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6. Transferência de Massa
6.1 Analogia entre Transferência de Massa e Transferência de Calor
Neste capítulo considera-se a transferência de massa, ou transporte de alguma
espécie química através de um meio em que a espécie atua como um contaminante. Os
processos de transferência de massa são abundantes na natureza e em muitos processos.
Um exemplo bem familiar é a secagem de uma superfície molhada exposta ao vento. A
lamina de ar que faz contato com a superfície da camada de água se torna saturada de
vapor d’água. O vapor é a espécie de interesse na mistura de gás ideal representada por
ar úmido.
A concentração de vapor d’água no próximo a superfície, 0,wρ , é geralmente
diferente da concentração na corrente livre, ∞,wρ . A diferença de concentração
0,0, >− ∞ww ρρ faz com mais vapor deixe a superfície de camada de água. Este
processo de evaporação pode ser aumentado a medida que a velocidade longitudinal da
corrente livre varre a superfície molhada, como ilustrado na Figura 6.1
Figura 5.1 Camada limite de concentração próximo a uma superfície molhada varrida
por ar.
Mesmo que não ocorra escoamento, pode ocorrer transferência de massa por
difusão como ilustrado na Figura 6.2. Um vaso cilíndrico de paredes impermeáveis
contém um líquido i. O vapor i difundirá para cima na coluna de ar estacionária. Ar
úmido de água é menos denso que ar seco. Se a coluna é larga o bastante, ar úmido sobe
139
por convecção natural através do centro da coluna, enquanto ar seco toma seu lugar
descendo ao das paredes.
Figura 6.2 Difusão vertical de vapor i através de uma coluna unidimensional de ar
acima de um líquido i.
O processo de transferência de massa por difusão (meios estacionários) é
análogo ao processo de condução ou difusão de energia e a convecção tem analogia com
a convecção térmica. O gradiente de concentração 0=∂
∂
y
w
yρ
tem comportamento similar
a 0=∂
∂
yyT .
6.2 A Conservação das Espécies Químicas
6.2.1 Velocidade das Espécies Versus Velocidade Média
Se ),,( tyxiρ é a concentração de espécies químicas i num meio bidimensional,
então a densidade do meio, ρ , é a soma das densidades individuais:
140
∑=
=N
ii
1
ρρ (6.1)
Pode-se demonstrar através de balanço de massa que
( ) ( )i
iiiii my
vx
ut
′′′=∂
∂+
∂∂
+∂∂ ρρρ
(6.2)
Na qual ii vu , são as velocidades das espécies i relativas ao volume de controle e im ′′′
resulta de reações químicas. Se não há reações químicas 0=′′′im , e mesmo no caso de
ocorrer reações químicas a soma de todas as criações de espécies se anula 01
=′′′∑=
N
iim .
Aplicando o operador somatório a Eq. (6.2) resulta
0111
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂ ∑∑∑
===
N
iii
N
iii
N
ii v
yu
xtρρρ (6.3)
ou pelo uso da Eq. (6.1) obtém-se a conservação da massa ou equação de continuidade
( ) ( ) 0=∂
∂+
∂∂
+∂∂
yv
xu
tρρρ (6.4)
na qual ρ é a densidade do meio fluido composto pelas espécies i e vu, são os
componentes de velocidade do meio fluido relativas ao mesmo volume de controle onde
estão as espécies i. Por comparação das Eqs. (6.3) e (6.4) pode-se concluir que
∑ ∑= =
=N
i
N
iiiii vuu
1 1
1,1 ρρ
ρρ
(6.5)
A velocidade média difere das velocidades das espécies como ser ilustrado na
Figura 6.3. No instante 0=t , uma coluna vertical de ar seco a é colocada sob uma
coluna de ar saturado com vapor d’água v . Ao longo do tempo, vapor d’água difunde
141
para baixo dentro da coluna de mistura (ar-vapor) relativamente seca, enquanto ar seco
difunde para cima dentro da mistura úmida. Em cada seção da coluna, a velocidade de
cada espécie é finita, uma positiva ( )0>av e a outra negativa ( )0<vv . A velocidade
média do meio, no entanto, é nula, porque as extremidades da coluna são vedadas.
