Mecânica dos Fluidos

Equação de Conservação Equação de Conservação da Energia

(Regime Permanente)Prof. M.Sc. Sílvio Diniz

Introdução

No capítulo anterior vimos a Eq. daContinuidade que nos mostra que, pararegime permanente, a massa de fluido queentra em um tubo de corrente (sistema) éigual a massa que sai do mesmo.igual a massa que sai do mesmo.

Com base no fato de que a energia não podeser criada nem destruída, mas apenastransformada, é possível construir uma eq. quepermitirá fazer o balanço de energias, comofoi feito para as massas, por meio da eq. dacontinuidade.

Introdução

A eq. que permite tal balanço chama-se Eq. daEnergia e nos permitirá, associada à eq. dacontinuidade, resolver inúmeros problemaspráticos, tais como:� Determinação da potência de máquinas� Determinação da potência de máquinas

hidráulicas;� Cálculo das perdas em escoamento;� Transformação de energia etc.

Tipos de energias mecânicas associadas a um fluido

a) Energia potencial (Ep)

� É o estado de energia do sistema devido àsua posição no campo de gravidade emrelação a um plano horizontal de referência(PHR).

� É medida pelo potencial de realização de� É medida pelo potencial de realização detrabalho do sistema.

� Seja, por explo., um sistema de peso G =mg, cujo centro de gravidade está a umacota z em relação a um PHR (Figura 4.1)

Figura 4.1

Tipos de energias mecânicas associadas a um fluido

� Como: Trabalho = Força x Deslocamento� Então: W = Gz = mgz� Mas, pelo que foi dito antes, Ep = W; logo:Ep = mgz (Eq. 4.1)

b) Energia cinética (Ec)Energia cinética (Ec)

� É o estado de energia determinado pelomovimento do fluido.

� Seja um sistema de massa m e velocidadev; a energia cinética será dada por:Ec = mv

2/2 (Eq. 4.2)

Figura 4.2

Tipos de energias mecânicas associadas a um fluido

c) Energia de pressão (Epr)

� Corresponde ao trabalho potencial dasforças de pressão que atuam noescoamento do fluido.

� Seja, por exemplo, o tubo de corrente daFigura 4.3Figura 4.3

Figura 4.3

Tipos de energias mecânicas associadas a um fluido

� Admitindo que a pressão seja uniforme naseção, então a força aplicada pelo fluidoexterno no fluido do tubo de corrente, nainterface de área A, será F = P.A

� No intervalo de tempo dt, o fluido irá sedeslocar de um ds, sob a ação da força F,deslocar de um ds, sob a ação da força F,produzindo um trabalho:dW = F.ds = P.A.ds = P.dVPor definição: dW = dEpr e, portanto:dEpr = P.dV (Eq. 4.3)

Tipos de energias mecânicas associadas a um fluido

d) Energia mecânica total do fluido (E)

� Excluindo-se energias térmicas e levandoem conta apenas efeitos mecânicos, aenergia total de um sistema fluido será:

E = E + E + E (Eq. 4.4)E = Ep + Ec + Epr (Eq. 4.4)

E = mgz + mv2/2 + ∫∫∫∫vPdV (Eq. 4.5)

Equação de Bernoulli

� Hipóteses simplificadoras:

a) Regime permanente;b) Sem máquina no trecho do escoamento.

(∀ dispositivo mecânico que forneça ou retirer energia dofluido, na forma de trabalho. As que doam energia ao fluidosão chamadas ‘bombas’ e as que retiram energia do fluidos,são chamadas ‘bombas’ e as que retiram energia do fluidos,‘turbinas’;

c) Sem perdas por atrito no escoamento dofluido ou fluido ideal;

d) Propriedades uniformes nas seções;e) Fluido incompressível;f) Sem trocas de calor.

Equação de Bernoulli

� Pelas hipóteses (b), (c ) e (f) exclui-se queno trecho do escoamento em estudo sejafornecida ou retirada energia do fluido.

