1 ESTATÍSTICA. 2 UDIII - INFERÊNCIA ESTATÍSTICA Ass 01: DISTRIBUIÇÃO da MÉDIA AMOSTRAL...

1

ESTATÍSTICA

2

UDIII - INFERÊNCIA ESTATÍSTICA

Ass 01: DISTRIBUIÇÃO da MÉDIA AMOSTRAL

ESTATÍSTICA

3

! Embora esta UD trate de INFERÊNCIA ESTATÍSTICA, no Assunto 01 - Distribuição da Média Amostral ainda trabalharemos com populações conhecidas.

Estimativas sobre a população desconhecida serão objeto do Assunto 02 - Intervalo de Confiança.

ADVERTÊNCIA

4

OBJETIVOS ESPECÍFICOS

• Organizar a distribuição amostral da média;

• Relacionar erro padrão da média amostral, desvio padrão e tamanho da amostra;

• Relacionar o valor esperado da média amostral com o valor da média populacional;

• Explicar o Teorema Central do Limite (TCL);

• Determinar a distribuição amostral da média.

5

SUMÁRIO

1 - Amostragem (Noções)

2 - Inferência Estatística3 - Métodos de Amostragem4 - Amostragem Aleatória

5 - Distribuição da Média Amostral6 - Teorema Central do Limite (TCL)7 - Confiança da Média Amostral

PRIMEIRA PARTE

SEGUNDA PARTE

6

SUMÁRIO

1 - Amostragem (Noções)

2 - Inferência Estatística

3 - Métodos de Amostragem

4 - Amostragem Aleatória

PRIMEIRA PARTE

7

1 - AMOSTRAGEM (Noções)

• AMOSTRAGEM

• TEORIA DA AMOSTRAGEM

Atividade de coletar amostras.

Estudo das relações entre a população e as amostras dela extraídas.

8

• CENSO

• CENSO ou AMOSTRAGEM ?

Requer o exame

de TODOS os itens

da POPULAÇÃO.

O que considerar ao decidir.

1 - AMOSTRAGEM (Noções)

9

• REPRESENTATIVIDADE DA AMOSTRAUma amostra representativa tem as mesmas características da população da qual foi retirada.

1 - AMOSTRAGEM (Noções)

Sangue

10

SUMÁRIO

1 - Amostragem (Noções)

2 - Inferência Estatística

3 - Métodos de Amostragem

4 - Amostragem Aleatória

PRIMEIRA PARTE

11

2 - INFERÊNCIA ESTATÍSTICA

USO DA PARTE

PARA ESTIMAR

(AVALIAR) O

TODO.

12

2 - INFERÊNCIA ESTATÍSTICA (cont)

CONHECIDA PROCURADA

DEDUÇÃO AmostraPopulação

INDUÇÃO

?

?Amostra População

13

PROBABILIDADE: De uma população de 7 lâmpadas, sendo 3 perfeitas, extrai-se 3 lâmpadas, sem reposição. Qual a probabilidade de obtermos as 3 lâmpadas perfeitas?

PopulaçãoConhecida

Amostra Desejada DEDUÇÃO

2 - INFERÊNCIA ESTATÍSTICA (cont)

População Amostra

35

1

14

ESTATÍSTICA INDUTIVA (ou INFERENCIAL)

Uma Parte (Amostra) O Todo (População)EstimaConhecida Desconhecida

2 - INFERÊNCIA ESTATÍSTICA (cont)

Indução (ou Inferência)

15

produz avaliações sobre a população após o exame detalhado de apenas UMA parte dela.

INFERÊNCIA:

?

2 - INFERÊNCIA ESTATÍSTICA (cont)

Média ?

amostra

cm 4,1405s

cm 3,168x

amostra

16

SUMÁRIO

1 - Amostragem (Noções)

2 - Inferência Estatística

3 - Métodos de Amostragem

4 - Amostragem Aleatória

PRIMEIRA PARTE

17

3 - MÉTODOS DE AMOSTRAGEM

• AMOSTRAGEM ALEATÓRIA

• AMOSTRAGEM SISTEMÁTICA

• AMOSTRAGEM POR CONGLOMERADOS

• AMOSTRAGEM ESTRATIFICADA

• AMOSTRAGEM MÚLTIPLA

18

SUMÁRIO

1 - Amostragem (Noções)

2 - Inferência Estatística

3 - Métodos de Amostragem

4 - Amostragem Aleatória

PRIMEIRA PARTE

19

(Simples ao Acaso ou Randômica)

4 - AMOSTRAGEM ALEATÓRIA

Equivale ao sorteio lotérico

Cada elemento da população tem a

mesma chance de ser incluído na amostra.