Pode-se concluir que a componente de velocidade das espécies iv na Eq. (6.4) é, em
geral, diferente da componente de velocidade média v . Ou seja, as espécies podem se
mover em relação ao meio como um todo.
Figura 6.3 Coluna com ambas extremidades fechadas: difusão de vapor de água para
baixo e difusão de ar seco para cima num meio estacionário.
6.2.2 Fluxo de Massa por Difusão
A diferença de velocidade vvi − é reconhecida como velocidade de difusão da
espécie i na direção y. O grupo ( )vvii −ρ representa a taxa de escoamento da espécie i
na direção y e relativa ao movimento médio do meio. Um nome para este grupo é fluxo
de massa por difusão iyj , . Assim pode-se definir
( )uuj iiix −= ρ, (6.6)
142
( )vvj iiiy −= ρ, (6.7)
e usando a Eq. (6.2) resulta
( ) ( )i
iyixiii my
jx
jy
vx
ut
′′′+∂
∂−
∂
∂−=
∂∂
+∂
∂+
∂∂ ,,ρρρ
(6.8)
ou na forma não conservativa
( ) ( )i
iyixiii my
jx
jy
vx
ut
′′′+∂
∂−
∂
∂−=
∂∂
+∂
∂+
∂∂ ,,ρρρ
(6.9)
6.2.3 Lei de Fick
Numa mistura binária (espécie 1 e espécie2) pode-se seguir o que foi proposto
por Fick:
xDjx ∂
∂−= 1
121,ρ (6.10)
yDjy ∂
∂−= 1
121,ρ (6.11)
nas quais a constante de proporcionalidade 12D é difusividade de massa da espécie 1 na
espécie 2 ou coeficiente de difusão de 1 em 2. A dimensão de 12D é a mesma de
viscosidade cinemática (difusão de quantidade de movimento) e difusividade térmica
(difusão de calor) m2/s. A equação de concentração para DD =12 , ou seja, difusividade
constante, será da forma:
( ) ( )i
iiiii myx
Dy
vx
ut
′′′+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
=∂
∂+
∂∂
+∂∂
2
2
2
2 ρρρρρ (6.12)
143
Compare a Eq. (6.13) com a equação de energia:
( ) ( )pc
qyT
xT
yTv
xTu
tT
ρα
′′′+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
=∂∂
+∂∂
+∂∂
2
2
2
2
(6.13)
|As equações (6.12) e (6.13) mostra a analogia entre transferência de massa e
transferência de calor.
6.2.4 Concentração Molar e Fluxo Molar
No estudo de misturas e soluções, define-se fração molar e fração em massa. As
seguintes relações são definidas, em termodinâmica, para uma mistura de N
componentes i
nn
x ii = (6.14)
∑=
=N
iix
1
1 (6.15)
Vmi
i =ρ (6.16)
Mm
n ii = (6.17)
Mmn = (6.18)
i
N
ii MxM ∑
=
=1
(6.19)
144
ii
i MMx ρρ ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= (6.20)
Num meio estacionário 3D:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+∂∂
=∂∂
2
2
2
2
2
2
zx
yx
xx
Dtx iiii (6.21)
A concentração molar é definida como
Vn
C ii = (6.22)
Da definição de concentração molar resulta
ii xM
C ρ= (6.23)
iii CM=ρ (6.24)
Pode-se definir também o fluxo por difusão molar
xC
Dj iix ∂
∂−=,
ˆ (6.25)
As relações definidas acima se aplicam para qualquer mistura unifásica gasosa, líquida
ou sólida. No caso de mistura de gases ideais tem-se que a fração molar e proporcional a
pressão parcial
pp
x ii = (6.26)
145
6.3 Difusão através de um Meio Estacionário
6.3.1 Difusão em Regime Permanente
A classe mais simples de transferência de massa por difusão é aquela em que a
mistura é estacionária e já tenha se passado tempo suficiente desde a imposição de
condições de contorno, de modo que, a difusão da espécie seja independente do tempo.
