4.2 Modulação de Amplitude em Banda Lateral Dupla · 4.2 Modulação de Amplitude em Banda...

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4.2 Modulação de Amplitude em Banda Lateral DuplaTipos de modulação em amplitude com banda lateral dupla (DSB ou Double SideBand): a) AM (Amplitude Modulation) = modulação em amplitude, padrão.b) DSB-SC (Double SideBand Supressed Carrier) = modulação DSB com supressão de portadora.

Sinais e espectro de AM

AM: a envoltória (envelope) da portadora (carrier) modulada tem a mesma forma da mensagem x(t).

Se Ac denota a amplitude da portadora não modulada, o sinal de AM produzido pelo sinal modulador x(t) será* :

sendo μ uma constante positiva denominada índice de modulação de amplitude (μ ≤ 1, ver adiante).

____________________________________________________*Alguns autores consideram uma fase constante na portadora, [cos(ωct+φ0)], a fim de enfatizar que a portadora e a mensagem provêm de

fontes independentes e não sincronizadas, contudo, isto só aumenta a complexidade da notação.

♣

x(t),

c(t),

xc(t),

Sinais e espectro de AM

AM: a envoltória (envelope) da portadora (carrier) modulada tem a mesma forma da mensagem x(t).

Se Ac denota a amplitude da portadora não modulada, o sinal de AM produzido pelo sinal modulador x(t) será* :

sendo μ uma constante positiva denominada índice de modulação de amplitude (μ ≤ 1, ver adiante).

____________________________________________________*Alguns autores consideram uma fase constante na portadora, [cos(ωct+φ0)], a fim de enfatizar que a portadora e a mensagem provêm de

fontes independentes e não sincronizadas, contudo, isto só aumenta a complexidade da notação.

♣

________________________________________________________________________________

Nas próximas seções será mostrado que a mensagem pode ser recuperada através de detectores de envoltória. A modulação AM não é adequada para transmitir sinais DC.

Recordação: descrição de envoltória e fase

A envoltória do sinal AM é então:

tal que, xc(t) pode ser escrito como:ttAtx cc ωcos)()( = [descrição envoltória e fase, com φ(t)=0]

≥ 0

Obs:

Recordação: descrição de portadora-quadratura

Dado:

escreve-se:

sendo: e

Sinal AM:

__________________________________________________Portanto,

tem-se: e

para as componentes “em fase” e “em quadratura”, uma vez que φ(t)=0.

Como não existe componente em quadratura, significa que o espectro do sinal AM passa banda será simétrico em torno da frequência portadora, e, que o espectro do sinal equivalente passa baixa será real puro (consequentemente, hermitiano).

tttAttAtx cccc ωωω sin0cos)(cos)()( −==

(só existe a componente in phase)

(com φ(t)=0)

♣

real puro

Ambos, o espectro passa banda [xc(t)] e o espectro de sinal de mensagem [x(t)] são reais puros

_____________________________________________Observação:

Caso a mensagem x(t) não esteja normalizada (não obedeça a | x(t) |≤1), isto é, se

x(t)=Am v(t) [como, por exemplo, x(t) = Am cosωm(t), para modulação de tom]

para | v(t) |≤1 e Am qualquer (inclusive Am > 1), então, para uma portadora:

c(t)=Ac cosωc(t), para Ac qualquer (inclusive Ac > 1),

o sinal modulado em AM pode ser escrito como

sendo

o índice de modulação.

Esta representação está de acordo com a usada nas aulas de laboratório (kits da DEGEM Systems).

Será mostrado adiante que o índice de modulação μ (ou m) depende apenas do circuito modulador. #

ttmvAttvAAA

ttvAtAttxtAttxtctx

cccc

cmccccccc

ωω

ωωωωω

cos)](1[cos)](1[

cos)(coscos)(coscos)()()(

+=+=

+=+=+=

AAm =

♣

_________________________________Na Fig. 4.2-1 apresentam-se a mensagem e o sinal de AM para dois valores de μ: i) μ <1 e ii) μ >1.

A condição fc>>W será discutida adiante.

i) A condição μ ≤ 1 assegura que Ac[1+μx(t)] não se torne negativo.

Com 100% de modulação (μ = 1), a envoltória varia entre Amin= 0 e Amax = 2Ac.

ii)

A sobre-modulação (μ > 1) causa reversão de fase e distorção da envoltória.

