1. PROBLEMAS RESOLVIDOS DE FSICAProf. Anderson Coser
GaudioDepartamento de Fsica Centro de Cincias Exatas Universidade
Federal do Esprito
Santohttp://www.cce.ufes.br/[email protected] ltima
atualizao: 25/07/2005 09:16 H RESNICK, HALLIDAY, KRANE, FSICA,
4.ED., LTC,RIO DE JANEIRO, 1996. FSICA 1 Captulo 4 - Movimento Bi
eTridimensional Problemas01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36
37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58
59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87
2. Problemas Resolvidos de FsicaProf. Anderson Coser Gaudio
Depto. Fsica UFES Problemas Resolvidos02. A posio de uma partcula
que se move em um plano xy dada por r = (2t3 5t)i + (6 7t4)j, com r
em metros e t em segundos. Calcule (a) r, (b) v e (c) a quando t =
2 s.(Pg. 64) Soluo. (a) Em t = 2,00 s a posio (r) da partcula vale:
r = [2 (2)3 5 (2)]i + [6 7 (2) 4 ]j r = (16 10)i + (6 112) j r =
(6i 106 j) m (b) A velocidade instantnea v derivada primeira de r
em relao ao tempo: dr d v== [(2t 3 5t )i + (6 7t 4 ) j] dt dt v =
(6t 2 5)i 28t 3 j Substituindo-se o valor de t = 2 s: v = [6 (2) 2
5]i [28 (2)3 ]j v = (21i 224 j) m/s (c) A acelerao instantnea a
derivada primeira de v em relao ao tempo: dv d a= = [(6t 2 5)i 28t
3 j] dt dt a = 12ti 84t 2 j Substituindo-se o valor de t = 2 s: a =
12 (2)i 84 (2) 2 j a = (24i 336 j) m/s 2[Incio] 44. Um canho
posicionado para atirar projteis com velocidade inicial v0
diretamente acima de uma elevao de ngulo , como mostrado na Fig.
33. Que ngulo o canho deve fazer com a horizontal de forma a ter o
alcance mximo possvel acima da elevao?(Pg. 67)
Soluo.________________________________________________________________________________________________________
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Movimento Bi e Tridimensional
3. Problemas Resolvidos de FsicaProf. Anderson Coser Gaudio
Depto. Fsica UFESAnlise do movimento no eixo horizontal (x), onde o
ngulo de inclinao do canho em relao horizontal: x = x0 + vx t R cos
= 0 + v0 cos tR cos t= (1)v0 cos Anlise do movimento no eixo
vertical (y):1 y = y0 + v y 0t + at 22 1 R sin = 0 + v0 sin t gt
2(2) 2 Substituindo-se (1) em (2):R cos 1 R 2 cos 2 R sin = v0 sin
gv0 cos 2 v0 2 cos 2 cos 1 R cos 2 sin = sin g cos 2 v0 2 cos 2 gR
cos 2 sin = tan cos 2v0 2 cos 2 2v0 2 cos 2 R = ( tan cos sin )
(3)g cos 2 Como R() uma funo cujo ponto de mximo deve ser
localizado, devemos identificar o valor de tal que dR/d = 0. dR 2v0
2 cos( 2 ) sec 2 ==0 (4) d g Resolvendo-se (4) para encontramos
duas possveis solues: 1 (2 ) = 4 1 (2 + ) 4 Como 0 < < /2
(ver figura), a resposta mais coerente : 1 = (2 + ) 4 claro que
resta demonstrar que d2R/d2 < 0, equao (3), pois como se trata
de um ponto de mximo, a concavidade da curva nesse ponto deve ser
voltada para baixo.[Incio] 49. Um canho antitanque est localizado
na borda de um plat a 60,0 m acima de uma plancie, conforme a Fig.