Considere o caso de um meio unidimensional de espessura L como mostrado no
lado esquerdo da Figura 6.4
(a)
(b)
Figura 6.4 Difusão unidirecional permanente através de um meio estacionário; (a)
espessura constante, (b) anel formado entre cilindros ou esferas concêntricos
Considerando a geometria do lado esquerdo da Figura 6.4 a Eq. (6.21) se reduz
a
02
2
=dy
xd i (6.27)
com as condições de contorno
Ly em
0y em0
==
==
Li
i
xx
xx (6.28)
A solução da Eq. (6.27) com as condições de contorno (6.28) é da forma:
146
( ) 00 xLyxxx Li +−= (6.29)
A partir de (6.29) pode-se calcular os fluxos de difusão molar e em massa como
LCC
D
Lxx
MD
dydx
MD
dydC
Dj
L
L
iiiy
−=
−=
−=−=
0
0
,
ˆ
ρ
ρ
(6.30)
LD
Lxx
MM
D
dydx
MM
Ddy
DDj
L
Li
iiiiy
ρρ
ρ
ρρ
−=
−=
−=−=
0
0
,
(6.31)
No caso de uma região anelar entre dois cilindros concêntricos a equação de
fração molar no meio será
( ) ( )( )0
000 /ln
/lnrrrr
xxxxL
Li −−= (6.32)
Os fluxos molar e de massa por unidade de comprimento serão:
- fluxo molar
( )
( ) ( )LL
rr
irriri
CCrr
D
drdC
Drjrn
−=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−==′
==
00
0,0
/ln2
2ˆ20
0
π
ππ (6.33)
- fluxo em massa
147
( )
( ) ( )LL
rr
irriri
rrD
drd
Drjrm
ρρπ
ρππ
−=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−==′
==
00
0,0
/ln2
220
0
(6.34)
A relação entre os fluxos é: iii nMm ′=′ .
No caso de duas esferas concêntricas tem-se
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−−
+= −−LL
Li rrrr
xxxx 11
110
00 (6.35)
Os fluxos molar e de massa por unidade de comprimento serão
- fluxo molar
( )
( )LL
rr
irriri
CCrr
D
drdC
Drjrn
−−
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−==
−−
==
0110
20,
20
4
4ˆ40
0
π
ππ (6.36)
- fluxo em massa
( )
( )LL
rr
irriri
rrD
drd
Drjrm
ρρπ
ρππ
−−
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−==
−−
==
0110
20,
20
4
440
0
(6.37)
6.3.2 Difusividades de Massa
Para calcular a transferência de massa, deve-se primeiro identificar valores de
dois itens: (6.29)-(6.37):
(a) a difusividade de massa da espécie de interesse, D
(b) a concentração das espécies em duas superfícies ou contornos
148
No caso de uma mistura gasosa binária a difusividade ou coeficiente de difusão
independe do sentido de difusão se de 1 em 2 ou de 2 em 1. Em outras palavras
2112 DDD == (6.38)
Demonstração:
A difusão da espécie 1 na 2 será
dydx
MDjy
1121,
ˆ ρ−= (6.39)
e a difusão da espécie 2 em 1 será
dydx
MDjy
2212,
ˆ ρ−= (6.40)
Somando as Eqs. (6.39) e (6.40)
0ˆ2,1, =+ yy jj ; em qual quer plano ctey = onde 121 =+ xx (6.41)
A influência da temperatura e pressão sobre a difusividade pode ser levada em
consideração em relações do tipo:
( )( ) p
pTT
pTDpTD 0
75,1
000 ,,
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛≅ (6.42)
No caso de misturas líquidas, os componentes da mistura são chamados de soluto e
solvente (espécie 2). A difusividade é função da temperatura na forma:
( )( ) )(
)(
2
02
00 TT
TT
TDTD
μμ
≅ (6.43)
149
6.3.3 Condições de Contorno
Os quatro casos principais de condições de contorno são ilustrados na Figura
6.5.
