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UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIAFACULDADE DE MATEMÁTICA
PROJETO PIBEG
Unidade IV
Interpolação Polinomial
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0011 0010
SUMÁRIOINTRODUÇÃO
PROBLEMA GERAL DA INTERPOLAÇÃO
POLINÔMIO INTERPOLADOR
TEOREMA (EXISTÊNCIA E UNICIDADE)
FORMA DE LAGRANGE
FORMA DE NEWTON
FORMULA DE NEWTON PARA O POLINÔMIO INTERPOLADOR
ESTUDO DO ERRO DE TRUNCAMENTO NA INTERPOLAÇÃOPOLINOMIAL
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SUMÁRIONEWTON GREGORY
INTERPOLAÇÃO INVERSA
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Introdução
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Introdução:
A interpolação consiste em determinar uma função que
assume valores conhecidos em certos pontos. A classe de
funções escolhida para a interpolação é a priori arbitrária, e
deve ser adequada às características que pretendemos que a
função possua.
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Um dos motivos desta aproximação é:
Estimar valores intermediários entre dados precisos.
EXEMPLO: É sabido que no Brasil é realizado censo geral a cada
10 anos. Portanto nos anos em que é realizado o censo, tem-se
dados precisos da população do país. Os valores do número de
habitantes em anos intermediários pode ser estimado através de
uma interpolação.
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Problema Geral da Interpolação
Considere a tabela abaixo com (n+1) pontos distintos:
x x0 x1 x2 ... xn
f(x) f(x0) f(x1) f(x2) ... f(xn)
A interpolação de f(x) consiste em se obter uma função g(x), tal que:
)()(
)()(
)()(
11
00
nn xfxg
xfxg
xfxg
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f(x)
Graficamente:
f(x)
g(x)(x0 , f(x0))
(x1 , f(x1))
(x2 , f(x2))(x3 , f(x3)) (x4 , f(x4))
(x5 , f(x5))
f(x)
xx0 x1 x2 x3x4 x5
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Nesta unidade consideraremos que g(x) pertence à classe das
funções polinomiais.
OBSERVAÇÃO:
Existem outras formas de interpolação polinomial como,
por exemplo, a fórmula de Taylor para a qual as condições
de interpolação são outras.
Assim como g(x) foi escolhida entre as funções
polinomiais, poderíamos ter escolhido g(x) como função
racional, função trigonométrica, etc.
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Polinômio interpolador:
Consideremos o intervalo [a, b]R, os pontos
x0, x1, ..., xn [a, b] e uma função f cujos valores são
conhecidos naqueles pontos. Um polinômio P, de grau menor do
que ou igual a n, que satisfaz P(xi) = f(xi), i = 0 , 1, 2, ..., n, chama-
se polinômio interpolador de f nos pontos x0, x1, ..., xn .
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Dado um conjunto de n + 1 pontos distintos, isto é (xk, fk),
k = 0, 1, ..., n, com xk ≠ xj para k ≠ j. Existe um único polinômio p(x)
de grau menor ou igual a n, tal que p(xk) = f(xk) = fk para k = 0, 1,
2, ..., n.
Teorema (Existência e Unicidade)
DEMONSTRAÇÃO
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Forma de Lagrange
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Vamos considerar o conjunto de n+1 pontos (xk, fk), k = 0, 1, 2, ..., n,
distintos e vamos considerar o polinômio representado por
n
kkknnn xLfxLfxLfxLfxp
01100 )()()()()(
onde Lk(x) é um polinômio de grau · n que satisfaz a relação:
jkse
jksexL jk 1
0)(
Com isto temos que
pn(xj) = f0L0(xj) + f1L1(xj) + ... + fjLj(xj) + ... + fnLn(xj)
pn(xj) = fj
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Logo pn(x) satisfaz a condição de interpolação, sendo assim, o
polinômio interpolador de f(x) nos pontos x0, x1, ..., xn. Os
polinômios Lk(x) são chamados de polinômios de Lagrange e
estes são obtidos da seguinte forma:
)()()()()(
)()()()()()(
1110
1110
nkkkkkkk
nkkk xxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxL
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Exemplo: Vamos considerar a tabela de pontos do exemplo
anterior e determinar uma aproximação para f(0.3) usando a
forma de Lagrange.