37. A equipe do canho avista um tanque inimigo parado na plancie
distncia de 2,20 km do canho. No mesmo instante a equipe do tanque
avista o canho e comea a se mover em linha reta para longe deste,
com acelerao de 0,900 m/s2. Se o canho antitanque
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4. Problemas Resolvidos de Fsica Prof. Anderson Coser Gaudio
Depto. Fsica UFESdispara um obus com velocidade de disparo de 240
m/s e com elevao de 10,0o acima da horizontal, quanto tempo a
equipe do canho teria de esperar antes de atirar, se quiser acertar
o tanque?(Pg. 68) Soluo. A estratgia que vamos adotar consiste em
calcular o tempo que o obus leva para atingir o solo da plancie
(tb) e o tempo que o tanque leva para chegar ao local onde o obus
cai (tt), que fica a uma distncia horizontal R do canho. O tempo de
espera ser: t = tb tt (1) Em primeiro lugar vamos analisar o
movimento do obus. Em x o movimento se d com velocidade constante:x
= x0 + vx t R = 0 + v0 cos tbR tb = (2)v0 cos Movimento do obus em
y:1 y y0 = v y 0t + a y t 22 1 0 h = v0 sen t gtb2(3) 2
Substituindo-se (2) em (3):2R1 R h = v0 sen g v0 cos 2 v0 cos g R 2
tan R h = 0 2v0 cos 2 2 Daqui para adiante no h vantagem em
continuar a solucionar o problema literalmente. As razes desta
equao do 2o grau so: R1 = 2.306, 775 m R2 = 296,5345m Como R
corresponde a uma coordenada positiva no eixo x, temos: R = 2.306,
775 m (4) Substituindo-se (4) em (2): tb = 9, 7598 s (5) Agora
vamos analisar o movimento do tanque, que se d com acelerao
constante:1x x0 = vx 0t + ax t 22
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Movimento Bi e Tridimensional
5. Problemas Resolvidos de Fsica Prof. Anderson Coser Gaudio
Depto. Fsica UFES 1 R d 0 = 0 + at tt222 ( R d0 ) tt == 15, 4038 s
(6) at Substituindo-se (5) e (6) em (1): t = 5, 6440 s t 5, 64 s
[Incio] 60. Uma criana gira uma pedra em um crculo horizontal a 1,9
m acima do cho, por meio de uma corda de 1,4 m de comprimento. A
corda arrebenta e a pedra sai horizontalmente, caindo no cho a 11 m
de distncia. Qual era a acelerao centrpeta enquanto estava em
movimento circular? (Pg. 68) Soluo. Considere o seguinte
esquema:ryvxh d A acelerao centrpeta procurada dada por: v2 ac =
(1)r Anlise do movimento no eixo horizontal (x):x = x0 + vx t d = 0
+ vt d t= (2) v Anlise do movimento no eixo vertical (y):1 y = y0 +
v y 0t + at 221 0 = h + 0 gt 22 1 h = gt 2 (3) 2 Substituindo-se
(2) em
(3):________________________________________________________________________________________________________
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6. Problemas Resolvidos de FsicaProf. Anderson Coser Gaudio
Depto. Fsica UFES21 d h=g2 v22 gd v2 = (4) 2h Substituindo-se (4)
em (1):2gd ac =2rh2(9,81 m/s 2 )(11 m) ac = = 223,1221... m/s 2
2(1, 4 m)(1,9 m) ac 2, 2 103 m/s 2[Incio] 70. A neve est caindo
verticalmente velocidade escalar constante de 7,8 m/s. (a) A que
ngulo com a vertical e (b)com qual velocidade os flocos de neve
parecem estar caindo para o motorista de um carro que viaja numa
estrada reta velocidade escalar de 55 km/h? (Pg. 69) Soluo.
Considere o seguinte esquema vetorial de velocidades, onde vC a
velocidade do carro em relao ao solo, vN a velocidade da neve em
relao ao solo e vNC a velocidade da neve em relao ao carro:
vNCyvNxvC (a) O ngulo que a neve faz com a vertical vale: v tan = C
vN vC = tan 1 = 27, 0463 vN 27 (b) A velocidade escalar da neve
dada por: vNC = vC + vN = 61, 753422km/h vNC 62 km/h Obs. Apenas
como curiosidade, vamos mostrar o vetor vNC. Os vetores vN e vC so
definidos como:v C = vC i v N = vN j De acordo com o esquema,
temos:v N = v C + v
NC________________________________________________________________________________________________________
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7. Problemas Resolvidos de Fsica Prof. Anderson Coser Gaudio
Depto. Fsica UFESv NC = v N v C Logo: v NC = vC i vN j [Incio] 71.