Figura 6.5. Possíveis contornos de meios difusivos e maneiras de especificar condições
de contorno.
O caso Fig. 6.5(a) é uma ilustração de uma interface entre uma mistura de gases
ideais e fase líquida de um de seus componentes. Se a espécie 1 é uma substância pura
na fase líquida então 1 é também um componente na mistura gasosa acima. A pressão
de vapor da espécie 1 na interface do lado do gás é igual a pressão de saturação na
temperatura da interface líquida:
)(,11 Tpp sat= (6.44)
O caso Fig. 6.5(b) é uma ilustração de uma interface entre um meio líquido e
uma mistura de gasosa. A espécie 1 difunde através do líquido e está presente como um
componente na mistura gasosa. A condição de contorno de interesse é a fração molar da
espécie 1 do lado do líquido. A fração molar na fronteira Lx será maior quanto maior a
quantidade da espécie 1 na mistura gasosa, ou seja quando a pressão parcial 1p é alta.
No caso de mistura diluída, na qual apenas pequenas quantidades de solvente são
150
encontradas no líquido, Lx e 1p estão relacionados através de uma proporcionalidade
conhecida como lei de Henry:
HpxL
1= (6.45)
Na qual H é a constante de Henry que depende da temperatura e da substância gasosa.
O caso da Fig. 6.5(c) ilustra uma mistura líquida binária em que o soluto é a
espécie 1. Um exemplo deste tipo de mistura pode ser um bloco de laCN acima da
interface de água salgada ( )OHeCN la 2 . A concentração de laCN do lado líquido pode
ser determinada por equações termodinâmicas e dados de solubilidade.
O caso da Fig. 6.5(d) ilustra uma interface entre um meio sólido e um gás. A
espécie que difunde através do sólido (espécie 1) é também um componente na mistura
gasosa. Neste caso, a concentração na fronteira é dada por
1pSCL ⋅= (6.46)
na qual S é o coeficiente de solubilidade da espécie 1 no sólido.
Ex. 6.1 Difusão permanente, sólido entre dois planos paralelos. Uma membrana de
borracha fina (neoprene) separa um volume de nitrogênio gasoso a alta pressão (5 bares)
de um volume de nitrogênio gasoso a baixa pressão (1 bar). A espessura da membrana é
05 mm e a temperatura do sistema inteiro é de 300 K. Calcule os fluxos molar e de
massa de nitrogênio que difundem através da membrana.
6.3.4 Difusão Dependente do Tempo
Um processo de difusão transiente é ilustrado na Figura 6.6. Inicialmente a
concentração da espécie de interesse é uniforme e igual a inC . No instante 0=t , a
concentração em 0=y é mantida a 0C por contato com outro meio. Quando 0C é
maior que inC a espécie difunde para dentro do meio semi-infinito e forma uma camada
151
limite de concentração, cuja espessura aumenta com o tempo. A equação governante do
problema é:
tC
DyC
∂∂
=∂∂ 1
2
2
(6.47)
com as condições inicial e de contornos
0, == tCC in (6.48)
0CC = , em 0=y (6.49)
inCC → , em ∞→y (6.50)
Figura 6.6 Camada limite de concentração num meio semi-infinito com uma
concentração diferente imposta na superfície.