Não é possível usar detector de envoltória.

|x(t)|≤1

♣

O caso μ = 0 corresponde à portadora não modulada.

Discute-se primeiramente a condição μ ≤ 1 .

_____________________________________________Analisando no domínio da frequência, a TF de (4.2-1) conduz a

na qual apenas a metade do espectro, em frequência positiva de Xc(f), está apresentada.A metade em frequência negativa será uma imagem hermitiana de (4.2-4), pois xc(t) é um sinal passa banda real.

O espectro AM consiste de impulsos na frequência portadora e de bandas laterais simétricas centradas em ±fc.

A largura de banda de transmissão de AM é:

USBLSB

♣

já que o espectro de AM é hermitiano

W é a largura de banda do sinal de ↔mensagem x(t)

_____________________________________________________________

A envoltória reproduz a forma de x(t) somente se:

*A condição fc>>W assegura que a portadora oscila rapidamente comparada com a variação temporal de x(t).

↔

−fc−W −fc −fc+W fc−W fc fc+W

Xc(f)espectro do sinal

modulado

♣

Discute-se agora a condição fc>>W.

_____________________________________________________________

A envoltória reproduz a forma de x(t) somente se:

*A condição fc>>W assegura que a portadora oscila rapidamente comparada com a variação temporal de x(t).

↔

−fc−W −fc −fc+W fc−W fc fc+W

Xc(f)espectro do sinal

modulado

♣

Discute-se agora a condição fc>>W.

_____________________________________________________________

A envoltória reproduz a forma de x(t) somente se:

*A condição fc>>W assegura que a portadora oscila rapidamente comparada com a variação temporal de x(t).

↔

*Caso contrário, se fc≈W (ou menor), a envoltória poderia não reproduzir o sinal de mensagem com perfeição:

↔

Devido a sobreposição espectral a envoltória fica distorcida!

plitu

de Actual envelopeErroneous envelope

−fc−W −fc −fc+W fc−W fc fc+W

Xc(f)

Xc(f)ocorre sobreposição

espectral

espectro do sinal modulado

♣

Discute-se agora a condição fc>>W.

_____________________________________________________________

A envoltória reproduz a forma de x(t) somente se:

*A condição fc>>W assegura que a portadora oscila rapidamente comparada com a variação temporal de x(t).

↔

*Caso contrário, se fc≈W (ou menor), a envoltória poderia não reproduzir o sinal de mensagem com perfeição:

↔

Devido a sobreposição espectral a envoltória fica distorcida!

plitu

de Actual envelopeErroneous envelope

−fc−W −fc −fc+W fc−W fc fc+W

Xc(f)

Xc(f)ocorre sobreposição

espectral

espectro do sinal modulado

♣

Discute-se agora a condição fc>>W.

Potência média transmitida:

A potência média transmitida pelo sinal de AM é calculada por:

(*) A média da segunda parcela é igual a zero para a condição fc>>W (envoltória varia lentamente).

(**) O valor médio (a componente DC) do sinal aleatório de mensagem é nulo: .

(Isto é corroborado pela discussão que será realizada na Seção 4.5, onde se informa que um sistema AM não é prático para transmitir sinais com levado conteúdo de baixa frequência, ou seja, próximo a DC.)

{ }`2 2 2 2 2[1 ( )]cos [1 2 ( ) ( )]cosc c c cA x t t A x t x t tμ ω μ μ ω= + = + +

22cos1)]()(21[ 222 ttxtxA c

cωμμ +×++=

0)( =tx

(*)(**)

*área igual ≈ 0

Áudio signal

♣Obs:

{ }`2 2 2 2 2[1 ( )]cos [1 2 ( ) ( )]cosc c c cA x t t A x t x t tμ ω μ μ ω= + = + +

22cos1)]()(21[ 222 ttxtxA c

cωμμ +×++=

0)( =tx

(*)(**)

*área igual ≈ 0

♣

xStx =)(2

Potência média transmitida:

A potência média transmitida pelo sinal de AM é calculada por:

(*) A média da segunda parcela é igual a zero para a condição fc>>W (envoltória varia lentamente).

(**) O valor médio (a componente DC) do sinal aleatório de mensagem é nulo: .(Isto é corroborado pela discussão que será realizada na Seção 4.5, onde se informa que um sistema AM não é prático para transmitir sinais com levado conteúdo de baixa frequência, ou seja, próximo a DC.)

