Transformacoes

MARCO ANTONIO GARCIA DE CARVALHOFevereiro de 2009

Computação Gráfica

COMPUTAÇÃO GRÁFICATransformações geométricas



Objetivos

•• Entender os princípios daEntender os princípios datransformações geométricas do tipotransformações geométricas do tipotranslação, rotação e escalamento.translação, rotação e escalamento.

•• Efetuar transformações geométricasEfetuar transformações geométricasutilizando coordenadas homogêneas.utilizando coordenadas homogêneas.



Fundamentos

•• Transformações geométricas envolvem Transformações geométricas envolvemoperações com vetores e matrizes, do tipooperações com vetores e matrizes, do tiposoma e multiplicação, além desoma e multiplicação, além deconhecimentos básicos de álgebra econhecimentos básicos de álgebra egeometria.geometria.



Transformações básicas - OpenGL

•• Transla Translaçãoção

glTranslatefglTranslatef((dxdx, , dydy, , dzdz););

•• Escalamento Escalamento

glScalefglScalef((sxsx, , sysy, , szsz););

•• Rota Rotaçãoção

glRotatefglRotatef((angang, x, y, z);, x, y, z);



Translação

EXEMPLO 2DEXEMPLO 2D

posição inicialposição final

x

y



Translação

P1 = (1,1) P2 = (6,1)

P3

P4

P5

2

4

0

6

2 4 6 8 10

Nova posição da figura para dx = 6 e dy = 2

P1’ P2’

P3’

P4’

P5’

12 14

8




Translação•• É uma operação que desloca pontos em umaÉ uma operação que desloca pontos em umadeterminada direção. Define-se através da equação:determinada direção. Define-se através da equação:

tal que, para o caso 2Dtal que, para o caso 2D

Onde x, y são os pontos originais; xOnde x, y são os pontos originais; x’’, y , y ’’ são os pontos são os pontosdeslocados; e deslocados; e dxdx, , dy dy correspondem ao deslocamentocorrespondem ao deslocamentonas direções x e y, respectivamente.nas direções x e y, respectivamente.

PP’’ = P + T = P + T

xy

x'y ’

dxdy

P = P’ = T =



Escala

situação inicial

situação final

x

y

x

y




Escala

P1 = (2,1) P2 = (6,1)

P3P42

4

02 4 6 8

P1’= (4,2) P2’ = (12,2)

P3’P4’

Novo objeto para sx = 2e sy = 2

3

6

03 6 9 12


Situação inicial

Situação final



Escala

xy

PP’’ = S · P = S · P

x'y ’

sx 00 sy

P = P’ = S =

•• Escalamento pode tornar um objeto maior Escalamento pode tornar um objeto maiorou menor. A equação abaixo define essaou menor. A equação abaixo define essaoperação.operação.




Rotação

situação inicial situação final

x

y

x

y




Rotação

P1 = (2,1) P2 = (4,1)

P3P4

2

4

02 4 6 8

Novo objeto para θ =45º

2

02 4 6

P3’

P4’

P1’

P2’

Situação inicial

Situação final




Rotação

PP’’ = R · P = R · P

•• Rotaciona Rotaciona (gira) um objeto de um(gira) um objeto de umdeterminado ângulo determinado ângulo θθ. É dada pela equação:. É dada pela equação:

xy

x'y ’

cosθ -sinθsinθ cosθP = P’ = R =




Rotação / Escala

•• Como pode ser visto nos desenhos Como pode ser visto nos desenhosanteriores, as operações de escalamento eanteriores, as operações de escalamento erotação também deslocam o objeto, poisrotação também deslocam o objeto, poisforam definidas a partir de um ponto naforam definidas a partir de um ponto naorigem.origem.

•• Portanto, para que não ocorra translação Portanto, para que não ocorra translaçãodesnecessária no objeto é preciso realizar asdesnecessária no objeto é preciso realizar asseguintes etapas:seguintes etapas:



Rotação / Escala

1. Transladar o objeto para a origem1. Transladar o objeto para a origem

2. 2. Rotacionar Rotacionar (ou efetuar o escalamento)(ou efetuar o escalamento)

3. Transladar o objeto para a posição original3. Transladar o objeto para a posição original

Objeto que se deseja modificarObjeto que se deseja modificar



Coordenadas homogêneas

PP’’ = R · P = R · P

•• As operações matriciais diferem entreAs operações matriciais diferem entreadição (translação) e multiplicação (rotação-adição (translação) e multiplicação (rotação-escala).escala).

PP’’ = S · P = S · P

PP’’ = P + T = P + T

•• Uma forma de tratar as transformaçõesUma forma de tratar as transformaçõesatravés da mesma operação é expressar osatravés da mesma operação é expressar ospontos em pontos em COORDENADAS HOMOGÊNEASCOORDENADAS HOMOGÊNEAS..




