18

139561823 44300803-geometria-sagrada-quadrados-magicos

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: 139561823 44300803-geometria-sagrada-quadrados-magicos

c�������������

������������������������������������� ���������� ������� ������ �������� ��������������� ���������� �������� �������������������������� ����� ������������������������������� ��������������������������� ���������������������������� ������ ��������� �� ����� ������������������������������������2J������������2������������2����� ���������������� ����

a����

x������ ��

¦Y �� �� �����¦Y ë�!���" ����

|Y ë���#����� �����$��������%� � ��|Y ë�ë�#����� �����$��������&�� ����'��(����

¦Y º�)���� ���������� ������$�������|Y º���*��� ������$���������� �������� �+ ,�|Y º�ë�*��� ������$���������� �������� �+ ,�|Y º�º�*��� ������$���������� ����������������-�|Y º�-�*��� ������$���������� ����������������-������ë�

¦Y -�.� �������¦Y D�*��� ������$����������� ������

|Y D���/ �� �����������������������|Y D�ë�/ �� ��������������������|Y D�º�/ �� ��������������� ��|Y D�-�/ �� ���������������������|Y D�D�/ �� �����������������������+������ ����,�|Y D�0�1���� � ����� ������$����������� ������

·Y D�0���)�������� �·Y D�0�ë�)������ �

|Y D�2�3���4���5�)$�����|Y D�6�)������4���

¦Y 0�7������ ��(������������� �¦Y 2�.���8����������¦Y 6�1��������9�� ����

����������

)������ ���������������� ������������ë��º��-����º0�+���� �������� ����0,����������������������� ���� ���������������������� ��������������������8���:�

�� ë� º� -� D� 0� 2� 6� ;� �<�����ë��º��-��D��0��2��6�

º0�ºD�º-�ºº�ºë�º��º<�ë;�ë6�ë2�ë0�ëD�ë-�ëº�ëë�ë��ë<��;�

=��������������������������� ��� �������� ��������������� �������������������������$�����5������������������������������������������������������� �� ������ ������������������������������������������� �� ���� ������3������������������������������������ ����9� ����: �

2ë�>���?�º0�>���?�º2�

r� ë� º� -� D� 0�

����r�� ;� 6� 2�

�º��-��D��0�r���6�

Page 2: 139561823 44300803-geometria-sagrada-quadrados-magicos

ë-�ëº�ëë�ë��ë���;�

ëD�ë0�ë��ë6�ë;�º<�

���ºD�º-�ºº�ºë�º��

&����������������������������� ������������������+������������ �� �,�����������������8����� ���� ���������������������� ���������������@������� �������� �����������������$������������ ������������ ����� ��������� ��� �������������������������� ���� �������+�������� ������� ��������������A80A��ëA8DA���ºA8-A����������������� ������,��3�� ���������������� ��� �� @������� �������������+2Bë,����������� $:�

����������������������������� �����������������������������������m��������������m�������������

rrr��

G�����2� º� -� D� 0� 2� 6� ;� �<� ��� �ë� �º�

6ë��2�� �D� º-� 0D� ���� �2D� ë0<� º0;� D<D� 02�� 62<� ��<D�

��

&�����5����������������� ������ �� ������������� �����$�������$���������������� �������� �������� �������������������������������� ����������������������������������� ����C���������������������� ����������� ����������� ������� ������������ ������º0������� ������������������� ����� ������������������������ ��������������������$������&������������������������� �� ������������������ �������������������������������������������������������� ���������������� �������������������� ��� ������ ���+8�,D��>���

)���������������������������������������������������2:�

%��������������������$������E������������������ ��� ��������������� ������������������������������������������������������ $��������������$������1�� ����������� ��� ���������� ��������+ 8�,D2�>��������������0��� ������������ ������������������������� ����������� ����������� �������������2���������� ������������ $��9���������������������������������� �� ������������� ���������������������$������

)������������������� � �������������������� ��������(����������2�������������������2� ����

2��� ��� �2F��2ë<�������� ��������� ����0������������� �����������������(�������$�������������(������������������������������������(������� ��������1������������������������(��������� �� �+2J,F���� ���������������������� ������ ���������9�����������������2F�+��� ��������������������,��������4���������� ��������������������������$������������� ��������������������������������� ������������������������������������������������������������������(��������� �� ����� ������$�������

%��� ����º��9������������������ �����$�����+������� �������� ��4��������8������� ��� � �����"����� ����9�,������0;º�7� �� ��' ����������7���G������������������$�66<����� ������$���������� ����-�x��������� �� ������������ ��8��������9������ë2D�º<D�ëë-����� ������$���������� ����D�������� ��������� ������������ �� ��������������8�������������������������������������H�����/������)��I����� J�K�J�� ��������������;;6����������������������������������E�����)� ���E�����)� ����������

Page 3: 139561823 44300803-geometria-sagrada-quadrados-magicos

���L����������(�������9������+��22-D�M�<�<<�0,�D��<�;����� ��������� ����0���+º�2;6ë�M�<�<<<-,�D��<º-����� ��������� ����2��

/�������� ����������� ��������� �� ����������������������� ��������9������������������ �����$�������������������������� ��������9���������������������������������� � �������� ����������� �����$���������������������� ����� �������������������������������� �����$��������� ����������� � ������������������4���+������E����2��2������ �����������2� ���!�����������"�

����

����

�>���?�#��>���?�#��>���?�#���>���?�#���>���?�#���>���?�#�

��� ������������������������4�������� ������ ��������� ��� �������� ���������� �������������������������8���������� @������������������ ��������"������������� ��������������������������"�������������� �������?���?���?���?�#B������������(��������� �� �������� �����$������������������� ������ ������������� �������

'����� �:E��������� ��#�&�������

$���%����2�� ���&��2���2��$ �2�'2�(�)� ���*��� ��������+��'2��2��2��� ����,---!�

�� ������. 2��/�# 2�!��0134�0����

+ �� ��������*�2�����������55�66��

� �����

C���������)������$��������������������� ������$�������������� ������������)��������������������G������&������������������������ ����� ������� ������8���������� ��������������� ����������������� ���������������� �������� ���������������� ���#�+������������ �����,��� �������� ������ ���C��������������������������������������� ����������� ��������� ������������ ����������������� ��

������������� ���������������������������� ����� ����������� ��"������� ��������������������� ��������� ����������� �������������������������+�D,������������������������������������������$������������������

����������������� ����������4������������������(���������(�������$ �������� ������3���������� ������������� ����������� ����� ���( ��8������ �� ����������� ��"����������������� ������ ���������� ������8�������� ���@��������������������3����������� �������)� �������3� ��������.��������� ������ �� �� ���7��+�Dºº,�������� �������� ����º�+�D,�������������� ������&��� ���������-�+º-,���N����� �������D�+0D,���E� ���������0�+���,����&���������2�+�2D,���.�����������6�+ë0<,���E� �� ����������;�+º0;,�����O������@�������� �����"������������� � 8��������� ����(�����������

3���� ������������� ������$�������������������� ����8�����1�������E����������������� �������������P .������ ������������� ������������� ������ ���� ������9������������������������ ���������� �� ��)�������� �� ������������������������ �� ����������$������� $��� ������(�������� ���������������� �����������$���������������� ������������������������ ��������� �������������������������� $������������� ������$�������1�� ���������������� ���&�������'� �����/�������O���������' ��������7�������3�!� ���&�� ����1��� ������� (��������������������$���������� ������������������� �������������� �

-�;�ë�

º�D�2�

6���0�

Page 4: 139561823 44300803-geometria-sagrada-quadrados-magicos

Y

Y6������� ��Y�������Y��Y��

�����Y�����Y�Y�������Y� ����Y�������Y��Y������Y�������Y��������Y

G�����������������������GY�������Y� ����Y��Y��

�����Y�����Y�������Y��Y��Y����Y6����� Y��� Y�����������Y�Y

��������Y���Y�����Y���������Y��Y�������Y��Y�����Y�����Y��������Y�Y���������Y� ����Y����Y��Y�������Y�������Y����������Y�����������Y�Y���Y�����Y����������Y��Y�����Y�Y���Y��Y����Y��Y�������Y�Y��������Y�������Y��Y�������Y���Y��������Y��Y�����Y�������Y���������Y��Y����Y�������Y��������Y���Y������Y��Y�������Y��������Y�Y�������Y����Y�Y�����Y��Y���Y�� ���Y��������Y��Y������Y�����Y����Y��Y���Y��Y� ��!"�Y��Y�����Y�

����� � �� �� �8������� ������������������� ���������������������������������� ���YY

Y

Y

Y#������Y��Y$������Y#��(���Y

�%Y �Y �Y ��Y

�Y �&Y��Y 'Y

(Y %Y )Y ��Y

�Y ��Y��Y �Y

�%Y �Y �Y ��Y

�Y �&Y��Y 'Y

(Y %Y )Y ��Y

�Y ��Y��Y �YY

�%Y �Y �Y ��Y

�Y �&Y��Y 'Y

(Y %Y )Y ��Y

�Y ��Y��Y �YY

�%Y �Y �Y ��Y

�Y �&Y��Y 'Y

(Y %Y )Y ��Y

�Y ��Y��Y �YY

�%Y �Y �Y ��Y

�Y �&Y��Y 'Y

(Y %Y )Y ��Y

�Y ��Y��Y �YY

�%Y �Y �Y ��Y

�Y �&Y��Y 'Y

(Y %Y )Y ��Y

�Y ��Y��Y �YY

Page 5: 139561823 44300803-geometria-sagrada-quadrados-magicos

G���������������������������������

3�'����������/��9�����Q������19����� ������&�� ����'��(�������7� ������������������������������ �N�����E� (��&��� ���������� ��������� �����$��������� ����-��

3������������$������������ ������ºº�������������N���� ��������/��9���Q����������� ������������������������ ������������������������5������������� ����"�����"�������������������������������� ��������3�������R���(���$�����ºº�������� ����� �������������������� (���1�� ��� ����������������������� �������� �����$��������E���������!������ ������2������������������������������������� � 2/�������

���2 �������9����0����������������������� ������-�������� ������������2��2������ ��������

�� ������������������ ����� �

!$����� ������� ������������ �� ����� ������$���������������������������������������������� ��� ����������� �4�������" ������������ ������ 4��� ����� ����3����������������� 8��������4��������������������� ������������8������� �������8�$�������� �8�$������������3����������������������� �� 8����( ����������(���������������$�������

C���9����������������� ����� ������� �� ����� ������$���������������� �� �����������������$ ������������ ���� ��������� �������� ��������� ����������������-����� ��������� ������ �+-D��>�ë,��

c������� ����� ������������������

1��������� ������������� � ��������������������������������0;���� �&��������O���� �����������5��������� ������ � �����(������������������������� �����������9��� ����O����P .����������$�������������������� "������� ���������)���������������������� ������� ���� ��������������� ���� ������ ��� ������8����������������� ���������������������������������CS#�+���C1,��)������������� ���� ����������������8��������������� ������8���������������������������������������� �� ����� ��������������������� �� ������� ������������������������������� ������� �����

'����� �:*��� ����E$����� ��� �����

#��������������� 8��8����� ������������������� ����������������� ���������������������������� ���� ����������������������������� ��������������������� ���� ��������� ��������������������������������������������������������������������������������� ��������������� ��������� ���� ���������������������������

=������������������������������� �������� ���� ����������������������������������������� $��������������$�������$������������� ��������������� ����� $������������������������� �� ���������������������������� ������5��� ������� ��������������� � 8��8$�������������+���������� �,��%������������� ������ ������������������������� ��������5���������������������������������� ������5��� ��������������������������������������������������������� ������� ��������� ����$������������ ���� ������������� ����������������������� ���������������$������

c������� ����� ����������������ÔÔ��

�� ��r:�1�� ����8���������� �����������2J��1�� ���8��������������������� �� ���� ������������ 8��8$������ ��������������������@��������9�������#����� �����$������� $�������� �������� ������� ����������������� ������

