1/1/ Mecânica & Ondas Relatividade de Einstein J. Seixas

Mecânica & Ondas

Relatividade de Einstein

J. Seixas

© J. Seixas (DFIST) 2001

© J. Seixas (DFIST) 2001

Interferómetros• As diferenças de fase

podem ser usadas para medir distâncias com grande precisão porque pequeníssimas distâncias se convertem em distâncias angulares mais facilmente mensuráveis. Precisão depende do tamanho do caminho óptico

• Primeiro exemplo: Interferómetro de Michelson

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Interferómetros• Interferómetro de

Michelson:

dll’

,...2,1,0cos2

cos2sincos2

coscos' 2

mmd

ddddll

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Interferómetros• Interferómetro de

Fabry-Perot

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• Onde se propaga a luz?• Como diferem a luz e o som?• Como varia a velocidade da luz com a velocidade do observador?• A experiência de Michelson-Moreley.• Dificuldades com o grupo de Galileu. • Então e o éter?

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Diferenças de tempo = Diferença de fase

Interferómetro: Medida extremamente precisa

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Detalhes...

cc

V

V

d

d

2

2

2

222221 212

1

12cV

cd

cVc

d

Vc

d

Vc

dT

2

2

2

22 12

1

12cV

cd

cVc

dVcd

VcdT

Ach so!

Vêlocidade da luz sêrr independente da vêlocidade do observadorr!

Mas experimentalmente não se observa diferença!

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1'e

3'e

2'e

constV Referencia

l S’

1e

2e

3eReferencia

l S

Leis da Física devem sêrr as mesmas parra tôdos os rêfêrrênciais de inêrrcia! (Mêcânica ê Êlêctromagnetismo)

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d

1'e

3'e

2'e

Referencial S’

cd

cd

cdt 2'

dl l

Vt

1e

2e

3eReferencial

S

222

21 ldVt

222

21

21

21

cttcVt

2

2

1

'

cV

tt

V

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Exemplo:Uma partícula tem uma vida média em repouso de 1.53×10-6 s. Estas partículas encontram-se facilmente nos raios cósmicos com velocidades da ordem de 0.992 c. Em quanto tempo percorrem a distância de 1920 m do ponto de vista do referencial próprio do muão?

Resposta:

O tempo que um demora apercorrer 1920 m é (no referencial do laboratório)

sc

t 61045.6992.0

1920

No referencial próprio do isto corresponde a

st 5

2

6

101.5992.01

1045.6

ee

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1'e

3'e

2'e

Referencial S’

l

clt

2 tcl 2

1e

2e

3eReferencial

S

l

V

1Vt2Vt

cVtl

t 11

cVtl

t 22

21 ttt

22

2Vcclt

2

2

12cVctl

Dilatação do tempo 2

2

1cVll

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r

vt)k(xx' bx)a(tt'

A

O grupo de Lorentz

1e

2e

3e

Referencial S

'r

Referencial S’

1'e

3'e

2'e constv

222 tcr

222 tcr

22222 tczyx 22222 t'cz'y'x'

zz'yy'

vt

O ponto x’ = 0 de S’ corresponde ao ponto x = vt de S

Galileu:k = a = 1 b = 0

?OOO O

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22222222222 xb2xbttaczytv2xvtxk

Usando as novas relações entre x, x’,t e t´ 22

2

2222222222222 tc

cvkazyxtcbavk2xcabk

1 cabk 2222 0cbavk 222 1cvka 2

222

Resolvemos este sistema de 3 equações para obter k, a e b

2

2

cv1

1ak

2

2

cvb

vt)k(xx' bx)a(tt'

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2

2

2

2

2

cv1

xcvt

t

zzyy

cv1

vtxx

Grupo deLorentz

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Invariantes

A distância

é um invariante

22BA rrs

A distância

é um invariante 222222

BABABABA ttczzyyxxs

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1e

2e

3e

Referencial S

1'e

3'e

2'e

constV Referencia

l S’

vv ?

v

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dtdzvdt

dyvdtdxv zyx

Como abordar o problema:v ?

tdzdvtd

ydvtdxdv zyx

v

2

2

2

2

2

cV1

xcVt

t

zzyy

cV1

Vtxx

dt

cV1

c vV1

cV1

dxcVdt

td

dzzddyyd

dt

cV1

Vv

cV1

dtVdxxd

2

2

2x

2

2

2

2

2x

2

2

Dividir

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2x

2

2

z

z

2x

2

2

y

y

2x

xx

cVv1

cV1v

tdzdv

cVv1

cV1v

tdyd

v

cVv1

Vvtdxdv

Adição de velocidades

? cVx cVx OK!

