento).

Espao do referencial o conjunto de pontos rigidamente ligados ao referencial. O espao de um referencial tridimensional. Em determinadas aplicaes podero usar- -se apenas espaos a duas e at mesmo uma dimenso.

No estudo dos movimentos importante conhecer os intervalos de tempo durante os quais os mesmos decorrem.

Tempo do referencial a sucesso de instantes, ilimitada, marcados por um cronme-tro. Admite-se o tempo do referencial como sendo contnuo, com um determinado in-cio ( t + ). Um acontecimento ocorre no espao e no tempo de um referencial. Uma partcula mate-rial localizada num referencial pelas suas coordenadas de espao e pela coordenada de tempo. Na Mecnica Clssica o tempo o mesmo em todos os referenciais.

Tpicos de Fsica Mecnica Clssica

Pg. 2 Gustavo da Silva

Seja o referencial S associado a um sistema de coordenadas cartesianas; para uma cula material tem-se a posio da partcula (Fig. 1.1) ( , , , )P P x y z t= (1.1) Mas ( ) ( )P t O t= + r e P O= r , donde

( ) ( ) ( ) ( )t x t y t z t= + +r i j k (1.2)

Fig. 1.1 Referencial e posio de uma partcula material

As equaes paramtricas do ponto material em movimento so dadas pelas equaes

( )( )( )

x x ty y tz z t

= = = (1.3)

A trajectria (Fig. 1.1) obtm-se por eliminao do tempo t nas equaes anteriores: ( , , ) 0F x y z = (1.4) Um referencial no tem que estar associado a coordenadas cartesianas ortogonais com um triedro directo, pode estar a muitos outros. Indica-se a seguir um sistema muito usa-do, o de coordenadas polares.

Fig. 1.2 Posio de uma partcula em coordenadas polares

x

y

z

O

P.

i j

k

r

dr

r+dr

referencialS trajectria

corpo slido do referencial

x y

z

O

P.

r

Tpicos de Fsica Mecnica Clssica

Gustavo da Silva Pg. 3

Ao localizar um ponto material em coordenadas polares utilizam-se habitualmente as letras r, e , como se indica na Fig. 1.2. As transformaes de coordenadas so

sen cossen sencos

x ry rz r

= = = (1.5)

e suas inversas.

Para localizar um objecto em relao ao nosso planeta usual usar-se a latitude (0 Equador, 90 Plo Norte), a longitude (0 meridiano de Greenwich, 180 E/W) e a alti-tude (0 ps significa que um avio est no solo). um caso particular do sistema de coordenadas polares, com r = raio da Terra + altitude, = longitude e = 90- latitude). Para se saber como que a posio de uma partcula varia com o decorrer do tempo introduz-se o conceito de velocidade.

Velocidade da partcula (1) , por definio, a variao temporal da posio da partcula:

( ) dP dtdt dt

= = rv (1.6) Logo, num referencial cartesiano,

( ) ( ) ( )( ) dx t dy t dz ttdt dt dt

= + +v i j k (1.7) ( ) ( ) ( ) ( )x y zt v t v t v t= + +v i j k (1.8)

Celeridade o mdulo da velocidade. Tem-se dsvdt

= , em que s representa a trajectria. Trajectria o conjunto das sucessivas posies da partcula. A equao da trajectria muda quando se muda de referencial. A velocidade , em cada instante, tangente trajectria. Partcula em repouso: P fixo no referencial (r constante). A sua velocidade nula. A partcula poder estar em repouso num determinado referencial e no o estar num outro referencial.

Partcula em movimento P varia com o decorrer do tempo. Admite-se que a variao decorre de forma contnua. Para ver como varia a velocidade de uma partcula material introduz-se o conceito de acelerao.

Acelerao da partcula, por definio,

2 2

2 2

d d P ddt dt dt

= = =v ra (1.9)

ou 2 2 2

2 2 2

( ) ( ) ( )( ) d x t d y t d z ttdt dt dt

= + +a i j k (1.10)

1 Em ingls chama-se velocity, designando-se por speed o seu mdulo

Tpicos de Fsica Mecnica Clssica

Pg. 4 Gustavo da Silva

ou ainda ( )( ) ( )( ) yx z

dv tdv t dv ttdt dt dt

= + +a i j k (1.11)

( ) ( ) ( ) ( )x x xt a t a t a t= + +a i j k (1.12)

1.2. Movimento num plano 1.2.1. Coordenadas polares

Para a partcula material em movimento P(t). Posio: coordenadas r e . Vectores unitrios: 1 1,r (ambos com as dimenses de um comprimento). (r1 com a direco e o sentido de r, 1 perpendicular a r1, sentido directo) 1r=r r (r o mdulo de r).

Fig. 1.3 Movimento num plano coordenadas polares

Velocidade: 11d dr drdt dt dt

= = +r rv r dr1 normal a r1, com o sentido de 1 e grandeza d : 1 1d d=r Logo: 1 1

dr drdt dt

= +v r (1.13)

Acelerao: ddt

= va2 2

1 11 1 12 2

d dd r dr dr d d dr rdt dt dt dt dt dt dt dt

= + + + +r r Mas 1 1d d= r . Logo,

22 2

1 12 22d r d dr d dr rdt dt dt dt dt

= + + a r (1.14)

1 r1

d1 dr1

r

d

x

y

P

O

trajectria

Tpicos de Fsica Mecnica Clssica

Gustavo da Silva Pg. 5

1.2.2. Coordenadas normais

Por vezes interessa exprimir a acelerao segundo as componentes tangencial e normal trajectria: = +t na a a = t na a+t n (1.15) A componente tangencial da acelerao est relacionada com a variao do mdulo da velocidade, enquanto a componente normal se relaciona com a variao da direco:

d d ds vdt ds dt

= = =r rv t (1.16)

2

22

d dv d ds dv dv vdt dt ds dt dt ds

= = + = +r t ta t t (1.17)

