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[email protected] ▬ Matemática
Área de superfícies planas
Define-se como área de superfícies planas a um número racional absoluto
de tal forma que:
1 - Há superfícies equivalentes está associado a áreas iguais;
2 - A soma de superfícies está associada a uma área que é igual à soma das áreas das superfícies parcela;
3 – Uma superfície está contida ou é igual à outra se, e somente se a área desta superfície for menor ou igual a da superfície dada;
Em todo meu trajeto como estudante do ensino fundamental e médio me
fiz esta pergunta: “Por que a área de um retângulo é igual ao produto da
base pela altura?”
Pois, meus professores somente apresentado a formula e não explicaram
como ela foi obtida. A fórmula da área de um retângulo é consequência
direta dos teoremas que apresentaremos abaixo:
TEOREMA I:
A razão entre duas superfícies retangulares cujas bases (ou alturas) são congruentes é igual à razão entre as alturas (ou bases).
Demonstração: Sejam R1 e R2 duas superfícies retangulares de tal forma que:
Sobrepondo R1 e R2 pelo transporte de segmento e pelo transporte de ângulos que:
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TEOREMA II:
A razão entre duas superfícies retangulares quaisquer é igual ao produto da razão entre as alturas pela razão entre as bases.
Demonstração:
Sejam R1, R2 e R superfícies retangulares de tal forma que R é uma superfície auxiliar. Além disso, temos:
Do teorema anterior temos:
Exemplos:
Everton é um entregador e está com um pequeno problema. O fundo do
furgão de seu caminhão têm a forma de um retângulo cuja altura mede 3
m e a largura 2 m perfazendo uma área de 6 m². Sabendo que Everton
deve colocar no interior do caminhão uma caixa cuja área (que ficará
encostada no fundo do furgão) é de 3 m² e que a altura desta caixa é de
1,5 m, então qual deve ser o tamanho da base desta caixa?
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Discutindo a solução:
Para obtermos a solução do problema deveremos averiguar inicialmente:
o Quais são as informações que o problema nos fornece?
Everton está com problemas;
O fundo do furgão de seu caminhão têm a forma de um
retângulo cuja altura mede 3 m e a largura 2 m perfazendo
uma área de 6 m²;
A caixa que Everton colocar no interior do caminhão uma
caixa cuja área (que ficará encostada no fundo do furgão) é
de 3 m² ;
A altura desta caixa é de 1,5 m;
o O que o problema nos pergunta?
Qual deve ser o tamanho da base desta caixa
Solução:
Vamos chamar de R1 a área do retângulo formado no fundo do furgão e
vamos chamar de R2 a área do retângulo da caixa que ficará sobreposta
ao retângulo do furgão.
Além disso, vamos chamar de h1 e b1 a altura e a base do retângulo do
furgão e de h2 e b2 da caixa da caixa que ficará sobreposta ao retângulo
do furgão.
Donde temos:
Do teorema II temos:
Logo, a base da caixa deverá ser de 2 m.
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área de um retângulo
Seja um retângulo a superfície em estudo, então a área será igual ao produto dos lados não congruente.
A B
Q
C D Obs.: A é um número racional absoluto associado à superfície retangular, cuja unidade de medida de área é o quadrado unitário.
Demonstração:
Seja ABCD um retângulo ( ) de tal forma que:
Suponhamos que existe uma superfície retangular de tal forma que suas medidas sejam unitárias, ou seja, suponhamos que exista um quadrado ( ) cuja medida dos lados é igual a uma unidade de medida de tal forma que esta superfície esteja contida um número A de vezes na região retangular, donde temos:
Pelo teorema anterior temos:
De (1) e (2) temos:
área de um triângulo
Uma superfície plana triangular é equivalente a uma superfície retangular cuja altura deste retângulo é a metade da altura da superfície triangular.
C P N M Q
A D B
Demonstração:
Seja ABC um triângulo qualquer. Seja a altura referente ao vértice C do .
Além disso, seja a base média do triângulo, donde temos:
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Os ângulos são opostos pelo
vértice. Como M é ponto médio de , então
(3). De (1), (2) e (3), pelo caso ALA, temos que
(4).
Os ângulos são opostos pelo
vértice. Como N é ponto médio de , então
(7). De (5), (6) e (7), pelo caso ALA, temos que
(8). Donde temos que o quadrilátero APQB é
retângulo, pois e (de (8) e
(4)). Logo:
Além disso, temos que (11) e (12), ou seja, temos que:
De (11) e (12) em (13) temos:
De (14) em (9) temos:
área de um losango
Seja um losango a superfície em estudo, então a área será igual à metade do produto das diagonais.
Demonstração:
Seja ABCD um losango de tal forma que pelas propriedades do losango temos:
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A B O C D .
Além disso, temos:
área de um trapézio
Seja um trapézio a superfície em estudo, então a área será igual à metade do produto da altura pela soma das bases.
A B C D F E
Demonstração:
Seja ABDE um trapézio de tal forma que:
E, temos:
Além disso, temos:
