12.5 Massase Momentos em TrêsDimensões 399

EXERCíCIOS 12.5

DensidadeConstanteTodosos sólidos nos exercícios 1-12 têm densidadeconstantea = 1.

1. Exemplo1revisto Calcule a integral para Ix na Tabela 12.3 direta-mente para mostrar que o atalho do Exemplo 2 dá a mesma res-posta. Use os resultados do Exemplo 2 para encontrar o raio derotação do sólido retangular em relação a cada eixo coordenado.

2. Momentosde inércia Os eixos coordenados na figura passampelo centróide de urna cunha sólida e são paralelos às arestas

identificadas. Encontre Ix, Iy e Iz se a = b = 6 e c = 4.

z

c

y

3. Momentosde inércia Encontre os momentos de inércia do sóli-do retangular mostrado aqui em relação às suas arestas calcu-

lando Ix, Iy e Iz.

z

ct

y

x

4. (a) Centróidee momentosde inércia Encontre o centróide e osmomentosde inérciaIx,Iye Iz do tetraedrocujosvérticessão os pontos (O, O, O), (1, O, O), (O, 1, O) e (O, O, 1).

(b) Raiode rotação Encontre o raio de rotação do tetraedro emrelação ao eixo x. Compare-o com a distância do centróideao eixo x.

5. Centrodemassae momentosdeinérciaUrna 'gamela' sólidadedensidade constante é limitado abaixo pela superfície z = 4y2,acima pelo plano z = 4 e dos lados pelos planos x = 1 ex = - 1. Encontre o centro de massa e os momentos de inérciaem relação aos três eixos.

6. CentrodemassaUm sólido de densidade constante é limitadoabaixo pelo plano z = O,dos lados pelo cilindro elíptico X2+4y2 = 4 e acima pelo plano z = 2 - x (ver figura).

(a) Encontre x e y.

(b) Calcule a integral

f2

f(l/2)~

f2-X

M = zdzdydxxy -2 -(1/2)V4=X2 o

usando tabelas de integrais para executar a última integra-ção em relação a x. Divida então Mxypor M para verificarque z= 5/4.

z

z~2-x, r>- 2, /X=-2.I

7. (a) Centrodemassa Encontre o centro de massa de um sólidode densidade constante limitado abaixo pelo parabolóideZ = r + y2e acima pelo plano z = 4.

(b) Encontre o plano z = c que divide o sólido em duas partesde volumes iguais. Esse plano não passa pelo centro demassa.

8. Momentose raiosde rotação Um cubo sólido de 2 unidades delado é limitado pelos plànos x = :!:1, z = :!:1, y = 3, e y = 5.Encontre o centro de massa, os momentos de inércia e os raiosde rotação em relação aos eixos coordenados.

9. Momentosde inérciae raiosderotaçãoem relaçãoa umareta Urnacunha corno aquela do Exercício 2 tem a = 4, b = 6 e c = 3.Faça um rápido esboço para verificar que o quadrado da dis-tância entre um ponto típico (x, y, z) da cunha e a reta L: z = O,Y = 6 é? = (y - 6)2 + Z2.Depois calcule o momento de inér-cia e o raio de rotação da cunha em relação a L.

10. Momentosdeinérciaeraiosderotaçãoemrelaçãoaumareta Urnacunha corno aquela do Exercício 2 tem a = 4, b = 6 e c = 3.Faça um rápido esboço para verificar que o quadrado da dis-tância entre um ponto típico (x, y, z) da cunha e a reta L: x = 4,y = Oé ? = (x - 4)2 + y2.Depois calcule o momento de inér-cia e o raio de rotação da cunha em relação a L.

11. Momentosdeinérciae raiosderotaçãoemrelaçãoaumareta Umsólido corno aquele do Exercício 3 tem a = 4, b = 2 e c =-1.Faça um rápido esboço para verificar que o quadrado da dis-tância entre um ponto típico (x, y, z) do sólido e a reta L:y = 2, z = Oé? = (y - 2)2 + Z2. Depois calcule o momentode inércia e o raio de rotação do sólido em relação a L.

12. Momentosdeinérciaeraiosderotaçãoemrelaçãoaumareta Umsólido corno aquele do Exercício 3 tem a = 4, b = 2 e c = 1.Faça um rápido esboço para verificar que o quadrado da dis-tância entre um ponto típico (x, y, z) do sólido e a reta L:x = 4, y = Oé ? = (x - 4)2 + y2. Depois calcule o momentode inércia e o raio de rotação do sólido em relação a L.

