UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MONTES CLAROS - UNIMONTES

Curso de Licenciatura em Matemática

Disciplina: Equações Diferenciais Ordinárias / 2o semestre de 2010

Professor: J. Sérgio

EXERCÍCIO RESOLVIDO

OBSERVAÇÃO:

É SEMPRE RECOMENDADO TENTAR RESOLVER O EXERCÍCIO ANTES DE VER A SOLUÇÃOPRONTA, MESMO QUE SEJA NECESSÁRIO UTILIZAR UM TEMPO PRECIOSO.

EXERCÍCIO:

A população de mosquitos em determinada área cresce a uma razão proporcional à população atuale, na ausência de outros fatores, a população dobra a cada semana. Existem, inicialmente, 200.000mosquitos na área e os predadores (pássaros etc) comem 20.000 mosquitos por dia. Determine apopulação de mosquitos na área em qualquer instante t. (Resolução na próxima página)

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Sejam P1(t) e P (t) as população de mosquitos no tempo t sem a presença de predadores e com a pre-sença de predadores respectivamente. Como na ausência de predadores esta população cresce a uma taxaproporcional à população atual, podemos escrever

P ′1 = rP1 (∗).

Porém, os predadores eliminam 20.000 mosquitos por dia, ou seja, a população cresce à taxa rP mas a cadadia se perde 20.000 mosquitos. Portanto, a equação diferencial que descreve esse processo é

P ′ = rP − 20.000.

Para a equação acima, percebemos que o fator integrante é

µ(t) = e−rt.

Multiplicando a equação diferencial por esse fator obtemos

(P · e−rt)′ = −20.000e−rt

=⇒ P · e−rt = −20.000 · ∫ e−rt

=⇒ P · e−rt = −20.000 ·(− e−rt

r

)+ c

=⇒ P (t) = 20.000r + cert.

A população inicial é P (0) = 200.000. Então,

c = 200.000− 20.000r =⇒ P (t) = 200.000ert + 20.000

r · (1− ert) (∗∗).Na ausência de predadores é a equação (*) que rege esse processo. Considerando que P1(0) = 200.000 suasolução é

P1(t) = 200.000ert.

Ainda sem os predadores, sabemos que a população de mosquitos dobra a cada semana,

P1(7)2 · P0 = 400.000 =⇒ 7r = ln 2 =⇒ r ≈ 0, 09902 por dia.

Substituindo o valor encontrado para r na equação (**), obtemos

P (t) = 200.000e0,09902t + 201.979 · (1− e0,09902t).

Esta última equação pode ser reescrita da forma abaixo, o que encerra a questão

P (t) = 201.979− 1979e0,09902t.

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