(***) Além disso, observa-se que a potência média da mensagem é: .

Portanto,

Obs:

1)( ≤txμ 1)()( 22222 ≤== xStxtx μμμ

=≤= ccxcsb PASAP211

41 222μ csb PP

21≤

TccTccTsbTcsbcsb SPPSPPSPSPPPP ≥−≥−≥−−≥−≤ 2222

TsbsbTsbcsb SPPSPPP212)2(

21 ≤−≤≤

pois μ ≤ 1 e ⏐x(t)⏐≤ 1 pois μ ≤ 1 e Sx ≤ 1

♣

xStx =)(2

Potência média transmitida (continuação):

Portanto, ,

a qual pode ser rescrita como:

onde ,

sendo: Pc = potência da portadora não modulada, pois ST = Pc quando μ = 0 ;Psb = potência de cada banda lateral (side band).

Quando μ≠0 (para μ≤1), ST consiste da potência da portadora mais duas bandas laterais simétricas.

__________________________________

A restrição de modulação: exige que , e daí

Com isso

Também:

cPEm resumo:

Consequentemente, pelo menos 50% da potência total transmitida reside no termo da portadora, a qual não se relaciona com a mensagem x(t) e, portanto, não contém nenhuma informação.

Equivalentemente, cada banda lateral contém menos de 25% da potência total transmitida!

♣

Sinais e espectro DSB-SC (ou DSB)

O desperdício de potência em AM pode ser eliminado ajustando-se μ=1 e suprimindo a componente de frequência da portadora não modulada.

Este tipo de modulação é chamada de DSB-SC, “banda lateral dupla com portadora suprimida” (double-sideband-supressed carrier modulation), ou DSSC, ou ainda, simplesmente DSB:

A envoltória assume a forma de |x(t)|, em vez de simplesmente x(t).

A forma de onda modulada sofreuma reversão de fase sempre quex(t) cruza o zero.

A informação do sinal não reside mais na envoltória.

Conforme se observa, a envoltória e a fase de xc(t) são dadas por:

Obs: AM

♣

descrição de envoltória-fase

A transformada de Fourier de (4.3-9) gera:

informando que o espectro DSB é semelhante ao espectro de AM, porém, sem os impulsos da portadora não modulada.

A supressão da portadora insere toda a potência média transmitida nas bandas laterais, conduzindo a:

a qual se aplica mesmo quando x(t) inclui uma componente DC.(Como DSB não usa detecção de envoltória na demodulação*, ela é adequada para transmissão de DC.)

Espectro de mensagem Espectro DSB

_______________________________________________

_______________________________________________*Obs: como a envoltória DSB não é proporcional ao sinal de mensagem, será mostrado adiante que a recuperação do

sinal não pode ser realizada por simples detecção de envoltória. O processo empregado é mais complicado, envolvendo um procedimento chamado de detecção síncrona.

LSB = Lower sidebandUSB = Upper sideband

♣

Transmissores práticos impõem um limite no pico de potência da envoltória, !!

Considere-se o estudo da razão sob condições de máxima modulação (μ = 1):

Modulação AM Modulação DSB

a) DSB: usando-se Amax=Ac em (4.2-11), ie, em: ,

obtém-se, para uma única banda lateral:

b) AM: para μ=1 e Amax= 2Ac em (4.2-7), ie, em: =

obtém-se, para uma única banda lateral:

Resumo:

informando-se que, se for fixado e os demais fatores forem iguais para AM e DSB, um transmissor DSB produz quatro vezes a potência útil (Psb, a qual contém a informação) de um transmissor de AM.

2maxA

2max/ APsb

2maxA

para condição de máximo pico de potência no transmissor

a fim de se evitar ruptura dielétrica devido ao pico elevado

2 2max/ / / 4sb sb c xP A P A S= =

2 2max/ / (2 ) /16sb sb c xP A P A S= =

2 21 1 (2 )4 4 c xA Sμ

♣

considerar μ=1

multiplicar e dividir por 4=22

2maxA

222cos1cos

2222 ==

+== mm

mmmxAtAtAS ωω

____________________________________________

4// 2max xsb SAP =

kW1,5kW321

21 =≤= Tsb SP

kW1kW881

41 2

max2max

2max =≤=== AAASP xsb

(limite estabelecido pelo pico de potência)

(limite do pico/potência)

(limite de potência do transmissor)

Exemplo 4.2-1: Considere-se um rádio transmissor com valores nominais ST ≤ 3 kW e ≤ 8 kW.