� Seja o tubo de corrente da Fig. (4.4), entreas seções (1) e (2):

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Figura 4.4

Equação de Bernoulli

� Deixando passar um intervalo de tepo dt,uma massa infinitesimal dm1, de fluido amontante da seção (1) atravessa-a epenetra no trecho (1) – (2) acrescentando-lhe energia:

dE1 = dm1gz1 + dm1v12/2 + P1dV1

� Na seção (2), uma massa dm2 do fluido quepertence ao trecho (1) – (2) escoa parafora, levando a sua energia:

dE2 = dm2gz2 + dm2v22/2 + P2dV2

Equação de Bernoulli

� Como pela hipóteses (b), (c ), e (f) não sefornece nem se retira energia do fluido, paraque o regime seja permanente é necessárioque no trecho (1) – (2) não haja variação deenergia ⇒

dE = dE oudE1 = dE2 ou

dm1gz1+ dm1v12/2 + P1dV1= dm2gz2 + dm2v2

2/2 + P2dV2

� Como ρ = dm/dV e portanto dV = dm/ρ,tem-se:

� dm1gz1+ dm1v12/2 + (P1/ρρρρ1)dm1 = dm2gz2 + dm2v2

2/2 + (P2/ρρρρ2)dm2

Equação de Bernoulli

� Como o fluido é incompressível, ρρρρ1 = ρρρρ2 e,como o regime é permanente, dm1 =dm2,portanto:

gz1+ v12/2 + P1/ρρρρ= gz2 + v22/2 + P2/ρρρρ

� Dividindo a eq. por g e lembrando que δ =ρ.g, tem-se:

z1+ v12/2g + P1/δδδδ= z2 + v22/2 + P2/δδδδ

Eq. (4.6) – Equação de Bernoulli

Equação de Bernoulli

� A Eq. De Bernoulli permite relacionar cotas,velocidades e pressões entre duas seções deescoamento de um fluido.

� Veja o significado de cada termo dessa eq.:

z = mgz/mg = E /G = energia potencial por unidade de peso ou � z = mgz/mg = Ep/G

� v2/2g = mv2/2gm = mv2/2G = Ec/G

� P/δ = PV/δV = PV/G = Epr/G

= energia potencial por unidade de peso ou energia potencial de uma partícula de peso unitário

= energia cinética por unidade de peso ou energia cinética de uma partícula de peso unitário

= energia de pressão por unidade de peso ou energia de pressão de uma partícula de peso unitário

Equação de Bernoulli

� Note que a Eq. 4.6 expresa que ao penetrarpor (1) uma partícula de peso unitário, àqual estão associadas as energia z1, v1

2/g eP1/δ, deverá sair por (2) uma partícula depeso unitário à qual estejam associadas asenergias z2, v2

2/g e P2/δ, de forma que aenergias z2, v2 /g e P2/δ, de forma que asoma delas seja idêntica à soma em (1)para manter a energia constante no volumeentre (1) e (2).

Equação de Bernoulli

� Note que sendo z uma cota, sua unidadeserá uma unidade de comprimento (porexemplo, metros);

� Logo, tanto a v2/g e P/δ também serãomedidos dessa forma.

� Não esqueça que, apesar disso, cada uma� Não esqueça que, apesar disso, cada umadas parcelas da Eq. 4.6 tem o significado deenergia por unidade de peso.

� Além disso, lembre-se que no capítulo2 acarga de pressão foi definida como sendo h= P/ δ.

� Logo, a energia de pressão por unidade depeso é a própria carga de pressão.

Equação de Bernoulli

� De modo análogo, serão denominadas:� z = carga potencial;� v2/g = carga da velocidade ou carga

cinética;� Observe que a palavra ‘carga’ substitui a

expressão ‘energia por unidade de peso’.expressão ‘energia por unidade de peso’.� Fazendo H =z + v2/g + P/ δ� Onde H = energia total por unidade de peso

numa seção ou carga total na seção.� Com a noção de carga total, a Eq. 4.76

poderá ser escrita :H1 = H2

Equação de Bernoulli

� Essa equação poderá ser enunciada daseguinte forma:

“Se, entre duas seções do escoamento, ofluido for incompressível, sem atritos, e oregime permanente, se não houverregime permanente, se não houvermáquina nem troca de calor, então ascargas totais se manterão constantes emqualquer seção, hão havendo nemganhos nem perdas de carga.”

Exercício

1) Água escoa em regime permanente no Venturi dafigura. No trecho considerado, supõe-se as perdas poratrito desprezíveis e as propriedades uniformes nasseções. A área (1) é 20 cm2, enquanto que a dagarganta (2) é 10 cm2. Um manômetro cujo fluidomanométrico é mercúrio (δHg = 136.000 N/m3) é ligadoentre as seções (1) e (2) e indica o desnível mostradoentre as seções (1) e (2) e indica o desnível mostradona figura. Pede-se a vazão da água que escoa peloVenturi (δH2O = 10.000 N/m3) (figura pág. 89 Livro Brunetti)