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Sumário

CAPÍTULO 1Estática das Partículas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1 Fundamentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Introdução. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.2 Princípios da estática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.3 Vínculos e suas Reações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2 estátIca das PaRtículas – “FoRças coPlanaRes”. . . . . . 161.2.1 determinação analítica da Resultante de duas Forças

aplicadas no mesmo Ponto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.2.2 adição de Forças concorrentes em um Plano. Polígono de

Forças. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.2.3 Projeção de uma Força sobre um eixo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.2.4 Projeção de um Vetor soma sobre um eixo . . . . . . . . . . . . . . . 221.2.5 determinação analítica da Resultante de um sistema de

Forças concorrentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.2.6 condições e equações de equilíbrio para um sistema de

Forças concorrentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.2.7 teorema da concorrência de três Forças não Paralelas e

equilibradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

1.3 estátIca das PaRtículas, “FoRças esPacIaIs” . . . . . . . . . 401.3.1 Força como Vetor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401.3.2 equilíbrio de um sistema de Forças concorrentes no espaço . . . 44

X MECÂNICA GERAL ESTÁTICA

1.4 exeRcícIos PRoPostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50Respostas dos exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

CAPÍTULO 2Estática dos Corpos Rígidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632.1 deFInIções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

2.1.1 Vetores Posição e deslocamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632.1.2 momento de uma Força com Relação a um Ponto . . . . . . . . . . . 642.1.3 momento de uma Força sobre um eixo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 692.1.4 o conjugado e momento-conjugado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 782.1.5 o momento-conjugado como um Vetor livre . . . . . . . . . . . . . . 812.1.6 soma e subtração de conjugados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 832.1.7 componentes escalares de um momento-conjugado . . . . . . . . . 89

2.2 sIstemas de FoRças equIValentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 912.2.1 equivalência de sistemas de Forças – condições necessárias e

suficientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 912.2.2 translação de uma Força para uma Posição Paralela . . . . . . . . . 932.2.3 o torsor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 992.2.4 Resultante de um sistema de Forças . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1112.2.5 Resultantes de sistemas especiais de Forças . . . . . . . . . . . . . . . 116

2.3 equIlíbRIo de um coRPo RígIdo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1272.3.1 diagrama de corpo livre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1272.3.2 equações de equilíbrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1292.3.3 Vínculos ou apoios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

2.4 exeRcícIos PRoPostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169Respostas dos exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

CAPÍTULO 3Centro de Gravidade e Momento Estático de Área . . . . . . . . . . . . . 1933.1 centRo astátIco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

3.2 centRo de gRaVIdade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

3.3 centRoIdes de Volumes, áReas e lInhas. . . . . . . . . . . . . . 2013.3.1 centroides de Volumes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2013.3.2 centroides de áreas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2033.3.3 centroides de linhas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

3.4 comPosIções de coRPos e FIguRas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

3.5 teoRemas de PaPPus – guldIn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

3.6 momento estátIco de uma áRea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

Ë SUMÁRIO XI

3.7 exeRcícIos PRoPostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227Respostas dos exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

CAPÍTULO 4Forças Distribuídas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2374.1 IntRodução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

4.2 FoRças de gRaVIdade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

4.3 FoRças em suPeRFícIe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2424.3.1 Forças em superfícies submersas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

4.4 FoRças em lInha. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2784.4.1 Vigas Isostáticas Rotuladas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2864.4.2 Pórticos Isostáticos Rotulados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291

4.5 exeRcícIos PRoPostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292Respostas dos exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308

CAPÍTULO 5Análise das Treliças . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3135.1 estRutuRas IsostátIcas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313

5.2 esFoRços nas baRRas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316

5.3 método dos nós . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317

5.4 método das secções. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327

5.5 estRutuRas comPlexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334

5.6 dIagRama de maxwell – cRemona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337

5.7 exeRcícIos PRoPostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347Respostas dos exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360

CAPÍTULO 6Esforços Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3656.1 esFoRço coRtante – esFoRço noRmal – momento

FletoR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365

6.2 dIagRamas de esFoRços sImPles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375