Fig. 1.4 Movimento num plano coordenadas normais Considerando a circunferncia coincidente com a trajectria, no ponto P (de raio ) veri-

fica-se que d d=t n e ds d = , pelo que 1dds =

t n , e portanto

2dv v

dt = +a t n (1.18) Considere-se o caso em que an=0. Neste caso a direco da velocidade no varia, apenas o seu mdulo muda. Diz-se que se trata de um movimento rectilneo. Se alm disto se tiver at=0 diz-se que se tem um movimento rectilneo uniforme. 1.2.3. Movimento circular

Neste tipo de movimento constante; chame-se-lhe r. (ver seco 1.2.1). Definindo

ddt = (1.19)

vem, de (1.16) e de ds d = , 1dr dt=v , ou ainda,

1r=v (1.20) Para a acelerao vem, a partir de (1.17)

2 2

1 12

d dr rdt dt = + a r , ou ainda

P tn at

an a

r

O

Tpicos de Fsica Mecnica Clssica

Pg. 6 Gustavo da Silva

2 1 1drdt= +a r (1.21)

Muitas vezes considera-se um vector com a grandeza , dirigido segundo a normal trajectria, passando pelo seu centro de curvatura e com um sentido tal que um observa-dor estendido no seu sentido v o movimento efectuar-se da direita para a esquerda. Nestas condies = v r (1.22) 1.2.4. Movimento circular uniforme

Neste tipo de movimento = constante, resultando pois para a velocidade uma equa-o igual a (1.20) 1r=v (1.23) E para a acelerao 2 1r= a r (1.24) Em mdulo tem-se v r= e 2a r= . 1.3. Dinmica de uma partcula material

Dinmica o estudo do movimento, atendendo s causas que o originaram. Fora aco mecnica que se exerce sobre uma partcula material ou sobre um siste-ma de partculas.

A fora tem um carcter vectorial e, na mecnica clssica, est associada a um espao tridimensional; -lhe atribudo um sentido (segundo o conceito geomtrico) e um mdu-lo.

Sobre um corpo material podem actuar vrios tipos de foras: foras gravticas, foras electromagnticas e foras de outro tipo como por exemplo tenses de cabos de ligao, reaces de apoio, foras de atrito, etc.

Como se ver j a seguir, a acelerao de uma partcula est intimamente relacionada com as foras que sobre ela se encontram aplicadas.

Considere-se uma partcula material em movimento num determinado referencial (part-cula que eventualmente poder estar em repouso). Os estudos experimentais efectuados com base no movimento dos corpos celestes, dos projcteis de artilharia e outros, con-duziram a fundar a mecnica com base em trs princpios, tambm conhecidos por leis de Newton da Mecnica: 1 lei de Newton (princpio da inrcia): Uma partcula material no submetida a foras

tem um movimento de acelerao nula, ou seja, rectilneo e uniforme. 2 lei de Newton Uma partcula material sujeita a uma ou mais foras tem, em cada

instante, uma acelerao proporcional resultante destas foras. 3 lei de Newton (princpio da igualdade da aco e reaco): As aces mtuas que

duas partculas materiais P1 e P2 exercem uma sobre a outra so sempre representadas por duas foras iguais e directamente opostas (aco e reaco), aplicadas respectivamente em P1 e em P2.

Tpicos de Fsica Mecnica Clssica

Gustavo da Silva Pg. 7

A 2 lei de Newton a chamada lei fundamental da dinmica. O coeficiente de proporcionalidade entre a resultante das foras e a acelerao , por definio, a massa da partcula. uma constante caracterstica da partcula. A expresso analtica desta lei :

2

2

d Pmdt

= F ou ( )d mdt

=v F ou ainda m =a F (1.25) em que: F resultante (somatrio) das foras que actuam sobre a partcula, m, v, a massa, velocidade e acelerao da partcula. Definem-se as seguintes quantidades:

Momento linear da partcula material: m=p v (1.26) Quantidade de acelerao da partcula: ma (1.27)

Fora de inrcia associada partcula: m a (1.28) A 2 lei de Newton pode assim escrever-se

0m =F a (1.29) Cujo significado o seguinte:

Para uma partcula material em movimento existe, em cada instante, um equil-brio entre a resultante das foras aplicadas partcula e a sua fora de inrcia.

1.4. Movimentos Relativos Nesta seco vai-se procurar exprimir, em termos do referencial S0(O0, x0, y0, z0), a velocidade de uma partcula material; a velocidade da partcula conhecida no referen-cial S(O, x, y, z), do qual se conhece a lei de movimento em relao a S0.

Fig. 1.5 Movimentos relativos

x0

y0

z0

O0

P

i

jk

x

y

z

O

rr0

.

S0

S

0j

0k

0i

Tpicos de Fsica Mecnica Clssica

Pg. 8 Gustavo da Silva

1.4.1. Posio da partcula

r0 = + r ou r0 = + x y z+ +i j k ou r0 = + xyz

x i (1.30) 1.4.2. Velocidade da partcula

0v = 0r = xyz xyz

d dxxdt dt

+ + i i (1.31)

Mas i . i = 1 j . j = 1 k . k = 1 (produto interno dos versores por si prprios); logo,

derivando as relaes anteriores pode escrever-se

0ddt

=ii 0ddt

=jj 0ddt

=kk e portanto

ddt

i existe no plano (j, k): Faa-se z yddt

= i j k ddt

j existe no plano (k, i): Faa-se x zddt

= j k i ddtk existe no plano (i, j): Faa-se y x

ddt

= k i j Estas relaes simplificam-se se for introduzido o vector

= x i + y j + z k, (1.32) ficando d

dti = i d

dtj = j d

dtk = k

A expresso da velocidade fica assim

0v = xyz

dxdt

+ + r i Como o ltimo termo representa a velocidade relativa da partcula em S, fica finalmente

0v = r+ + r v (1.33)

Fazendo t = + v r (designada por velocidade de transporte), obtm-se o teorema da composio das velocidades: 0v = vt + vr (1.34)

No caso particular em que o ponto P = O + r est fixo no referencial S, a sua velocida-de no referencial S0 dada por 0 = + v r (1.35)