PP’’ = (R ou S ou T) · P = (R ou S ou T) · P

•• Todas as transformações são tratadasTodas as transformações são tratadasatravés de multiplicações. Portanto, podemosatravés de multiplicações. Portanto, podemosusar a expressão:usar a expressão:




•• Em coordenadas homogêneas, uma terceiraEm coordenadas homogêneas, uma terceiracoordenada é adicionada (caso 2D)coordenada é adicionada (caso 2D)

1 0 dx0 1 dy0 0 1

sx 0 00 sy 00 0 1

cosθ -sinθ 0sinθ cosθ 00 0 1

R = S =T =

xy1

P =

E as transformaE as transformações são escritas na forma:ções são escritas na forma:



Transformações 3D

•• Matrizes de transformações para o caso 3DMatrizes de transformações para o caso 3D

1 0 0 dx0 1 0 dy0 0 1 dz0 0 0 1

sx 0 0 00 sy 0 00 0 sz 00 0 0 1

S =T =

TranslaçãoTranslação EscalaEscala



Transformações 3D


RotaçãoRotação

x

y

z Atenção!!! As rotações foramAtenção!!! As rotações foramdefinidas no sentido anti-horário.definidas no sentido anti-horário.



Transformações 3D


RotaçãoRotaçãocosθ -sinθ 0 0sinθ cosθ 0 00 0 1 00 0 0 1

Rz (θ) =

cosθ 0 sinθ 00 1 0 0-sinθ 0 cosθ 00 0 0 1

Ry (θ) =

1 0 0 00 cosθ -sinθ 00 sinθ cosθ 00 0 0 1

Rx (θ) =



Transformações 3D

•• Outras transformaçõesOutras transformações

CisalhamentoCisalhamento ReflexãoReflexão



Transformações - OpenGL•• O O OpenGL OpenGL trabalha comtrabalha com m matrizes deatrizes detransformaçõestransformações•• As opera As operações sãoções são efetuadas viaefetuadas viamultiplicação de matrizes, de acordo com omultiplicação de matrizes, de acordo com oestado existenteestado existente•• Portanto, é necessárioPortanto, é necessário ““carregarcarregar”” a matriz a matrizidentidadeidentidade

glLoadIdentityglLoadIdentity();();



Transformações - OpenGL•• O OpenGL trabalha com matrizes de O OpenGL trabalha com matrizes detransformações...transformações...

Utiliza-se o comando Utiliza-se o comando glMatrixModeglMatrixMode

Parâmetro GL_PROJECTION antes dosParâmetro GL_PROJECTION antes doscomandos que especificam o tipo decomandos que especificam o tipo deprojeção (glOrtho, por exemplo).projeção (glOrtho, por exemplo).

Parâmetro GL_MODELVIEW antes deParâmetro GL_MODELVIEW antes detransformações geométricas.transformações geométricas.

glMatrixMode(GL_PROJECTION);glMatrixMode(GL_PROJECTION);

glMatrixMode(GL_MODELVIEW);glMatrixMode(GL_MODELVIEW);



Transformações - OpenGL

•• Uma transformação pode alterar todos osUma transformação pode alterar todos osobjetos na objetos na sequênciasequência: não desejado,: não desejado,dependendo da aplicaçãodependendo da aplicação•• OpenGLOpenGL: escopo das transformações...: escopo das transformações...

São utilizados comando São utilizados comando glPushMatrixglPushMatrix() e() eglPopMatrixglPopMatrix() para definir início e fim do bloco() para definir início e fim do blocode objetos onde será(de objetos onde será(ãoão) efetuada(s) a(s)) efetuada(s) a(s)transformação(transformação(õesões).).



Transformações - OpenGL

•• OpenGL: escopo das transformações... OpenGL: escopo das transformações...

Objeto1Objeto1glPushMatrix ();glPushMatrix ();

glPopMatrix ();glPopMatrix ();

glRotatef(...);glRotatef(...);

Objeto1Objeto1

glPushMatrix ();glPushMatrix ();

glPopMatrix ();glPopMatrix ();

glRotatef(...);glRotatef(...);Objeto2Objeto2

Objeto2Objeto2



Transformações - OpenGLvoid display(void){ glClear (GL_COLOR_BUFFER_BIT); glPushMatrix();

/* Cubo 1 */ glPushMatrix(); glTranslatef (-2.0, 0.0, 0.0); glScalef (2.0, 1.0, 4.0); glutWireCube (1.0); glPopMatrix();/* Cubo 2 */ glPushMatrix(); glRotatef (25.0, 0.0, 0.0, 1.0); glTranslatef (2.0, 0.0, 0.0); glScalef (2.0, 1.0, 4.0); glutWireCube (1.0); glPopMatrix();/* Cubo 3 */ glPushMatrix(); glTranslatef (0.0, 2.0, 0.0); glScalef (2.0, 1.0, 4.0); glutWireCube (1.0); glPopMatrix();/* Cubo 4 */ glPushMatrix(); glTranslatef (0.0, -2.0, 0.0); glScalef (2.0, 1.0, 4.0); glutWireCube (1.0); glPopMatrix();

glPopMatrix(); glutSwapBuffers();}



Para saber mais:

[MANSSOUR06] Capítulo 9

[ANGEL97] Capítulo 4

Executar programas do Nate Robins

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