COLÉGIO ESTADUAL JOSUÉ BRANDÃO 2º Ano de Formação Geral – Matemática Professor Alfredo Coelho

TRIGONOMETRIA

A Trigonometria tem origem no Triângulo Retângulo e, por esse motivo, para iniciarmos o seu estudo vamos fazer uma breve revisão do triângulo retângulo.

TRIÂNGULO RETÂNGULO É o triângulo que contém um ângulo reto.

No triângulo dado o ângulo reto é o ângulo do vértice C é o ângulo que mede 90°. Em nosso estudo, se não for dada outra orientação, adotaremos o nome do ângulo igual ao nome de seu vértice. Por exemplo: vértice A corresponde ao ângulo A, vértice B, corresponde ao ângulo B.

No triângulo retângulo os lados têm nomes próprios: os dois menores chamam-se CATETOS e o maior chama-se HIPOTENUSA. Em nosso triângulo temos:

O lado �, cateto menor, chamado de cateto oposto ao ângulo A, � cateto maior,

chamado de cateto adjacente ao ângulo A e, o lado � que é o maior dos lados, é chamado de hipotenusa.

TEOREMA DE PITÁGORAS

Enunciado:

“O quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos”.

Demonstração:

Com base no triângulo do item anterior, tomamos um quadrado ABCD qualquer. Se dividirmos os seus lados como mostrado na figura temos:

A área da figura 5 é igual a área do quadrado ABCD, subtraída da soma das áreas de 1 a 4.

As figura 1, 2, 3, e 4 são TRIÂNGULOS de lados �, � e

�, e áreas iguais a � · ��. A figura 5 é um QUADRADO

de lado � e área igual �². Calculando a área do quadrado ABCD de lados iguais a �� �� temos:

�� �� � �² 2�� �², verificando o valor da área 5, temos:

� � �� �� � 4 · �� ��� , de onde podemos verificar que: �2 � �² 2�� �²�2��� e, assim concluímos que:

� � �² �²cqd. Exercícios Resolvidos

2

Exercício resolvido 1 – Sedo um triângulo retângulo de catetos � e � iguais a 5,0 e 12,0

centímetros, respectivamente calcule o valor de sua hipotenusa �. Solução:

Pelo teorema de Pitágoras temos � � �² �² � � � √� � Logo: � � √5 12 � √25 144 ou seja � � √169, de onde � � 13 ��

Exercício resolvido 2 – Dado o triângulo ao lado com medidas em centímetros, determine o valor de x.

Solução:

Pelo teorema de Pitágoras temos � � 5² 10² � � � √25 100

Logo: � � √125 de onde � � 5√5��.

Exercícios Propostos Exercício 1 – Dado o triângulo ao lado determine quem são os catetos e a hipotenusa. Calcule o valor da hipotenusa e a área do triângulo. Exercício 2 – João avista um helicóptero segundo um raio visual que mede 1300 metros. Sabendo que a distância horizontal de João até a vertical em que se encontra o helicóptero é igual a 500 metros, calcule a altura em que se encontra o helicóptero.

RELAÇÕES ENTRE OS LADOS DE UM TRIÂNGULO RETÂNGULO

Dado um triângulo retângulo qualquer de catetos � e �. Tomando-se o ponto D sobre a hipotenusa �, temos os segmentos: !"""" (h) igual altura relativa à hipotenusa �, #!"""" (m) igual a projeção do cateto � sobre a hipotenusa � e $!"""" (n) igual a projeção do cateto � sobre a hipotenusa �.

A altura h divide o triângulo ABC em dois outros triângulos (ACD e CBD) semelhantes entre si e também semelhante ao triângulo ABC.

Deste modo temos: %&'( ) %&(* ) %('*

I Triângulo ABC

II Triângulo ADC

III Triângulo CDB

De I e II temos %&'( ) %&(* , então podemos fazer:

3

1 - +, � -

. / �� � �� 2 - +, � 0

+ / �² � ��

De II e III temos %&(* ) %('*, então podemos fazer:

3 - ,. � .

1 / �² � �2

De I e III temos %&'( ) %('*, então podemos fazer:

4 - +. � 0

- / �� � �� 5 - 0- � -

1 / �² � 2�

Exercícios Resolvidos

Exercício resolvido – 3 Dado o triângulo retângulo abaixo, calcule as medidas de c, m, n e h, em centímetros.

Solução:

Aplicando o teorema de Pitágoras temos � � √8 6 � � � 10��

8 � � 4 � � 64 � 10 4 � � � � 6,4��

6 � 2 4 � � 36 � 10 4 2 � 2 � 3,6��

� � � 4 2 � � � 66,4 4 3,6 � � � 623,04 � � � 4,8��

Respostas: c=10,0cm; m=6,4cm; n=3,6cm e h=4,8cm.

