2oLista de exercıcios de calculo C

1. Obtenha uma parametrizacao das seguintes curvas, determinando I.

(a) y = 2x+ 7

(b) y − x+ 2 = 0

(c) x2 + y2 = 16

(d) (x− 1)2 + (y + 1)2 = 4

(e)x2

9+y2

4= 36

2. Esboce o traco das seguintes curvas:

(a) x(t) = t, y(t) = t2

(b) x(t) = t+1

t, y(t) = t− 1

t(c) x(t) = sen(3t), y(t) = cos(3t)

(d) x(t) = t, y(t) = sen(t), z(t) = cos(t)

3. Determine as equacoes da reta tangente das seguintes curvas nos pontosdados:

(a) α(t) = (t, 1− t2, 2), P = (0, 1, 2)

(b) α(t) = (2t3 − 1, 3− 5t2, 8t+ 2), P = (1,−2, 10)

(c) α(t) = (et, tet, t+ 4), P = (1, 0, 4)

(d) α(t) = cos(t), sen(t), 1− 2sen(t) P = (π4, 0, π

4)

4. Determine o comprimento de arco das seguintes curvas:

(a) α(t) = (2(1− sen(t)), 2(1− cos(t))), 0 ≤ t ≤ π

(b) α(t) = (tcos(t), tsen(t)), 0 ≤ t ≤ π

(c) α(t) = (cos(2t), sen(2t), 5t), 0 ≤ t ≤ π

(d) α(t) = (t+ 4, t, 8t+ 2) 1 ≤ t ≤ 2

(e) α(t) = (cosh(t), senh(t), t) 0 ≤ t ≤ 2

5. Calcule

∫C

fds, onde:

(a) f(x, y) = 2xy2 e C e parametrizada por α(t) = (cos(t), sen(t)).

1

(b) f(x, y) = x2 + y2 e C e o cırculo x2 + y2 = 4 de A = (2, 0) aB = (0, 2).

(c) f(x, y, z) = ez e C e parametrizada por α(t) = (1, 2, t2).

(d) f(x, y) = x2 + y2 e C e a reta que liga os pontos A = (2, 0) aB = (0, 2).

(e) f(x, y) = |x| + |y| e C e a reta que liga os pontos A = (−2, 0) aB = (2, 2).

(f) f(x, y) = |x| + |y| e C e a reta que liga os pontos A = (2, 2) aB = (2, 0).

(g) f(x, y) = x+y e C e a fronteira do triangulo de vertices (0, 0), (1, 0)e (0, 1).

(h) f(x, y, z) = x+y e C e a curva obtida pela intersecao do semiplanox = y, y ≥ 0, com o paraboloide z = x2 + y2 e z ≤ 2.

6. Um arame tem a forma da curva obtida pela intersecao da porcao daesfera x2 + y2 + z2 = 4 com y ≥ 0 com plano x + y = 2. Sabendo quea densidade em ponto do arame e dada por f(x, y) = xy. Calcule amassa toral do arame.

7. Deseja se construir uma peca de zinco que tenha a forma da superfıciedo cilindro x2+y2 = 4, compreendida entre os planos z = 0 e x+y+z =2, z ≤ 0. Se o metro quadrado de zinco custa M reais calcule o valorda peca.

8. Calcule

∫C

Fdr, onde:

(a) F (x, y) = (y + 3x, 2x− y) e C e a elipse 4x2 + y2 = 4, percorridano sentido anti-horario,

(b) F (x, y) = (xy,−y) e C e formado pela reta que liga A = (−3,−3)a B = (−1, 1) e pelo arco de parabola y = x2 de B a C = (2, 4),

(c) F (x, y) = (x2 + y2, x2 − y2) e C e o cırculo unitario centrado naorigem, percorrida no sentido anti-horario,

(d) F (x, y) = (x2 + y2, x2 − y2) e C e o cırculo unitario centrado noponto (1, 0), percorrida no sentido horario,

(e) F (x, y, z) = (x, y, xz−y) e C e o segmento reta que liga os pontosA = (0, 0, 0) e B = (1, 2, 4),

(f) F (x, y, z) = (x2− y2, z2− x2, y2− z2) e C e a intersecao da esferax2 + y2 + z2 = 4 e o plano y = 1.

2

9. Calcule

∫C

ydx+ x2dy, onde C e dada por:

(a) Circulo unitario centrado na origem no sentido anti-horario.