O sinal modulador é um tom com Am=1, tal que: .

a) Se o modulador é DSB, a máxima potência possível por banda lateral, Psb, é igual ao menor dos valores determinados por:

e (4.2-12): (12)

Ou seja, o menor entre:

Portanto, o limite superior é Psb=1 kW.

b) Se o modulador for AM com μ=1 (continua...)

♣

Exemplo 4.2-1: (continuação) ST ≤ 3 kW e ≤ 8 kW.

b) Se o modulador for AM com μ=1, então, (4.2-12) exige que(12)

ou seja:

A fim de avaliar a limitação de potência do transmissor, recorre-se a (4.2-7), ou seja:

e observa-se que:

tal que

Assim, de ST ≤ 3 kW:

O limite do pico de potência novamente domina, e a potência máxima de banda lateral é Psb=0,25 kW.

c) Conclusão: DSB → limite superior Psb= 1 kW.AM → limite superior Psb= 0,25 kW.

Como a distância de cobertura de transmissão é proporcional a Psb, com o mesmo transmissor, o comprimento de enlace AM seria apenas 25% do comprimento de enlace DSB. #

16// 2max xsb SAP =

kW0,25kW8321

161

161 2

max2max =≤== AASP xsb (limite do pico/potência)

12xS =

21 11 42 2 4

csb c c sb

PP P P P= = =

sbsbsb PPP 624 =+=

kW0,5kW361

61 =≤= Tsb SP (limitação pelo transmissor)

12xS =

2maxA___________________________________________

♣

)(txc

Modulação de Tom e Análise Fasorial

Ajustando-se x(t)=Amcosωmt em (4.2-9), ie, em: , (9)

obtém-se a forma de onda DSB modulada em tom:

A forma de onda AM modulada em tom é obtida de (4.3-1), isto é, de

(1)

gerando:

Espectro de linhas (unilateral, apenas para f > 0):

♣

Portanto, DSB e AM modulados por tom podem ser interpretados como a soma de fasores ordinários.Por exemplo, para AM:

com envoltória:

Então, para tom x(t)=Amcosωmt : )(2

cos)( tjtjcmcmcmc

mm eeAAAtAAAtA ωωμωμ −++=+=

2mAμ

(para f = fc, implícito)

__________________________________________________

se proporciona informações sobre os comportamentos da envoltóriae da fase no tempo

Cada linha corresponde a um fasor girante.

♣

Sinal AM, xp(t)

Envoltória, A(t)

Envoltória de AM: soma de fasores ordinários

•Eixo real

Eixo imaginário

♣

Obs:

A análise fasorial (tom) é útil para estudar os efeitos de distorção na transmissão, interferência, etc.

Exemplo 4.2-2: AM e análise fasorial

Seja o caso da modulação de tom em AM, com μAm = 2/3.

Cada banda lateral terá magnitude: →

Diagrama fasorial:

A soma fasorial corresponde à descrição de envoltória e fase:

a qual é proporcional à mensagem x(t)=Amcosωmt . A(t) ∝ x(t), a menos de um bias DC

_____________________________________________A seguir, supõe-se que o canal de transmissão remova completamente a banda lateral inferior do sinal AM.

(continua...)

332

22ccmc AAAA ==μ

(para f = fc)

0)(),cos321()( =+= ttAtA mc φω

)(2

cos)( tjtjcmcmcmc

mm eeAAAtAAAtA ωωμωμ −++=+=____________________________________________

cm c

AA Aμ =

♣

Exemplo 4.2-2: AM e análise fasorial (continuação...)

Se o canal de transmissão remover completamente a banda lateral inferior:

Neste caso, a descrição de envoltória e fase conduz a:

Observa-se claramente o efeito de distorção da envoltória, a qual não é mais proporcional ao sinal de mensagem x(t)=Amcosωmt . [A(t) não é proporcional a x(t)] #

(para f = fc)

tttgtm

ωωφ

cos3sin)( 1

+= −

332

22ccmc AAAA ==μ

(Este tipo de sinal sofreu modulação SSB)

esta linha será removida

( ) ( )2

m mj t j tm cc

A AA t A e eω ωμ −= + +