A solução da Eq. (6.47) com a condição inicial (6.48) e condições de contornos
(6.49 e (6.50) é da forma (fica como exercício obter a solução)
( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⋅=
−−
2/10
0
2 tDyerf
CCCC
in
(6.51)
Na Eq. (6.51) erf é denominada de função erro definida como
152
( )∫ −=x
dmmxerf0
22/1 exp2)(
π (6.52)
Com seguintes propriedades:
[ ] 2/102)(
1)(0)0(
π=
=∞=
=xxerfdxd
erferf
(6.53)
No caso de uma parede plana, o tempo adimensional é
tLD
2 (6.54)
e para cilindros ou esferas o tempo adimensional é
trD
o2 (6.55)
Resultados gráficos da Eq. (6.51) são apresentados na Figura 6.7. No caso em que a
abscissa na Fig. 6.7 for maior que 0,1, as correlações aproximadas pode ser usadas:
Placa:
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−≅
−−
tLD
CCCC
in
o22
0 4exp8 π
π (6.56)
Cilindro:
405,2,exp412
212
10
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−≅
−−
btrDb
bCCCC
oin
o (6.57)
153
Figura 6.7. Concentração média no volume em corpos com concentração constante
imposta no contorno.
Esfera:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−≅
−−
trD
CCCC
oin
o2
22
0
exp4 ππ
(6.58)
Ex. 6.2: Difusão dependente do tempo de ar em água. Uma camada fina de água pura é
colocada em contato com ar a pressão atmosférica e 20 oC. Ar começa a difundir para
dentro da água. Deseja-se saber qual é a fração molar de ar x a 1 mm para dentro da
interface água-ar. Calcule o tempo para x atingir ½ da fração molar doar na interface
0x , isto é 2/0xx = . Calcule também o valor real da fração molar x no tempo.
154
6.4 Convecção
6.4.1 Convecção Forçada em Escoamento de Camada Limite Laminar
A analogia entre transferência de massa e transferência de calor também pode
ser feita no caso de convecção. A Figura 6.8 ilustra uma camada limite de convecção no
caso de transferência de massa
Figura 6.8 Transferência de massa de uma superfície plana para um escoamento em
camada limite por convecção forçada laminar
O fluxo molar na superfície é definido como
0
ˆ=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−=y
w yCDj (6.59)
e o coeficiente de transferência de massa por convecção para o escoamento externo
pode ser definido como
∞−=
CCj
hw
wm
ˆ ou (6.60)
( )∞
=
−
∂∂−
CCyCD
hw
ym
0/ (6.61)
A distribuição de concentração no escoamento é governada pela seguinte
equação:
155
2
2
yCD
yCv
xCu
∂∂
=∂∂
+∂∂ (6.62)
com as condições de contorno
wCC = em 0=y (6.63)
∞→ CC em 0→y (6.64)
O campo de concentração é determinado da mesma maneira que no caso da
camada limite térmica. A Analogia entre transferência de calor e de massa nos permite
fazer a seguinte equivalência de variáveis nas camada limite de temperatura (C.L.T) e
camada limite de concentração (C.L.C):
Dkjq
DCTCTCT
ww
ww
ˆ
massade Transf. calor de Transf.
→→′′
→→→→→
∞∞
α (6.65
No caso da camada limite térmica laminar tem-se a correlação para o coeficiente
de transferência de calor:
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ≥⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
−′′
= ∞
∞
5,0;332,02/13/1
αν
ναν xu
kx
TTq
Nuw
wx (6.66)
Por analogia pode-se escrever
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ≥⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
−∞
∞
5,0;332,0ˆ 2/13/1
Dxu
DDx
CCj
w
w νν
ν (6.67)
w no caso de transferência de massa se define o número de Sherwood:
156
( ) ( ) ( )5,0;Re332,0 2/13/1 ≥= cxcx SSSh (6.68)
na qual
( ) Dxh
DCCxj
Sh m
w
wx =
−=
∞
ˆ (6.69)
e cS é o número de Schmidt definido como
DSc
ν= (6.70)
A analogia entre transferência de calor e massa leva a equivalência:
cr
xx
SPShNu
massa de Transf. calor de Transf.