Translao de S em relao a S0

Rotao de S em relao a S0

Velocidade de P no referencial S

Translao de S em relao a S0

Rotao de S em relao a S0

Velocidade de P no referencial S

Tpicos de Fsica Mecnica Clssica

Gustavo da Silva Pg. 9

Considerem-se agora dois pontos P1 e P2 em movimento no referencial S. Ser

P1 = O + r01 = O + + r1 P2 = O + r02 = O + + r2

Os pontos P1 e P2 definem um vector b(t) tal que b = P2 P1 = r02 - r01 = r2 r1 A velocidade destes pontos exprime-se por

v01 = + r1 + vr1 v02 = + r2 + vr2

donde v02 - v01 = (r2 - r1) + vr2 - vr1 ou

0

1 2 2 12 1

( )( )S S

dP dP ddt dt dt

= + r r

r r ou ainda 0S S

d ddt dt

= + b b

b

A operao de derivao de um vector em S0 equivale aplicao do operador

S

ddt

+ (1.36)

1.4.3. Acelerao da partcula

Viu-se, (1.33), que 0 = + + rv r v . Vai calcular-se a acelerao em S0 derivando v0:

00

ddt

= va = ( ) dddt dt

+ + rv r

Mas ( )ddt

+ r = + r +r e r rrS

d ddt dt

= + v v

v pelo que fica

a0 = + r +r + rrS

ddt

+ v

v

a0 = + r r +(r + v ) + rS

ddt

+ rv

v

a0 = )+ r +(r + 2 rS

ddt

+ rv

v (1.37)

A acelerao da partcula material no referencial S0 consta de 3 componentes principais (teorema da composio das aceleraes):

a0 = at + ac + ar

at = )+ + r (r acelerao de transporte ac = 2 vr acelerao complementar ou acelerao de Corolis ar = r

S

ddt

v acelerao relativa ( o valor da acelerao no referencial S)

.

.

at ac ar

Tpicos de Fsica Mecnica Clssica

Pg. 10 Gustavo da Silva

1.4.4. A 2 lei de Newton

No referencial S0: f = m a0

Pela composio das aceleraes vem, substituindo a0: f = m (at + ar + ac)

Definindo: ft = - m at fora de inrcia de transporte e fc = - m ac fora de inrcia complementar

vem f = m ar - ft fc ou seja f + ft + fc = m ar Definindo fr = f + ft + fc fica

fr = m ar

A lei de Newton fica com a mesma forma que no referencial S0.

1.4.5. Relatividade de Galileu

Quais as condies para que o movimento da partcula em S seja regido por uma equa-o anloga do movimento em S0, com o mesmo valor da fora? Observando as equaes anteriores conclui-se que ft e fc devero ser nulas em qualquer instante.

fc = - m ac = - 2m vr = 0 = 0 (o referencial S descreve um movimento de translao em relao a S0)

ft = - m at = - m ( + r + r ) = 0 = 0 = 0 (o referencial S descreve um movimento de translao uniforme em relao a S0)

Os referenciais que se encontram em movimento rectilneo e uniforme uns em relao aos outros designam-se por referenciais de inrcia. Princpio da relatividade de Galileu:

A equao fundamental da dinmica conserva a mesma forma, com o mesmo valor da fora, em todos os referenciais de inrcia.

1.4.6. Transformao de Galileu

Chama-se transformao de Galileu expresso que representa a transformao de coordenadas entre dois referenciais de inrcia. Considerando o caso simplista em que nos dois referenciais de inrcia S e S os eixos dos xx so colineares, (um referencial encontra-se em movimento em relao ao outro, com velocidade constante), como se mostra na Fig. 1.6. Da figura conclui-se que = v v u Logo v v u = Ou seja, se as origens dos referenciais coincidirem em t = 0

t = r r u

.. . ..

Tpicos de Fsica Mecnica Clssica

Gustavo da Silva Pg. 11

Fig. 1.6 Transformao de Galileu

e portanto

x x uty yz zt t

= = = = (1.38)

A ltima equao, t = t, no obtida da figura anterior, mas constitui uma hiptese da Fsica Clssica: o tempo igual em todos os referenciais.

1.5. Trabalho e Energia 1.5.1. Trabalho

Num referencial qualquer considere-se uma fora F, varivel ou no, constantemente aplicada a uma partcula material em movimento.

Fig. 1.7 Definio de trabalho elementar

Designando por dr o deslocamento efectuado pela partcula durante o intervalo de tem-po infinitesimal dt, define-se trabalho elementar efectuado pela fora F, pelo produto interno .dW d= F r (1.39) Designando por F a resultante das foras que actuam sobre a partcula, num determina-do referencial S0, a 2 lei de Newton permite escrever

dr

F

r

O

P

u x

y

z

O

S

x

y

z

O

Sr

r

P

u.t

Tpicos de Fsica Mecnica Clssica

Pg. 12 Gustavo da Silva

2

2

dmdt

= rF Substituindo na equao anterior vem

2 2

2 2

1( )2

d d d d ddW m d m dt m dt m dtdt dt dt dt dt

= = = = r r r vr v v v 21( )2

ddW mv dtdt

= 1.5.2. Energia cintica

D-se o nome de energia cintica da partcula, no instante t, ao escalar

212c

E mv= (1.40) Integrando a ltima equao da seco anterior entre dois instantes t1 e t2 obtm-se

21

2 212 2 1

1 12 2

t

tdW W mv mv= = (1.41)

Esta equao exprime o teorema da fora viva:

Num referencial S0, o trabalho efectuado pela resultante das foras aplicadas a uma partcula material, durante o intervalo de tempo t2-t1, igual variao da sua energia cintica.

