Prezado(a) aluno(a),

Devido à interrupção das aulas durante o período co mpreendido entre 01 e 16 de agosto, apresento a você uma proposta de estudo vis ando a agilizar os estudos e repor, da melhor maneira possível, os conteúdos correspondent es a este semestre.

Segue uma abordagem sobre Trigonometria no Triângul o Retângulo de forma sucinta e abrangente.

Acredito que você conseguirá obter êxito no process o de aprendizagem, pois a apresentação da teoria e os exercícios propostos fa vorecem a compreensão e a assimilação do conteúdo.

Vale ressaltar que independentemente da apresentaçã o desta atividade – que será considerada para efeito de nota de comprometimento e participação – estarei sempre à disposição para quaisquer esclarecimentos que se fi zerem necessários. Bom estudo! Prof. Manuel Del Campo Rodriguez

TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

Razões trigonométricas no triângulo retângulo

A Trigonometria nasceu entre os gregos para resolver problemas de Astronomia Pura. Suas primeiras aplicações práticas ocorreram com Ptolemaios, por volta do ano 150 d.C., que a usou para determinar a latitude e a longitude de cidades e de outros pontos geográficos em seus mapas.

Do mundo grego, a Trigonometria passou para a Índia, onde era usada, a partir do século V, nos cálculos astrológicos. No ano 800, aproximadamente, ela chega a mundo islâmico, onde foi muito desenvolvida e aplicada na Astronomia e Cartografia. Alcança, com os livros de Ptolemaios, a Europa Cristã em torno de 1100. Com os portugueses encontra uma aplicação de enorme valor econômico na navegação oceânica.

Até cerca de 1600, todas as aplicações da Trigonometria (Astronomia, Cartografia e Navegação Oceânica) nada tinham a ver com problemas de agrimensura ou topografia. É importante observar que, nesse período, a Trigonometria estava num estágio bastante desenvolvido, em muito ultrapassando o que é hoje ensinado no Ensino Médio. Para iniciar este estudo cabem algumas perguntas:

1) O que você entende por razão entre dois números?

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........................................................................................................................................... 2) Por que um triângulo pode ser classificado como triângulo retângulo?

Nome: ______________________________ Nº _____

1º ano__EM Data: __ /__ /2009

Colégio Nossa

Senhora das Dores

Estudo Dirigido de Matemática – 2 o Trimestre

Prof. Manuel

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........................................................................................................................................... 3) O que são razões trigonométricas?

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Razões trigonométricas no triângulo retângulo A

α β C B Identificados os segmentos e ângulos – conforme a ilustração anterior – estabelecemos a seguintes igualdades entre as razões:

� F =ABBC

(BC e AB indicam a medida do segmento correspondente)

(O número F, assim obtido, é chamado seno do ângulo agudo α e se indica por: sen α = F =ABBC

)

Observe que o cálculo do seno de um ângulo agudo é dado pela razão hipotenusa

oposto cateto →

.

..

HIPOC

� Analisando a igualdade anterior o que você pode afirmar sobre a razão ? ABAC

................................................................................................................................................

................................................................................................................................................

................................................................................................................................................

...................................................... Complete:

(O número ..... , assim obtido, é chamado seno do ângulo agudo .... e se indica por: sen β = G =ABAC

)

Observe o que acontece quando trabalhamos com o cateto adjacente ao ângulo:

Observando o triângulo retângulo ABC, da

figura ao lado, podemos identificar e

nomear os seguintes segmentos e ângulos:

AB: Hipotenusa

AC: Cateto

BC: Cateto

Ângulos agudos: α (alfa) e β (beta)

Antes uma pergunta: Você tem clareza de quando um cateto e denominado oposto ou adjacente ao ângulo dado?

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................................................................................................................................................

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� H =ABAC

(O número H, assim obtido, é chamado cosseno do ângulo agudo α e se indica por:

cos α = G =ABAC

)

Observe que o cálculo do cosseno de um ângulo agudo é dado pela razão hipotenusa

adjacente cateto →

.

..

HIPAC

� I =ABBC

(O número I, assim obtido, é chamado cosseno do ângulo agudo β e se indica por:

cos α = I =ABBC

)

Uma outra razão trigonométrica é conhecida como tangente de um ângulo agudo. Como você definiria tangente? ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................

� J ACBC =

(O número J, assim obtido, é chamado tangente do ângulo agudo α e se indica por:

tg α = J ACBC = )

Observe que o cálculo da tangente de um ângulo agudo é dado pela razão adjacente cateto

oposto cateto→

..

..

ACOC

� K BCAC =

(O número K, assim obtido, é chamado tangente do ângulo agudo β e se indica por:

tg β= K BCAC = )

Resumo Num triângulo retângulo, temos:

� Seno de um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto oposto ao ângulo e a medida da hipotenusa.

� Cosseno de um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto adjacente ao ângulo e a medida da hipotenusa

� Tangente de um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto oposto e a medida do cateto adjacente ao ângulo.

CONSEQUÊNCIA Acredito que você deve ter observado o que segue:

No triângulo retângulo ABC da figura, α+ β = 90º (^

C e B^

são ângulos complementares). A

α

c b β

C a B

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

1) Determine o seno, o cosseno e a tangente dos ângulos agudos (α e β) da figura abaixo:

A α 17

8

β

C 15 B

ca

β

ca

α sen

=

=

cos

sen α = cos β

cb

α

cb

β sen

=

=

cos

sen β = cos α

Resolução: De acordo como que foi exposto procure responder as seguintes questões:

1) Em cada caso, calcule o seno, o cosseno e a tangente do ângulo agudo assinalado:

a) A

3 4

β

C 5 B

b) B

5 1 α

C 2 A

2) Num triângulo retângulo um cateto mede 15 cm e a hipotenusa 17 cm. Calcule o seno, o cosseno e a tangente do maior ângulo agudo desse triângulo.

