Cargas distribuidas e_propriedade_de_area

Propriedade de Área e

Cargas Distribuídas

Prof. Antônio Carlos Peixoto Bitencourt

Eng 308 – Mecânica Geral

03/05/2012

Prof. Antônio Carlos P. Bitencourt - ENG 308 - 2012.1

Como analisar?

03/05/2012 2 Prof. Antônio Carlos P. Bitencourt - ENG 308 - 2012.1

Ação da Gravidade

03/05/2012 3

• Em chapas

y

x

M xW x W

x dW

M yW y W

y dW

• Em arames


Centróide

03/05/2012 Prof. Antônio Carlos P. Bitencourt - ENG 308 - 2012.1 4

Momento de primeira ordem em relação a

Momento de primeira ordem em relação a

y

x

xW x dW

x At x t dA

xA x dA Q

y

yA y dA Q

x

• De uma Área

dLyLy

dLxLx

dLaxLax

dWxWx

• De uma linha

Centróide e Momento de Primeira ordem

Centróide, Baricentro ou Centro de Gravidade

É o ponto da resultante do peso

Neste ponto não existe momento devido ao peso

Momento de Primeira Ordem

Representa a distribuição da área em relação aos

eixos de referências

Quando eixo de referência passa centróide o

momento de primeira ordem é nulo


Momento de 1ª. Ordem

03/05/2012 6

• Áreas simétricas

• Momento de 1ª. Ordem em relação a eixo

de simetria é nulo.

• Se uma área tem um eixo de simetria, o

centróide pertence a ele

• Se uma área tem mais de dois eixos de

simetria , o centróide é a interseção dos

eixos. • Simetria em relação a um ponto

• Centróide no ponto de simetria


Centróide de Geometria


Centróide de Geometria


Centróide de Arames


Chapas e Áreas Compostas

03/05/2012 10

WyWY

WxWX

AyAY

AxAX


Exemplo 5.1

03/05/2012 11

Método de Solução:

• Dividir a área composta em elemento

geométrico simples.

• Encontrar as coordenadas do

centróide dividindo área total pelos

momentos de área em relação a

cada eixo.

• Calcular área total e momento de

área total.

• Calcular o momento de área de cada

elemento simples em relação aos

eixos de referência

.

.

X A x A

Y A y A


33

33

mm107.757

mm102.506

y

x

Q

Q

Exemplo 5.1

03/05/2012 12

Componente A (mm2) ¯x

(mm)

¯y

(mm)

¯xA (mm3) ¯yA (mm3)

retângulo 80x120=9600 60 40 +576x1o3 +384x1o3

triângulo ½(12o)(40)=3600 40 -20 +144x1o3 -72x1o3

semicirculo ½ π(60)2=5655 105,46 60 +339,3x1o3 +596,4x1o3

circulo -(π(40)2)=-5027 60 80 -301,6x1o3 -402,2x1o3

ΣA=13,828x1o3 Σ¯xA

=+757,7x1o3

Σ¯yA

=+506,27x1o3


Exemplo 5.1

03/05/2012 13

23

33

mm1013.828

mm107.757

A

AxX

mm 8.54X

23

33

mm1013.828

mm102.506

A

AyY

mm 6.36Y


03/05/2012 14

Exercícios – Centróide e

Momento de Área X=243,6mm

Y=117,7mm X=0

Y=36,2mm

1.a)

1.b)

1.c)

1.d)

1.e)

1.f)


Centro de Massa por Integração

03/05/2012 15

• Integração de ordem superior pode ser evitada definindo o elemento

de área como um retângulo com espessura infinitesimal.

el

el

xA xdA x dA

yA ydA y dA

xA xdA x dxdy

yA ydA y dxdy


Centro de Massa por Integração

03/05/2012 16

ydxy

dAyAy

ydxx

dAxAx

el

el

2

dxxay

dAyAy

dxxaxa

dAxAx

el

el

2

drr

dAyAy

drr

dAxAx

el

el

2

2

2

1sin

3

2

2

1cos

3

2


Exemplo


Cálculo de Volumes e Áreas


Teoremas de Pappus-Guldinus

03/05/2012 19

• Superfície de revolução é gerada pela rotação de uma curva plana em

relação a um eixo fixo.

• Área de uma superfície de revolução é

igual ao comprimento da curva geradora

vezes a distância do centróide da curva

até o eixo de rotação.

LyA 2


Teoremas de Pappus-Guldinus

03/05/2012 20

• Corpo de revolução é gerado pela rotação de uma área plana em relação

ao eixo e referência.

• Volume de um corpo de

revolução é igual à área

geradora pela distância do

centróide desta ao eixo de

referência. AyV 2


Exemplo

03/05/2012 21

O diâmetro externo da polia é 0,8 m e a

seção transversal é mostrada na figura.

Determine a massa da polia, sabendo

que a polia é fabricada em aço cuja

densidade é 33 mkg 1085.7







03/05/2012 24

• Carga distribuída é representada por uma área

com a carga dada por unidade de

comprimento, w (N/m) . A carga total é área

sob a curva.

AdAdxwWL

0

AxdAxAOP

dWxWOP

L

0

• Carga distribuída pode ser substituída por uma

força concentrada, cuja magnitude da área

da curva da carga distribuída e localizada no

centróide desta.








Exemplo 5.9

03/05/2012 28

Determinar as reações na

viga.

II

I


Exemplo 5.9

03/05/2012 29

Componente F (N) ¯x (m) ¯xF (Nm)

I ½(6)(3000)=9000 4 36000

II (6)(1500)=9000 3 27000

ΣA=18x1o3 Σ¯xA = 63000

kN 18

mkN 63 X m5.3X


Exemplo 5.9

03/05/2012 30

0m .53kN 18m 6:0 yA BM

7,5 kNyA

0 : 18 0y y yF A B

kN 5.10yB


Exemplo 5.9


Exemplo


Determinar Reações

03/05/2012 33

2.a)

2.b)

2.c)

2.d)

2.f)

2.e)


Determinar Reações

03/05/2012 34

2.f)

2.h)

2.g)

2.i)


Determinar d e w, resultante das forças e

momento em A é nulo

03/05/2012 35

2.j)


Substituir a ação do vento no ponto O

03/05/2012 36

2.k)


Sistemas equivalente em (A) e (B)

03/05/2012 37

2.l)


Determinar a posição (a) e intensidade (b) da

carga distribuída para que as resultantes das

forças e momentos sejam nulas.

03/05/2012 Prof. Antônio Carlos P. Bitencourt - ENG 308 - 2012.1 38

2.m)

Problema 5.59 Beer 9ed.

Determine a capacidade, em litro, da tigela

sabendo que R é 250 mm


Problema 5.60 Beer 9 ed.

Três perfis de polia devem ser avaliadas. Sabendo que a capacidade de

transmissão é proposicional à área de contato entre correia e polia. Determine

as áreas de contato de cada perfil, considere que a correia envolve metade

da circunferência da polia.


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