20

4 - AMOSTRAGEM ALEATÓRIA (cont)

• Técnicas de AleatorizaçãoTécnicas de Aleatorização

Tabela de Números Aleatórios

9312 4187 1209 8864 ...... .......

...... ...... .......

21

4 - AMOSTRAGEM ALEATÓRIA (cont)

• Amostragem Aleatória COM Reposição

N = 3

1,78 1,79 1,81

n = 2

1,78; 1,78 1,78; 1,79 1,78; 1,81

1,79; 1,78 1,79; 1,79 1,79; 1,81

1,81; 1,78 1,81; 1,79 1,81; 1,81

22

OBTENÇÃO

DE TODAS

AS AAS,

COM

REPOSIÇÃO,

USANDO O

DIAGRAMA

DE ÁRVORE

1,78

1,79

1,81

1,78

1,79

1,81

1,78

1,79

1,81

1,78

1,79

1,81

1,78 1,78

1,78 1,79

1,78

1,79

1,79

1,79

1,81

1,81

1,81

1,81

1,78

1,79

1,81

1,78

1,79

1,81

23

4 - AMOSTRAGEM ALEATÓRIA (cont)

• Amostragem Aleatória SEM Reposição

N = 3

1,78 1,79 1,81

1,81; 1,79

n = 2

1,78; 1,79 1,78; 1,81

1,79; 1,78 1,79; 1,81

1,81; 1,78

24

SUMÁRIO

1 - Amostragem 2 - Inferência Estatística3 - Métodos de Amostragem4 - Amostragem Aleatória

5 - Distribuição da Média Amostral6 - Teorema Central do Limite (TCL)7 - Confiança da Média Amostral

PRIMEIRA PARTE

SEGUNDA PARTE

25

SUMÁRIO

5 - Distribuição da Média Amostral

6 - Teorema Central do Limite (TCL)

7 - Confiança da Média Amostral

SEGUNDA PARTE

26

5 - DISTRIBUIÇÃO DA MÉDIA AMOSTRAL

Uma Distribuição Amostral é uma distribuição de probabilidades que indica até que ponto uma estatística amostral tende a variar devido às flutuações casuais na amostragem (Variabilidade Amostral).

A distribuição amostral que interessa ao nosso curso é a da MÉDIA, conhecida como DMA.

27

5 - DISTRIBUIÇÃO DA MÉDIA AMOSTRAL (cont)

Montagem da DMA

Pop.Todas as Amostras

1

2

k

3

Média Amostral

1X

2X

3X

kX

DMA

X if

1

28

5 - DISTRIBUIÇÃO DA MÉDIA AMOSTRAL (cont)

Exemplo1: Monte a DMA para AA n = 2, COM reposição, da população de alturas (cm) abaixo.

178

179181

178

179

181

178179181

178179181

178179181

178 X1 178,5 X2 179,5 X3

178,5 X4

179 X5 180 X6

179,5 X7

180 X8 181 X9

DMA

X if

178178,5179179,5180181

1/92/91/92/92/91/9 1

29

5 - DISTRIBUIÇÃO DA MÉDIA AMOSTRAL (cont)

Exemplo2: Monte a DMA para AA n = 2, SEM reposição, da população de alturas (cm) abaixo.

178

179181

178

179

181

179

181

178

181

178

179

178,5 X3

180 X4

179,5 X5

180 X6

178,5 X1

179,5 X2 DMA

X

178,5

179,5

180

2/6

2/6

2/6

1

fi

30

DMA n = 2X if

1

1785,178

5,179179

180181

9192

9292

91

91 0,6236

0,3889

3179,

x

x

x

2

1,2472 ; 51, ; 3179, 2 População: {178, 179, 181}

Com Sem

X if

1

5,178

5,179

180

62

62

62

DMA n = 2

Resumo dos Exemplos 1 e 2

0,8819

70,

3179,

x

x

x

2

31

5 - DISTRIBUIÇÃO DA MÉDIA AMOSTRAL (cont)

Exemplo 3

Para a população {1, 3, 5, 5, 7} sob amostragem com reposição e fazendo n = 1, 2 e 3, pede-se:

a) calcule a média e a variância de cada DMA.

b) esboce um gráfico para cada DMA.

32

1,3,5,5,7

É a própria população

N = 5 ; n = 1

4,16 ; 4,2 2

1 1

2

1

0

0,5

1

1,5

2

2,5

1 3 5 7 X

33

DMAX if

2345

1

67

1

251252255256256254251

N = 5 ; n = 2

0,040,08

0,200,24 0,24

0,16

0,04

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

1 2 3 4 5 6 7 X

2,08 X Var; 4,2 XE

Pop: 1,3,5,5,7

34

X P r o b1 1 /1 2 5

1 ,6 7 3 /1 2 52 ,3 3 9 /1 2 5

3 1 6 /1 2 53 ,6 7 2 4 /1 2 54 ,3 3 2 7 /1 2 5

5 2 3 /1 2 55 ,6 7 1 5 /1 2 56 ,3 3 6 /1 2 5

7 1 /1 2 5 1

DMA

N = 5 ; n = 3

1,39 X Var; 4,2 XE

0,0080,024

0,072

0,128

0,192

0,216

0,184

0,12

0,048

0,008

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

1 1,67 2,33 3 3,67 4,33 5 5,67 6,33 7 X

Pop: 1,3,5,5,7

35

Resumo dos resultados do Exemplo 3

1 1

2

1

0

0,5

1

1,5

2

2,5

1 3 5 7

População

0,040,08

0,200,24 0,24

0,16

0,04

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

1 2 3 4 5 6 7

AA n = 2

0,0080,024

0,072

0,128

0,192

0,216

0,184

0,12

0,048

0,008

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

1 1,67 2,33 3 3,67 4,33 5 5,67 6,33 7

AA n = 3

Pop: 1,3,5,5,7

Var = 2,08

( = 4,16/2)

Var = 4,16Média = 4,2

Var = 1,39

( = 4,16/3)

36

COMPORTAMENTO das DMA

• As médias amostrais tendem a agrupar-se em torno da média populacional.

• Aumentando n, a DMA tende para uma curva normal cada vez menos dispersa.

• As DMA têm média igual à da população.

37

1 - N

n - N .

n x

RELAÇÕES MATEMÁTICAS : DMA & POPULAÇÃO

x

n

x

22

n x

1 - N

n - N .

n

x

22

Com Reposição Sem Reposição

• Média

• Variância

• Desvio Padrão

Fator de correção (de população) finita

x

38

SUMÁRIO

5 - Distribuição da Média Amostral

6 - Teorema Central do Limite (TCL)

7 - Confiança da Média Amostral

SEGUNDA PARTE

39

6 - TEOREMA CENTRAL DO LIMITE (TCL)

Em amostras aleatórias simples (com reposição) de tamanho n, a média amostral X flutua em torno da média populacional com erro padrão .n

À medida que n aumenta, a DMA flutua cada vez menos em torno do alvo , tornando-se cada vez mais próxima da Normal (forma de sino).

40

Se a população sob

amostragem for normal, a

distribuição das médias

amostrais será normal

para todos os tamanhos

de amostras.

Conseqüência 1 do TCL

41

Se a população básica

é não normal, a distribuição

das médias amostrais será

aproximadamente normal

para grandes amostras

(n > 30).

Conseqüência 2 do TCL

42

Teorema Central

do Limite

Resumindo

43

6 - TEOREMA CENTRAL DO LIMITE (cont)

Exemplo de Aplicação do TCL

Se os pesos dos alunos da Universidade “ A ” seguirem o modelo normal, com média de 70 kg e desvio padrão de 9 Kg, responda:

a) escolhido um aluno ao acaso, qual a probabilidade dele ter mais de 79 kg?

% 15,87 79) (X P 1 9

70 - 79 z ; 70

44

Se os pesos dos alunos da Universidade “ A ” seguirem o modelo normal, com média de 70 kg e desvio padrão de 9 Kg, responda:

b) escolhida uma amostra de três alunos, ao acaso e com reposição, qual a probabilidade dela ter média maior que 79 kg?

5,1962 3

9

n ; 70 xx

% 18 4, 79) X( P 1,73 5,1962

70 - 79 z

SOLUÇÃO P(média > 79)

Nota: Não precisamos montar a DMA, nós conhecemos o TCL. Que bom!!!!

45

SUMÁRIO

5 - Distribuição da Média Amostral

6 - Teorema Central do Limite (TCL)

7 - Confiança da Média Amostral

SEGUNDA PARTE

46

7 - CONFIANÇA DA MÉDIA AMOSTRAL

QUÃO PROVÁVEL É UM VALOR PARA A MÉDIA AMOSTRAL?

Exemplo: Um fabricante de lâmpadas de 120 V informa no seu catálogo que seus produtos têm vida útil distribuída normalmente com média de 800 horas e desvio padrão de 200 horas. Calcule a probabilidade de que uma amostra aleatória de 25 lâmpadas instaladas na sua empresa tenham, em média, vida útil abaixo de 750 horas.

47

Obs: Esta amostragem, a rigor, é sem reposição entretanto, N pode ser considerada uma população infinita o que dispensa o uso do fator de correção.

) I Tab ( 1056,0 )25,1Z(P)25,1Z(P

25/200

800750

n/

XP)750X(P

:Soluçãon/

X

X EPde

XZ

?)750XP( :Pedido

25n ; 200 ; 800 :Dados

σ

μ

σ

μμ

σμ

48

PRATIQUE COM OS

EXERCÍCIOS.

BOA SORTE!