Para fazer este exercício, antes de tudo, você deve encontrar a medida do outro cateto. Para fazer este cálculo devemos recorrer ao Teorema de Pitágoras. Lembra-se: Hip2 = cat2 + cat2.

Outra questão a ser solucionada - sem o uso de qualquer instrumento (compasso ou transferidor) e percebendo que a figura não apresenta uma proporcionalidade em suas

sen β =

cos β =

tg β =

sen α =

cos α =

tg α =

0,53333 = 158

= BCAC

= C.A.C.O.

= β tg 1,875 = 8

15 =

ACBC

= C.A.C.O.

= α tg

0,88235 = 1715

= ABBC

= HIP.C.A.

= β cos 0,47058 = 178

= ABAC

= HIP.C.A.

= α cos

0,47058 = 178

= ABAC

= HIP.C.O.

= β sen 0,88235 = 1715 =

ABBC

= HIP.C.O.

= α sen

C.A.: Cateto adjacente C.O.: Cateto oposto HIP.: Hipotenusa

Não se esqueça Não se esqueça Não se esqueça Não se esqueça de racionalizar o de racionalizar o de racionalizar o de racionalizar o denominador. denominador. denominador. denominador. .das frações..das frações..das frações..das frações.

medidas – é qual ângulo agudo devemos considerar, pois o enunciado propõem calcular o seno, o cosseno e a tangente do maior ângulo agudo desse triângulo.

Perceba que o simples conhecimento teórico sobre Trigonometria no Triângulo Retângulo não basta para solucionarmos todo e qualquer exercício, pois muitas vezes devemos utilizar outros conhecimentos para poder encaminhar a resolução de um problema.

Você lembra quanto vale a soma dos ângulos internos de um triângulo qualquer?

Se você souber a resposta vai entender melhor o que segue.

“A cada ângulo agudo de um triângulo retângulo está associado um único valor para o seno, o cosseno e a tangente. Esses valores podem ser indicados para os ânulos de 1º a 90º, variando de grau em grau.”

Considerando a afirmação anterior, pesquise de quais maneiras os valores do seno, cosseno e tangente de um ângulo podem ser determinados. ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

Conhecendo os valores do seno, do cosseno e da tangente dos ângulos agudos podemos resolver algumas situações-problema de ordem prática. Observe:

Um avião levanta vôo em B e sobe fazendo um ângulo constante de 15º com a horizontal. A que altura está e qual distância percorrida, quando alcançar a vertical que passa por um prédio A situado a 2 km do ponto de partida? (Dados: sen 15º = 0,26, cos 15º = 0,97 e tg 15º = 0,27).

Parece ser um problema difícil, mas lendo o enunciado com atenção e conseguindo associar os conhecimentos até aqui tratados, iremos perceber que a resolução “salta aos nossos olhos”, pois aplicando corretamente os conhecimentos sobre Trigonometria no Triângulo Retângulo temos:

# Cálculo da altura x em relação ao solo: tg 15º = 2000

x ⇒0,27 =

2000x⇒x = 0,27 . 2000 = 540 m

# Cálculo da distância percorrida y: sen 15º = yx⇒0,26 =

y540

⇒0,26 . y = 540 ⇒y = 26,0

540⇒y =

2076,9 m

Defina ângulo agudo?

x

y

B 2000 m A 15º

Resp.: A altura é de 540 m e a distância percorrida é de 2076,9 m. TENTE VOCÊ:TENTE VOCÊ:TENTE VOCÊ:TENTE VOCÊ:

1) Um topógrafo foi chamado para obter a altura de um edifício. Para fazer isto, ele colocou um teodolito (instrumento ótico para medir ângulos) a 200 metros do edifício e mediu um ângulo de 30°, como indicado na figura a seguir. Sabendo que a luneta do teodolito está a 1,5 metros do solo, pode-se concluir que, dentre os valores adiante, o que MELHOR aproxima a altura do edifício, em metros, é: Use os valores: sen 30° = 0,5 , cos 30° = 0,866 e t g 30° = 0,577

a) 112 b) 115 c) 117 d) 120 e) 124

2) Uma escada rolante de 10 m de comprimento liga dois andares de uma loja e tem inclinação de 30°. Determine a altura h entre um andar e outro, e m metros. Use os valores: sen 30° = 0,5 , cos 30° = 0,866 e t g 30° = 0,577

UMA TABELA MUITO IMPORTANTE

Os ângulos de 30º, 45º e 60º aparecem com frequência em muitos problemas. Para as razões trigonométricas relacionadas a esses ângulos é mais conveniente usar os valores indicados abaixo.

30º 45º 60º

sen 21

22

23

cos 23

22

21

tg 33

1 3

Obs.: Pode parecer estranho, mas é mais fácil memor izar as razões trigonométricas destes ângulos como apresentado na tabela do que em sua fo rma decimal.

DESAFIO Qual a área do triangulo ABC indicado na figura? B

22 cm

45º 30º A C Sugestão: Utilize os valores da tabela trigonométrica dada.

Você se lembra como calcular a área de um

triângulo?