400 Capítulo12:IntegraisMúltiplas

Densidade Variável

Nos exercícios 13 e 14, encontre:

(a) A massado sólido;

(b) O centro de massa.

13. Uma região sólida no primeiro octante é limitada pelos planoscoordenados e pelo plano x + y + z = 2. A densidade do sóli-do é 8(x, y, z) = 2x.

14. Um sólido no primeiro octante é limitado pelos planos y = Oez = Oe pelassuperfíciesz = 4 - X2e x = / (ver figura). Suafunção densidadeé 8(x, y, z) = kxy, sendo k uma constante.

z

41,..I ,IIIIIIIIIII

/~//

2 V//---x

Z~4-X~

x = y2

Nos exercícios 15 e 16, encontre:

(a) A massado sólido;

(b) O centro de massa;

(c) Os momentos de inércia em relação aoseixos coordenados;

(d) Os raios de rotação em relação aoseixos coordenados.

15. Um cubo sólido no primeiro octante é limitado pelos planoscoordenados e pelos planos x = 1,y = 1 e z = 1. Sua densida-de é 8(x, y, z) = x + y + z + 1.

16. Uma cunha como aquela do Exercício 2 tem dimensões a = 2,b = 6 e c = 3. A densidade é 8(x, y, z) = x + 1.Observeque,se a densidade for constante, o centro de massa será (O,O,O).

17. Massa Encontre a massa do sólido limitado pelos planos x +z = 1, x - z = -1, y = Oe pela superfície y = ~. A densi-dade do sólido é 8(x, y, z) = 2y + 5.

18. Massa Encontre a massada região sólida limitada pelas super-fícies parabólicas z = 16 - 2X2 - 2/ e z = 2X2+ 2/ se adensidade do sólido for 8(x, y, z) = V X2 + y2.

TrabalhoNos exercícios 19 e 20, calcule:

(a) A quantidade de trabalho realizado pela gravidade (cons-tante) g para mover o líquido que preenche o recipientepara o plano xy. (Dica: Divida o líquido em pequenos ele-mentos de volume b.Vi e encontre o trabalho executado(aproximadamente) pela gravidade em cada elemento. Asoma e passagemao limite resulta em uma integral tripla aser calculada.)

(b) O trabalho executado pela gravidade para mover o centrode massapara baixo para o plano xy.

19. O recipiente é uma caixa cúbica no primeiro octante limitadopelos planos coordenados e pelos planos x = 1,y = 1 e z = 1.A densidade do líquido que preenche a caixa é 8(x, y, z) = x +y + z + 1 (ver Exercício 15).

20. O recipiente tem a forma da região limitada por y = O,z = O,z =4 - r ex = /. A densidadedolíquidoquepreenchearegiãoé8(x, y, z) = kxy, sendok uma constante (ver Exercício 14).

o Teoremado EixoParaleloO Teoremado Eixo Paralelo(Exercícios12.2) vale tanto em trêsdimensões quanto em duas. Seja Lc.m.uma reta que passa pelo cen-tro de massa de um corpo de massa m e seja L uma reta paralelaaLc.m.a uma distânciah dela.O Teorema do Eixo Paralelo dizqueos momentos de inércia Ic.m. e IL do corpo em relação a Lc.m.e Lsatisfazem a equação

IL = Ic.m. + mh2. (1)

Como no caso bidimensional, o teorema nos fornece uma maneirarápida de calcular um momento quando o outro momento e amassa são conhecidos.

21. Prova do Teorema dos EixosPara/e/os

(a) Mostre que o primeiro momento de um corpo no espaçoem relação a qualquer plano que passa pelo centro demassa do corpo é zero. (Dica: Coloque o centro de massa,do corpo na origem e suponha que o plano seja o plano yz.

O que a fórmula x = My/ M então lhe diz?)

z

Lomi

x

y

(b) Para provar o Teoremado Eixo Paralelo,coloqueo corpocom seu centro de massa na origem, com a reta Lc.m.aolongo do eixo z e a reta L perpendicular ao plano xy noponto (h, O, O). Seja D a região do espaço ocupadapelocorpo. Então, na notação da figura,

h = JJJ 1 v - hi 12dm.D

(2)

Expandao integrandonessaintegrale completea prova.