1.5.3. Impulso de uma fora

Considere-se uma fora F a actuar sobre um corpo durante um intervalo de tempo ele-mentar dt. Define-se impulso dessa fora, dI, pelo produto da fora pelo tempo dt durante o qual ela actua:

d dt=I F (1.42) O conceito de impulso assume uma importncia particular quando se trata de foras de grande intensidade a actuar durante um tempo muito curto, durante o qual no se conhe-ce exactamente a evoluo da fora com o tempo. no entanto possvel medir o seu efeito, por exemplo medindo a variao de velocidade que sofre o corpo sujeito a essa fora. 1.5.4. Campo gravtico

Diz-se que numa regio do espao existe um campo de foras sempre que a presena de uma partcula material permite detectar a existncia de uma fora a exercer-se sobre ela. A grandeza ou intensidade do campo expressa pela fora que se exerce sobre uma partcula de massa unitria. Num campo de foras ser F=F(x,y,z,t). Considerem-se dois pontos P1 e P2 num campo de foras e calcule-se o trabalho realiza-do pelo campo para transportar uma partcula material desde P1 at P2:

Tpicos de Fsica Mecnica Clssica

Gustavo da Silva Pg. 13

Fig. 1.8 Trabalho realizado de P1 a P2

q1 2

1 2 P PW d = F r

De um modo geral o valor deste integral depende da trajectria seguida, pelo que esta dever ser tomada em conta. Acontece porm que em muitos casos de importncia prtica este trabalho (realizado pelo campo) independente da trajectria seguida. Diz-se ento que se est em presena de um campo conservativo (ou que se trata de foras conservativas). 1.5.5. Potencial e energia potencial

No caso de um campo ser conservativo (a fora por unidade de massa aqui representa-da por F) ser

o oA Bs s

d d = F r F r ou ainda

0d = F rv Mas o teorema de Stokes diz que a circulao de um vector ao longo de um circuito fechado, com incio e fim no mesmo ponto, igual ao fluxo do seu rotacional atravs de qualquer superfcie que se apoie nesse contorno. Assim, a relao anterior implica que

rot 0=F pelo que se pode considerar gradV= F (1.43) Note-se que rot(grad ) 0X , qualquer que seja X. O sinal introduzido por conve-nincia, para se obter a equao (1.45) com a forma com que aparece adiante.

grandeza V=V(x,y,z,t), escalar, d-se o nome de potencial gravtico ou potencial. grandeza pE m V= (1.44) d-se o nome de energia potencial. Atendendo a (1.43) costume dizer-se que num campo conservativo a fora deriva de um potencial.

oAs oBs

P1

P2

Fdr

Tpicos de Fsica Mecnica Clssica

Pg. 14 Gustavo da Silva

1.5.6. Conservao da energia

Para um campo conservativo o trabalho realizado pelo campo para transportar uma par-tcula material desde P1 at P2 ser assim independente da trajectria e dado por

2 2 2 2

1 1 1 11 2 1 2grad

P P P P

P P P P

V V VW d V d dx dy dz dV V Vx y z

= = = + + = = F r r Considerando as foras a actuar sobre a massa m, e atendendo a (1.41) fica

2 21 2 2 1

1 12 2

mV mV mv mv = 2 21 1 2 21 12 2mV mv mV mv+ = + ou ainda,

1 1 2 2p c p c tE E E E E+ = + = (1.45)

grandeza Et, soma da energia potencial da partcula com a sua energia cintica cha-ma-se energia total da partcula material. A equao anterior exprime o princpio da conservao da energia mecnica:

Num campo conservativo a energia total mantm-se constante.

1.5.7. Atraco universal

As partculas materiais interactuam entre si: neste momento interessa-nos a chamada interaco gravitacional. Este fenmeno, observado e estudado de h longa data, tambm conhecido como lei da atraco universal e tambm como lei da atraco de Newton. ele o responsvel pelo peso dos corpos, pela estabilidade do sistema solar, pelo equilbrio no movimento dos satlites nas rbitas, e por uma imensido de fenme-nos do dia a dia.

Considerando apenas duas partculas materiais, de massas m1 e m2, esta lei afirma o seguinte:

A matria atrai matria na razo directa das massas e na razo inversa do quadrado das distncias.

Esta lei representa-se assim pela expresso

1 22m mF G

r= (1.46)

em que F representa o mdulo da fora de atraco entre as partculas, r a distncia entre os seus centros de massas e G designada constante de atraco universal: G = 6,67310-11 Nm2kg-2.

Fig. 1.9 Lei da Atraco Universal

m1 m2F -F

r

Tpicos de Fsica Mecnica Clssica

Gustavo da Silva Pg. 15

Devido ao princpio da aco e reaco esta fora manifesta-se aplicada a cada uma das partculas e dirigida para a outra partcula, como se indica na Fig. 1.9.

O campo gravtico originado num ponto P(r) por uma partcula material de massa m, situada na origem do referencial, ser dado por

12mGmr

= F r (1.47) em que r1 o vector unitrio dirigido da origem para a partcula. Note-se que esta equa-o se obtm da anterior fazendo m2 = 1, uma vez que o campo se detecta pela fora que se exerce sobre a partcula de massa unitria.

Ao trabalho realizado pelo campo para transportar uma partcula de massa unitria des-de o infinito at posio corrente, distncia r da origem, d-se o nome de potencial gravtico associado partcula m.

Ser ento 2.r

r r

mGm GmV d drr r

= = = F r , pelo que fica GmV

r= (1.48)

1.5.8. Movimentos com atrito

Quando sobre um corpo aplicada uma fora F, paralela superfcie de apoio, e este no se move, conclui-se que sobre ele actua uma fora, simtrica de F, que traduz a reaco tangencial da superfcie de apoio sobre o corpo, Rt, e que se ope ao movimen-to deste. A reaco tangencial das superfcies em contacto designa-se por fora de atrito, Fa.

Fig. 1.10 Fora de atrito esttico

1.5.8.1. Fora de atrito esttico

A fora mnima, que necessrio aplicar a um corpo para que este fique na iminncia de entrar em movimento tem intensidade igual ao valor mximo da reaco tangencial da superfcie de apoio, Rt. Este valor mximo da reaco tangencial designa-se por fora de atrito esttico, Fae. So as seguintes as caractersticas da fora de atrito esttico:

A intensidade da fora de atrito esttico independente da rea das superfcies em contacto.

