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4.4 Secções planas de superfícies e sólidos. Geometria Descritiva 2006/2007. Secções planas de superfícies e sólidos. Quando um plano intersecta uma superfície geométrica determina sobre ela uma linha plana que pertence à superfície A linha obtida pode ser uma circunferência - PowerPoint PPT Presentation
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Cidália Fonte – Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra
4.4 Secções planas de superfícies e sólidos
Geometria Descritiva
2006/2007
Cidália Fonte – Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra
Secções planas de superfícies e sólidos
Quando um plano intersecta uma superfície geométrica determina sobre ela uma linha plana que pertence à superfície A linha obtida pode ser
uma circunferência rectas (problema mais simples)
A linha pode ser uma curva complexa Ela terá que ser identificada ponto a ponto É útil conhecer a tangente à secção plana em cada ponto
A tangente à secção plana é a recta de intersecção do plano secante que gera a secção plana com o plano tangente à curva nesse ponto
Cidália Fonte – Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra
Secções planas de poliedros
Aplicação a prismas pirâmides e outros poliedros 1º caso: O plano secante é projectante
A secção fica determinada pela intersecção de cada aresta do sólido com o plano secante projectante
2º caso: O plano secante não é projectante A secção é obtida através da intersecção do plano que
contém cada face do sólido com o plano secante
Cidália Fonte – Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra
X
Secções planas de poliedros
Aplicação a prismas pirâmides e poliedros
Determinar a secção plana definida pelo plano de frente 1 com o prisma hexagonal regular com bases de nível A secção é o rectângulo MNN’M’
(h1) N1 N’1
N2
N’2
M1 M’1
M2
M’2
Cidália Fonte – Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra
X
Secções planas de poliedros
Aplicação a prismas pirâmides e poliedros Determinar a secção plana definida pelo plano vertical com uma pirâmide pentagonal regular assente em 0 A secção é o polígono MNPQRPara se obter a secção em verdadeira grandeza fez-se o seu rebatimento sobre o plano horizontal
N2
M2
P2Q2
R2
N1
M1P1
Q1
R1
h
f
Nr1
Pr1
Mr1
Qr1
Rr1
Cidália Fonte – Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra
Secções planas de superfícies cónicas e cilíndricas
1º caso: O plano secante passa pelo vértice da superfície O plano intersecta a directriz
Num ponto: A secção plana é a geratriz da superfície que passa nesse
ponto Em vários pontos:
A secção plana é constituída por geratrizes
O plano não intersecta a directriz A secção plana reduz-se a um ponto (o vértice da superfície)
Cidália Fonte – Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra
X
V1
V2
d1
d2(f)
Secções planas de superfícies cónicas e cilíndricas A superfície é definida pelo vértice V e pela directriz d (num
plano de topo) O plano secante é definido pelas rectas r e s concorrentes em
V (portanto o plano contém o vértice da superfície) Determinar a secção definida na superfície pelo plano secante
A2
A1
g2
B2
B1
g’2
i2r2
s2
r1
s1
i1
g1
g’1
Identificam-se as geratrizes que definem a secção plana identificando dois dos seus pontos pertencentes à directriz (pontos A e B) O plano secante intersecta o plano que
contém a directriz segundo a recta i, que determina sobre a directriz os pontos A e B
A secção plana é constituída pelas geratrizes g e g’
Cidália Fonte – Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra
Secções planas de superfícies cónicas e cilíndricas
2º caso: O plano secante não passa pelo vértice da superfície A secção não contém nenhuma geratriz A secção é constituída pelos pontos de intersecção
de cada uma das geratrizes com o plano secante
Cidália Fonte – Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra
Secções planas de superfícies cónicas e cilíndricas de revolução As secções planas de superfícies cónicas ou
cilíndricas de revolução são cónicas: Elipses Parábolas Hipérboles
Considerando que uma circunferência é o caso particular de uma elipse um ponto é um caso particular de uma circunferência duas rectas paralelas são uma parábola degenerada duas rectas coincidentes são uma parábola degenerada duas rectas concorrentes são uma hipérbole degenerada
Cidália Fonte – Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra
Secções planas de superfícies cónicas e cilíndricas de revolução
2º caso: O plano secante não passa pelo vértice da superfície Se o plano secante intersecta todas as
geratrizes da superfície a cónica é uma elipse (curva fechada)
Se o plano secante é paralelo apenas a uma das geratrizes a cónica é uma parábola
Se o plano secante é paralelo apenas a duas geratrizes a cónica é uma hipérbole
Cidália Fonte – Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra
Secções planas de superfícies cónicas e cilíndricas de revolução
Hipérbole
Parábola
Círculo
Elipse
Para
lelo
Cidália Fonte – Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra
Secções planas de superfícies cónicas e cilíndricas de revolução
Note-se que: A secção plana de uma superfície cilíndrica nunca
pode ser uma parábola ou uma hipérbole O plano secante não pode ser paralelo a uma ou a duas
geratrizes sem ser paralelo a todas
Para determinar se a secção plana de uma superfície cónica é uma elipse, uma parábola ou uma hipérbole faz-se passar pelo vértice um plano paralelo ao plano secante O plano determina quais são as geratrizes
paralelas a
Cidália Fonte – Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra
X
V2
V1
Secções planas de superfícies cónicas e cilíndricas de revolução Determinar que tipo de superfície é a secção plana
definida pelo plano na porção de superfície cónica de revolução indicada
h
f
f
h
r2
r1
A2
A’2
B2
B’2
A1
A’1B’1
B1
Considera-se uma recta r, de frente, paralela ao plano e que passa no vértice Considera-se o plano paralelo a e que contém r Este plano intersecta a superfície segundo duas geratrizes AVA’ e BVB’ que são portanto paralelas a A secção plana é portanto uma hipérbole
Nota: Se a directriz da superfície cónica não estivesse sobre o plano frontal de projecção teríamos que o colocar nessa posição fazendo uma mudança do plano frontal de projecção ou determinando nova directriz sobre este plano
Cidália Fonte – Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra
X
Secções planas de superfícies cónicas e cilíndricas de revolução Determinar a secção plana definida pelo plano
de topo no cone indicado
A projecção cilíndrica de uma elipse é sempre uma elipse
Determinam-se os pontos de intersecção do plano com as geratrizes
A elipse resultante é ABCDEFGH
Para que apareça em verdadeira grandeza fez-se o seu rebatimento
(f)
A1E1
D1
F1
C1
G1
B1
H1
B2A2
D2
C2
E2
F2H2
G2
Circunferência (caso particular de uma elipse)Segmento rectilíneo (elipse degenerada)
O plano de topo intersecta todas as geratrizes do cone, logo a secção plana é uma elipse
Ar1
Hr1Gr1
Fr1
Er1
Br1
Cr1 Dr1
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X
Secções planas de superfícies cónicas e cilíndricas de revolução Determinar a secção plana definida pelo
plano no cone indicado
f
h
P1
P2
f1
h1
X1
P21
O plano não é projectanteFaz-se uma mudança do plano frontal de projecção de forma a transformá-lo num plano de topoO plano intersecta todas as geratrizes do cone, logo a secção plana é uma elipseDeterminam-se os pontos de intersecção do plano com as geratrizesA elipse resultante é ABCDEFGHPara que as elipses apareçam em verdadeira grandeza será necessário fazer o seu rebatimento
Cidália Fonte – Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra
X
Secções planas de superfícies cónicas e cilíndricas de revolução Determinar a secção plana definida pelo
plano no cone indicado
f
h
f1
H21G21
A21
E21
B21C21D21F21
h1
A1
E1D1
F1
C1
G1
B1
H1
X1
O plano não é projectanteFaz-se uma mudança do plano frontal de projecção de forma a transformá-lo num plano de topoO plano intersecta todas as geratrizes do cone, logo a secção plana é uma elipseDeterminam-se os pontos de intersecção do plano com as geratrizesA elipse resultante é ABCDEFGHPara que as elipses apareçam em verdadeira grandeza será necessário fazer o seu rebatimento
Cidália Fonte – Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra
X
Secções planas de superfícies cónicas e cilíndricas de revolução Determinar a secção plana definida pelo
plano no cone indicado
f
h
f1
H21G21
A21
E21
B21C21D21F21
h1
A1
E1D1
F1
C1
G1
B1
H1
A2B2
D2
C2 E2
F2G2
H2
X1
O plano não é projectanteFaz-se uma mudança do plano frontal de projecção de forma a transformá-lo num plano de topoO plano intersecta todas as geratrizes do cone, logo a secção plana é uma elipseDeterminam-se os pontos de intersecção do plano com as geratrizesA elipse resultante é ABCDEFGHPara que as elipses apareçam em verdadeira grandeza será necessário fazer o seu rebatimento
Cidália Fonte – Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra
X
Secções planas de superfícies cónicas e cilíndricas de revolução Determinar a secção plana definida pelo
plano no cone indicado
f
hh1
A1
E1D1
F1
C1
G1
B1
H1
A2B2
D2
C2 E2
F2G2
H2
O plano não é projectanteFaz-se uma mudança do plano frontal de projecção de forma a transformá-lo num plano de topoO plano intersecta todas as geratrizes do cone, logo a secção plana é uma elipseDeterminam-se os pontos de intersecção do plano com as geratrizesA elipse resultante é ABCDEFGHPara que as elipses apareçam em verdadeira grandeza será necessário fazer o seu rebatimento
Cidália Fonte – Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra
X
Secções planas de superfícies cónicas e cilíndricas de revolução Determinar a secção plana definida pelo
plano no cone indicado f1
O plano não é projectanteFaz-se uma mudança do plano horizontal de projecção de forma a transformar num plano verticalO plano é paralelo apenas a uma geratriz do cone (que passa no vértice e no ponto A), logo a secção plana é uma parábolaDetermina-se as suas projecções através das projecções dos pontos de intersecção do plano com as geratrizes