Exercícios Propostos

Exercício 3 – Dado o triângulo ao lado, sabendo que #$"""" � 20 e $ """" � 15, medido em centímetros, calcule, a medida de # """" a medida de #7"""", a medida de 7"""", a medida de $7"""" e a área do triângulo ABC.

Exercício 4 – Num triângulo equilátero ABC, de lado 16 u.c. A partir do vértice A traça-se uma reta até o ponto médio (M) do lado BC (mediana AM), e daí traça-se uma perpendicular ao lado AC determinando o ponto N, em AC. Calcule a medida de segmento MN.

Exercício 5 – No triângulo dado, as medidas estão em metros. Calcule o valor numérico das medidas indicadas por letras.

FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

Num triângulo retângulo temos um ângulo reto e dois agudos, o ângulo reto é determinado pelos catetos e é oposto à hipotenusa.

São definidas três funções Trigonométricas: Seno, Cosseno e Tangente.

4

FUNÇÃO SENO

Defini-se função Seno (sen) como sendo “a razão entre o cateto oposto a um ângulo e a hipotenusa do triângulo”. No nosso triângulo temos vamos considerar o ângulo A, então teremos:

892 # � 0-:;:< <=<>:< -< â1@AB< &.C=<:;1A>- , isto é, 892# � -

0 FUNÇÃO COSSENO

Defini-se função Cosseno (cos) como sendo “a razão entre o cateto adjacente a um ângulo e a hipotenusa do triângulo”.

�D8# � 0-:;:< -EF-0;1:; -< â1@AB< &.C=<:;1A>- , isto é, �D8# � +

0

FUNÇÃO TANGENTE

Defini-se função Tangente (tg) como sendo “a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente a um ângulo”.

GH# � 0-:;:< <=<>:< -< â1@AB< &0-:;:< -EF-0;1:; -< â1@AB< & , isto é, GH# � -

+ Exercícios Resolvidos

Exercício resolvido – 4 No triângulo retângulo dado abaixo calcule o valor numérico das funções trigonométricas, seno, cosseno e tangente, em relação ao ângulo A.

Solução:

892# � 0-:;:< <=.&.C=<:;1A>- / 892# �

√I ou seja, 892# � √II .

�D8# � 0-:;:< -EF.&.C=<:;1A>- / �D8# � J

√I ou seja, �D8# � √II

GH# � 0-:;:< <=.&0-:;:< -EF.& / GH# �

J ou seja, GH# � �

Exercício resolvido – 5 Dado um triângulo retângulo cujos catetos medem 6 e 8 u.c., respectivamente. Sendo o menor cateto, oposto ao ângulo �, calcule 892 �, �D8 � e GH �. Solução:

Cálculo da hipotenusa � � √6 8 / � � √100 � 10 K. �. 892� � 0-:;:< <=.L

.C=<:;1A>- / 892� � M�N, ou seja, 892� � O

I·.

�D8� � 0-:;:< -EF.L.C=<:;1A>- / �D8� � P

�N, ou seja, �D8� � JI

GH� � 0-:;:< <=.L0-:;:< -EF.L / GH� � M

P , ou seja, GH� � OJ

Exercícios Propostos

5

Exercício 6 – No triângulo dado abaixo determine as funções seno, cosseno e tangente para os ângulos A e B.

Exercício 7 – Num triângulo retângulo um dos catetos mede 15�� e a hipotenusa mede 39�� calcule as funções seno, cosseno e tangente do maior ângulo agudo.

RELAÇÕES FUNDAMENTAIS

1ª – Tomando-se 892# � -0 / � � � · 892# e �D8# � +

0 / � � � · �D8#,

como GH # � -+, temos GH# � 0·>;1&

0·0<>& simplificando vem: GH# � >;1& 0<>&

2ª – Da dedução anterior temos: � � � · 892# e � � � · �D8#, elevando as

igualdades ao quadrado temos, �² � �² · 892²# e �² � �² · �D8²#. Somando �²

com �², vem �² �² � �² · 892²# �² · �D8²#. Pelo teorema de Pitágoras �² �² � �², logo teremos a expressão �² � �² · 892²# �² · �D8²#, pondo �²

em evidência vem: �² � �² · �892# �D8#�, ou seja, 892# �D8# � 1

3ª – Os ângulos agudos do triângulo retângulo são complementares: # $ � 90° e o lado oposto ao ângulo A é adjacente ao ângulo B e vice-versa. Desse modo 892# � �D8$

Demonstração:

Na figura do topo da página, temos: 892# � -0 e �D8 # � +

0 para o ângulo A e

892$ � +0 e �D8$ � -

0 para o ângulo B. Desse modo temos: 892# � �D8$

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido – 8 Dado 892� � OI calcule �D8 � e GH�.

Solução:

Como 892� �D8� � 1 temos QOIR �D8� � 1 / �D8� � 1 � S

I

�D8� � �MI ou seja �D8� � J

I. Fazendo GH� � >;1L 0<>L vem GH� � O

J

Exercício Resolvido – 9 Dado GH� � √2 calcule 892� e �D8�. Solução:

Como GH� � >;1L 0<>L / >;1L

0<>L � √2 de onde temos 892� � √2 4 �D8�.

Mas 892� �D8� � 1 / T√2 4 �D8�U cos � � 1 ou seja 3 4 cos2 � � 1, de onde

vem �D8 � � √OO e 892 � � √M

O .

Exercícios Propostos

Exercício 8 – Dado 892� � � calcule o valor de �D8� e GH�.

Exercício 9 – Sendo GH� � 3 calcule o valor de �D8� e 892�.

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Exercício 10 – Tomando o cosseno de um ângulo encontrou-se a medida igual a √II

calcule o valor do seno e tangente desse ângulo. Exercício 11 – Num triângulo retângulo a tangente calculada, de um de seus ângulos

agudos, é igual √3. Qual o valor do seno e cosseno desse ângulo?

Exercício 12 – No exercício anterior quais os ângulos agudos do triângulo dado?

CÁLCULO DO VALOR NUMÉRICO DO SENO, DO COSSENO E DA TANGENTE

Usaremos triângulos equiláteros e isósceles de 45° para a dedução.

Ângulo de 30° e 60°

Consideremos um triângulo equilátero de lado L. No triângulo equilátero os ângulos internos A, B e C são iguais a 60°. Traçando-se a mediana #!"""" dividimos o triângulo em dois triângulos retângulos de lados H, L/2 e L, com os ângulos complementares 30° e 60°.

Cálculo do valor numérico de H.

Pelo teorema de Pitágoras temos: X² � Y² �Z�², de

onde X² � Y² Z²J / Y² � X² � Z²

J ou Y² � OZ²J .

De onde vem Y � [OZ²J ··; concluindo Y � X √O

Seno, cosseno e tangente de 30°:

Da definição de seno temos 89230 � Z/Z / 89230 � Z

Z ou seja: 89230 � �

Da definição de cosseno temos �D830 � ]Z / �D830 � Z√O

Z ou seja: �D830 � √O

De GH30 � >;1ON 0<>ON / GH30 � �/

√O/ / GH30 � �√O ou seja: GH30 � √O

O

Seno, cosseno e tangente de 60°:

Aplicando a relação para ângulos complementares temos:

89260 � √O , �D860 � �

e GH60 � >;1MN 0<>MN / GH60 � √O/

�/ / GH30 � √3

Ângulo de 45°

Consideremos um triângulo isósceles de lados L e base M, cujos ângulos da base: B e C

medem 45°, respectivamente. O ângulo # � $ , mede 90°. Cálculo do valor numérico de M.

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Pelo teorema de Pitágoras temos: ^² � X² X², isto é: ^² � 2X² / ^ �X√2

Seno, cosseno e tangente de 45°:

Da definição de seno temos 89245 � Z_ / 89245 � Z

Z√ ou seja: 89245 � √

Como o cateto oposto e cateto adjacente ao ângulo A são iguais, �D845 � √ , ou seja:

89245 � �D845 / GH45 � 1 Como no triângulo retângulo e o cateto oposto pode variar de 0 (para o ângulo de 0°) até o tamanho da hipotenusa (para o ângulo de 90°), enquanto que o cateto adjacente pode variar do tamanho da hipotenusa (para o ângulo de 0°) até 0 (para o ângulo de 90°).

Temos as seguintes relações a mais:

8920 � N.C=<:;1A>- � 0 e 89290 � .C=<:;1A>-

.C=<:;1A>- � 1

�D80 � .C=<:;1A>-.C=<:;1A>- � 1 e �D890 � N

.C=<:;1A>- � 0

GH0 � N� � 0 e GH90 � �

N � ` (o símbolo ` significa não existe)

Com os dados calculados acima podemos construir a TABELA de valores numéricos das principais funções trigonométricas de 0° a 90°.