xk 0.0 0.2 0.4
fk 4.00 3.84 3.76
Calculando os Lk(x) temos:
)6.2(08.0
1
)2.04.0)(04.0(
)2.0)(0(
))((
))(()(
)4.0(04.0
1
)4.02.0)(02.0(
)4.0)(0(
)()(
))(()(
)08.06.0(08.0
1
)4.00)(2.00(
)4.0)(2.0(
))((
))(()(
2
1202
102
2
2101
201
2
2010
210
xxxx
xxxx
xxxxxL
xxxx
xxxx
xxxxxL
xxxx
xxxx
xxxxxL
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)()()()()()()( 221100 xLxfxLxfxLxfxpn Fazendo:
Obtemos: p(x) = x2 - x + 4.
Observe que o polinômio é o mesmo que foi obtido via sistema
linear. Isto já era esperado, pois o polinômio interpolador é
único.
Desta forma, para x = 0,3 [0, 0.4] , teremos f(0.3) ≈ p(0.3) = 3.79.
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Forma de Newton
OPÇÃO 1
OPÇÃO 2
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Nesta unidade será visto outro método de determinar o
polinômio de interpolação. Tal polinômio será chamado de
Polinômio de Newton.
A expressão do polinômio de Newton é dada por:
)xx)...(xx)(xx(d...)xx)(xx(d)xx(dd)x(P nnn 110102010
onde os coeficientes da combinação linear dos polinômios (x –x0),
(x –x0) (x –x1), ..., (x –x0) (x –x1)... (x –xn-1) são chamados de diferenças
divididas.
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Como
pn(x0) = f(x0) f(x0) = d0
)xx)...(xx)(xx(d...)xx)(xx(d)xx(dd)x(P nnn 110102010
é o polinômio interpolador de f pelos pontos x0, x1, ..., xn então
pn(xi) = f(xi), 0 i n . Assim,
pn(x1) = f(x1) f(x1) = d0 + d1(x1 - x0) d1 = 01
01
xx
)x(f)x(f
pn(x2) = f(x2) f(x2) = d0 + d1(x2 - x0) + d2(x2- x0) (x2 – x1)
d2 =
)xx)(xx)(xx(
)xx)](x(f)x(f[
)xx)(xx(
)x(f)x(f
120201
0201
1202
02
f[x0, x1]
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]x,x,x[f]x,x[f]x,x[fxx
)xx(
)x(f)x(f
)xx(
)x(f)x(f
xx
)xx(
)xx(
)xx(
)]x(f)x(f[
)xx(
)x(f)x(f
xx
)xx)(xx(
)xx)](x(f)x(f[
)xx(
)x(f)x(f)x(f)x(f
xx
)xx)(xx)(xx(
)xx)](x(f)x(f[
)xx)(xx(
)x(f)x(fd
210102102
01
01
12
12
02
01
02
12
01
12
12
02
1201
0201
12
0112
02
120201
0201
1202
022
1
1
11
1
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0
1102110 xx
]x,...,x,x[f]x,...,x,x[f]x,...,x,x[f
i
iii
]x,x,...,x,x[fd,]x,x,x[fd
],x,x[fd),x(f]x[fd
nnn 1102102
101000
Diferenças divididas: CASO GERAL
Pode-se mostrar que o operador diferenças divididas tem as seguintes propriedades:
]x,...,x,x[f]x,x,...,x,x[f )n(j)(j)(jnn 10110
onde j é uma permutação do conjunto {0, 1, ..., n}
(1)
(2)
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Desta forma, o polinômio de Newton é expresso por:
]x,x,x,...,x,x[f)xx)...(xx)(xx(
....]x,x,x[f)xx)(xx(]x,x[f)xx(]x[f)x(P
nnn
n
0121110
012100100
As diferenças divididas são facilmente calculadas através de uma
tabela recursiva. Como exemplo, será apresentado uma tabela
envolvendo diferenças divididas até ordem 4.