A intensidade da fora de atrito esttico directamente proporcional intensidade da reaco normal, Rn, e depende da natureza dos materiais em contacto

F

Rt P

Rn

Tpicos de Fsica Mecnica Clssica

Pg. 16 Gustavo da Silva

ae e nF R= (1.49) onde e, se designa por coeficiente de atrito esttico; este coeficiente depende apenas da natureza dos materiais em contacto.

1.5.8.2. Fora de atrito cintico

Supondo que a intensidade da fora vai aumentando progressivamente, de forma cont-nua, a partir do instante em que o corpo passa do estado de repouso ao estado de movi-mento, a intensidade da fora, F, a que deve estar submetido para que se mova com velocidade constante, menor do que a intensidade da fora aplicada para o retirar do repouso. Conclui-se, ento, que a intensidade da fora de atrito que se manifesta com o corpo em movimento, e que se designa por fora de atrito cintico, Fac, inferior intensidade da fora de atrito esttico.

So as seguintes as caractersticas da fora de atrito cintico:

A intensidade da fora de atrito cintico independente da rea das superfcies em contacto.

A intensidade da fora de atrito cintico , para velocidades moderadas, independen-te do valor da velocidade do corpo.

A intensidade da fora de atrito cintico directamente proporcional reaco nor-mal.

ac c nF R= onde c chamado coeficiente de atrito cintico; este depende apenas da natureza dos materiais em contacto.

1.5.9. Momento angular de uma partcula material

1.5.9.1. Definio

Num determinado referencial considere-se um ponto fixo, O, e uma partcula material de massa m, animada de uma velocidade v. Define-se momento angular dessa partcula em relao ao ponto O pela expresso = l r p (1.50) em que r o vector de posio da partcula e p o seu momento linear, p = mv.

Fig. 1.11 Momento angular de uma partcula material

O rG p

GGA

m

Tpicos de Fsica Mecnica Clssica

Gustavo da Silva Pg. 17

Repare-se que rG , pG , GA formam um triedro directo. Da definio tira-se senr p =A (1.51) A sua norma dada pelo produto das normas de r e p e do seno do ngulo formado pelos vectores r e p.

1.5.9.2. Partcula em movimento rectilneo

No caso em que a partcula material descreve uma trajectria rectilnea com velocidade constante, que no passa por O, o momento angular independente da posio da part-cula na sua trajectria [ver Fig. 1.12 e expresso (1.51)].

Fig. 1.12 Momento angular de uma partcula material em movimento rectilneo

1.5.9.3. Partcula em movimento circular

Neste caso v perpendicular a r, pelo que fica apenas mrv=A

Como = v r o vector velocidade angular perpendicular ao plano de rotao. O momento angular toma o aspecto

2mr =G GA O momento angular pois um vector perpendicular ao plano da trajectria.

Fig. 1.13 Momento angular de uma partcula material em movimento circular

Definindo a grandeza escalar, designada por momento de inrcia da partcula, 2I mr= (1.52) pode escrever-se I=G GA (1.53)

O rG

r sen

rG

pG

GA

rGGvG

90

Tpicos de Fsica Mecnica Clssica

Pg. 18 Gustavo da Silva

Esta equao formalmente anloga que representa a 2 lei de Newton, F ma=G G . O momento de inrcia de uma partcula em movimento de rotao exprime a oposio que esta apresenta em modificar o seu estado de movimento angular.

1.5.9.4. Variao do momento angular de uma partcula

Considere-se o caso geral, em que uma partcula de massa m descreve uma trajectria varivel, e calcule-se a variao do seu momento de inrcia em relao a um ponto fixo do referencial. Ser

( )d d r pdt dt

= GA G G = dr dpp r

dt dt + G GG G

Como dr vdt

=G G tem-se 0dr p

dt =G G , pelo que fica d dpr

dt dt=

G GA G . Mas, da 2 lei de Newton dpFdt

=GG

, pelo que se obtm d r Fdt

= G GA G . Notando que r F GG representa o momento da

fora F em relao ao ponto O, que se representar por N, pode escrever-se

d Ndt

=G GA (1.54)

Esta equao traduz a lei da variao do momento angular de uma partcula material:

Em relao a um determinado ponto, o momento da fora que actua sobre a partcula igual variao do seu momento angular em ordem ao tempo.

1.5.9.5. Momento de um binrio

D-se o nome de binrio a um sistema constitudo por duas foras simtricas com linhas de aco paralelas. Como as foras tm direces paralelas e so simtricas, a soma dos momentos de cada uma das foras igual ao momento de uma das foras em relao a um ponto contido na linha de aco da outra fora: M r F= G GG (1.55) Chamando b (brao do binrio) distncia entre as linhas de aco das duas foras, vem M b F= (1.56)

Fig. 1.14 Momento de um binrio

b

rGF

G

F G

Tpicos de Fsica Mecnica Clssica

Gustavo da Silva Pg. 19

1.6. Dinmica dos Sistemas 1.6.1. Movimento do centro de inrcia

Considere-se um conjunto discreto de N partculas materiais, Pi. Num determinado refe-rencial a posio da partcula Pi definida pelo vector ri. As distncias entre as partcu-las podem variar com o decorrer do tempo; no se trata necessariamente um sistema rgido.

Designe-se por mi a massa da partcula Pi. A massa um escalar cujo valor indepen-dente do referencial escolhido.

Fig. 1.15 Sistema de partculas materiais

A todo o instante cada partcula est sujeita a um conjunto de foras. Para a partcula i, as foras que sobre ela actuam so:

1

N

ijj=f soma das foras devidas s outras partculas. So foras interiores ao sistema. A

fora que uma partcula exerce sobre si prpria, fii nula; eif resultante das foras exteriores que actuam sobre a partcula i.