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E as acelerações?

2

2

2

2

3

2

23

2

2

1

1

1

1

cVa

a

cVa

a

cVv

cV

atddt

dtvd

tdvd

a

dtdv

adtdv

adtdv

a

zz

yy

x

xxx

x

zz

yy

xx

2

2

2

22

2

1cVcaVa

a

23

2

2

1

cV

aa

aV ||aV

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Exemplo 2:Um foguete tem um comprimento L=600m medida em repouso na Terra. Ele move-se directamente para longe da Terra com uma velocidade constante. Um sinal radar é enviado da Terra e reflecte-se em instrumentos colocados na cauda e no nariz do foguete. O sinal reflectido da cauda é detectado na Terra 200 s depois da emissão e o que vem do nariz 17.410-6 tarde. Calcule a distância e velocidade do foguete em relação à Terra.

Resposta:1ª parte: A velocidade do impulso é 3108

R

2R200 103 8 m103R 10

m21017.4 103 6-8 3106121

.

VtL s108.721017.4t 6

6

186

3ms102.31

108.7600102.61V

V~c!!

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Lorentz:

0.77cVβ

ctVtβ1L 2

0.9

1Lct

1Lct

β 2

2

A distância R tem o mesmo valor, claro!

Do cálculo anterior:

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Exemplo 1:A vida média de um + no seu referencial próprio é 2.510-8 s. Num feixe de mesões + com a velocidade 0.99 c, qual é a distância média que percorrem no laboratório antes de decair? Qual seria essa distância se os efeitos relativistas não existissem?

Resposta:No referencial do +:•formação do + : (x’,y’,z’,t’)=(0,0,0,0)•desintegração do + : (0,0,0,t’=2.5 10-8 )

No referencial do laboratório:•formação do + : (xi,yi,zi,ti)•desintegração do + : (xf,yf,zf,tf)

Grupo de Lorentz

O + está em repouso

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2

2

2

2

2

cV1

xcVt

t

zzyy

cV1

tVxx

O

OAtenção à velocidade relativa!

0t0z0y0x

i

i

i

i

2

2f

f

f

2

2f

cV1

tt

0z0y

cV1

tVx

2

2if

cV1

tVxx

2

2if

cV1

ttt

Dilatação do tempo!

52.7mxx 12 7.43mxx 12 Não relativista:

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• Numa experiência de colisão π->protão produz-se um K0 que decai ao fim de 10-1 em 2 mesões π de carga oposta. Se a velocidade do K0 for 2.24x10-1m/s determine a sua vida média em repouso.

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Energia-Momento em Relatividade

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O momento linear relativista• Vamos partir directamente da conservação do

momento porque as simetrias básicas do espaço-tempo se mantêm.

AA

B

A

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O momento linear relativista

AA

B

A

ddymp

dtdymp

B

B

Logo devagar. mentesuficiente mova seB que em lreferencia um escolher basta :próprio tempodo próximo

mentearbitraria posto ser pode tempoo mas

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O momento linear relativista

AA

B

A

2/122/122 //1

/

/ cdtdr

dtdrmcdrdt

drmddrmrmp

yy

pp

A

A

A

AA

ABAB

ByA

Logo,is.referencia os todosem mesmo o é próprio tempoo Mas

B. de visto A de movimento o que mesmo o é A de vistoB de movimento o que pensar basta assim, é que ver Para

e e momento do oconservaçã Por

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O momento linear relativista

AA

B

A

21

mvp

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• A posição no espaço-tempo é determinada por 4 componentes que variam consoante o referencial escolhido. No entanto o quadri-vector posição está bem definido e o seu módulo é invariante para todos os observadores. As posições das extremidades do 4-vector não mudam por se mudar de referencial.

• Esperamos o mesmo da energia e do momento.

O quadri-vector Energia-Momento

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• Consideremos o 4-vector (dt, dx,dy,dz)

• O 4-vector tangente à linha de universo é (dt/dτ, dx/dτ,dy/dτ,dz/dτ)

• Multipliquemos este vector por m. Temos

O quadri-vector Energia-Momento

vmvmp

mccmddtmp

2

2

2

20

1

1

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O quadri-vector Energia-Momento

pcE

mcE

cmcpE

pmvp

p

)repouso! em estar pode (não massa sem corpo um Para repouso em corpo um Para

massa! a éque norma uma tem momento-energia orquadrivect O

que se-Reparecorpo. do energia a é Logo, 0v quando

prática) (aula disso Alémenergia. de dimensões tem

!

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2

4222

020

0

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