�� �� �� �� �� �� �� �� ��

�� �� �� 0� �� ë� �� �� ��

�� �� ��� �� 2� �� º� �� ��

�� �0� �� �ë� �� 6� �� -� ��

ë�� �� �2� �� �º� �� ;� �� �D��

�� ëë� �� �6� �� �-� �� �<� ��

Page 6: 139561823 44300803-geometria-sagrada-quadrados-magicos

�� �� � �� �;� �� �D� �� ��

�� �� �� ë-� �� ë<� �� �� ��

�� �� �� �� ëD� �� �� �� ��

�� ��ë:�Q ������������������ ������������������� �����5����������������������$����������������������� �����

�� �� �� �� �� �� �� �� ��

�� �� �� 0� �� ë� �� �� ��

�� �� ���ë-� 2� ë<� º� �� ��

�� �0� -� �ë�ëD� 6� �0� -� ��

ë�� �� �2� D� �º�ë�� ;� �� �D��

�� ëë��<��6� �� �-�ëë��<� ��

�� �� ëº� 0� �;� ë� �D� �� ��

�� �� �� ë-� �� ë<� �� �� ��

�� �� �� �� ëD� �� �� �� ��

�� ���:�Q� �������������������� ����:��$�������������� �����$��������� �������� ��

���ë-� 2� ë<� º�

-� �ë�ëD� 6� �0�

�2� D� �º�ë�� ;�

�<��6� �� �-�ëë�

ëº� 0� �;� ë� �D�

c������� ����� �����������������������

)���� "�8���������� ��������������� ������������������������������+����8����������������� �������� ��������������� ����,������������������������������������������������������������������������$������������������������������� �������������� ������� ������� ����2B��������� �������� �������������������� ����2B-�������� ��� �������������� ����6<T� ��������������� ��������� ��������������� ��� ����� ������������� ������� ��������+����������������� ������������������,��

'����� �:*��� ����E$�����/� �������� �����

/� ���������������������������������������� 4�������� ����������� ���������� ���������� �� ������������ �� 8������� ������$���������� ���������������������������������������:�

'����� �:*��� ����E$�����/� �������� ����

c������� ����� ������������������������� �ë�

/� ������� �� �������������������� ���������8������ ����������OàP��1���� ���������8����������������O���� ���������������������� ���������� ������$���������� �������� �+�� �����������,��

)�����9������������������ �� �������� �����$��������������<��

r���� ���

.������� ��� ���������������������� ��������ë9ë���������������������������$8��8������������������� ��:�

Page 7: 139561823 44300803-geometria-sagrada-quadrados-magicos

8�#������ ��������J>��� ���� ����������������J����������������� �������������������� ������� ������ ������������������������� ��O�+º������������������,��

8�#������ ��������������������������������8������������ ��#���

8�#������ ���������������� ������������������8������������ ��P��

1�������� ���������������������� 8���8������� ����� ��������������� �������ë9ë��

���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ����

���� O� ���� O� ���� O� ���� O� ���� O�

���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ����

���� O� ���� O� ���� O� ���� O� ���� O�

���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ����

���� O� ���� O� ���� O� ���� O� ���� O�

���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ����

����#������#������#������#������#��

���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ����

���� P� ���� P� ���� P� ���� P� ���� P�

��� ���

Q ���8��������� ����#������ ������������� ����O������������������� �� ��

���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ����

���� O� ���� O� ���� O� ���� O� ���� O�

���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ����

���� O� ���� O� ���� O� ���� O� ���� O�

���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ����

���� O� ���� O� ����#������ O� ���� O�

���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ����

����#������#������ O� ����#������#��

���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ����

���� P� ���� P� ���� P� ���� P� ���� P�

����� ���

1������� ������������������� �������ë9ë������������ �����������������������O���� ���%������� ��������� �������� ������������������ ����� ��������������� �����

�2� ���� ë-� ���� �� ���� 6� ���� �D� ����

���� O� ���� O� ���� O� ���� O� ���� O�

� ���� D� ���� 2� ���� �-� ���� �0� ����

���� O� ���� O� ���� O� ���� O� ���� O�

-� ���� 0� ���� �º� ���� ë<� ���� ëë� ����

���� O� ���� O� ���� #�� ���� O� ���� O�

�<� ���� �ë� ���� �;� ���� ë�� ���� º� ����

���� #�� ���� #�� ���� O� ���� #�� ���� #��

��� ���� �6� ���� ëD� ���� ë� ���� ;� ����

���� P� ���� P� ���� P� ���� P� ���� P�

Page 8: 139561823 44300803-geometria-sagrada-quadrados-magicos

����� ���

3�� ������������� �����8������������ ���������������� ���-��8�º��-��8�ë��-��8�����-���/� ��9����������������� �����<��� ��������8����������� ���º2��º6��º;����-<��

&"��������������� ������������������������ ������ ������� ���������������� ������ ���������������(���� �����������������������OàP��

-T����� ���T����� ��

ëT����� ��ºT����� ��

&������ ���������O�

�T����� ��-T����� ��

ëT����� ��ºT����� ��

&������ ���������#���T����� ��-T����� ��

ºT����� ��ëT����� ��

&������ ���������P�

)�������������� �������� ��� ��� ����5��� �������������������� ��������������� ������������� �����

)��������������������������$�������������� �� ������� ���:�

06�0D�;0�;º� -� �� ºë�ë;�0<�D2�

00�02�;-�;D� ë� º� º<�º��D6�D;�

;ë�6;�ë<��2�ë6� ëD� D0�Dº�0-�0��

;<�;���6��;�ë0� ë2� D-�DD�0ë�0º�

�0��º�ë-�ë��-;� Dë� 6<�22�66�6D�

�-��D�ëë�ëº�D<� D�� 26�2;�60�62�

º2�-<�-D�-6�20� 2º� 6��6-� ;� �ë�

º6�º;�-0�-2�2-� 2D� 6ë�6º��<����

-��--�0;�2ë�;2��<<� D� 6� ºº�º0�

-º�-ë�2��2<�;;� ;6� 2� 0� ºD�º-�

������� �

19������������������� ��������������� ������$���������������������������������� ��� ����������������������� ���������������� ������������������������������ � ������$����������9��������������������� ����������������� 8���8����������� ������ �������� �������������������� ��������9����������

!$���� ��9����������� ������$���������������������������$����������������������� �������������9�� �� �������������$����������������������$������������������� �������������������������������������������

#����� �������������������� ������� ����2�������� ������������$������2D�+������ ������������� ���� ������� ��,�������� �������� �� ����� ����D��������� ������������� ������� ��������� ������� �� �+�º���º2,������������$�������

������ ������������$������ëD��������������������� �������� ����� @������ ���+���� ���ë����ë;,������������������������$��������2D���

-;�-6����-0� 0� �ë� º�

2� �º��-�º��ºë�ºD�-º�

6� º<�ë6�ë��ë0�ë<�-ë�

-D�ºº�ëº�ëD�ë2��2� D�

;� º-�ë-�ë;�ëë��0�-��

�<��D�º0��;��6�º2�-<�

-2� ë� º;� -� --�º6� ��

2� ë� ����-�

Page 9: 139561823 44300803-geometria-sagrada-quadrados-magicos

3���������� ���������� ������������$���������������������������������������� ��������������������������������������������� ���������������������� ������1������������4�����������8����������� ��������� ������� ����������������������������5��������������������� �������%� � ������������� ���������������1����������������������������5����������������� �������� �����9��������������������4������ ��������������� ����������� �������� ������������� ���(������������������� ����������������������������������$������������$����� $������������ �� ��������������������������3�� ������������� ��� �� ����������� ������������4��������� :��!���������� � ��� �� � ������m�!� � 2��� ������� �����������������������������2��� ������� ���� :��!����������2��2����� ���� ��������2����2������� ����� ������������2���������� �� �� ������������������7��;��: <���42��������<������2��������� �=� ���

��: ��!������������� ��� ���� �������� ��������0������������ 2�������������2�� �!���

���������� �����������������!�����!������ ����� ��2������ ��!���������2����2���

��������������� �������#��2��� ��������������������� �������%� � �����������9��������������º-��������4��,��

&�������������������� ������$�������������� ������������������ �4������������������������ ��������������� ������������� �����$��������� ����º����������� ��������� �� ��������������������� ������� ������������� �������� �����$����������������� ���� ������� ��������������������������������������������$��������B�D��

1������������ �����$��������� ����º�������������

-�;�ë�

º�D�2�

6���0�

�������������������� �����$��������� ����

ëºBº0<� 8DëBº0<� DºBº0<�

º6Bº0<� 6Bº0<� 8ëëBº0<�

8º2Bº0<� 06Bº0<� 82Bº0<�

#��������� �� ���� ������������������������������������������ ���������� �������Ú����@�������������UÚU�����������������$�����:�

¦Y #����� ������8�$��������� ������������������� ����6����� ����������������������������� �������������$������ë0<�+J?�,������6<�+J?ë,��&���������� ����������9���������� �������8�$���������� �������� �� ����������������9������ ����������G������������1���;;6��N��=��!��� ��J��������� ���������������(��������� �� ����� �������8�$���������� ����º���������������������;���� �������������������$�������������������������

¦Y )���� �( ��8������� ������ �8�$���������� ������ë��ºë��0-��6�����ë6�������������� �����ë���������� �(�������������$�����������I���� �Q ����������������ë<<ë��

¦Y #�� ���� ������ ��������� ���������� ��������������8��3�� ���R���$������������������;;6������������� �����������-<;0����� ����� ���������������/������� ��� ������0-�������� ���������� ��������� ������ ������������������������������������������� �������������������� �����������������������&�������R���$������������� ����������������������������� ��� ������ � ����#����� �������� �8��� ������������3 ������ ��� ���������)��� ������#�����������3 ���xë���

¦Y #�� ���� ������ ������� �8�$���������� ����D�ë�������� ��8���3�� ��.� �������)� �������7�G� ������������ë<<����������@��������� ����� ������ ������ ���� ������ ���������8�$���������� �����<ë-��N$����ë<<º���� ������ ���������� ������� �8�$��������� ����ëD0����������$���������@��O��I�����������8�$��������� ����2ë;��

;� �0� D� -�

0� º� �<��D�

�ë��º� 6� ��

Page 10: 139561823 44300803-geometria-sagrada-quadrados-magicos

�0�-��º0� D� ë2�0ë�DD��6�

ë0�0º�D-��;��º�--�ºº� 6�

�� -<�-D��ë�ëë�D��D6�º��

ëº�D<�D;�º<� -� º2�-6� ;�

º6� º� �<�-2�-;�ë-�ë;�0<�

Dë�ë��ºë�D2�º;� ë� ���-0�

-º��-� 2� º-�0-�ëD�ë<�Dº�

0��ë6��2�D0�-ë��D� 0� ºD��

�����

�� ëë� ºº� -�� 0ë� 00� 2;� 6º� �<-���ë��ëº��--�

;� ��;� -D� ��D��<2� ;º� Dë� º6� º<� �<<� ë0� �º0�

2D� �-�� ºD� -6� D2� �-� �º�� 66� ;2� ��<� -� 2<�

2-� 6� �<0� -;� �ë� -º� �<ë��ºº� ;0� º;� �º2� 2��

�-<��<���ë-� -ë� 0<� º2� �<6� 6D� �<º� ë�� --� D�

�ëë� 20� �-ë� 60� 02� �ë0� �;� 26� D;� º� 0;� ëº�

DD� ë2� ;D� �ºD��º<� 6;� D0� �D� �<� D<� ��6� ;<�

�ºë���2� 06� ;�� ��� ;;� -0� �º-� D-� 22� ë6� �º�

2º� 0-� ë� �ë���<;� ºë� ��º� º0� ë-� �-º� 6�� 2ë�

D6� ;6� 6-� ��0��º6� �0� �ë;� 2� ë;� 0�� -2� 62�

6<� º-� �<D� 0� ;ë� �ë2� �6� Dº� �º;� -<� ���� 0D�

D�� 0º� º�� ë<� ëD� �ë6� �2� �ë<��ëD���-� 6ë� ;-��

*��� ������8�$��������� ����6�+������������$������ë0<�������6<,�

� �

*��� ����� �8�$��������� �����ë�

+������������$������62<��6º�6�<���;�

<6ë�6<<,�

/���������� �� 8������� ������$�������������� ����9� �(�������������� ���������� ���������������������������������� ��������������� ��������� ����&����������� ���� ���� ��������� ����������������������� �8��������������������$������� $�����������:�

3������������������8�������� �� ����� ������$���������� �� ����������4��������� ��������������������� ������ ���������������@����� � ����������������������$������1���������������� �� �������� �� ����������� ��������� ������ ��������������������������������� ����� �������� ��������� ����������������������������� ���������������� ���� ��������:�

&�������� ���������

0���6�

2�D�º�

ë�;�-��

�����

)� ������@�����

�� ë� º� -� D� 0� 2� 6� ;�

�� ë� -� 6� �0� ºë� 0-� �ë6� ëD0��

�����

&������������� ����

ºë� �� �ë6�

0-� �0� -�

ë� ëD0� 6��

3������������$����������������� ���

����������������������$���������� ������� ����� ��������������������� �

Page 11: 139561823 44300803-geometria-sagrada-quadrados-magicos

Q�������������� �( ������� ������$������������ ����������� ���� �������������������������������� ����������������� �� (����������� ���� ����������������� ������� ����������

/� ���������������� ��������9���@���������������4����$������28������������������������������ �����8�2V��������������� �� ���� ����� ����������� ������������ �����8�2���������� ����� ��

���� ����� ����� ���������������� ������������� ������������8�$������������������������"������������������������������������� ��� ��������������������������� ���������������� �����

c������� ����� �� ��!�� �

C���:��� ���� ���� ��������� �4������ ��������� ������$����������� �����������8������ ����� �������� ������������� �����������������

����� �����$���������� �������������� ��� ��������� ��� ���������������������������������� ���� �������� �������� �����$��������������������������"��9���������������������3������ ���������8����������������������

�����������������"������

1��������������� ������"����������� ������ �����$������5������������@��������������� ������������� �������������+��������������� ���������� ������� �����������������J,��

#����� ����������� ��+�� ��� ������5������ ��,������������� �����$���������� �����C�������������� ������������������� �����$���������?º������������ ���������������������ë<������� � �������� �������+�� ��� �����5��� ����,����?º��������������������������� �������������� ������� �

������������� �� ���� �

¦Y 1��������������� ������������ �����$����������� ���� �����������4����������������������������+�������������)�� ���$����8ë����������������� ���,��19����������������������:�

¦Y &�����������)����������������� ����������� �����������4��������� �����$����:�Ñ�� ����r�ë�������������������Ñ�����#�r����#$ë�����

¦Y �����������������C��� ���������+C�,�5�)�������������������� �������� ���������������������4��������� ������� ���������M���Ñ�$���#���#����� ������������������������������� ������������������ �:�M�����#�r�$ë�+���� ����������������9�����������9���� ���������������� ������ ���������������������M�����������������������J����G���������� ������������������������ ��!�������������� ����������������������������%����������"���������������&�������������������� ���������

���� �" ��'��� �������������������������������&� ���� ������ �� ����������������������� ����(��������� �������� ���

¦Y Q����������������)�� ���$������������������� ���C��� ����������� ���Ñ��M����+���������� ������������C������������ ���)�� ���$�������� ����M���Ñ�$�����

ë6�ë��ë0�

ëº�ëD�ë2�

ë-�ë;�ëë� 6���0�

º�D�2�

-�;�ë�

� W�W� ��

W�W�W� W�

W�W�W� W�

�� W�W����

� W� ��

W�W� W�

Page 12: 139561823 44300803-geometria-sagrada-quadrados-magicos

1�������)�� ���$����8ë�������������������������:�Ñ�ë���� ������1����)�ë����������������������Ñ�ë��Ñ�� ��M���� ����#���������+�� �������������*��>�m2,�:�Ñ�ë��M���� ��M��� �����#�� ���������:�Ñ�ë���Ñ��$����3��������8����������������������������������������� ������ ���������?-����?º�

¦Y %�����8���������������� ��������������������������-��������������� ������������������������� ����-���������������� ���� ��������/� ������������-�����������9���������������8������� ����8������������������������ ������+������ ��� ���� �������� ���,��

¦Y /����������� ��� ������������ �����$��������-������������-����������)�ë�?)��+)�� ���$����ë?�)�� ���$����,��

Q�������������������� �������-��������������� ��������� ���+������������������������ ��������������������������,��������)��3��� ������ ���������?�� W���� �� �����������������

¦Y /� �������������?���� :�Ñ�ë��Ñ����G����+���������������� ��,�

¦Y 1��� �������������?�� ���������������������������������� ������� �������������������4�����"��������������������� ������� ��������-�����������������������)E��?ë�)�ë,:�Ñ�ë��Ñr��Ñë��r��ë���G�r��G�ë��r��ë��$ë�+������������� ����,�

E��� ��8���������� ��������?º��� ���9������������������ �����������?0��� ���9���������������� ��#��� ��8����������������� ������������������������������� �������)=àX�� ���������������$����������� ����������� ��������

¦Y Q��8��� ��� ������������������9���������� ������� �������� �����$��������������������?�2�:���������� �)?�ëëD��C�?ëD��)�?�ëDD2?�2D��)�ë?��2D8�+ëD+28-,?�<<�

¦Y /���8������� ��� �)�ë?=>&>Q>#���+������������������� ����ëë�>�-�>�-0�>�ë6�,�?��<<�

¦Y ��������������8������� ��� �)�ë?)>=>#�>X�+������� ������� ����������� ��-��>��º�>�;�>�º2�,�?��<<�

������)>=>#�>X?=>&>Q>#��

�� W����

W� )� W�

=� W�#��

W� X� W� W� W�)��)ë�W� W�

W� W� W� W� W� W�

=��W� W� W� W�#���

=ë�W� W� W� W�#�ë�

W� W� W� W� W� W�

W� W�X��Xë�W� W�

����2����

������?�2��

����;���� ��

��#�r����#$�* :����� ��

Ñ$��>��������� ��

�$��* :����� �4�������$���

�� �#� Ñ� Ñ�� M�� Ñ�ë�

r� �� �� �� �� -�C���$���

ë� -� �<� D� ë�D� �<�C���$���

Page 13: 139561823 44300803-geometria-sagrada-quadrados-magicos

��

¦Y /����������� 8������������� �����������������-������������������������������� ���$����8ë����-������������ ����� �������������������� ������� �������� �����$���������� �����

¦Y #����� ��������������������-���������������������� ���$����8ë�� ������� �������������<�����������������(�������� ��������19�����8��������������������� ���������� ����������� �����$���������?ë���������+)����� ������,������������������� �������������� �����

���������� ����������

1��������� �����$���������� ������������������ ��������������������+������������������� �� �������9�������,:�

Y�C������������� ��:�#���������)�� ��E$����8ë��������� ������$����������� ������������������ ������� ����� ��������������� �-�Y�C��������������� ������� ��:�#���������)�� ��E$����8ë��������������������-������������� ����+�������������������������������� ������� ����9���������������������������������������� �ë,��

��������Z����������(����Z�������� ��������8�����������(� ����&����������������� ������" ������� ����� �������:������������������������� ����Y�-��%��������������������� ������������������������� ������������������������������ � ������� ���������� ���������������������������� ��-����������

/���8������� ��� ��������9���������2�����������������������������������º������

���������� ��� ����� �

/������������������ ����������� �����$���������� �����������$�� ��������2���������������� ��

�������2� ��2����������� �� ���2���� :���2����2�������������24���������������24 ��������

����������������������:��� ��!��� <������������2��� 2�����2����� <������������ � ����

��Y �8���� :�C��������������������� ����3���� ������ ����$����������������������� �� ��������� �� ������9��3��������� ����$����������������� ��C�8+�Bë8+�Bë,,����������������� ������ ��C�>+�Bë8

�� ;� -D� �D� D� ë<�

�� �0� �º0� º-� 6�D� º-�

)� ëD� ºëD� 0D� �º� Dë�

�� º0� 000� ���� �6�D� 2-�

�� -;� �ëëD� �2D� ëD� �<<�

�� 0-� ë<6<� ë0<� ºë�D� �º<�

�� 6�� ººë�� º0;� -�� �0-�

ëë�-2��0�-���<�ºD� -�

D� ëº�-6��2�-ë����ë;�

º<� 0� ë-�-;��6�º0��ë�

�º�º�� 2� ëD�-º��;�º2�

º6��-�ºë� �� ë0�--�ë<�

ë��º;� 6� ºº� ë� ë2�-D�

-0��D�-<� ;� º-� º� ë6�

Page 14: 139561823 44300803-geometria-sagrada-quadrados-magicos

+�Bë,,��3��������������$����������������� ���Bë>+�Bë,������������������������ �ëDC�8�+����� ������,������������������������������ ������ �������� �����$������8�+�Bë8+�Bë,,��

%���������:�3�������������������������������������� �� ������ ����� ���������������� � ��� ��������� ������������������������ ������� ��������������3���� ��������������������������������� �����������������������������&� ������������+��>�,Bë�

��Y �8�� �:�3�������� �+���A,�������������������� ���������� ������������������������������������ ������������������������������?�>�8 �3���� ��� ������9���������������� �����������������C������������� ����������������������

%���������:����A������������������������������ ��������������������8�������������������������������������"��� ������ ��������� ���� ���� �������r������������ �r����������������J��

���������� ��� ��������� ����������� ��

.� �����8������������������������������������ �������������������� ���������J�>����*��� ������

������� �� � ������������������ �� � ���������%� ����� ���+������%������������� ���������

������!��������������������� ���������������������+����

/� ��������� � ��������� �����"���������� ����"����� ���9��������������������%��%�%������������� ����������������� ��������������� ��������������� ��+����������9������ ��"����,��/������ ����� ������������ ���������� ��������� ������&����:�,-Ô��#���r?�2J�>��?�D<�������� �8������:��� ����%1 ?�-2�>�º?�D<����� ����,-Ô��ë������)�%�������%1 ?0�>�--?�D<���� ����,-Ô��r���r���)������

ëë�-2��0�-���<�ºD� -�

D� ëº�-6��2�-ë����ë;�

º<� 0� ë-�-;��6�º0��ë�

�º�º�� 2� ëD�-º��;�º2�

º6��-�ºë� �� ë0�--�ë<�

ë��º;� 6� ºº� ë� ë2�-D�

-0��D�-<� ;� º-� º� ë6�

�/������ 8��������������� �� ���������������������������������@��������� ����� �������������1����� �� ������������������������������ ��� ����� �� ��� ���������������� �� ���������$ ������ ������� � ������" ������� ������������������������������ ����� �� ��!�� ����������� ������������������� ���������� ��

��

-���������������� ����� �� ��!�� �

¦Y #�� ��������������� � ����� ������$����������� �������� ��8������ë���������������������������������������� �������������������������������������� ����.� ���������������+�������

�������¦Y / ���� ����������� ��� ���� ����� ���������� �5���������������������������������(������:�

����������� �����+����������� ����� ������9���� ����,���������$8��8�������/��%������������ ���+�������� ������� ������9������� ��,�����$8��8�������$�

8������

������ ?[\�<�-�ë[���8�8� 8� 8�

<-�

8� 8� 8� 8� �� ���8�

8� �� 8� 8� �6� 8� 8�

8� �� 8� ëD� 8� �� 8�

8� 8� ºë� 8� 8� �� 8�

8� º;� �� 8� 8� 8� 8�

-0� 8� 8� 8� 8� �� 8�

Page 15: 139561823 44300803-geometria-sagrada-quadrados-magicos

¦Y / ������������ ��:��� �� �������� ������ ������������� ���������������������8������������������� �����������������������$ ����� ��������� ������������ ������ ����5���������������������� ��������������������������������� ����$����������

� �������

/� ���9����� ����������� � �������� �����$���������� ���������������� ��� ��������������������������

��������(������ ������

&���������������� �������������� ��#�� ���r����� ���"�'�������� �C7������������

�� �+������ ����� ��������������������%����� ��C7�?�+�J>�,�B�r��C7�������� �� ���

���������� ���� �����%������������ ��"�����"��+����������� ���������� ��������������

��������������� ��!����������������������������¦Y E��� �8��������� ����

�������������� ��������� ������M�����#�������������������� �� ����������������������� �

���������������"���+���� r������' ���������������0���

� ����!������C7%����� ��

������������� � ��¦Y /������:������ � ���

���������� �����������$�������������������� �� ��������������������:��������������� ���� ����� �:�?������r��$����

�r�$ë�)�� ���� ������ ��� �������D����������������� ���������� r�� ������"�����r��������������������ë?�++ë8�,�Y�;,�>D?�-������������������������������������$�������� �:�ëº�ºë�-��D<�D;�06���22�+�� ����� �8ë,��

C���������+���� �86,��A�5����� ������������ ��2����� �8������������� $�������� ����� �������������������������������������������� ��

���

¦Y /�����ë:������ � ��������������� ������������ ������������������/��������������������$��������� ����� ����������� �������������������������������� ����� ������9���� �:�-ë�-º�--�-D�+���� �8º,����� ���������� �:�-<�º;�º6�º2����� ����� �������������������� ����������������������� ������B���Ñ���

���&������ ��� ��"�����

������������������%����� �

� ������ ������ �����+���� ������������������������+���� �� ��������� ����� ����� �

����� ��� ��������� ����� ��+����� �������� ���������+���������� �� ����

/������ �����������+���� �8;,�+��ëA�5��� ������������ �82�����������9�,����������������������������������������� ����� ������������������������������ ����������������������� ����������#��� ��8������� ����-DT������������� ���� �������� ���������� ��������3������������� ����������������������������� �������

' �Rà�=3�33�33�33�33�33�<��

8� 8� 8� 8� 8� 8� 8� 8� 8�

8� 8� 8� 8� 8� 8� 8� 8� 8�

8� 8� 8� 8� 8� 8� 8� 8� 8�

8� 8� 8� 8� 6�� 8� 8� 8� 8�

8� 8� 8� 8� -�� 8� 8� 8� 8�

8� 8� 8� 8� �� 8� 8� 8� 8�

8� 8� 8� 8� 8� 8� 8� 8� 8�

8� 8� 8� 8� 8� 8� 8� 8� 8�

8� 8� 8� 8� 8� 8� 8� 8� 8�

' �Rà�=3�33�33�33�33�33�<ë�

8� 8� 8� 8� 8� 8� 8� 8� D�

8� 8� 8� 8� 8� 8� 8� �-� 8�

8� 8� 8� 8� 8� 8� � 8� 8�

8� 8� 8� 8��

ºë� 8� 8� 8�

8� 8� 8� 8� -�� 8� 8� 8� 8�

8� 8� 8� D<��

8� 8� 8� 8�

8� 8� D;� 8� 8� 8� 8� 8� 8�

8� 06� 8� 8� 8� 8� 8� 8� 8�

22� 8� 8� 8� 8� 8� 8� 8� 8�

' �Rà�=3�33�33�33�33�33�<º�

8� 8� 8� 8� 8� 8� 8� 8� D�

8� 8� 8� 8� 8� 8� 8� �-� 8�

8� 8� 8� 8� 8� 8� � 8� 8�

8� 8� 8� 8��

ºë� 8� 8� 8�

8� 8� 8� 8� -�� 8� 8� 8� 8�

8� 8� 8� D<��

-ë� 8� 8� 8�

8� 8� D;� 8� 8� 8� -º� 8� 8�

8� 06� 8� 8� 8� 8� 8� --� 8�

22� 8� 8� 8� 8� 8� 8� 8� -D�

' �Rà�=3�33�33�33�33�33�<-�

Y� 8��

8��

8��

8� D�

8� º6� 8��

8��

8� �-� 8�

�8� º;� 8�

�8� � 8�

�8�

�8� -<�

�ºë� 8�

�8�

�8�

�8� -�� 8�

�8�

�8�

�8� D<�

�-ë� 8�

�8�

�8� D;� 8� D�� 8� -º� 8�

�8� 06� 8� 0<� 8� Dë� 8� --� 8�

22� 8� 0;� 8� 0�� 8� Dº� 8� -D�

Page 16: 139561823 44300803-geometria-sagrada-quadrados-magicos

���������/� ��9�������� ����� ���� ���������@8���������������:�º2�8�ë;�8�ë��8��º���D����

¦Y /�����º:�%�������������������$������������ � ������� �������-��������� ���� �����ë����� ������� ���$��������������������������������������ë������� �������/�+�� ����� �8D����������������������$ ������������ �+�"����������������������� � ������ ,,���3��������������-������������������� ������8��������������� ��������������� ��$��9���������������������G�������

��� ���������M����������������������������������������������� ��� ����#����� ���������������� ������������� � ��������������������������:�

¦Y C��������������� ���������M��¦Y C������� ���������� �M��¦Y C��������� �����+����� �M��¦Y C�������� ���� ���������M���� ��������������������������� ���������������������������� ��������

���$���������������>�M���

1����������������+ºA�5��� ������������ �82,����� �8������������ ���������������������������� ����� ����������������������������������������� ��)���� �8��������������� ������������������������ �8;��/������ 8���������������� ����@�������� ������������Q������������������ ���������5������������� ���������� �82������ ���� �����

)�������8����"������������������������+�� ����� �80,���� ���� ���� ������������� ������������������������������ ��9����������������� ����Q�������+�� ����� �8D,��������������������� ����������������������� �º-����������������� �--������ $���������������������������������������������������������� �������������������������������������>�M�?�º-�>�-�?2D�+��� � ���������������� �80������� ��� ��������� �82,��

�3����� �82����� �������� ������������������ ������������������������� �����������������������������������)� ��������5��������������������������� ��:��������:��� "���������ë:�� �����������º:���� �����]��� ��������� �8���������������������� ��������������������������� ���������5��������������������������������������� �������������������� ��������������+���� ��6,�������������������������� ����������������� �������������6���

'����� �:%���������)E������=����� �������������������� ��������������������� ��������'����� �:%���������)E<º������=����� ���������������������º������������ �

' �Rà�=3�33�33�33�33�33�<D�

º2� 8� ë;� 8� ë�� 8� �º� 8� D�

8� º6� 8� º<� 8� ëë� 8� �-� 8�

-2� 8� º;� 8� º�� 8� ëº� 8� �D�

8� -6� 8� -<��

ºë� 8� ë-� 8�

D2� 8� -;� 8� -�� 8� ºº� 8� ëD�

8� D6� 8� D<��

-ë� 8� º-� 8�

02� 8� D;� 8� D�� 8� -º� 8� ºD�

8� 06� 8� 0<� 8� Dë� 8� --� 8�

22� 8� 0;� 8� 0�� 8� Dº� 8� -D�

' �Rà�=3�33�33�33�33�33�<0�

�8� ë;� 2<�

�8�

�8�

�8�

�8�

�8�

�8�

�8�

�8�

�8�

�8�

�8�

�8�

�8�

� � �8�

�8�

��2�

� �-��

� �8�

�8� D6� 8�

� � �8� º-� 8�

�8�

��<� D�� 8�

�2D�

�8�

�8�

�8�

�8�

�8�

�8�

�8�

�8�

�8�

' �Rà�=3�33�33�33�33�33�<2�

º2� 26� ë;� 2<� ë�� 0ë� �º� D-� D�

0� º6� 2;� º<� 2�� ëë� 0º� �-� -0�

-2� 2� º;� 6<� º�� 2ë� ëº� DD� �D�

�0� -6� 6� -<� 6�� ºë� 0-� ë-� D0�

D2� �2� -;� ;� -�� 2º� ºº� 0D� ëD�

ë0� D6� �6� D<� �� -ë� 2-� º-� 00�

02� ë2� D;� �<� D�� ë� -º� 2D� ºD�

º0� 06� �;� 0<� ��� Dë� º� --� 20�

22� ë6� 0;� ë<� 0�� �ë� Dº� -� -D�

Page 17: 139561823 44300803-geometria-sagrada-quadrados-magicos

� ������

��

¦Y #�����������9�������������������������������� ��������� ���������������� ������%�����������'.� ����� ����� ����������������(����� ��&������ �����+������������&������

¦Y *�������$���������������� �� ����������������� �� ������������� ��� ��� ��������������� �������������@����� �����������������)����������� �������������� �������� �4������������������������������

¦Y à������� ���������������� �����$���������� ������������������������ 8������������� ���� �������������� �����$�������������������� ������������������"����� ������������ ���� ����������

*�� .� �1�������

¦Y / ���� ��������5�)$����:�!$������������������ �������� ����������� ������$����������� ������������� ������������������ ����������� ������������������������������ �������"������������������������� �������������������������� ��� ������������ ��������������(����������������9���������������4�������������������� �����$�����������������

3�� �� ����� ������ �������������������� ���������������������������� ��������������������������������� ��� ������������ �^� ����������� �������������������� � ����������� �������� �������������������������������������� � �������������4����� ������������������������������ ��������������� �������� ���5�� �� ����������� ������ � ��� �������� ��������������� ���������� ����������� ���� ������ � ��� �������� �������������� ����������7���������������� ��������������� �� ���������������������������� ������� ������������������� ���������� ������������ � ��������������������������������� �������� ��������������������������� �� ������������������������� ������ ����� ����������������������������������������� ��������������������������� �� �������

¦Y &�������������5�)$�����:�_������������ ���������������������� ����������������������������������������������������������� ��������$���������� ������������������������� ������������������ ����������������"������� ��������?0������ ������$����������������������� ���+)�������,�������000��1�������������������������� ��� ���������������� ��� � ������� �����7�����������������������������7�������

���� .� �

¦Y )�������������� ���� ���������� ���(�������� ������������ �����$����������������� ����������(� ��������������� ����#����� �����$���������� ���� ���� ���������(� ������� �������� ����������������������� ����� �����$������������ �����

¦Y /� ��������� �����������(� ���+������� ��,����������� 8�����������������"���������������� ��:� ���������������������������� �� ����������������������������������� ������������� ����������������7������� �������������������������������� �����������(� ������ ���������� �������� ��������������������������� ���������� �� ���������� ���������9����� ��������������������9���������������������������� �����&��������������������������������������������������� ������ ����������� (����������������� �������������(� ��������������������� ������� ����������������������������� ���

¦Y /����������� � 8������������� �����$������� ����������������������������� � ��������� �(����+���������������������������� ����������$����,������������ �������� �����������������������

Page 18: 139561823 44300803-geometria-sagrada-quadrados-magicos

���� ������ ���������3�������������������������������� ����� (����������� �����$������������ �����$���������� ������������������������������������������� ���������������4��������������� ������������������������� �������������� ��������(� ������� ������� ��������� ��� �����[����[����������� ���1��������������"��������� ����������������������� ����� ������ ��� 4���������������� �������������������� �������� ���������@8��8$�������� ������������������� ������ ������������������������������������������������������(� ������� ��� � ����������������� ������������������(� ����� $����� �������� ��� ����+��������,������� ��9��������"��������� ��� 4����� ���� ������

¦Y *���������� ��������� ������������������������������� ������ ��� ����������(� ������ ���� ��������� ������19����������������� ������������������

¦Y #������(� ������������������������� ������������������������ ���������(������������ ���"��+�������������������������� ��������� ���������������,������������������������� ����������� ���������������������� ������ ���������

¦Y C��������������������4���������"���������� �������������������������������� ���� (�������� ���������������������������� ����������� ���������� ������������������������������$������

�������+���������������

¦Y 3�� �K���I�������&G���:�#� ��;�����2��*�����C����`� J:�%��� ���;0<�� &7C�<8-608ë<0D68<�

¦Y '������N����O@:�#� ��;������3�&���8����� �������:�#����)�� ����;2-�� &7C�<862D-68�;28º�¦Y /��J��� ��)����� �:�$���@�2��:�#� ��;����!�* �����!�2��;�����/ ���������C����)�������:�

/ ��������à���� ���G�/ �����ë<<º�� &7C�<80;�8��D;28-�¦Y H�� �=���� ���:�%�����#�A�������(����&� : ������� ������:�&�����������8�02286-��

� �����������������������:�E�^���E�G����E��� ����������� ����)� ���G��������.���������8�;62�� &7C�6-860ººD8ºë8;�

¦Y )� ������3� ����:�>�������/�B������1��4���#�����������8�;;0� &7C�;2686-822ë<8-;º8<�

Y