→→→
(6.71)
No caso de escoamentos com baixo número de Prandtl a correlação de cálculo
do coeficiente de transferência de calor é:
( ) ( ) ( )5,0;Re564,0 2/13/1 ≤=−′′
=∞
rxrw
wx PP
kx
TTq
Nu (6.72)
De maneira análoga pode-se obter
( ) ( ) ( )5,0;Re564,0ˆ 2/13/1 ≤=−
=∞
cxcw
wx SS
Dx
CCj
Sh (6.73)
O coeficiente de transferência de massa pode ser calculado como
∫=L
mm dxhL
h0
1 (6.74)
157
e o número de Sherwwod baseado neste coeficiente é definido na forma:
DLh
hS mL = (6.75)
A partir das Eqs. (6.68) e (6.73) pode-se obter
( ) ( ) ( )5,0;Re664,0 2/13/1 ≥= cLcL SShS (6.76)
( ) ( ) ( )5,0;Re128,1 2/13/1 ≤= cLcL SShS (6.77)
O coeficiente de transferência de massa baseado no fluxo de massa pode ser
avaliado como
∞−=
ρρw
wm
jh (6.78)
Desta forma, as vazões molar e de massa podem ser calculadas como
( )∞−=′ CCLhn wm (6.79)
( )∞−=′ ρρwm Lhm (6.80)
( )∞−= CCAhn wm (6.81)
( )∞−= ρρwm Ahm (6.82)
6.4.2 O Modelo de Superfície Impermeável
O caso de parede impermeável, 0=v , só é justificado quando a concentração da
espécie de interesse é baixa, menor do que um valor crítico. O fluxo de massa pode ser
calculado como
158
( )⎩⎨⎧
≤=≥=
−≈ ∞ 5,0;2/15,0;3/1
Re 2/1
c
cncxww Sn
SnS
xDj ρρ (6.83)
No caso de camada limite com 0≠v ou linhas de corrente não paralela a 0=y ,
2/1Re−
∞≈ xuv ρρ (6.84)
A transferência de massa através da parede só pode desprezada quando o
movimento transversal induzido por ela é pequeno relativo ao movimento natural
transversal (sempre presente) da camada limite, isto é,
vjw ρ< ou (6.85)
nc
w S −∞ <− 1
ρρρ
(6.86)
A hipótese de parede impermeável só é válida a baixas concentrações ∞− ρρw que
satisfaz a eq. (6.86).
Ex. 6.3 C.L. laminar, escoamento de ar úmido. A chuva deixa um filme de água sobre
uma telha de um telhado. O vento a 10 km/h varre a telha ao longo de seus 10 cm de
comprimento exposto. O ar atmosférico e a superfície da telha estão a 25 oC. A umidade
relativa do ar é: %40=φ .
a) Calcule o coeficiente médio de transferência de massa entre a superfície da telha
e ao ar úmido.
b) Determine a taxa de transferência de massa de água que deixa a superfície da
telha.
c) Verifique se a hipótese de superfície impermeável é justificada neste caso.