22. O momento de inércia em relação a um diâmetro de umaesfe-ra sólida de densidade constante e raio a é (2/5)ma2,ondeméa massa da esfera. Encontre o momento de inércia em relaçãoa uma reta tangente à esfera.

23. O momento de inércia do sólido do Exercício 3 em relação aoeixo zé Iz = abc(az + bZ)/3.

(a) Use a equação (1) para encontrar o momento de inércia eo raio de rotação do sólido em relação à reta paralela aoeixo z passando pelo centro de massa do sólido.

(b) Use a equação (1) e o resultado do item (a) para encontraro momento de inércia e o raio de rotação do sólido emrelação à reta x = O,Y = 2b.

24. Se a = b = 6 e c = 4, o momento de inércia da cunha sólidado Exercício 2 em relação ao eixo x é Ix = 208. Encontre omomento de inércia da cunha em relação à reta y = 4,z = -4/3 (a aresta do lado mais estreito da cunha).

Fórmulade PappusA fórmula de Pappus (Exercícios 12.2) vale tanto para três dimen-sõescomo para duas. Suponha que os corpos B1e Bz de massas mle mz, respectivamente, ocupem regiões não sobrepostas no espaçoe que c1e cz sejam os vetores da origem ao centro de massa dosrespectivoscorpos. Então o centro de massa da união B1 U Bz dosdoiscorpos é determinado pelo vetar

mlcl + mzczc= .m1 + mz

(3)

Como anteriormente, essa fórmula é chamada de Fórmula dePappus. Como no caso bidimensional, a fórmula é generalizada para

mlcl + mzcz+... + mncnc=ml + mz +...+ mn

para n corpos.

25. Deduza a fórmula de Pappus (equação 3). (Dica: Esboce B1 eBz como regiões não sobrepostas no primeiro octante e identi-

fique seus centros de massa (Xl' Yl' ZI) e (xz, YZ' zz). Expresseos momentos de B1 U Bz em relação aos planos coordenados emtermos das massas ml e mz e as coordenadas desses centros.)

12.6 IntegraisTriplasem CoordenadasCilíndricase Esféricas 401

26. A figura a seguir mostra um sólido feito de três sólidos retan-gularesde densidadeconstantea = 1.Use a fórmulade Pap-pus para encontrar o centro de massa de

(a) A U B

(c) B U C

(b) A U C

(d) A U B U C.z

(2, O,2)2 y

(-1,6, -2)

(4)

27. (a) Suponha que um cone circular reto sólido C de raio dabase a e altura h seja construído sobre a base circular deum hemisfério sólido S de raio a de tal maneira que aunião dos dois sólidos se pareça com um sorvete de cas-quinha. O centróide de um cone sólido está em um quartoda distância entre a base e o vértice. O centróide de umhemisfério sólido está em três oitavos da distância entre a

base e o topo. Que relação deve ter h e a para qu~ o cen-tróide de C U S fique na base em comum dos dois sólidos?

(b) Se você ainda não fez isto, responda à questão análogasobre um triângulo e um semicírculo (Seção 12.2, Exercí-cio 55). As respostas não são iguais.

28. Uma pirâmide sólida P de altura h e quatro lados congruentesé construída com sua base como uma face de um cubo sólido

C cujas arestas têm comprimento s. O centróide de uma pirâ-mide sólida está em um quarto da distância entre a base e ovértice. Que relação deve existir entre h e s para que o centrói-de de P U C fique na base da pirâmide? Compare sua respostacom a resposta do Exercício 27. Compare-a também com aresposta do Exercício 56 da Seção 12.2.

IPII IntegraisTriplasem CoordenadasCilíndricase EsféricasCoordenadas Esféricas

z Integraçãoem CoordenadasCilíndricas.. Integraçãoem CoordenadasEsféricas

P(r, (),z)

Quando um cálculo em física, engenharia ou geometria envolve um cilindro,um cone ou uma esfera, freqüentemente podemos simplificar nosso trabalhousando coordenadas cilíndricas ou esféricas.

z

Integração em Coordenadas Cilíndricas

xFIGURA12.41 As coordenadas cilíndricas

deum ponto no espaço são r, 8 e z.

Obtemos coordenadas cilíndricas para o espaço combinando coordenadas pola-res no plano xy com o eixo z usual. Isso associa a cada ponto no espaço uma oumais ternas ordenadas da forma (r, 8,z), como mostrado na Figura 12.41.