6.3 equações dIFeRencIaIs do equIlíbRIo de uma VIga. . . . 389

6.4 dIagRamas de esFoRços sImPles em quadRos ou PóRtIcos estatIcamente deteRmInados . . . . . . . . . . . . . 406

6.5 exeRcícIos PRoPostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427Respostas dos exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443

XII MECÂNICA GERAL ESTÁTICA

CAPÍTULO 7Atrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4477.1 FoRças de atRIto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447

7.2 estudo do atRIto seco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447

7.3 atRIto de Rolamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450

7.4 atRIto VIscoso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450

7.5 FoRças de atRIto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4517.5.1 superfícies Rugosas em contato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4517.5.2 Pino Rugoso e Rolante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4517.5.3 atrito de Rolamento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451

7.6 equIlíbRIo enVolVendo FoRças de atRIto. tIPos de PRoblemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4527.6.1 movimento Iminente conhecido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4527.6.2 movimento Iminente desconhecido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453

7.7 PaRaFuso de Rosca quadRada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460

7.8 atRIto em coRReIas Planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463

7.9 embReagem e mancal de escoRa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466

7.10 exeRcícIos PRoPostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469Respostas dos exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476

CAPÍTULO 8Métodos Energéticos em Estática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4778.1 PRIncíPIo dos tRabalhos VIRtuaIs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477

8.2 eneRgIa PotencIal dos sIstemas em equIlíbRIo. . . . . . . 493

8.3 exeRcícIos PRoPostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504Respostas dos exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513

CAPÍTULO 9Momentos e Produtos de Inércia de Áreas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5179.1 momento de InéRcIa de uma áRea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517

9.1.1 definições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5179.1.2 teorema dos eixos Paralelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5189.1.3 Raio de giração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5209.1.4 momentos de Inércia de Figuras compostas . . . . . . . . . . . . . . . 531

9.2 PRoduto de InéRcIa de uma áRea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5349.2.1 definições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5349.2.2 teorema da transferência de eixos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535

Ë SUMÁRIO XIII

9.3 mudança de momentos de InéRcIa com Rotação de eIxos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 538

9.4 eIxos PRIncIPaIs de InéRcIa e momentos PRIncIPaIs de InéRcIa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 541

9.5 cíRculo de mohR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 547

9.6 exeRcícIos PRoPostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552Respostas dos exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 558

CAPÍTULO 10Equilíbrio de Barras e Cabos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56110.1 equIlíbRIo de baRRas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 561

10.2 equIlíbRIo de cabos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56710.2.1 definições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56710.2.2 Fórmulas gerais para todos os cabos Flexíveis suspensos

livremente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56810.2.3 a Ponte Pênsil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56910.2.4 a catenária comum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573

10.3 exeRcícIos PRoPostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583Respostas dos exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585

APêndiCe iÁlgebra Vetorial para a Mecânica Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 587I.1 gRandezas escalaRes e VetoRIaIs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 587

I.2 soma de VetoRes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 588

I.3 PRojeção de um VetoR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 590

I.4 teoRema das PRojeções (caRnot) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 591

I.5 multIPlIcação de um VetoR PoR um númeRo Real . . . 592

I.6 dIFeRença de VetoRes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592

I.7 PRoPRIedades da álgebRa VetoRIal . . . . . . . . . . . . . . . . 593

I.8 VetoR unItáRIo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593

I.9 Resultante Pelo método das comPonentes . . . . . . . . . 593

I.10 VetoR PosIção no Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596

I.11 VetoR PosIção no esPaço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596

I.12 VetoR que Passa PoR doIs Pontos no esPaço . . . . . . . . 597

XIV MECÂNICA GERAL ESTÁTICA

I.13 cossenos dIRetoRes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 598

I.14 PRoduto escalaR de doIs VetoRes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 600

I.15 PRoduto VetoRIal de doIs VetoRes . . . . . . . . . . . . . . . . . 602

I.16 PRoduto mIsto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 606

I.17 exeRcícIos PRoPostos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 607Respostas dos exercícios Propostos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 609

APêndiCe iiComportas Planas Verticais e Inclinadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 611II.1 IntRodução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 611

II.2 FóRmulas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 611

II.3 exemPlos IlustRatIVos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615

II.4 exeRcícIos PRoPostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624Respostas dos exercícios Propostos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 626