Teoria da Vibração Aleatória

T e o r i a d a V i b r a ç ã o S e n o i d a l

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Teoria da Vibração Aleatória


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Índice Lista de Figuras .................................................................................................................................................................. 3

Definição de Aleatório ...................................................................................................................................................... 4

Condições Naturais ....................................................................................................................................................... 4

Condições Induzidas ...................................................................................................................................................... 5

Introdução à Vibração Aleatória ....................................................................................................................................... 5

Unidades Aleatórias ...................................................................................................................................................... 6

Relação entre PSD e Grms ............................................................................................................................................ 7

Limitações na Geração de Vibração Aleatória .................................................................................................................. 7

Solução Prática para Geração de Vibração Aleatória ....................................................................................................... 8

Limitação Sigma ............................................................................................................................................................ 8

Distribuição Gaussiana ...................................................................................................................................................... 9

Graus de Liberdade ........................................................................................................................................................... 9

Linhas de Resolução ........................................................................................................................................................ 10

Requisitos de Resolução em Baixas frequências ............................................................................................................ 11

Controle de Resolução Variável ...................................................................................................................................... 11

Severidades do Teste ...................................................................................................................................................... 12

Tempo Equivalente para a Mudança do nível PSD ......................................................................................................... 12

Conclusões ...................................................................................................................................................................... 12


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Lista de Figuras Figura 1 – Formas de Onda ............................................................................................................................................... 4

Figura 2 – Projeto de uma ponte ...................................................................................................................................... 4

Figura 3 – Efluxo de motor de foguete ............................................................................................................................. 5

Figura 4 – Caminhão numa estrada esburacada ............................................................................................................... 5

Figura 5 – Gráfico de Vibração Aleatória .......................................................................................................................... 5

Figura 6 – Gráfico comparativo entre Banda Larga e Estreita .......................................................................................... 6

Figura 7 – Dois casos com o mesmo Grms, mas com conteúdo de diferentes frequências ............................................. 6

Figura 8 – Gráfico g2/Hz contra freqüência ....................................................................................................................... 7

Figura 9 –Comparação entre diferentes larguras de banda ............................................................................................. 7

Figura 10 – 3Sigmas .......................................................................................................................................................... 8

Figura 11 – Gráfico Densidade de Probabilidade .............................................................................................................. 8

Figura 12 – Curva de Probabilidade Normal ..................................................................................................................... 9

Figura 13 – Gráficos de Amplitude e Fase ......................................................................................................................... 9

Figura 14 – Gráfico da Vibração Aleatória ...................................................................................................................... 10

Figura 15 - Curva mostrando o detalhamento pobre, nas menores frequências ........................................................... 11

Figura 16 – Método de Resolução Variável .................................................................................................................... 11

Figura 17 – Regra de Miner ............................................................................................................................................. 12


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Definição de Aleatório

Ruído cuja amplitude instantânea não é especificada em qualquer instante do tempo. Amplitude instantânea só

pode ser definida estatisticamente por uma função de distribuição de probabilidade, que dá a fracção do tempo

total que a amplitude situa-se dentro de intervalos de amplitude especificadas.

Figura 1 – Formas de Onda

Condições Naturais Vibrações aleatórias podem ocorrer naturalmente no meio ambiente, ou podem ser induzidas.

O engenheiro estará interessado am ambos, para assegurar que o produto estará pronto para sobreviver.

Por exemplo, uma ponte será projetada para suportar o movimento provocado por um terremoto e a forte

turbulência dos ventos – ambos em forma de vibração aleatória que influenciam diferentes freqüências.

Figura 2 – Projeto de uma ponte


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Condições Induzidas Um estresse ambiental induzido é,

geralmente, um criado pelo homem,

tais como aqueles experimentados

durante o manuseio e transporte.

Os efluxos de um motor de foguete

produzem uma fonte constante de

vibração aleatória para outros

componentes. Se o amortecimento é

suficiente, esses componentes

sofreráo um nível muito mais baixo,

mas ainda vibrarão de forma aleatória.

Se dirigir um caminhão por uma estrada esburacada, este será

submetido à excitação aleatória. Podemos simular esta vibração do

transporte sob condições controladas em laboratório e projetar

embalagens para proteger os componentes.

Introdução à Vibração Aleatória

Algo que segue um movimento repetitivo e previsível é

periódico.

Para os testes de vibração também é preciso estar

ciente da influência aperiódica que está presente no

mundo real.

Se for possível reproduzir essas vibrações não

previsíveis, em seguida, pode-se começar a simular

algumas condições ambientais reais.

Os perfis de ensaio são definidos com amplitudes de frequência com restrições de frequência superior e inferior.