6.4.3 Convecção Externa Forçada Sobre Outras Configurações
De maneira similar ao que foi para transferência de calor, pode-se analisar a
transferência de massa em outras configurações. Um caso de interesse é a camada limite
159
turbulenta sobre uma superfície plana, que no caso de transferência de calor leva a
correlação:
( )⎩⎨⎧
<<
≥−=
855/43/1
10Re105,5
5,023550Re037,0
x
PPuN r
LrL (6.87)
Por analogia, pode-se definir o número de Sherwood na forma
( )⎩⎨⎧
<<
≥−==
855/43/1
10Re105,5
5,023550Re037,0
x
SS
DLh
hS cLc
mL (6.88)
Pela analogia de Colburn, o número de Stanton foi definido na forma para altos
Reynolds
( )5,0;21 3/2
, ≥= −rrxfx PPCSt (6.89)
em que o coeficiente de atrito local e definido como
5/1
, 0296,021 −
∞ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=ν
xuC xf (6.90)
e portanto,
( )5,0;Re0296,0 5/13/2 ≥= −−rxrx PPSt (6.91)
O número de Stanton é definido como
( ) ∞∞∞∞ −′′
===kuTT
qkuh
uch
Stw
wx
p
xx
ααρ
(6.92)
Por analogia entre transferência de massa e transferência de calor
160
( ) ( ) ∞∞∞∞ −→
−′′
DuCCDj
kuTTq
w
w
w
wˆα
(6.93)
então, pode-se definir o número de Stanton local para transferência de massa como
∞
=uh
St mm (6.94)
( )5,0;Re0296,0 5/13/2 ≥= −−cxcm SSSt (6.95)
o que leva ao coeficiente médio
( )5,0;Re037,0 5/13/2 ≥= −−cLcm SStS (6.96)
Em outras configurações também estão cilindros e esferas em escoamentos
cruzados, Figura 6.9. Para um cilindro em escoamento cruzado, o numero de Nusselt foi
definido como
Figura 6.9. Cilindro ou esfera em escoamento cruzado com transferência de massa.
( )[ ]5/48/5
4/13/2
3/12/1
282000Re
1/4,01
Re62,03,0
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+
++= D
r
rDD
P
PuN (6.97)
Se definir o número de Sherwood baseado no diâmetro externo como
161
DDh
hS mD
00= (6.98)
obtém-se por analogia
( )[ ] ( )2,0Re;282000
Re1/4,01
Re62,03,0
00
5/48/5
4/13/2
3/12/1
>⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+
++= cD
D
c
cDD S
S
ShS (6.99)
Para uma esfera em escoamento cruzado, a correlação para se calcular o
coeficiente de transferência de massa é da forma
( ) ( )44,03/22/1 106,7Re5,3;Re06,0Re4,020000
xShS DcDDD <<++= (6.100)
6.4.4 Convecção Forçada Interna
Um escoamento com transferência de massa em convecção forçada interna é
ilustrado na Figura 6.10. O coeficiente de transferência de massa pode ser definido
como
bw
w
bw
wm
jCC
jh
ρρ −=
−=
ˆ (6.101)
na qual a concentração média é definida como
∫=Ab uCdA
UAC 1 (6.102)
No caso de escoamento laminar o comprimento de desenvolvimento da
concentração é
νh
DcDh
c UDS
DX
hh=≅ Re;Re05,0 (6.103)
162
Para escoamento laminar num tubo num tubo o número de Sherwwod baseado no
diâmetro interno é
DDh
hS imDi= (6.104)
Na região de escoamento completamente desenvolvido na velocidade e concentração
66,3=DDh im (6.105)
Figura 6.10. Escoamento num tubo com transferência de massa.
No caso de escoamento turbulento, o comprimento de desenvolvimento é
estimado como
10≅i
c
DX
(6.106)
No caso do escoamento turbulento completamente desenvolvido, por analogia pode
calcular o número de Sherwood como
( )643/15/4 10Re102;5,0;Re023,0 <<≥=iii DccDD xSSSh (6.107)
Ex. 6.4. Escoamento laminar completamente desenvolvido num duto com condições e
contorno assimétricas. O espaço ente dois painéis paralelos de vidro é 0,4 cm e o
comprimento do canal é 1,5 m. Uma película de água cobre uma das supefícies. A outra
163
superfície não contém qualquer água líquida sobre ela. A temperatura do sistema todo é
25oC. Ar é forçado através do canal para secar a neblina na superfície. A velocidade
média é 0,5 m/s. Calcule o coeficiente de transferência de massa entre a parede molhada
e a corrente de ar.