De acordo com a 2 lei de Newton, a equao do movimento da partcula i dada por

( ) eii i j ij

d dmdt dt

= +r f f (1.57) Somando ambos os membros desta equao para todas as partculas do sistema vem

2

21 , 1

( )N N N

ei i i j i

i i j i

d mdt = =

= + r f f (1.58) Pela 3 lei de Newton (princpio da aco e reaco), fij + fji = 0. Por este motivo, o 1 termo do 2 membro de (1.58) nulo. O 2 termo do 2 membro representa a resultante das foras exteriores ao sistema, que sobre ele actuam; Designe-se esta resultante por Fe. Define-se centro de inrcia (2) do sistema de partculas materiais pela expresso

2 Tambm designado por centro de massas, centro de gravidade ou baricentro.

i j

k

xy

z

O

Pi . .

. ..

.

.ri

rj

R

Tpicos de Fsica Mecnica Clssica

Pg. 20 Gustavo da Silva

1

1

N

i ii

N

ii

m

m

=

=

=

rR (1.59)

O somatrio do denominador representa a massa do sistema de partculas:1

N

ii

M m=

= . A velocidade do centro de inrcia dada por

1

1 Ni i

i

d mdt M =

= = RV v (1.60) A acelerao do centro de inrcia dada por

22

2 21 1 1

1 1 1N N Ni ii i i i

i i i

d dd d m m mdt dt M dt M dt M= = =

= = = = = r vV RA a (1.61) Combinando a equao (1.61) com a equao (1.58) resulta

2

2edM

dt=R F (1.62)

No caso de se tratar de um corpo slido contnuo, ao elemento de volume dV, de massa volmica , corresponde a massa elementar dm, definindo-se o centro de inrcia por

V V V

V V

dm dV dV

Mdm dV

= = =

r r rR (1.63)

A equao (1.62), perfeitamente anloga que exprime o movimento de uma partcula material, exprime o teorema do movimento do centro de inrcia:

O centro de inrcia de um sistema move-se como se fosse uma partcula material de massa M submetida aco da resultante das foras exteriores aplicadas.

Repare-se que este resultado vlido quer o sistema de partculas se encontre rigida-mente ligado ou no, como acontece, neste ltimo caso com as molculas de um gs. Sempre que Fe = 0 (resultante das foras exteriores sobre o sistema nula) a equao (1.62) fica

tedMdt

=R C (1.64) ou seja, o centro de inrcia descreve um movimento rectilneo e uniforme. 1.6.2. Teorema do momento linear

Considere-se de novo a equao (1.57) e defina-se momento linear da partcula i pela expresso

Tpicos de Fsica Mecnica Clssica

Gustavo da Silva Pg. 21

ii i i idm mdt

= =rp r (1.65) Obtm-se assim ei i j i

j= +p f f (1.66)

Somando a equao acima para todas as partculas, introduzindo o vector momento linear do sistema, definido pela soma dos momentos lineares de cada partcula,

1

N

ii=

= P p (para sistemas de partculas) (1.67) ou

V V Vd dm dV= = = P p r r (para corpos contnuos) (1.68)

e tecendo para as foras as mesmas consideraes que anteriormente, obtm-se o

Teorema do momento linear, ou 1 teorema geral da dinmica:

eddt

=P F (1.69)

A variao no tempo do momento linear de um sistema de partculas materiais igual resultante das foras exteriores aplicadas ao sistema de partculas.

Sempre que Fe = 0 o momento linear fica constante durante o movimento. o chamado

Teorema da conservao do momento linear:

O momento linear de um sistema de partculas permanece constante sempre que a resultante das foras exteriores aplicadas nula.

1.6.3. Colises entre partculas e exploses

Uma coliso entre duas partculas uma interaco breve(3) entre elas. Se durante esta interaco no existirem foras exteriores a actuar sobre as partculas que colidem, o momento linear mantm-se constante. No entanto a sua energia cintica poder variar, consoante o tipo de coliso, que pode ser classificada em coliso elstica ou coliso inelstica.

1.6.3.1. Coliso elstica Neste tipo de coliso, alm de haver conservao do momento linear, h conservao da energia cintica do sistema de partculas.

Designando por p1 e p2 o momento linear do sistema antes e depois da coliso, e por Ec1 e Ec2 as respectivas energias cinticas, ser 1 2=p p (1.70) 1 2c cE E= (1.71) 3 Comparativamente com o intervalo de tempo durante o qual se efectua a observao.

Tpicos de Fsica Mecnica Clssica

Pg. 22 Gustavo da Silva

1.6.3.2. Coliso inelstica Neste tipo de coliso, h conservao do momento linear, mas no h conservao da energia cintica. 1 2=p p (1.72) 1 2c cE E (1.73) Se aps a coliso as partculas ficarem juntas, a coliso diz-se perfeitamente inelstica.

1.6.3.3. Exploses No caso em que um corpo slido explode, o momento linear do corpo igual ao momento linear do sistema constitudo pelos fragmentos. No h conservao da ener-gia cintica. 1.6.4. Teorema do momento angular

Considere-se a equao (1.66) e faa-se o produto vectorial por ir de ambos os mem-bros da equao:

1

Ne

i i i i j i ij=

= + r p r f r f O primeiro membro pode transformar-se, atendendo a que

( )i i i i i iddt

= + r p r p r p

e que o ltimo termo do 2 membro nulo. Fica ento

1

( )N

ei i i i j i i

j

ddt =

= + r p r f r f (1.74) O vector i ir p o momento angular da partcula i em relao ao ponto O. O vector ei ir f o momento da fora fi em relao ao ponto O. Somando a equao (1.74) para todas as partculas do sistema obtm-se

1 , 1 1

( )N N N

ei i i i j i i

i i j i

ddt = = =

= + r p r f r f (1.75) Como aconteceu anteriormente, o 1 termo do 2 membro nulo. Faa-se

1

N

i ii=

= L r p e 1

( )N

e ei i

i== N r f (1.76)

O vector L representa o momento angular do sistema de partculas em relao ao ponto O. O vector Ne representa o momento das foras exteriores em relao ao ponto O. (Para corpos contnuos ser

Vd= L r p e e V d= eN r f ). Deste modo pode

escrever-se

Tpicos de Fsica Mecnica Clssica

Gustavo da Silva Pg. 23

eddt

=L N (1.77) que exprime o teorema do momento angular, ou 2 teorema geral da dinmica:

A variao no tempo do momento angular de um sistema de partculas materiais em relao a um ponto igual ao momento resultante das foras exteriores aplicadas ao sistema de partculas, em relao ao mesmo ponto.