O conteúdo de energia é, portanto, uma combinação de um nível médio sobre a largura de banda. Esta área sob o

perfil nos dá um valor Grms

Figura 3 – Efluxo de motor de foguete

Figura 4 – Caminhão numa estrada esburacada

Figura 5 – Gráfico de Vibração Aleatória


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Unidades Aleatórias

Não se pode simplesmente definir o perfil utilizando o nível Grms, pois a largura de banda de freqüência precisa ser

considerada.

Um baixo nível de banda larga poderia ter a mesma área ou Grms que um alto nível de banda estreita.

Figura 6 – Gráfico comparativo entre Banda Larga e Estreita

Tratando de um espectro de muitas frequências, o nível é expresso como uma largura de banda de grms2 numa

largura de banda de 1 Hz comumente escritas como g2/Hz

Figura 7 – Dois casos com o mesmo Grms, mas com conteúdo de diferentes frequências

A unidade g2/Hz descreve a potência média observada em 1 Hz de largura de banda, ou seja, a densidade espectral

de potência.

Pode-se agora definir o perfil em termos de g2/Hz contra freqüência para produzir um gráfico.


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Figura 8 – Gráfico g2/Hz contra freqüência

O gráfico de densidade espectral de potência (PSD) representa a "intensidade média" dos componentes de onda

senoidal em cada frequência.

Relação entre PSD e Grms

Se tabular alguns resultados para diferentes larguras de banda, pode-se verificar diferentes tensões de saída RMS.

Figura 9 –Comparação entre diferentes larguras de banda

Isto é verdade para todos os níveis em todas as larguras de banda. Um nível plano de 0,10 g2/Hz sobre a faixa de 100

Hz a 900 Hz dará uma leitura RMS verdadeira de 8,9443 GRMS.

Limitações na Geração de Vibração Aleatória

Vibração aleatória é definida como ruído cuja amplitude instantânea não é especificada, em qualquer instante do

tempo.

Em outras palavras, a amplitude de pico em qualquer das frequências pode ser zero ou infinito.

A energia total GRMS do perfil aleatório continuará a média para os níveis definidos.

No entanto, não se pode permitir que picos instantâneos passem para o amplificador, o shaker ou item de teste.


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Solução Prática para Geração de Vibração Aleatória

A vibração de seno pura tem um valor de pico que é √ 2 vezes o seu valor RMS (ou seja, 1,414 x RMS).

Essa relação é chamada de fator de crista.

No entanto, a vibração aleatória não tem uma relação fixa entre o seu pico e valores RMS e por isso precisa-se

definí-lo.

Para evitar danos causados por picos infinitos da amostra aleatória, deve-se cortá-los. Faz-se isso através da

definição de um limite no controlador que corta picos instantâneos acima de um fator de crista de 3 que forem

gerados.

Limitação Sigma

Valor do desvio padrão = valor RMS, quando a média é zero.

Representa-se este valor pela 18ª letra do alfabeto grego (minúsculas) -

sigma σ.

Gpico ÷ GRMS, para vibração aleatória, define o fator de crista que na

realidade pode ser extremamente elevado.

Foi limitado a 3 Sigmas, uma vez que abrange 99,73% dos possíveis

picos aleatórios e protege o teste.

Assim, o controlador solicita um valor sigma de limitação para ser

aplicado ao espectro. Um valor inferior a 3 não representará um

sinal aleatório verdadeiro.

Com a limitação sigma desativada, o fator de crista do sinal de

unidade é um sinal aleatório distribuição quase Gaussiano em

torno de 4 a 5 desvios-padrão. Quando a limitação sigma é

aplicada, o factor de pico será, teoricamente, igual ao número de

limitação sigma.

Usando Limitação 3 Sigma se elimina energia além de 3 desvios-

padrão.

Figura 10 – 3Sigmas

Figura 11 – Gráfico Densidade de Probabilidade


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Distribuição Gaussiana

Numa curva de probabilidade normal utilizada na análise estatística, usa-se uma curva de Bell ou Gaussiana.

Na vibração aleatória, a curva Gaussiana é uma função de probabilidade da densidade de uma variável aleatória

normalmente distribuída.

Figura 12 – Curva de Probabilidade Normal

O desvio padrão mede a propagação dos dados sobre o valor médio.

Limites configurados como ± 3s = 99.73% / ± 2s = 95.45% / ± 1s =68.27%

Graus de Liberdade

DOF (Degrees of Freedom) é um termo que se refere a estatística do número de variáveis independentes utilizadas

para calcular uma média. Para o controle aleatório, DOF refere-se ao número de médias utilizadas para calcular o

PSD controlado. Cada média contribui com duas DOF. Quanto maior for o DOF, maior a confiança na precisão de

controle do PSD.

No entanto, o tempo de ciclo vai aumentar para recolher mais dados que os DOF aumenta.