6.4.5 Convecção Natural
A transferência de massa também pode ocorrer em convecção natural. Neste
caso a massa específica da mistura pode ser definida como uma função da temperatura,
pressão e da massa específica das espécies componentes da mistura, iρ , na forma:
( )ipT ρρρ ,,= (6.108)
Assumindo uma expansão para a massa específica da mistura na forma:
( )+−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+≅ ∞∞ ,,
iipTi
ρρρρρρ ou
( )[ ]+−−= ∞∞ ,1 iic ρρβρρ (6.109)
na qual ∞ρ é uma massa específica de referência da mistura correspondendo ∞,iρ e
pTic
,
1⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−=ρρ
ρβ (6.110)
é o coeficiente de expansão de composição da mistura.
No caso de camada limite sobre uma superfície plana vertical, Figura 6.11, as
equações governantes são:
( )∞−+∂∂
=∂∂
+∂∂
,2
2
iicgxv
yvv
xvu ρρβν (6.111)
164
2
2
xD
yv
xu iii
∂∂
=∂∂
+∂∂ ρρρ
(6.112)
Figura 6.11. Transferência de massa em convecção natural numa superfície plana
vertical
O número de Rayleigh pode ser definido por analogia na forma:
( ) ( )ym
iwicwy Ra
DygyTTg
Ra ,
3,,
3
=−
→−
= ∞∞
νρρβ
ναβ
(6.113)
Analogia entre os processos de transferência de calor e massa permite fazer a
seguinte equivalência entre variáveis
( ) ( )
yy
cr
ymy
iwicw
i
ShNuSPDk
RaRaD
TTT
massa de Transf.calor de Trans.
,
,,
→→→
→→
−→−→→
∞∞
αρρββ
ρ
(6.114)
165
O número de Sherwood global pode ser calculado como
( )[ ] ( )12,
1
2
27/816/9
6/1, 1010;
/492,01
387,0825,0 <
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
++= −
ym
c
ymy Ra
S
RahS (6.115)
O Sherwood global é definido como
( ) ( )DCCyj
Dyj
Dyh
hSiwi
w
iwi
wmy
∞∞ −=
−==
,,,,
ˆ
ρρ (6.116)
166
Bibliografia BEJAN, A., Transferência de Calor, Edgard Blücher, ISBN 8521200269, 1ª edição, 540 p.,1996.
INCROPERA, F.P., Fundamentos de Transferência de Calor e Massa, Editora: LTC,
ISBN 8521613784, 5ª edição, 698 p., 2003. TAINE, J., PETIT, J.P. Heat Transfer, ISBN 0-13-387994-1, Prentice Hall, 584 p.,1993.
ROLLE, K.C. Heat and Mass Transfer, ISBN 0-13-919309-X, Prentice Hall, 547 p.,2000.
ÖZISIK, M.N., Transferência de Calor: Um Texto Básico, Editora LTC, ISBN 852770160X,
1ª Edição, 662 p., 1990. KREITH, F., BOHN, M. S., Princípios de Transferência de Calor, Editora Thomson Pioneira,
ISBN 8522102848, 1ª edição, 623 p., 2003. HOLMAN, J.P., Heat Transfer, McGraw-Hill Science, ISBN: 0072406550, 9ª edição, 688 p.,
2001. ARPACI, V.S., Conduction Heat Transfer, Pearson Custom Pub., ISBN: 0536580162, 490 p.,
1991. ISMAIL, K.A.R., Fenômenos de Transferência - Experiências de Laboratório, Ed. Campos,
1982. BENEDICT, R.P., Fundamentals of Temperature, Pressure and Flow Measurements, John
Wiley & Sons, 1977. DOEBLIN, E.O., Measurement Systems, Applications and Design, Tokio, McGraw-Hill, 1975. OBERT, E.F., GYOROG, A.D., Laboratório de Engenharia Mecânica - Projetos e
Equipamentos, UFSC, Departamento de Engenharia Mecânica, 1976.
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