Sempre que Ne = 0 o momento angular fica constante durante o movimento. Obtm-se assim o

teorema da conservao do momento angular: O momento angular de um sistema de partculas em relao a um ponto permanece constante sempre que o momento resultante das foras exterio-res aplicadas, em relao ao mesmo ponto for nulo.

1.6.5. Energia de rotao

Imagine-se um conjunto discreto de N partculas rigidamente ligadas, em movimento de rotao. Para simplificar admita-se que a rotao se efectua em torno de um eixo fixo coincidente com o eixo de coordenadas z, como se indica na figura.

Fig. 1.16 Rotao de partculas rigidamente ligadas

A energia cintica da partcula i dada por

212iR i i

E m v= (1.78) A energia cintica do conjunto de todas as partculas ser obtida somando a equao anterior para todas as partculas, ou seja

21 1

12i

N N

R R i ii i

E E m v= =

= = (1.79) Como i iv r= , e a velocidade angular igual para todas as partculas (uma vez que estas se encontram rigidamente ligadas), a expresso anterior pode escrever-se

212R

E I= (1.80) com I dado por

ri

vi

i x

y

mi

Tpicos de Fsica Mecnica Clssica

Pg. 24 Gustavo da Silva

21

N

i ii

I m r=

= (1.81) A I d-se o nome de momento de inrcia do conjunto de N partculas em relao ao eixo Oz,. No caso de se tratar de um corpo rgido contnuo, a energia cintica da massa elementar

dm ser 212R

dE v dm= . O momento de inrcia tem a expresso 2V

I r dm= , ou ainda 2

VI r dV= (1.82)

e a energia cintica de rotao continua a ser dada pela expresso (1.80).

1.7. Apndice Correspondncia entre algumas grandezas associadas aos movimentos de translao e de rotao.

Movimento de translao Movimento de rotao

x posio ngulo v velocidade linear velocidade angular a acelerao linear acelerao angular

20 0

12

x x v t at= + + 20 0 12t t = + +

0v v at= + 0 t = + 21

2cE mv= 21

2cE I=

p mv=G G L I=G G dpF madt

= =GG G dLN I

dt= =

GG G

Tpicos de Fsica Mecnica Clssica - Problemas

Gustavo da Silva pg. 25

1.8. Problemas resolvidos 1.8.1. Probl. 1. 1 Movimento rectilneo

Considere um objecto pontual que se move segundo uma linha recta com o seguinte gr-fico de velocidade (referencial S):

a) Faa uma representao grfica da acelerao do objecto. Indique sobre os grfi-cos os valores das aceleraes obtidas e quantifique para os seguintes valores de ti em segundos:

t0 t1 t2 t3 t4 0 10 40 110 120

b) Obtenha a posio do objecto, x(t), e represente-a graficamente (x = 0 para t = 0). c) Qual o mximo afastamento que o objecto teve da origem e quando que se deu?

Resoluo: a) Trata-se do movimento de uma partcula num espao a 1 dimenso. Designando a

coordenada de espao por x, ser:

velocidade da partcula dxdt

=v i , ou v=v i , com dxvdt

=

e a acelerao 2

2

d d xdt dt

= =va i , ou a=a i , com 2

2

dv d xadt dt

= = A representao grfica da acelerao da partcula ser a representao grfica da derivada da velocidade:

b) Como dxvdt

= , ser ( ) ( ) tex t v t dt C= + , ou de outro modo, 0

( ) ( )t

tx t v d = , em que

v(t0)=0 um dado do problema.

t0 t1 t2 t3 t4 t /s

v(t) m/s 30

0 -5

t0 t1 t2 t3 t4 t /s

a(t) / m/s2

3.0

0.5 0.0

Tpicos de Fsica Mecnica Clssica - Problemas

Pg. 26 Gustavo da Silva

Pode organizar-se a seguinte tabela: Caso tempo Velocidade(*) (m/s) Acelerao (m/s2) Posio(**) (m) 1 10 t t< ( ) 3v t t= a(t) = 3 2( ) 1,5x t t= 2 1 2t t t< ( ) 30v t = a(t) = 0 ( ) 150 30x t t= + 3 2 3t t t< ( ) 50 0,5v t t= a(t) = 0,5 2( ) 550 50 0, 25x t t t= + 4 3 4t t t< ( ) 60 0,5v t t= + a(t) = +0,5 2( ) 5500 60 0,25x t t t= + (*) Obtida a partir da figura dada, em que v(t) = at+b.

(**) A posio obtida por intervalos, para os diferentes casos:

1 2 200

( ) 3 1,5 1,5t t

x t d t = = = . Para t = 10 s ser x(10) = 150 m. 2 [ ]1010( ) 150 30 150 30 150 30( 10) 150 30t tx t d t t = + = + = + = + Para t = 40 s ser x(40) = 1050 m.

3 2 24040

( ) 1050 (50 0,5 ) 1050 50 0, 25 550 50 0, 25t t

x t d t t = + = + = + . Para t = 110 s ser x(110) = 1925 m.

4 2 2110110

( ) 1925 ( 60 0,5 ) 1925 60 0, 25 5500 60 0, 25t t

x t d t t = + + = + + = + . Para t = 120 s ser x(120) = 1900 m.