Funções Ângulos

0° 30° 45° 60° 90°

sen 0 12

√22

√32 1

cos 1 √32

√22

12 0

tg 0 √33 1 √3 `

OBSERVAÇÃO

Os ângulos de 30°, 45° e 60° são chamados de ângulos ou arcos notáveis.

Exercício 13 – Um triângulo retângulo tem lado oposto ao ângulo de 60° igual a 17,3 ��. Qual a medida da hipotenusa desse triângulo? (Considere √3 � 1,73).

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Exercício 14 – Quando um avião está na altura 500 metros, do solo, na mesma vertical da torre de uma igreja, é avistado por um observador, na mesma horizontal da igreja. Sabendo que o ângulo de visão do observador é de 30° com a horizontal e, considerando

√3 � 1,73 responda as alternativas:

a. Construa um triângulo retângulo para ilustrar o problema. b. Calcule a distância do observador ao avião. c. Calcule a distância do observador à igreja.

Exercício 15 – (OM-SP) Na figura, o ∆&'(é retângulo em B e c# $ � 30°. O segmento #!"""" é bissetriz do ângulo c$# e #$"""" � 6�. Determine a medida de ! """". Exercício 16 – Três colegas: Antonio, Bento e Carlos estão numa quadra. Antonio e Bento ocupam os pontos # e B formando o segmento de reta #$"""" e Carlos está num ponto , de modo que o segmento # """" forma um ângulo de 30° com #$"""" e o segmento $ """" forma um ângulo de 45° com #$"""". Sabendo que a distância entre Antonio e Carlos é de 4,0 �:

a. Desenhe um triângulo para ilustrar o problema.

b. Calcule a distância entre Antonio e Bento.

c. Calcule a distância entre Bento e Carlos.

Exercício 17 – (FUVEST-SP) (Adaptado) Dois pontos A e B, estão situados, paralelamente, na margem de um rio e distantes 40 metros um do outro. Um ponto C, na outra margem do rio, está situado de tal modo que os ângulos CAfB e CBfA são iguais e medem 75°. Determine a largura, aproximada do rio, considerando o cos 75 � 0,25·.

TRIGONOMETRIA NO CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO

É no círculo onde o estudo da trigonometria fica mais completo e geral.

CÍRCULO E CIRCUNFERÊNCIA:

Círculo e circunferência, apesar de ocuparem a mesma posição, simultaneamente no espaço, são entidades geométricas diferentes. O círculo refere-se à região interna, contornada pela linha da circunferência uma é área e a outra linha, logo não tem sentido falar em área da circunferência, ou em comprimento do círculo.

ÂNGULO E ARCO

Outras duas entidades relacionadas com círculo e circunferência, são ângulos e arcos.

Num círculo são dados três pontos A e B sobre a circunferência e C no centro do círculo.

Quando um ponto se move sobre a circunferência, do ponto A até o ponto B, ele descreve uma linha de A até B chamada de arco de circunferência, ou simplesmente arco #$h . Enquanto o ponto se desloca sobre a circunferência, a linha

9

que liga o ponto C ao ponto A (raio da circunferência) descreve uma área sobre o círculo, a qual nós chamamos de ângulo central, ou simplesmente ângulo # i$.

NOTAS:

• Ângulos e arcos são entidades geométricas ligadas ao mesmo círculo; • O ângulo descreve uma área no círculo e o arco descreve uma linha na circunferência que

contorna o círculo; • O arco depende do raio, quanto maior o raio, maior será o arco. • O ângulo central não depende do raio. Independente do raio o ângulo central é o mesmo; • Veremos no círculo trigonométrico que tanto faz falarmos em ângulo como em arco, pois o

raio é unitário e desse modo, ângulo e arco tornam-se uma mesma entidade, ou seja #$ h j # i$, o arco AB coincide com o ângulo ACB.

UNIDADES DE MEDIDAS

Os ângulos são medidos em GRAUS e os arcos são medidos em RADIANOS, outra medida, (pouco utilizada) para medir anglos é o GRADO.