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x Ordem 0 Ordem 1 Ordem 2 Ordem 3 Ordem 4
0x ][ 0xf],[ 01 xxf
1x ][ 1xf ],,[ 012 xxxf
],[ 12 xxf ],,,[ 0123 xxxxf
2x ][ 2xf ],,[ 123 xxxf ],,,[ 012,34 xxxxxf
],[ 23 xxf ],,[ 12,34 xxxxf
3x ][ 3xf ],,[ 234 xxxf
],[ 34 xxf
4x ][ 4xf
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ESTUDO DO ERRO DE TRUNCAMENTO NA INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL
],[ 0 nxxx
Teorema
Seja f(x) derivadas contínuas até ordem n + 1. Sejam x0< x1< ...< xn,
n + 1 pontos distintos da função. Seja pn(x) o polinômio que interpola
f(x) nestes pontos. Então, , o erro de truncamento da
interpolação polinomial vale:
)()()( xpxfxE nn
],[)(,)!1(
))(()()()()( 0
)1(
10 n
n
nn xxxn
xfxxxxxxxE
INT. INV.
N. G.
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A equação
],[)(,)!1(
))(()()()()( 0
)1(
10 n
n
nn xxxn
xfxxxxxxxE
tem uso limitado na prática, pois raramente ξ é conhecido. Sua
principal aplicação é na estimativa do erro de truncamento para
as fórmulas de interpolação, integração e diferenciação
numérica. Assim, é usual trabalhar com uma cota superior de
erro de truncamento dada por:
],[,)(max)!1(
)()( 0
)1(
n
n
It
n
n xxIttfn
xxE
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Caso a expressão f(x) não seja conhecida, o erro pode ser
estimado através do maior valor absoluto das diferenças
divididas de ordem n + 1, isto é:
]1[max)()( nordemfxxE nn
pois,
]x,x[)x(,)!n(
))x((f)xx()xx()xx()x(E n
)n(
nn 0
1
10 1
e
],,,,[)()()()( 1010 xxxxfxxxxxxxE nnn
Logo,
]x,x,,x,x[f)!n(
))x((fn
)n(
10
1
1
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INTERPOLAÇÃOINVERSA
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Sejam conhecidos n + 1 pontos distintos ],[,,0,),( baxnifx iii
O problema da interpolação inversa consiste em :
],[ 0 nffy x .)( yxf dado obter tal que
)(xpn
nxxx ,,, 10 x
.)( yxpn
Uma solução para este problema é obter
pontos e em seguida encontrar tal que
que interpola f(x) nos
Neste caso, não é possível fazer nem mesmo uma estimativa do
erro cometido. As equações permitem medir o erro ao se aproximar
f(x) por )(xpn , e não o erro ao se aproximar .x
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,y
).()(1 ygyfx
Interpolação inversa:
Considerando que f(x) seja inversível em um intervalo contendo
pode-se fazer a interpolação de
Uma condição para que uma função contínua num intervalo [a , b]
seja inversível é que seja monótona crescente (ou decrescente)
neste intervalo.
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yxf )(
)(ypn )()(1 ygyf
].,[ 0 nff
Se f(x) é inversível, o problema de se obter
resolvido, obtendo-se que interpola
o intervalo
Para isto, basta considerar x como uma função de y e aplicar
algum dos métodos estudados para interpolação:
, é facilmente
sobre
)()( ypygx n
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],[,)(max)!1(
)())(()( 0
)1(10
n
n
It
n
n ffIttgn
fyfyfyyE
Desta forma, o erro de truncamento cometido pode ser medido,
utilizando as expressões desenvolvidas anteriormente. Uma
estimativa para o erro é dada por:
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