Um trem viaja para o Sul a 28 m/s (relativamente ao cho), sob uma
chuva que est sendo soprada para o sul pelo vento. A trajetria de
cada gota de chuva faz um ngulo de 64o com a vertical, medida por
um observador parado em relao Terra. Um observador no trem,
entretanto, observa traos perfeitamente verticais das gotas na
janela do trem. Determine a velocidade das gotas em relao
Terra.(Pg. 69) Soluo. Considere o seguinte esquema vetorial de
velocidades, onde vT a velocidade do trem em relao Terra, vG a
velocidade das gotas de chuva em relao Terra e vGT a velocidade das
gotas de chuva em relao aotrem: vGT y vG x vT Os vetores vT e vGT
so definidos como:vT = vT i(1) v GT = vG cos j (2) De acordo com o
esquema, temos:v G = vT + v GT (3) Substituindo-se (1) e (2) em
(3): v G = vT i vG cos j (4) O esquema mostra que vG definido por:v
G = vG sen i vG cos j(5) Comparando-se (4 e (5), conclui-se que: vG
sen = vTvT vG = (6) sen Substituindo-se (6) em (4):v v G = vT i T
jtan O mdulo de vG dado por: 2 v vNC = vT + T = 31,15282m/s tan vNC
31 m/s
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8. Problemas Resolvidos de FsicaProf. Anderson Coser Gaudio
Depto. Fsica UFES[Incio] 81. Um homem quer atravessar um rio de 500
m de largura. A velocidade escalar com que consegue remar
(relativamente gua) de 3,0 km/h. O rio desce velocidade de 2,0
km/h. A velocidade com que o homem caminha em terra de 5,0 km/h.
(a) Ache o trajeto (combinando andar e remar) que ele deve tomar
para chegar ao ponto diretamente oposto ao seu ponto de partida no
menor tempo. (b) Quanto tempo ele gasta?(Pg. 70) Soluo. (a) O
trajeto procurado definido pelo ngulo que o remador deve adotar
para direcionar o barco durante a travessia, de forma que a soma
dos tempos gastos remando (t1) e andando (t2) deve ser o menor
possvel. Logo, a soluo deste item consiste em construir uma funo
matemtica t1 + t2 = f() e, em seguida, achar o valor de onde t1 +
t2 tem seu valor mnimo, ou seja, d(t1 + t2)/d = 0. Considere o
seguinte esquema para a situao: v C t2 ,d2B vA yt1 ,d1 lvHA vHAx A
velocidade do homem em relao gua (vHA) deve fazer um ngulo em relao
margem. A velocidade da gua (vA) far com que o barco percorra a
trajetria retilnea AB, que faz um ngulo em relao margem. O trajeto
AB mede d1 e ser percorrido num tempo t1. Ao chegar ao ponto B, o
homem ir caminhando at C num tempo t2 atravs de uma distncia d2.