Graficamente

O mximo afastamento d-se quando v = 0. Isto passa-se quando 2 3t t t< < , em que

( ) 50 0,5v t t= . Igualando v(t) a zero, 50 0,5 0t = obtm-se tm =100 s. Substituindo este valor de t na expresso da posio vem (100) 1950mx =

x(t) / m

t/ s

Tpicos de Fsica Mecnica Clssica - Problemas

Gustavo da Silva pg. 27

1.8.2. Probl. 1. 2 Movimento circular

A informao de um CD (disco compacto) armazenada em sequncias de cavas e pla-nos sobre a sua superfcie. A informao armazenada digitalmente e as alternncias entre as cavas e os planos so detectadas por um sistema ptico constitudo por um laser e lentes, e representam os valores binrios zero ou um. O comprimento de cada sequn-cia de zeros ou uns sempre o mesmo, independentemente de se encontrarem mais ou menos para o interior do disco e a leitura faz-se com uma velocidade linear constante, de 1.3 m/s. O disco roda no sentido inverso. A espira mais interior de todas tem um dimetro de 46 mm e a mais exterior 116 mm. Nestas condies calcule:

a) A velocidade de leitura em km/h. b) A velocidade angular do disco quando a cabea de leitura se encontra na espira

mais interior, em rad/s e em rpm. c) Idem, para a espira mais exterior. d) O comprimento lido pela cabea de leitura num CD de 74 minutos. e) A distncia mdia entre espiras consecutivas e o seu nmero. f) O nmero de rotaes que d o disco durante os 74 minutos.

Resoluo: a) No h mais do que converter a informao que dada em m/s em km/h:

v = 1,3 m/s =1,310-33600 km/h = 4,68 km/h. b) v r= 31.3 56,52rad/s23 10

vr

= = = 56.52 60 rpm 539,74 rpm

2 = =

c) Para a espira mais exterior r = 58 mm 31.3 22, 41rad/s 214,00 rpm

58 10 = = =

d) Como a velocidade linear constante pode fazer-se simplesmente vt=A 1,3 74 60 m 5772m 5,772km= = =A

e) Na realidade a gravao realiza-se segundo uma espiral de Arquimedes, r a b= +

Para = 0 1r r= , e para = 2n 2r r= , logo, 1b r= e 2 12r ra

n=

2 112

r rr rn

= +

O arco percorrido no intervalo de tempo infinitesimal dado por ds rd= , e 2

0

nds

= A , pelo que 20 n ds = A 20 n rd = A 2 2 1 10 2n r r r d

n

+ = A 22

2 11

02 2

nr r r

n

+ =

A , donde se obtm n = 22683 espiras. O valor de d obtm-se

por: 2 1r rdn= = 1,54 m.

Tpicos de Fsica Mecnica Clssica - Problemas

Pg. 28 Gustavo da Silva

Considere-se outra abordagem, em que o arco de espiral descrito em cada rotao aproximado por uma circunferncia. Faa-se a seguinte tabela:

N da rotao Raio da espira Permetro da espira 1 r1 2 r1 2 r1+d 2 (r1+d) 3 r1+2d 2 (r1+2d) ... ... ... n (ltima) r1+(n-1)d 2 (r1+(n-1)d)

A soma de todos os permetros ser igual ao comprimento total A = 5772 m:

2 r1 + 2 (r1+d) + 2 (r1+2d) + ... + 2 (r1+(n-1)d) = A n2 r1 + 2d(1+2+3+...+n-1) = A n2 r1 + 2d 12

nn = A . O permetro da ltima espira conhecido: 2(r1+(n-1)d) = 2 r2 = 20,058. Fica-se assim com o sistema de equaes

2(r1+(n-1)d) = 2 r2 = 2r2 n2 r1 + 2d 12

nn = A Substituindo valores numricos

2 (0,023 +(n-1)d) = 20,058 n20,023 + 2d 1

2nn = 5772

que resolvido conduz a n = 22683 espiras d = 1,543 m

f) O nmero de rotaes efectuado igual ao nmero de espiras obtido acima:

n = 22683 rot.

Tpicos de Fsica Mecnica Clssica - Problemas

Gustavo da Silva pg. 29

1.8.3. Probl. 1. 3 Movimentos relativos

Considere os referenciais S0 e S representados na pg. 7. Seja P um ponto coincidente de S, ou seja, um ponto rigidamente ligado a S. Prove que entre a velocidade de P expressa em S0, v0, e o vector rotao instantnea de S, , existe a relao

01 rot2

= v Resoluo:

x y z = + + i j k e 0 r= + +v r v Como vr = 0 por P ser um ponto fixo em S, fica apenas 0 = + v r , ou ainda

0 x y z

x y z = +i j k

v . Ser pois ( )( )( )

x x y z

y y z x

z z x y

v z yv x zv y x

= + = + = +

Calcule-se rot v0: 0rot

x y z

x y zv v v

=

i j k

v = y yz x z xv vv v v v

y dz z dx x dy + + i j k

As derivadas parciais podem ser calculadas pois vx, vy e vz so conhecidas, ficando assim

0rot ( ) ( ) ( )x x y y z z = + + + + +v i j k , ou finalmente 0rot 2=v .

Tpicos de Fsica Mecnica Clssica - Problemas

Pg. 30 Gustavo da Silva

1.8.4. Probl. 1. 4 Movimentos relativos

Um comboio desloca-se numa linha de caminho de ferro rectilnea, com uma velocidade uniforme de 140 km/h. Paralela linha h uma estrada, onde um automvel A se deslo-ca no mesmo sentido que o comboio, a 130 km/h, e um automvel B se desloca em sen-tido contrrio, a 85 km/h. A linha cruza, na perpendicular uma 2 estrada (por um viadu-to), onde um automvel C se desloca a 90 km/h, para a direita. Nestas condies deter-mine, no referencial do comboio, as velocidades dos automveis A, B e C. Para a resoluo deste problema dever escrever a lei de composio de velocidades (movimentos relativos), identificar todas as suas componentes e indicar quais as que se anulam.

Resoluo: S0 referencial em terra S referencial no comboio u0 velocidade do comboio em S0 vOA, vOB, vOC velocidades dos automveis A, B e C em S0. Lei da composio de velocidades: 0 rv = +r + v Como = 0, porque no h rotao de S em relao a S0 e = 0 u , fica apenas

0 rv = + v r 0 0v = v u em que vr a velocidade no referencial S. Particularizando para os valores do problema:

140 (km/h)=0 0u i 130 (km/h)=OA 0v i 85 (km/