Um valor aceitável para os controladores modernos é 154 DOF.

Figura 13 – Gráficos de Amplitude e Fase


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Linhas de Resolução

A vibração aleatória é feita de muitas freqüências restritas a uma largura de banda definida. As baixas freqüências

produzirão grandes deslocamentos que pode-se ver durante o teste. Este sinal em tempo real é definido e medido

no domínio da freqüência utilizando técnicas de análise de Transformada Rápida de Fourier.

Figura 14 – Gráfico da Vibração Aleatória

As centenas de pontos que compõem a curva do PSD são chamados de “Linhas de Análise" e determinam a

resolução do teste aleatório de frequência.

O sistema de controle utilizará a Transformada Rápida de Fourier (FFT) para analisar o sinal sobre a largura de banda

de freqüência. Este processo digital significa que os dados são amostrados de forma eficaz em intervalos de

frequência discretos.

O número de linhas determina o nível de detalhe que será visível. Se, por exemplo, estamos testando até 2000 Hz e

1.600 linhas usando o incremento de freqüência será 2000/1600 = 1,25 Hz.

Se a largura de banda de teste é estreita, então o número de linhas pode ser baixo. Esta continua a proporcionar

boas medidas detalhadas, com incrementos boa frequência. Exemplo: testar até 500 Hz, com 400 linhas dá 1,25 Hz.

Se a resolução de freqüência é muito grande, então altos picos talvez sejam alterados ou perdidos. Ex: 2000 Hz com

400 linhas = incrementos de 5 Hz.

Deve-se permitir para o tipo de teste e a faixa de freqüência e selecionar as linhas de resolução em conformidade. A

resolução máxima nem sempre é adequada.

O número de linhas afeta o tempo de ciclo de controle. Detalhes demais podem causar dificuldades de controle do

controlador não reagir rápido o suficiente.


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Requisitos de Resolução em Baixas frequências

Existem sistemas de controle que têm a capacidade para mais de 1.600 linhas de resolução de teste.

Normalmente 3.200 linhas podem ser usados para melhorar os detalhes de mudanças bruscas na especificação.

A desvantagem é que isso leva tempo e pode exigir muita análise nas freqüências mais elevadas, causando

problemas de controle.

Figura 15 - Curva mostrando o detalhamento pobre, nas menores frequências

Controle de Resolução Variável

Ciclos de controle duplo.

Ciclo de baixa freqüência (primeiro 1/10).

Ciclo de alta freqüência (último 9/10).

Efetivamente aumenta resolução para

baixas freqüências.

Com a resolução variável selecionada, as

freqüências mais baixas têm uma

melhoria na resolução de 8 para 1.

Profile

Fs/20 Fs/2Fh Freq

Low bandProfile

Fs/20 Freq Fs/20 Fs/2Fh Freq

High bandProfile

Fig.3 Profile divide into 2 bandsFigura 16 – Método de Resolução Variável


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Severidades do Teste

Para duplicar o estresse real e as condições de fadiga de um produto, os testes serão extremamente demorados.

Um produto em serviço pode ter níveis baixos de vibração durante meses ou anos antes da sua fiabilidade tornar-se

um problema.

Testes podem acelerar falhas, aumentando os níveis de entrada aplicados. Um aumento no nível de PSD permite

reduzir o tempo de ensaio.

Tempo Equivalente para a Mudança do nível PSD

É possível aumentar o nível de teste e diminuir o tempo de teste para proporcionar um ensaio de fadiga equivalente

aproximado.

A fórmula é derivada de uma relação de fadiga linear baseado na regra de

Miner.

Exemplo: Encontrar a relação de tempo entre 2 níveis.

T = Tempo

W = Nível de Vibração

N = Constante do Material

Para Vibração Aleatória, usar N=4 e para Senoidal N=6.

Conclusões

A vibração que nós experimentamos é natural ou induzida.

A vibração pode ser senoidal, aleatória ou ambos.

A vibração senoidal é definida pela amplitude em g e Freqüência em Hz.

A unidade de vibração aleatória G2/Hz descreve a potência média observada em 1 Hz de largura de banda. Esta é a densidade de potência espectral.

A vibração senoidal pode ser varrida ou fixa na freqüência.

Aleatória é definida utilizando estatística como a amplitude instantânea não pode ser especificada em qualquer instante de tempo.

Varredura de vibração senoidal é usada para isolar freqüências ressonantes. Ressonância fatiga os produtos.

A vibração aleatória excitará todos os modos ressonantes em conjunto e é usada para determinar se um produto pode suportar vibrações da "vida real".

“Pessoalmente, estou sempre disposto a aprender, embora nem sempre goste de ser ensinado”

Sir Winston Churchill

Figura 17 – Regra de Miner

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