P1
P2
X 1
h1
P11
A11
A2
h
f
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X
Secções planas de superfícies cónicas e cilíndricas de revolução Determinar a secção plana definida pelo
plano de topo no duplo cone indicadoConsidera-se o plano paralelo a e que passa pelo vértice do duplo coneO plano intersecta o cone segundo duas geratrizes AVA’ e BVB’ que são paralelas a Logo a secção plana definida pelo plano é uma hipérboleOs pontos M e N são os vértices da hipérbole e C é o ponto médio do eixo transverso MN da hipérbole
O plano frontal é um plano de simetria da hipérbole, logo o eixo transverso é frontal
Para que a hipérbole apareça em verdadeira grandeza é necessário fazer o seu rebatimento
V2
V1
h
f
C2
M2
N2
f
h
C1
A’2B’2
A2B2
A1
A’1
B’1
B1
h
Cidália Fonte – Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra
Secções planas de superfícies de revolução 1º caso: O plano secante contém o eixo da superfície
A secção plana é uma meridiana da superfície
2º caso: O plano secante é perpendicular ao eixo da superfície A secção plana é um paralelo da superfície
3º caso: O plano secante é oblíquo ao eixo da superfície A secção plana é determinada por pontos que podem ser determinados
sobre cada paralelo ou sobre cada meridiana Determina-se a recta de intersecção do plano secante com o plano do
paralelo ou da meridiana e consideram-se os pontos comuns à recta obtida e ao paralelo ou à meridiana
Cidália Fonte – Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra
Secções planas de uma esfera A secção plana de uma esfera é sempre um
círculo O centro do círculo é o pé da perpendicular baixada do
centro da esfera para o plano secante As projecções do círculo são elipses
O eixo maior é a projecção do diâmetro paralelo ao plano de projecção respectivo (projecta-se em verdadeira grandeza)
O eixo menor é a projecção do diâmetro perpendicular ao diâmetro paralelo ao plano de projecção em questão.
Cidália Fonte – Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra
X
Secções planas de uma esfera Determinar a secção plana definida pelo
plano de topo na esfera representadaO centro do círculo correspondente à secção plana é o ponto CA projecção frontal da secção reduz-se ao segmento de recta A2B2
A projecção horizontal é a elipse com centro em C1, eixo maior E1D1=A2B2 eixo menor A1B1
O1
O2
(f)
A2
B2
A1
F2G2C2D2E2I2 J2
C1B1
F1
G1E1
D1
J1
I1
(f)(f)
Cidália Fonte – Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra
4.5 Intersecção de rectas com sólidos
Geometria Descritiva
2006/2007
Cidália Fonte – Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra
Intersecção de rectas com sólidos
Faz-se passar pela recta um plano auxiliar que intersectará o sólido segundo uma secção plana
Os pontos comuns à recta e à secção plana são os pontos procurados
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X
Intersecção de rectas com sólidos
Determinar a intersecção de um octaedro regular com 3 cm de aresta e uma diagonal vertical, tendo o ponto de menor cota a cota zero, com a recta r
C1
A2B2
r1
r2(f)
V1
A1
B1
D2E2
C2 F2
S1
R1
R2
S2
D1
E1F1
Considera-se o plano de topo que contém a recta r Determina-se a secção plana definida no octaedro pelo plano A secção obtida é um polígono com vértices A, B, C, D, E e F Determinam-se os pontos de intersecção da secção plana com a recta r (pontos R e S) Para obter a secção em verdadeira grandeza pode rebater-se o plano
Cidália Fonte – Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra
Intersecção de uma recta com superfícies cónicas e cilíndricas
Faz-se passar pela recta um plano auxiliar que intersectará a superfície segundo uma secção plana Por exemplo o plano que passa pelo vértice
Os pontos comuns à recta e à secção plana são os pontos procurados
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X
d1
s2
r1
r2
s1
(f)d2
Intersecção de uma recta com superfícies cónicas e cilíndricas Determinar a intersecção da recta s com a superfície
A2
A1
i2
Considera-se o plano auxiliar definido pela recta s e pela direcção das geratrizesA intersecção deste plano com o plano que contém a directriz é a recta iA intersecção da recta i com a directriz define os pontos A e BPor A e B passam as geratrizes g e g’ que constituem a secção planaA intersecção da recta s com a secção plana (são complanares) definem os pontos procurados P e Q
r’1
B2
B1
g2
g1
P1
P2
r’2
g’2
cilíndrica definida pela directriz d (situada num plano de topo) e pela direcção das geratrizes r
Q1
Q2
i1
g’1
Cidália Fonte – Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra
X
Utiliza-se um plano auxiliar projectante que contém a recta
Determina-se a secção plana formada na esfera pelo plano auxiliar
Determina-se a intersecção da secção plana com a recta Para se obter a posição dos pontos com maior
precisão pode rebater-se a secção plana e a recta em torno por exemplo de uma recta frontal f
Intersecção de uma recta com uma esfera
O1
O2
(f)
C2
C1
r1
r2
f1
f2
rr2P2
P1B1
Br2
B2
Pr2
Ar2
A2
A1
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