GRAU

Grau é a tricentésima sexagésima parte da área da circunferência,

ou 1° � �OMN logo podemos concluir de que uma circunferência

contém um ângulo central total de 360°. RADIANO

Um radiano é o ângulo central (arco) cuja medida do arco é igual a medida do raio, ou seja: sendo k o ângulo central correspondente ao arco l, então temos:

l � mnop / q � n

Em qualquer circunferência, quando a medida do comprimento total por ela descrito (C) é dividida pelo seu diâmetro (d) o resultado é igual a uma constante irracional denominada de r com unidade em radiano (rad). O diâmetro é igual a dois raios e valor numérico de r, atualmente é aproximado para 3,14. Quando uma circunferência é dividida por seu diâmetro, ela fica dividida em duas partes (ângulos), igual a r u�v cada uma, o que nos leva à conclusão de que o ângulo central total de uma circunferência é igual a 2r u�v. Do que foi visto acima temos: (

E � r � � v · r como v � 2 · u � � 2 · r · u

Comprimento de uma circunferência é igual a � 2ru. Substittuindo o ângulo total da

circunferência 2r por k, temos � k · u, o qual se pode generalizar para qualquer arco q, tal que:

q � nl Sendo α em radiano (rad) CONVERSÕES

Como a circunferência mede 360° equivalente a 2r u�v, temos:

10

w 360 x 2r�° x y u�v z w 180 x r�° x y u�v{{. Onde � será o correspondente em graus (°) e y o

correspondente em radiano ( r u�v�. Exercícios Resolvidos Exercício Resolvido – 10. Converta os ângulos (a) de 75° e (b) de 135° para r u�v. Solução:

(a) w180 x r75 x y { / y � |I4}�PN , ou seja, y � I}

�

(b) w 180 x r135 x y { / y � �OI4}�PN , ou seja, y � O}

J

Exercício Resolvido – 11. Converta os ângulos (a) de |}I u�ve (b) de

}O u�v para �°�

graus. Solução:

(a) ~180 x r� x |}

I{ / � � �PN��

�} / � � �PN4|}I} ·, ou seja, � � 252°

(b) ~180 x r� x }

O{ / � � �PN��

�} / � � �PN4}O} , ou seja, � � 120°

Exercício Resolvido – 12. Calcular o valor, em graus, (a) de 1 u�v e (b) de 5 u�v . Solução:

(a) De 180 x r / 1 u�v � �PN} , tomando-se o valor aproximado de r de 3,14 vem:

�PNO,�J � 57°19�29". Nota com esta aproximação o único valor exato é 57°, usarmos o valor de

r, com 32 casas decimais o valor encontrado seria 57°17�45”. Vamos trabalhar com 3,14.

(b) 5 u�v � I4�PN} / SNN

O,�J � 286°37�21" NOTAS IMPORTANTES:

1. Tratando-se de ângulo central a metade de uma circunferência mede 3,14 rad, e a circunferência total mede 6,28 rad.

2. Com o conceito de radiano o comprimento de um arco em graus será dado por: � � �}��PN

Exercícios Propostos

Exercício 18 – Converta os ângulos (a) de 60°, (b) de 150° e (c) de 315° para r u�v.

Exercício 19 – Converta os ângulos (a) de ��}

O u�v, (b) de I}M u�v e (c) de

|}J u�v

para �°� graus. Exercício 20 – Converta (a) 2,5 u�v, (b) 4,2 u�v e (b) 2,0 u�v para graus.

Exercício 21 – Calcule o comprimento do arco cujo ângulo central (a) é igual a 30°, (b) 75°, (c) 120°, sendo os raios respectivamente iguais a: 5; 3 e 8 metros.

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Respostas dos Exercícios Propostos:

Exercício – 1. 5 unidades Exercício – 2. 1200 metros Exercício – 3. # """" � 25��, #7"""" � 16��, 7"""" � 9��, $7"""" � 12�� e a área� 150��. Exercício – 4. ^�""""" � 4 4 √3 K. �. Exercício – 5. � � 30,0 m, � � 14,4 m, � � 19,2 m e 2 � 10,8 m.

Exercício – 6. 892# � √�O�O , �D8# � O√�O

�O , GH# � O, 892$ � O√�O

�O , �D8$ � √�O�O e

GH$ � O

Exercício – 7. 892� � ��O, �D8� � I

�O e GH� � �I

Exercício – 8. �D8� � √O e GH� � √O

O

Exercício – 9. �D8� � √�N�N e 892� � O√�N

�N

Exercício – 10. 892� � √II e GH� � 2

Exercício – 11. �D8� � � e 892� � √O

Exercício – 12. Pela tabela � � 60° logo y � 30° Exercício – 13. 20 cm

Exercício – 14. a. b. 1000 m c. 865 m

Exercício – 15. 12 cm

Exercício – 16. a. b. 2�√3 1�� c. 2√2 �

Exercício – 17. 77,40 �

Exercício – 18. (a) }O rad, (b)

I}M rad (c)

|}J rad.

Exercício – 19. (a) 330°, (b) 150° e (c) 315°. Exercício – 20. (a) 143°18�44”, (b) 240°45�52", (c) 114°38�58". Exercício – 21. (a) 2,62 �; (b) 3,92 � ; (c) 16,7 