Seja o esquema vetorial de velocidades: vA vHAvH De acordo com o
esquema acima:v H = v A + v HA(1) Mas: v A = va i (2) v HA = vHA
cos i + vHA sen j (3) Logo, substituindo-se (2) e (3) em (1):v H =
(va + vHA cos )i + vHA sen j Movimento do ponto A ao ponto B:r = r0
+ vt rB = rA + v H t1
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9. Problemas Resolvidos de Fsica Prof. Anderson Coser Gaudio
Depto. Fsica UFESConsiderando-se um sistema de coordenadas
cartesianas com origem no ponto A, temos:rB = d 2 i + l j Logo: d 2
i + l j = 0 + [(v A + vHA cos )i + vHA sen j]t1 (4) A equao (4)
somente verdadeira se e somente se:d 2 = (v A + vHA cos )t1 e l =
vHA sen t1(5) Logo, de acordo com (10): lt1 = vHA sen Mas, de
acordo com o esquema principal acima: ld2 = (6) tan Tambm podemos
dizer que:v H = v Hx i + v Hy j Onde: v Hy v HA sen tan ==(7) v Hx
(v A + v HA cos ) Substituindo-se (7) em (6):l (v A + v HA cos ) d2
=(8)v HA sen Movimento de B at C:x = x0 + v x t 0 = d 2 vt 2d2 t2
=(9) v Substituindo-se (8) em (9):l (v A + v HA cos ) t2 = vv HA
sen Agora podemos construir a funo t1 + t2 = f():ll (v + v HA cos
)t1 + t 2 =+ A v HA sen vv HA sen l (v + v A + v HA cos ) t1 + t 2
=(10)vv HA sen O mnimo da funo (10) agora pode ser encontrado.d (t1
+ t2 ) l [(vHA ) sen 2 (v + v A + vHA cos ) cos ] = =0(11)d vvHAsen
2
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10. Problemas Resolvidos de FsicaProf. Anderson Coser Gaudio
Depto. Fsica UFESA equao (11) somente verdadeira se: v HA sen 2 (v
+ v A + v HA cos ) cos = 0 Logo: v HA (sen 2 + cos 2 ) = (v + v A )
cosv HA cos = v + vA v HA = cos 1 v + vA (3,0 km) = cos 1 =
115,3769 o [(5,0 km) + (2,0 km)] 115 o (b) Da equao (10): (0,500
km)[(5, 0 km/h) + (2, 0 km/h) + (3, 0 km/h) cos115,3769o ) t1 + t2
=(5, 0 km/h)(3, 0 km/h)sen115,3769 o t1 + t 2 = 0,2108 h t1 + t 2
0,21 h[Incio] 82. Um navio de guerra navega para leste a 24 km/h.
Um submarino a 4,0 km de distncia atira um torpedo que tem a
velocidade escalar de 50 km/h. Se a posio do navio, visto do
submarino, est 20o a nordeste (a) em qual direo o torpedo deve ser
lanado para acertar o navio, e (b) que tempo decorrer at o torpedo
alcanar o navio?(Pg. 70) Soluo. (a) Considere o seguinte esquema da
situao: vNy vTNvT x Pelo esquema acima, temos: v T = v N + v TN vTN
= vT v N onde vTN o vetor velocidade do torpedo em relao ao navio.
Os vetores vN e vT so assim definidos: v N = vN i
(1)________________________________________________________________________________________________________
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Movimento Bi e Tridimensional
11. Problemas Resolvidos de Fsica Prof. Anderson Coser Gaudio
Depto. Fsica UFES vT = vT sin i + vT cos j (2) onde o ngulo
procurado no item (b) do enunciado.vTN = vT sin i + vT cos j vN i =
( vT sin vN ) i + vT cos j(3) Mas:vTN = vTN sin i + vTN cos j(4)
Como os vetores (3) e (4) so iguais, suas componentes tambm so
iguais. vT sin vN = vTN sin (5)vT cos = vTN cos (6) Dividindo-se
(5) por (6):vT sin vN= tan (7) vT cos Resolvendo-se (7) : vN vT tan
+ vT 4 + vT 4 tan 2 vN 2 vT 2 = sec1vT 2 vN 2 So duas as solues
possveis: 173,89...o =46,8112...o Pelo esquema inicial, conclui-se
que a resposta mais coerente a segunda opo: 47o (b) Equao de
movimento do navio e do torpedo:rN = rN 0 + v N trT = rT 0 + vT t
Como no instante t da coliso entre o torpedo e o navio ambos estaro
na mesma posio, temos: rN = rTrN 0 + v N t = rT 0 + vT t Mas:rT 0 =
0 Logo:rN 0 + v N t = vT t(8) Porm:rN 0 = d sin i + d cos j (9)
Substituindo-se (1), (2) e (9) em (8): d sin i + d cos j + vN ti =
vT sin ti + vT cos tj(d sin + vN t )i + d cos j = vT sin ti + vT
cos tj (10) Como os vetores descritos em ambos os membros de (10)
so iguais, suas componentes tambm so iguais. Igualando-se as
componentes y desses vetores:d cos = vT cos t
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12. Problemas Resolvidos de FsicaProf. Anderson Coser Gaudio
Depto. Fsica UFES d cos t=vT cos (4, 0 km) cos(20o ) t= =
0,109838... h(50 km/h) cos(46,8112...o ) t 0,11 h[Incio]
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