(b) Circulo unitario centrado na origem no sentido horario.

(c) O quadrado de vertices (1, 1), (−1, 1), (−1,−1) e (1,−1).

10. Calcule o trabalho realizado pelo campo de forca dado.

(a) F (x, y, z) = (y, x, z2) para deslocar uma partıcula ao longo dahelice α(t) = (2cos(t), 2sen(t), 2t) do ponto (2, 0, 0) ao ponto(2, 0, 4π).

(b) F (x, y, z) = (y, z, x) para deslocar uma partıcula ao longo deα(t) = (t, t2, t3) do ponto (0, 0, 0) a (2, 4, 8π).

(c) F (x, y) = (x

||(x, y)||3,

y

||(x, y)||3) para deslocar uma partıcula ao

longo do cırculo x2 + y2 = 1, x > 0 do ponto (−1, 0) ao ponto(1, 0).

11. Considere

∮C

4ydx+ 7xdy, onde C e o triangulo de vertices (0, 0), (4, 0)

e (2, 2) no sentido anti-horario.

(a) Calcule sem usar o teorema de Green.

(b) Calcule usando o teorema de Green.

12. Calcule as seguintes integrais usando o teorema de Green:

(a)

∮C

ey

xdx+(eyln(x)+2x)dy, onde C e a fronteira da regiao limitada

por x = y4 + 1,

(b)

∮C

(cos(x)− 5y)dx+ (4x− y−1)dy, onde C e a fronteira da regiao

limitada por x2 − 9 = 0 e y − 5 = 0,

(c)

∮C

(x− y)dx− x2dy, onde C e a fronteira da regiao [0, 2]× [0, 2],

(d)

∮C

(ex − 3y)dx+ (ey + 6x)dy, onde C e a elipse x2 + 4y2 = 4,

(e)

∮C

(x+ y)dx+ (y − x)dy, onde C e o cırculo x2 + y2 − 2ax = 0,

3

(f)

∮C

(x+ y)dx+ (y+ x2)dy, onde C e a fronteira da regiao limitada

por x2 + y2 = 1 e x2 + y2 = 4,

(g)

∮C

(y+ ln(√x+ x2))dx+ (x2 + tg(y2))dy, onde C e o quadrado de

vertices (0, 0), (1, 0), (1, 1) e (0, 1).

13. Verifique se

∫C

Fdr independe do caminho tomado, caso afirmativo

encontre a funcao potencial.

(a) F (x, y) = (3x2y, x3 + 4y3)

(b) F (x, y) = (2xsen(y) + 4ex, cos(y))

(c) F (x, y) = (−2y2sen(x), 6y2cos(x) + 5)

(d) F (x, y, z) = (y + z, x+ z, x+ y)

14. Considere a integral de linha

∫C

(y2 − xy)dx+ k(x2 − 4xy)dy.

(a) Determine a constante k para que seja independe do caminho.

(b) Calcule o valor da integral de A = (0, 0) e B = (1, 1) para o valorde k encontrado em (a).

15. Verifique que as seguintes integrais independem do caminho e calculeseus valores.

(a)

∫ (3,4)

(1,−2)

ydx− xdyx2

(b)

∫ (1,3)

(0,2)

3x2ydx− x3dyy2

(c)∫ (x0,y0)

(1,1)2xydx+ (x2 − y2)dy

(d)∫ (x0,y0)

(0,0)sen(y)dx+ xcos(y)dy

16. Sejam F1(x, y) e F2(x, y) fumcoes reais de classe C1 em U = R2 −{A,B}, tais que

∂F1

∂y=∂F2

∂xem U . Sendo C1, C2, C3 as curvas dadas na

figura abaixo, calcule

∫C3

F1dx+F2dy, supondo que

∫C1

F1dx+F2dy =

12 e

∫C2

F1dx+ F2dy = 15.

4

17. Seja D uma regiao do plano xy limitada pelas circunferencias C1 e C2

de equacoes x2 + y2 = 1 e x2 + y2 = 25 respectivamente. Se F1(x, y) eF2(x, y) fumcoes reais de classe C1 em D, quais os possıveis valores da

integral

∫C

F1dx+F2dy, onde C e qualquer curva fechada contida em D,

C1, por partes, Sabendo que

∫C1

F1dx+F2dy =

∫C2

F1dx+F2dy = 2π.

Quanto C1 e C2 estao orientada no sentido anti-horario.

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